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MATRICES Una matriz es un conjunto de números o expres iones
d ispuestos en forma rectangular , formando f i las y co lumnas.
Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina
elemento . Un e lemento se d is t ingue de ot ro por la pos ic ión que
ocupa, es dec i r , la f i la y la columna a la que per tenece.
Dimensión de una matr iz
El número de f i las y co lumnas de una mat r iz se denomina
dimensión de una matr iz . Así , una matr iz será de d imensión: 2x4,
3x2, 2x5, . . . Sí la matr iz t iene e l mismo número de f i las que de
co lumna, se d ice que es de orden: 2 , 3 , . . .
E l conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota
por Am x n o (a i j ) , y un elemento cualqu iera de la misma, que se
encuentra en la f i la i y en la co lumna j , por a i j .
Matr ices iguales
Dos matrices son iguales cuando t ienen la misma d imensión y
los e lementos que ocupan e l mismo lugar en ambas, son iguales.
Clasif icación de matr ices
Matr iz f i la
Una matriz f i la está const i tu ida por una so la f i la .
Matr iz columna
La matriz columna t iene una so la co lumna
Matr iz rectangular
La matriz rectangular t iene d is t in to número de f i las que de
co lumnas, s iendo su dimensión mxn .
Matr iz cuadrada
La matriz cuadrada t iene e l mismo número de f i las que de
co lumnas.
Los e lementos de la forma a i i const i tuyen la diagonal
pr incipal .
La diagonal secundaria la forman los e lementos con i+ j =
n+1 .
Matr iz nula
En una matriz nula todos los e lementos son ceros.
Matr iz t r iangular superior
En una matriz tr iangular superior los e lementos s i tuados por
debajo de la d iagonal pr inc ipa l son ceros.
Matr iz t r iangular infer ior
En una matriz tr iangular infer ior los e lementos s i tuados por
enc ima de la d iagonal pr inc ipa l son ceros.
Matr iz diagonal
En una matriz diagonal todos los e lementos s i tuados por
enc ima y por debajo de la d iagonal pr inc ipa l son nulos.
Matr iz escalar
Una matr iz escalar es una matr iz d iagonal en la que los
e lementos de la d iagonal pr inc ipa l son iguales.
Matr iz ident idad o unidad
Una matr iz ident idad es una matr iz d iagonal en la que los
e lementos de la d iagonal pr inc ipa l son iguales a 1.
Matr iz traspuesta
Dada una matr iz A, se l lama matriz t raspuesta de A a la
matr iz que se obt iene cambiando ordenadamente las f i las por las
co lumnas
Matr iz regular
Una matriz regular es una matr iz cuadrada que t iene inversa.
Matr iz singular
Una matriz singular no t iene matr iz inversa.
Matr iz idempotente
Una matr iz , A, es idempotente s i :
A2 = A .
Matr iz involut iva
Una matr iz , A, es invo lut iva s i :
A2 = I .
Matr iz simétr ica
Una matr iz s imétr ica es una matr iz cuadrada que ver i f ica:
A = At .
Matr iz ant is imétr ica o hemisimétr ica
Una matriz ant is imétr ica o hemisimétr ica es una matr iz
cuadrada que ver i f ica:
A = -At .
Matr iz ortogonal
Una matr iz es or togonal s i ver i f ica que:
A·At = I .
Operaciones con matr ices
Suma de matr ices
Dadas dos matr ices de la misma d imensión, A=(a i j ) y B=(b i j ) ,
se def ine la matr iz suma como: A+B=(a i j+b i j ) .
La matr iz suma se obt ienen sumando los e lementos de las dos
matr ices que ocupan la misma misma pos ic ión.
Producto de un escalar por una matr iz
Dada una matr iz A=(a i j ) y un número rea l k R , se def ine e l
producto de un número rea l por una matr iz : a la matr iz de l mismo
orden que A, en la que cada e lemento está mul t ip l icado por k .
kA=(k a i j )
Producto de matr ices
Dos matr ices A y B son mul t ip l icab les s i e l número de
columnas de A co inc ide con e l número de f i las de B .
Mm x n x Mn x p = M m x p
El e lemento c i j de la matr iz producto se obt iene mult ipl icando
cada e lemento de la f i la i de la mat r iz A por cada e lemento de la
columna j de la matr iz B y sumándolos .
Matr iz inversa
El producto de una matriz por su inversa es igual a l matriz
ident idad .
A · A- 1 = A- 1 · A = I
Cálculo de la matr iz inversa por el método de Gauss
Sea A una matr iz cuadrada de orden n . Para ca lcu lar la matr iz
inversa de A, que denotaremos como A- 1 , segui remos los s igu ientes
pasos:
1º Const ru i r una matr iz de l t ipo M = (A | I ) , es dec i r , A está en
la mi tad izquierda de M y la matr iz ident idad I en la derecha.
Consideremos una matr iz 3x3 arb i t rar ia
La ampl iamos con la matr iz ident idad de orden 3.
2º Uti l izando el método Gauss vamos a transformar la mitad
izquierda, A, en la matr iz ident idad, que ahora está a la derecha,
y la matr iz que resulte en el lado derecho será la matr iz inversa:
A- 1 .
F2 - F1
F3 + F2
F2 - F3
F1 + F2
( -1) F2
La matriz inversa es:
Cálculo de la matr iz inversa pòr determinantes
Rango de una matr iz
Rango de una matr iz : es e l número de l íneas de esa matr iz ( f i las o
co lumnas) que son l inealmente independientes.
Una l ínea es l inealmente dependiente de ot ra u ot ras cuando se
puede estab lecer una combinac ión l ineal ent re e l las .
Una l ínea es l inealmente independiente de ot ra u ot ras cuando
no se puede estab lecer una combinac ión l ineal ent re e l las.
E l rango de una matr iz A se s imbol iza: rang(A) o r (A ) .
También podemos dec i r que e l rango es: el orden de la mayor
submatr iz cuadrada no nula . Ut i l izando esta def in ic ión se puede
ca lcu lar e l rango usando determinantes.
Se puede ca lcu lar e l rango de una matr iz por dos métodos:
Cálculo del rango de una matr iz por el método de Gauss
Podemos descar tar una l ínea s i :
Todos sus coef ic ientes son ceros.
Hay dos l íneas iguales.
Una l ínea es proporc ional a o t ra .
Una l ínea es combinac ión l ineal de ot ras.
F3 = 2F1
F4 es nu la
F5 = 2F2 + F1
r (A) = 2.
En general consiste en hacer nulas el máximo
número de l íneas posible, y el rango será el número de
f i las no nulas.
F2 = F2 - 3F1
F3 = F3 - 2F1
Por tanto r (A) = 3.
