7/22/2019 apuntes de mtodos matemticos II (EDPs)
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Mtodos Matemticos II (grupos C y E, 2012-2013)
ndiceBibliografaSobre las versiones de los apuntes
Introduccin 1
1. Introduccin a las EDPs 31.1 EDPs lineales de primer orden
51.2 EDPs lineales de segundo orden; clasificacin 81.3 Los
problemas clsicos; unicidad 111.4 Ecuacin de la cuerda vibrante
14
1.5 Transformadas de Fourier 19
2. Soluciones de EDOs en forma de serie 232.1 Funciones
analticas y puntos regulares 242.2 Ecuacin de Euler y puntos
singulares regulares 282.3 Ecuaciones de Legendre, Hermite y Bessel
332.4 El punto del infinito 36
3. Problemas de contorno para EDOs 373.1 Problemas de
Sturm-Liouville homogneos 383.2 Series de Fourier 433.3 Problemas
no homogneos 47
4. Separacin de variables 494.1 Separacin de variables para el
calor 504.2 Separacin de variables para ondas 564.3 Separacin de
variables para Laplace 614.4 Algunos problemas en tres variables
684.5 Funciones de Green 75
Apndice 79
Problemas 1 iProblemas 2 iii
Problemas 3 ivProblemas 4 v
Problemas adicionales 1 IProblemas adicionales 2 IIIProblemas
adicionales 3 IVProblemas adicionales 4 V
[Estos apuntes pueden ser utilizados y citados por cualquierasin
ningn problema, siempre que no haga negocio con ellos].
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Bibliografa
H Haberman. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES con
Series de Fouriery Problemas de Contorno. Prentice Hall
Ss Strauss. PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS. An Introduction.
Wiley
W Weimberger. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES.
Revert
Sp Stephenson. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS
PARCIALES. Revert
MU Myint-U. PARTIAL DIFFRENTIAL EQUATIONS OF MATHEMATICAL
PHYSICS. Elsevier
T Tijonov-Samarski. ECUACIONES DE LA FISICA MATEMATICA. Mir
Ch Churchill. SERIES DE FOURIER Y PROBLEMAS DE CONTORNO.
McGraw-Hill
BD Boyce-Di Prima. ECUACIONES DIFERENCIALES y problemas con
valores en la frontera.Limusa
Si Simmons. ECUACIONES DIFERENCIALES (con aplicaciones y notas
histricas).McGraw-Hill
Br Braun. ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUS APLICACIONES.
Interamericana
R Ross. ECUACIONES DIFERENCIALES. RevertE Elsgoltz. ECUACIONES
DIFERENCIALES Y CALCULO VARIACIONAL. Mir
MCZ Marcelln-Casass-Zarzo. ECUACIONES DIFERENCIALES. PROBLEMAS
LINEALES YAPLICACIONES. McGraw-Hill
PA Puig Adam. CURSO TEORICO-PRACTICO DE ECUACIONES
DIFERENCIALESAPLICADO A LA FISICA Y TECNICA.
Los 7 primeros libros son propiamente de EDPs: H, Ss, W, MU y T
incluyen casi todos lostemas de los apuntes (y muchos otros que no
se tratan en ellos). Sp y Ch tienen bastantesmenos pginas (y sirven
para parte del curso). Los 5 siguiente son bsicamente de EDOs,con
lo que casi todos tratan los temas 2 y 3 relativos a ecuaciones
ordinarias, aunque tienentambin introducciones a las EDPs. En
concreto, BD, Si, Br y R estudian los problemas de
contorno para EDOs y algo del mtodo de separacin de variables. R
clasifica adems lasEDPs de segundo orden con coeficientes
constantes. E trata con detalle las EDPs de primerorden (lineales y
no lineales). Los 2 ltimos, el MCZ y el clsico PA (de 1950), son
mixtos deEDOs y EDPs y abarcan una mayor parte del curso.
Gran parte de los libros de EDPs, en vez de estar organizados en
torno a los mtodos deresolucin (como en estos apuntes), estudian
por separado y con diferentes tcnicas lasecuaciones hiperblicas,
elpticas y parablicas.
Las EDPs de primer orden de 1.1 se estudian en H, E y PA, aunque
se centran en lasecuaciones cuasilineales (o incluso no lineales)
ms generales y complicadas. La reduccina forma cannica y las
cuestiones de unicidad se ven en casi todos los libros de EDPs,
porejemplo en MU, W o T. La deduccin de las ecuaciones y el
significado fsico de los problemasse puede mirar, por ejemplo, en
Bd, H, W, Ss o T. Para la cuerda vibrante de 1.4 se puedenconsultar
el H, SS o W. Para la seccin 1.5 de la Fver Ch, Ss, Sp, MU y, sobre
todo, H y W
que utilizan tambin la transformada de Laplace para EDPs (W
tiene una introduccin a lavariable compleja).
El mtodo de series para las EDOs del tema 2 est bien contado en
el BD y el Si, tantopara puntos regulares como para singulares
regulares.
Para el 3 es recomendable leer BD, Si y H. Hay ms demostraciones
que en los apuntes (ycon matemticas no muy complicadas) en Ss, W o
Ch.
La separacin de variables del tema 4 est en casi todos los
libros. Buenas introduccioneshay en Sp, BD, Si, Br o R. El libro ms
recomendable para todo este captulo es el H. Paraprecisiones de
convergencia y problemas de varias variables, ms variados que los
escasosresueltos en estos apuntes, ver Ss, W, MU o T. La
introduccin a las funciones de Green paraLaplace de 4.5, sigue ms o
menos el MU. Ss, W, T y Sp tambin estudian las funciones deGreen
por otros caminos.
El MCZ, el H y el Ss dan mtodos numricos para problemas de
contorno y EDPs (lo queno hacen los dems libros, salvo unas pocas
ideas del W).
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Sobre las versiones de los apuntes
Versin 2013. El mayor cambio es el traslado de la transformada
de Fourier al final del captulo 1, quecambia de nombre (y de las
funciones de Green al final del 4). Hay bastantes pequeos retoques
enteora y ejemplos de separacin de variables. Hay cambios menores
en el resto de los apuntes y, como
cada curso, se retocan los problemas, incluyendo los del curso
pasado y pasando otros a adicionales.Versin 2012. Primeros apuntes
de mtodos matemticos II, para la asignatura del grado. Incluyenun
nuevo tema 3 de soluciones por series (que abandona la asignatura
de EDOs para hacer hueco a lavariable compleja). Para hacer sitio a
este tema se recortan otros varios de las Ecuaciones II.
Se limaron sutilezas sobre tangencias en 1.1. En 1.2 se tratan
slo las EDPs con coeficientes constantes,lo que acorta teora y
problemas. La cuerda vibrante vuelve (12 aos despus y simplificada)
al tema1. Las ondas en ms dimensiones se fueron (salvo una cita a
las del espacio con simetra radial).
El tema 2 recoge el tema 3 de mis apuntes de EDOs, con notable
reduccin de ejemplos y problemas.
Del anterior tema 2 (ahora 3) salen las funciones de Green (que
se juntan con las de Laplace en 5.2, attulo informativo).
En el 4 de separacin de variables pas a tener seccin propia la
ecuacin de ondas (con ejemplosnuevos, algunos de comparacin con
DAlembert). El resto sigue casi igual.
De la transformada de Fourier desaparecen las transformadas seno
y coseno.
El apndice tuvo que modificar. Y la mayor reduccin, como en el
anterior cambio de plan, se hizo enlos problemas (ya simplificados
para el grupo residual del curso anterior).
Para separar los ejemplos se incluyeron (como en los apuntes de
Matemticas) recuadros de color .
Versin 2011. Adaptacin al grupo residual de la licenciatura
(2010/11, ltimo ao con clases). Sepasaron a letra pequea temas que
en otros grupos no se contaban (como las ondas en 3 y 2
di-mensiones, tras retocar 4.1 y 4.2), los problemas 3 se
dividieron en dos partes, bastantes problemaspasaron a adicionales
y se incluyeron nuevos y nuevos ejemplos inventados para el piloto
del 08/09.
Versin 2009. Bastantes novedades, empezando por la letra, que
pas a ser Bitstream-Vera (sin serif),lo que oblig a reescribir (y
de paso a retocar) muchas partes del texto.
1.1 y 1.3 se modificaron levemente y 1.2 se volvi a
reordenar.
2 perdi una seccin. Los ejemplos de la vieja 2.1 se incluyeron,
adems de otros nuevos, en la nueva2.1. Tambin aparecieron ms
ejemplos en series de Fourier y en problemas no homogneos.
3.1 incluy ejemplos nuevos del calor y 3.2 dos ejemplos ms en
cartesianas y uno en polares. 3.3
cambi poco y como 3.4 (antes 4.4) apareci la introduccin a las
funciones de Green para Laplace.En todo el 4 aparecieron ejemplos
nuevos (y otros se detallaron). En 4.1, uno de cuerda semi-infinita
yotro de cuerda acotada, dos de ondas en 3 dimensiones en 4.2, y
tres de la Fde 4.3.
Se cre un apndice con repaso de EDOs, de convergencia uniforme y
clculo en varias variables.
Los problemas cambiaron bastante (los grupos piloto exigen
inventar muchos problemas y eso se not).
Versin 2008. Escasas novedades en teora. Adems de algunas
correcciones de ejemplos, erratas,estticas... se reorden la seccin
1.2 y se aadieron ejemplos en 3.1. Los problemas incluyeron los
deexamen del curso anterior, algunos de los del curso 06-07 pasaron
a adicionales y otros se convirtieronen problemas a entregar en el
grupo piloto.
Versin 2007. Primera de los apuntes de Ecuaciones Diferenciales
II (EDPs)y heredera de losapuntes de ecuaciones en derivadas
parcialespara los Mtodos Matemticos II, impartidos porltima vez en
el 1997-98 (la versin, 2000, en Word, contena mis apuntes de ese
ao, pero con dibujos aordenador). La asignatura era de 3, los
estudiantes haban cursado Mtodos I en 2 (variable complejay
espacios de Hilbert) y haba 5 horas semanales de clase. Las
Ecuaciones II, en cambio, se cursaban
en 2, con 4 horas semanales y slo se haba estudiado lgebra y
Clculo en 1, y las EDOs del primercuatrimestre de segundo. Por
tanto, hubo que reducir contenidos. Aunque los temas se
mantuvieron(reordenados), algunos pasaron a estar en letra pequea
(a ttulo informativo). Ms funcion la tijeraapartando de las hojas
de problemas fundamentales bastantes de los ms complicados del
pasado.
Yendo al detalle, el tema 1 era el antiguo 5, con algn ejemplo
ms, algn recorte en unicidad y sededuce ya la frmula de DAlembert
(el viejo captulo 6 se traslad, reduciendo su tamao, al tema
4).
El 2 de esa versin era el viejo 7 de problemas de contorno,
centrndose en las condiciones separadas,eliminando ideas sobre
comparacin de autovalores y poniendo la de Dirac en letra
pequea.
El 3 de separacin de variables era el viejo 8, bastante
reordenado. En vez de separar problemashomogneos y no homogneos, se
tratan ambos sucesivamente, primero para calor y ondas, y en
otraseccin para Laplace. Aparecen, como novedad, algunas lneas
dedicadas a los armnicos esfricos.
El 4 incluy las ondas en 1, 3 y 2 dimensiones espaciales (con
menos intensidad que en Mtodos II, sobretodo en problemas), la
transformada de Fourier, y, a ttulo informativo, el mtodo de las
imgenes.
Los problemas se dividieron en problemas (los que se hacen en
clase) y problemas adicionales. Unos
cuantos de los viejos problemas (y varios apartados de otros)
desaparecieron del todo.Los apuntes se hicieron en LATEX,
utilizando el programa TeXShop para Mac y eligiendo ese ao
2007,para distinguirse de las letras habituales, el tipo
palatino.
