Apuntes de Probabilidad Ejemplos

8/19/2019 Apuntes de Probabilidad Ejemplos

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Ejemplo 7. i tiramos dos monedas al aire sea 5 2 "al menos una sea cara$. El suceso 5consta de tres sucesos elementales a saber CC, C& y &C.

En todo espacio muestral podemos distinguir los siguientes sucesos/♣ ucesos elementales , los subconjuntos con un solo elemento.♣ uceso se)uro* E, el propio espacio muestral.♣ uceso iposible* φ, que no posee ningn suceso elemental (no puede

verificarse!.

8eniendo en cuenta que los sucesos son subconjuntos se suelen usarlos dia)raas de +e!! para representarlos.

&igura

, E

i 5 y 9 son dos sucesos del espacio muestral E, +ste queda dividido en cuatropartes/

#os que están en 5 y no en 9, los que están en 9 y no en 5, los que están enambos y los que no están ni en a ni en 9.

&igura 0

, Ea c -

b d

En el dibujo se *a indicado el nmero de sucesos elementales que lescorresponden.

#lamaremos PE/ al conjunto de todos los sucesos, es decir a partes deE.

♠ 4iremos que el suceso , iplica el - * sí siempre que se verifica 5 severifica 9. e indica , ⊂ -, pues todos los sucesos de 5 pertenecen a 9.

Ejemplo 1. 5 2 "sacar un dos$ : 9 2 "sacar par$


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♠ 4os sucesos son iguales cuando contienen los mismos sucesoselementales: se puede e-presar esto diciendo que se implicanmutuamente, , ⊂ - 0 -⊂ ,.

De#i!ici$! . e llama suceso co!"rario (o complementario! de 5, y se

representa por 5; ó 5c, al formado por los sucesos elementales de E que noestán en 5.

5 ,c

Es decir se verifica 5c cuando no se verifica 5.

Ejemplo d elementos.

%. Operacio!es co! sucesos

8eniendo en cuenta que los sucesos son subconjuntos se definen la/

U!i$! de sucesos.e llamará u!i$! de dos sucesos 5 y 9 al que se verifica cuando en una

prueba el resultado es un elemento de 5 o de 9 (o de ambos!. e representa5∪9 (corresponde a la unión conjuntista!.

Ejemplo ?. En la figura 0 el suceso 5∪

9 tiene a 2 c 2 b elementos.I!"ersecci$! de sucesos.

#lamaremos suceso i!"ersecci$! de 5 y 9 al que ocurre cuando elresultado de una prueba es un elemento de ambos. e representa 5 ∩9(corresponde a la intersección conjuntista!.

Ejemplo @. En la figura 0 el suceso intersección tiene c elementos.

Di#ere!cia de sucesos.

i 5 y 9 son dos sucesos se define su diferencia como/ , - & , ∩ -c.

e verifica pues/ ,c

& E ,.Ejemplo . En la figura 0., 5 A 9 tiene a elementos.De#i!ici$! 6 . 4os sucesos 5 y 9 se dice que son i!copa"ibles si tienen

intersección vacía. En otro caso se dirán compatibles.Ejemplo 0. Cualquier suceso 5 y su contrario son incompatibles.Ejemplo 3. i e-traemos dos cartas de una baraja espaBola (6@ cartas! los sucesos/5 2 " las dos sean copas$ y 9 2 " una sea copas y la otra rey$ son compatibles.


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Problea 1. En una determinada población el 7@ *a estado casado alguna vez,el 7@ tiene menos de f(9!, es decir si dos

sucesos son incompatibles la frecuencia relativa de su unión es la suma de susfrecuencias relativas.

#a comprobación es inmediata.


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♣ Cuando se realiza un nF muy grande de pruebas puede comprobarse que lafrecuencia relativa de uno cualquiera de los sucesos tiende a es"abiliarse. Estoquiere decir que la frecuencia relativa toma valores pró-imos a un nF fijo, y que segnaumenta el nF de pruebas más se acerca a ese valor. 5 dic*o valor es al que llamaremosla probabilidadGH de 5, p(5!

p(5! 2 (probabilidad a pos"eriori!.Esta forma de asignar probabilidades tiene el inconveniente de puede variar de

unas series a otras, a pesar de la estabilidad de las frecuencias.

♣ Itra forma consiste en asignar una probabilidad a priori cuando se cumpla el postulado de indiferencia o ley de la ignoranciaG0H.

Ejemplo 6. i el e-perimento es lanzar un dado, que no est+ trucado, se cumple dic*opostulado, a cada resultado se le asigna como probabilidad a priori el valor J1.

Probabilidad de 7aplace

Cuando se pueda asegurar que se cumple el postulado de indiferencia , esdecir que todos los sucesos elementales sean igualmente posibles, se define/

e conoce como la Re)la de 7aplace, el nF obtenido es la probabilidad a priori ode #aplace.

Ejemplo 7. Consideremos el e-perimento lanzar dos monedas al aire. amos a calcularla probabilidad del suceso, 5, sacar una cara y una cruz.

El espacio muestral consta de cuatro sucesos elementales igualmente "probables$/CC, C&, &C y &&, luego p(5! 20J6 2J0.

E'ercicio 3. Calcula la probabilidad de obtener dos 1 al lanzar dos dados.

De#i!ici$! axioá"ica de probabilidad

ea , un álgebra de 9oole asociada a un e-perimento del espacio muestral E,teniendo en cuenta las propiedades de la frecuencia relativa se define/

De#i!ici$! 8. e llama probabilidad a una aplicación p: PE / → G@,] 5 → p(5!

que cumple las siguientes condiciones, llamadas a-iomas de probabilidad/

5 la terna (E, ,* p! se le llama espacio probabilístico asociado ale-perimento en cuestión.

p,/ &N9ero de casos #a5orables a ,

N9ero de caso posibles

I. p E/ & 1. II. i , 0 - so! i!copa"ibles ⇒ p, ∪ -/ & p,/ 2 p-/

http://carmesimatematic.webcindario.com/probabilidadII.htm#_ftn1http://carmesimatematic.webcindario.com/probabilidadII.htm#_ftn2http://carmesimatematic.webcindario.com/probabilidadII.htm#_ftn2http://carmesimatematic.webcindario.com/probabilidadII.htm#_ftn1


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E'ercicio (. KCuál es la probabilidad de que al tirar dos dados la suma depuntos obtenidos sea ≥@L.

Co!secue!cias de los axioas de probabilidad

1/ p,c / & 1 p,/

Ejemplo 1. 4e una baraja de 6@ cartas e-traemos dos cartas a la vez., Kcuál es laprobabilidad de que al menos una de ellas sea copasL.

olución . ea 5 el suceso " al e-traer dos cartas al menos una es copas$ %asamos al contrario, 5c , es decir calculamos la probabilidad de que ninguna sea copas.

ucesos posibles/ , que son todos los grupos de 0 cartas que se pueden sacar.

ucesos favorables/ pues *ay 3@ cartas que no son copas.

%or la regla de #aplace tenemos/ p(5c ! 2 2 @,71 ⇒ p(5! 2 A @,712 @,66

%/ p / & ; .

3! i , ⊂ - ⇒ p,/ ≤ p-/.

6! i , 0 - so! sucesos copa"ibles/ p, ∪ -/ & p,/ 2 p-/ p, ∩ -/

Ejemplo J6 A J6@ 2 3J6@.

E'ercicio . En una baraja *emos suprimido varias cartas. Entre las cartas quenos quedan se dan las siguientes probabilidades de ser e-traídas/ p(D! 2 @,7, p(9! 2@,3, p(carta que no sea ni rey ni basto! 2 @,1. KEstá entre ellas el rey de bastosL. Encaso afirmativo calcula su probabilidad.

No"a. El resultado puede generalizarse a 3 o más sucesos.En particular si 5, 9 y C son tres sucesos compatibles se verifica/

p, ∪ - ∪ C/ & p,/ 2 p-/ 2 pC/ p,∩ -/ p,∩C/ p-∩C/ 2 p,∩ -∩C/

(1!Problea %. En una determinada población, el


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deportes. KCuál es la probabilidad de que un individuo escogido al azar no seaaficionado a ninguno de los tres deportesL

olución%asamos al contrario, es decir calculamos en primer lugar la probabilidad de que sea

aficionado al menos a uno de los tres.

p( &∪8 ∪9!G3H

2 @, @,1@ > @,17 A @,67 A @,6@ A @,7@ > @,3@ 2 @,?@%or lo tanto p("no sea aficionado a ningn deporte de los tres$! 2 A @,?@ 2 @,@.

E'ercicio 6. Desolver el problema 0 usando diagramas de enn.

3. Probabilidad co!dicio!ada. ucesos i!depe!die!"es .

Muc*as veces la probabilidad de que ocurra un suceso viene influida por el*ec*o de que ocurra o no otro suceso, o por una información adicional.

Ejemplo =. upongamos un dado cuyas caras pares son de color negro y las impares decolor rojo.

#a probabilidad de los sucesos elementales, en principio, es J1: pero si en el

lanzamiento se nos informa que la cara obtenida es de color negro, sin decirnos el resultado,entonces la probabilidad cambia/ la de los impares sería cero y la de los pares J3.

Esto nos dice que *emos pasado a otro espacio probabilístico donde no se cumple elpostulado de indiferencia.

En general, si 5 y 9 son dos sucesos del álgebra de sucesos, se define laprobabilidad co!dicio!ada del suceso 5 sobre el 9 como la probabilidad de que ocurra 5 *abiendo sucedido antes 9/

De#i!ici$!


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tabla nos da los resultados en en función del partido al que votó cada ciudadano en lasltimas elecciones/

PP POE IU ,bs4 07 0@ = 0No 7 @ 0 =

a! KOu+ probabilidad *ay de que una persona tomada al azar *aya votado í en elrefer+ndumL

b! Calcular la probabilidad de que un individuo sea del %% sabiendo que *a votado sí.olución/En primer lugar completamos la tabla con las sumas parciales/

PP POE IU ,bs4 07 0@ = 0 17No 7 @ 0 = 37

6@ 3@ @ 0@ @@a! p( 4 ! 2 @,17: b! p( PP=4 ! 2 07J17 2 @,3=.

Ejemplo 0@. En una clase de CIN el 67 de los estudiantes suspende Matemáticas, el1@ suspende física y el 3@ suspende ambas. e selecciona al azar un alumno/

a! i suspendió &ísica KCuál es la probabilidad de que suspendiera MatemáticasLb! i suspendió Matemáticas " " &ísicaL

oluciónea 5 2 "suspende Matemáticas$ y 9 2 " suspende &ísica$p(5! 2 @,67: p(9! 2 @,1@ : p(5 ∩ 9! 2 @,3@a! p(5J9! 2 @,3@J@,1@ 2J0: p(9J5! 2 @,3@J@,67 2 0J3

Co!secue!cia: 4e la definición de probabilidad condicionada se deduce/ p,

∩

-/ & p-/.p,=-/ ?% Esta e-presión se conoce como la fórmula de la probabilidad compuesta .Ejemplo 0. Calcular la probabilidad de que al e-trer dos cartas de una baraja la P sea

copas y la 0P bastos.

olución p( PC, 0P9! 2 p(PC!. p(0P9JPC! 2

No"a: #a fórmula ?% puede generalizarse a tres o más sucesos. En elcaso de tres se obtiene/

p, ∩ - ∩ C/ & p,/. p-=,/. pC= , ∩ -/Ejemplo 00. En una urna *ay 3 bolas blancas , 7 rojas y 6 negras. e e-traen tres

bolas consecutivamente, sin reemplazamiento. Calcular la probabilidad de que las tres seanrojasolución

p(PD, 0PD, 3PD!2

Obser5aci$! %.


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Qay ocasiones en que las pruebas no son sucesivas sino simultáneas, lanzar dosdados, e-traer tres cartas de una baraja etc.... e pueden encontrar muc*os casos enque se pueden considerar como si se sucedieran en el tiempo, lo que facilita el cálculo

de sus probabilidades.E'eplo %3. upongamos que tenemos una urna con 7 bolas rojas y 6 bolas negras y que

e-traemos dos bolas, esto lo podemos *acer de "res formas/

F! con reemplazamiento . #a primera que se e-trae se devuelve a la urna.0F! si! reeplaaie!"o. " " !o se devuelve "3F! siul"á!eae!"e. #as dos a la vez.

amos a calcular la probabilidad de que las dos sean rojas.

F! p(PD, 0PD! 2 con reemplamiento: 0F! p(PD, 0PD! 2 sinreemplazamiento:

3F! p(las dos rojas! 2 a la vez.

Ibservamos que en los caso %@ 0 3@ la probabilidad es la misma y su cálculo mássencillo considerando e-tracciones sucesivas.eamos para otro suceso.i queremos calcular la probabilidad de que al e-traer dos bolas una sea roja y la otra

negra/

5 la vez.

p(una roja y otra negra! 2 2

in reemplazamiento.Est suceso es la unión de D y D, ya el orden no importa. on incompatibles/

p (una roja y otra negra! 2 p(D! > p(D! 2 , luego coinciden denuevo.


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%odemos concluir que en determinados casos simultáneamente "equivale "

a e-tracciones sucesivas sin reemplazamiento.

E'ercicio 8. Desolver el ejemplo 1 utilizando la conclusión anterior.

Problea 3. Nna urna contiene = blancas y < negras, *acemos una e-tracciónde 0 bolas, en el supuesto de que *emos visto que una de estas bolas es negra. KCuáles la probabilidad de que la otra tambi+n lo seaL

oluciónea el suceso 5 2 "al e-traer dos bolas, al menos una sea negra$ " 9 2 "al e-traer dos bolas, las dos sean negras$

e verifica 9 ⊂ 5, luego 5 ∩ 9 2 9 y p (9! 2 :

p(5! 2 A p(5c! 2 A :

#a probabilidad pedida es/ p(9J5!2

I!depe!de!cia de sucesos De#i!ici$! >. e dice que un suceso 5 es i!depe!die!"e de otro 9

cuando/ p,=-/ & P,/En otro caso se dirá que son dependientes.

Co!secue!cias: i 5 es independiente de 9 ⇒ ♦ p, ∩ -/ & p,/.p-/ . %or ?%

♦ 9 es independiente de 5. 8eniendo en cuenta lo anteriores trivial.

♦ 5c es independiente de 9. (comprobarlo! ♦ E y φ son independientes de cualquier suceso.

Obser5acio!es:

1/ i los sucesos son incompatibles no pueden ser independientes, pues

p(5 ∩ 9!2@. %/ %ara *ablar de independencia de dos sucesos 5 y 9 *a de tenerse

que 5 ⊄ 9 y 9 ⊄ 5 (a e-cepción de E y φ ! En efecto si, por ejemplo, 9 contenido en 5 ⇒ p(5J9! 2, y p(5 ∩ 9!

2 p(9! ≠ p(5!.p(9!.

Ejemplo 06. Qallar la probabilidad de que al tirar dos veces una moneda las dos veces

salga caraolución


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on sucesos independientes ⇒ p( dos caras ! 2 (J0!.(J0! 2 J6

Ejemplo 07. 4e una baraja de 6@ cartas *acemos dos e-tracciones sucesivas, sindevolución . Calcula la probabilidad de que las dos sean reyes.

oluciónon sucesos dependientesG6H, pues al sacar una carta se modifica la composición de la

baraja.

p( 0 reyes ! 2 p(rey la P!. p( rey la 0PJ *a sido rey la P! 2

No"a / e puede generalizar a tres o más sucesos.Ejemplo 01. Nn avión con tres bombas trata de destruir una línea f+rrea: la

probabilidad de destruir la línea con cualquiera de las bombas es J3. KCuál es la probabilidad

de que la línea quede destruida si el avión emplea las tres bombasLolución

#a probabilidad de que una determinada bomba no *aga blanco es /

#a probabilidad de que !i!)u!a Aa)a bla!co, es ,( es decir no acierte ni P, ni 0Pni, 3P!, pues son sucesos independientes.

#a probabilidad de que al e!os u!a Aa)a bla!co es A 2 , ya que soncontrarios.

(. Experie!"os copues"os. Teorea de -a0es

En un e-perimento aleatorio *ay que considerar las condiciones en que se *aceel e-perimento y los resultados posibles del mismo. 5 veces se consideran variose-perimentos sucesivos y las condiciones de cada uno pueden ser o no influidas por losresultados del precedente. 8enemos así una primera idea intuitiva de dependencia eindependencia de e-perimentos aleatorios.

Qasta aquí nos *abíamos referido a la dependencia e independencia de sucesos

relativos a un mismo espacio probabilístico (E, 5, , p!. upongamos a*ora definido unsegundo e-perimento que da origen al espacio (E0, 50 , p0!, llamaremos espacioproducto cartesiano E- E0 al formado a partir de los m.n sucesos elementales/

(5i, 9 j! (i 2 , 0, ........., n : j 2 , 0, ........, m !%odremos definir una probabilidad para E- E0 de la forma siguiente/i no se pueden considerar los e-perimentos como físicamente independientes,

se calcularán las probabilidades de los sucesos del producto cartesiano por la relación/

p,i* - '/ & p1,i/p%- '=,i/ i se pueden considerar independientes se tendrá/

p,i* - '/ & p1,i/p%- '/

http://carmesimatematic.webcindario.com/probabilidadII.htm#_ftn4http://carmesimatematic.webcindario.com/probabilidadII.htm#_ftn4http://carmesimatematic.webcindario.com/probabilidadII.htm#_ftn4


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8endremos, pues, el espacio probabilístico (E- E0, 5, p!No"a. En la práctica se identifica el suceso (5, 9! con el suceso ocurrir

5 y 9 (5∩9!.

Ejemplo 0


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" blanca cuando &C/ @, blanca / @,10 " blanca cuando &&/ @,<Esto puede interpretarse así/ de cada 10 veces que e-traemos blanca, 6 veces ocurre

cuando sale CC, luego la proporción es @,6J@,10 2 @,007%odemos afirmar pues que p(CCJ9! 2 @,007.#a fórmula de 9ayes nos justifica este resultado.

De#i!ici$! 11. i 5, 50, ..........., 5n verifican que su unión es el espaciomuestral, E, y son disjuntos dos a dos se dirá que forman un sis"eaexAaus"i5o.

Teorea 1. ea 5, 50, ..........., 5n un sistema e-*austivo del que seconocen sus probabilidades a priori, p(5 i!. ea 9 otro suceso para el cual seconocen las probabilidades condicionadas, p(9J5i!. Entonces/

Desultado que se conoce con el nombre de 8eorema de la probabilidad total

5 p(9! se le llama la probabilidad "o"al de 9.Ejemplo 0?. amos a ver la razón de que se le de este nombre.upongamos que 9 es el suceso que al e-traer una bola de entre dos urnas +sta sea

blanca.

El de que urna *ay que elegir viene dado por el lanzamiento de una moneda.ea/ 5 el suceso elegir la P urna y 50 el suceso elegir la 0P urna. &orman un sistema

e-*austivo.#a probabilidad de ambos es J0.

p(9J5! 2 0J7 y p(9J50! 2 3J


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E'ercicio 1%. Desolver el ejemplo 0= utilizando el teorema de la probabilidadtotal.

E'eplo 3;. Nn libro tiene 3 capítulos. El =7 de las páginas del er capítulo no tieneningn error. El ?@ del segundo y el ?7 del tercero tampoco tienen ningn error.

El primer capítulo tiene 07 páginas, el 0F 7@ y el 3F


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4emostración8eniendo en cuenta que/ p(5i ∩9! 2 p(5i!.p(9J 5i! y p(5i ∩9! 2 p(9!.p(5iJ9!e deduce p(5i!.p(9J 5i! 2 p(9!.p(5iJ9!, de donde despejando p(5iJ9! se llega al

resultado.

Es corriente llamar a las probabilidades p(5 i! probabilidades a priori, a las dep(5iJ9! probabilidades a pos"eriori y a las p(9J5i! verosimilitudes.

E'eplo 31. Con los datos del ejemplo 0=, suponemos que elegimos una página al azar yobservamos que no tiene ningn error Kcuál es la probabilidad de que sea del capítulo 0F.

olución5plicando la fórmula de 9ayes

@,333

E'ercicio 13. Qay una epidemia de cólera (C!. Consideramos como uno de lossíntomas la diarrea (4!, pero este síntoma se presenta tambi+n en personas coninto-icación ()!, e incluso en algunas que no tengan nada serio (!. #as probabilidadesson/

p(4JC! 2 @,??: p(4J)! 2@,7: p(4J! 2 @,@@6

e dan los siguientes porcentajes/ el 0 de la población tiene cólera y el @,7

into-icación.i una persona tiene diarrea calcula la probabilidad de que tenga cólera.

Probleas propues"os e! selec"i5idad 1. #a ciudad 5 tiene el doble de *abitantes que la ciudad 9, pero un 3@ deciudadanos de 9 lee literatura, mientras que sólo un @ de ciudadanos da 5 leeliteratura.

a! 4e un ciudadano se sabe sólo que vive en la ciudad 5 o en la ciudad 9. Calculade forma razonada que lea literatura.

b! i nos presentan un ciudadano que vive en la ciudad 5 o en la ciudad 9, perodel cual sabemos que lee literatura, calcula razonadamente la probabilidad de que sea

de la ciudad 9.

%. #a baraja .espaBola consta de diez cartas de oros, diez cartas de copas, diezcartas de espadas y diez cartas de bastos.

e e-traen tres cartas. 5veriguar razonadamente cuál es la probabilidad de que al

menos una de las cartas de oros en los siguientes supuestos/a! o se devuelven las cartas despu+s d la e-tracción.

b! 4espu+s d cada e-tracción se devuelve la carta a la baraja antes de la e-tracciónsiguiente.


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3. Escribo tres cartas y los tres sobres correspondientes. )ntroduzco cadacarta en un sobre al azar, es decir sin mirar el destinatario. 5veriguar razonadamentecuál es la probabilidad de que *aya introducido sólo una carta en el sobre correcto.

(. #a ciudad 5 tiene el triple de *abitantes que la ciudad 9. Nn @ de

*abitantes de la ciudad 5 son al+rgicos y un 3@ de *abitantes de la ciudad 9 sonal+rgicos. e selecciona un ciudadano sin saber de que ciudad es. 4educirrazonadamente cuál es la probabilidad de que sea al+rgico.

Entre todos los *abitantes al+rgicos de ambas ciudades se selecciona un ciudadano.KCuál es la probabilidad de que se de la ciudad 5L.

. En un aparato de radio *ay presintonizadas tres emisoras 5, 9 y C queemiten durante todo el día. #a emisora 5 siempre ofrece msica, mientras que la 9 y la

C lo *acen la mitad de tiempo de emisión. 5l encender la radio se sintonizaindistintamente cualquiera de las tres emisoras.

a! Ibtener de forma razonada la probabilidad de que al encender la radio

escuc*emos msica.b! i al poner la radio no escuc*amos msica, calcular de forma razonada cuál

es la probabilidad de que est+ sintonizada la emisora 9.

6. Nn alumno realiza un e-amen tipo test que consta de 6 preguntas. Cada una de

las preguntas tiene tres posibles respuestas, de las que solo una es correcta. i el alumnoaprueba contestando correctamente dos o más preguntas, obtener de forma razonada laprobabilidad de que apruebe si escoge las respuestas de cada una de las preguntascompletamente al azar.

8. El 1@ de los alumnos de 9ac*illerato de un )nstituto son c*icas y el 6@c*icos. #a mitad de los c*icos lee asiduamente la revista CIM)C, mientras que sólo el

3@ de las c*icas la lee.a! Ibtener de forma razonada la probabilidad de que un alumno elegido al azar

lea la revista.b! i el alumno elegido al azar nos dice que no lee la revista, obtener de forma

razonada la probabilidad de que sea c*ica.

?B. Nn ordenador personal tiene cargados dos programas antivirus 5 y 50 queactan simultánea e independientemente. 5nte la presencia de un virus, el programa

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5 lo detecta con una probabilidad de @,? y el programa 50 lo detecta con unaprobabilidad de @,=. Calcular de forma razonada/

a! #a probabilidad de que un virus cualquiera sea detectado.

b! #a probabilidad de que un virus sea detectado por el programa 5 y no por50.

1;7. El


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C 2 "El alumno contesta correctamente las tres preguntas$.oluciónamos a designa por a el acierto, es decir contestar correctamente una pregunta y

por # el fallo, el dedir su contrario.El espacio muestral tiene = elementos/

E 2 {(aaa!, (aaf!, (afa!, (aff!, (faa!, (faf!, (ffa!, (fff!}p(9! 2 6J= 2 J0: p(5 ∩ 9! 2 3J=: p(C! 2 J=: p(9 ∪ C! 2 p(9! 2 J0, pues C ⊂ 9

%.G1H 4e una baraja de 6@ cartas e-traemos dos cartas sin reemplazamiento. iambas no son espadas, Kcuál es la probabilidad de que al menos una de ellas sea copasL.

olución ..#lamamos 5 al suceso "al e-traer dos cartas al menos una sea copas sabiendo$, que

ninguna es espada.Calculamos en primer lugar la de su contrario , 5c, es decir la del suceso de que ninguna

sea copas/

8eniendo en cuenta la Obser5aci$! 1, podemos suponer que sólo *ay 3@ cartas en la

baraja.

2 @,63< luego/

%(5! 2 A @,63< 2 @,713eamos otra forma de resolverlo/#lamamos 9 al suceso ninguna es espada. os piden/

p(5J9!2 , 5 ∩9 representa el suceso alguna copa y ningunaespadas.

p(5 ∩ 9 ! 2 , p(9! 2 : p(5J9! 2 2 @,713

3. #anzamos un dado *asta observar por segunda vez un 1. Qallar laprobabilidad de que tal cosa suceda antes del quinto lanzamiento G


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%(ocurra en 6F! 2 3. (07J31!.(J31! 2 07J630: 11 (dos 1 y los otros dos nFcualesquiera 3 formas para esta situación!.

%(observar un 1 por segunda vez antes del 7F lanzamiento!2 J31 > 7J@= > 07J630 2

@,30

(. #a probabilidad de que una jugadora de golf *aga *oyo en un lanzamiento a

una cierta distancia es @,0. i lo intenta 7 veces, calcular la probabilidad de que/a! no acierte ninguna: b! acierte alguna: c! acierte 0.olucióna! %(7 fallos! 2 (@,=!7: b! %(acertar alguna vez! 2 A %(fallar todas! 2 A (@,=! 7:

c! %(acierte 0! 2 , pues *ay @ formas de obtener 0 aciertos y e fallos.

. Nna caja contiene 7 tornillos defectuosos y 6 aceptables: otra caja contiene

6 defectuosos y 7 aceptables. e traslada un tornillo de la primera caja a la segunda:a continuación se e-trae un tornillo de la segunda caja. KCuál es la probabilidad de que

este ltimo sea aceptableL.oluciónean los sucesos / 9 2 "tornillo sacado ltimamente sea aceptable$ 5 2 "tornillo pasado de la P a la 0P caja sea aceptable$ 50 2 "tornillo pasado de la P a la 0P caja sea defectuoso$8enemos que calcular p(9! 2 p(5 !p(9J 5! > p(50 !p(9J 50!, luego/

p(9! 2 2 @,7666

6. En un cierto país, el ?? de los detenidos y sometidos a juicio son culpablesdel delito que se les imputa. #os jueces, al emitir veredicto, aciertan en el ?7 de loscasos, tanto si el acusado es culpable como inocente. egn estos datos, calclese laprobabilidad de que/

a! un ciudadano inocente *aya sido declarado culpable.

b! sea culpable, si *a sido declarado inocente.olución %rob.

dec. C @,?6@7

@,?7

@,?? C @,@7 dec. ) @,@6?7

@,@7 dec.C @,@@@7

@,@ )


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@,?7 dec. ) @,@@?7

#uego/

p(dec. C! 2 @,?6@7 > @,@@@7 2@,?6@, p( dec. )! 2 @, @6?7 > @,@@?7 2 @,@7?@p( ) Jdec. C! 2 @,@@@7J@,?6@ 2 @,@@@73

p(CJ dec. )! 2 @,@6?7J@,@7?@ 2 @, =3=?8. En una ciudad el @ de los adultos escuc*a la radio, el 6@ lee el periódico y el


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c! al menos una sea copas.

. Nn 17 de los alumnos de un centro *an aprobado Matemáticas, un


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p(,D! 2 , p(,! 2

p(mismo color! 2 0J07: p(mismo color! 2 3J07.

%. #os casos en que esto ocurre son/ C'' ó '' ó 'C', que son incompatibles. por lotanto la probabilidad de su u!i$! , (5!, es la suma de sus probabilidades.

%(5!2 J= > J6 > J= 2 6J= 2 J03. ea 5 el suceso obtener impar en los lanzamientos pares y par en los impares.

Como son independientes se tendrá/ p(5! 2 2 J16

(. a! %(0D! 2 2 : b! %(Copas y Dey de espadas!20! :

c! p(ninguna copas! 2 ⇒ p(al menos una copa! 2

. 4esignamos por M el suceso aprobar Matemáticas y por & el de aprobar &ilosofía.a! p(M∪&! 2 @,17 > @,


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G 9 " " b." C " " c.El suceso 5 ∪9 ∪ C es el de que al menos una caja quede vacía. #a probabilidad pedida

es la del suceso co!"rario. amos a aplicar la fórmula G1].p(5! 2 p(9! 2 p(C! 2 (0J3!1 y p(5 ∩ 9! 2 p(9 ∩C! 2 p(5 ∩ C! 2 (J3!1 y p(5 ∩ 9∩C!2@ .

#uegop,∪

-∪

C/ & 3%=3/6 31=3/6 ; & 63=%(3, y por lo tanto p & 1

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Apuntes de Probabilidad Ejemplos