GUIA 2 (Lab. Fisica II)ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE UNA SERIE DE MEDIDAS

Para establecer con propiedad la validez de las medidas experimentales, el análisis de error debe, en lo posible, estar basado en un manejo estadístico de la información generada. Para ello es necesario que la medición de cada variable se repita varias veces (experimento multimuestra). En lo que sigue estudiaremos de manera muy condensada los procedimientos más usados para extraer información de un conjunto de medidas.

1.- VALOR MEDIO Y DESVIACIÓN TÍPICAPara investigar como se distribuyen los datos en un experimento multimuestra es conveniente

organizar los datos en una tabla de frecuencia.Supongamos que se pudiera obtener un número muy grande de medidas con un instrumento

muy preciso, de modo que los resultados se pudieran agrupar en intervalos cada vez más pequeños. Llamemos Y a la frecuencia normalizada, esto es, el cuociente entre el número de medidas que

cae dentro del intervalo (x, x + dx ) y el número total de medidas. Si los errores obedecen a causas meramente aleatorias, la curva de Y en función de x tendría la forma de la fig. 1. Esta curva se llama de

Gauss o Normal. Su expresión matemática es:

Donde y son dos parámetros, llamados respectivamente, valor medio y desviación típica de la población. El cuadrado de la desviación típica recibe el nombre de varianza. Como semuestra en la figura es el valor de x para el cual Y es máximo, mientras que es la distancia horizontal hacia ambos lados a partir del valor medio donde la curva tiene puntos de inflexión. La superficie bajo la curva entre dos puntos x y x es proporcional al número de veces en que se tienen medidas comprendidas entre estos valores.

Una distribución normal de Gauss tiene, entre otras, las siguientes propiedades:

La media y la moda coinciden y es el valor de la ordenada en el punto medio de la curva.

La curva es simétrica respecto de la ordenada que representa la media.

Es una curva continua y la variable toma todos los valores entre -∞ y +∞.

El área encerrada entre la curva y el eje de abcisas es igual a la unidad, pues es la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos tomados independientemente

Fig.1. Curva de Gauss

En teoría si se pudieran tomar un número infinito de medidas de una población normal, los valores del valor medio y de la desviación típica podrían encontrarse a partir del histograma. Obviamente, esto no es posible. Se debe entonces, tomar una muestra de la población, es decir, una serie de N medidas, donde los resultados individuales son x , x , x ,.........., x . El valor medio de la muestra es :

=

Este indicador representa la tendencia central de los datos y constituye la mejor aproximación al valor medio de la población, tanto más, cuanto mayor es el número N de repeticiones. Matemáticamente esto se expresa por :

=

La situación más general es aquella en la cual la serie finita de medidas representa la muestra de una población cuyo valor medio es desconocido. Para estimar debe utilizarse la desviación típica muestral definida por :

A medida que aumenta N, la desviación típica muestral tiende a la desviación típica de la población .

En la actualidad muchas calculadoras de bolsillo incorporan rutinas que permiten calcular el y S en forma rápida y sencilla.

En el presente curso los cálculos estadísticos de y S ( : mean, S : std. desv. o sample standard desviation ) se realizarán mediante rutinas que contienen los software DS (Data Studio) y GA (Graphical Analysis), mediante los cálculos equivalentes siguientes :

= Media = S = desv. típica =

El resultado de la medida de x será: x = SEn que se considera a como el mejor valor de x (con un 68,3 % de probabilidad) y a S como el error. El resultado de la medida debe ir acompañado de la unidad correspondiente. El error debe entregarse con una sola cifra significativa, y el mejor valor debe entregarse con la precisión que tenga el error

2.- EL METODO DE MINIMOS CUADRADOS.El método de mínimos cuadrados es un procedimiento utilizado para efectuar regresión,

es decir ajustar una curva analítica a un conjunto de datos experimentales. En particular, la regresión lineal, se aplica cuando en un experimento los cambios controlados en la variable independiente x producen alteraciones en la variable y, de manera que entre ambas se postula una relación del tipo

y = m x + b

En esta expresión, m es la pendiente de la recta y b es la intersección de la recta con el eje y, son dos constantes cuyos valores se desean determinar.

Al tomar una serie de mediciones (xi, yi), con i = 1, 2,...n. El método de mínimos cuadrados permite encontrar los "mejores" valores de los parámetros m y b. Para ello se minimiza la suma:

Derivando con respecto a m y b e igualando a cero, se obtienen dos ecuaciones lineales para las incógnitas m y b. La solución es

m = b =

Una vez determinadas las constantes, es interesante evaluar el grado de ajuste entre la recta obtenida y los puntos experimentales. Para ello se utiliza un índice denominado Coeficiente de Regresión cuya fórmula es :

Este indicador resulta siempre entre 0 y 1 . Cuando el valor del coeficiente de regresión es relativamente elevado ( digamos entre 0.8 y 1.0 ) la regresión lineal da cuenta del fenómeno observado en forma satisfactoria. Por el contrario, un coeficiente de correlación bajo constituye una indicación de que la relación entre x e y puede no ser lineal.

Es sencillo extender esta técnica a situaciones donde la relación entre x e y no es lineal. Por ejemplo, en ocasiones se encuentra que los datos quedan mejor representados por una ecuación del tipo potencial :

; ( ecuación potencial ) Para trabajar con esta ecuación conviene tomar logaritmos a ambos lados con lo cual se obtiene :

ln y = n ln x + ln c

sustituyendo y' = ln y, x' = ln x, b = ln c, el problema se reduce al caso lineal entre las nuevas variables x' e y'.

Similarmente cuando los datos sugieren una relación exponencial de la forma :

; ( ecuación exponencial )

se hace : ln y = kx + ln cen conjunto con las sustituciones y' = ln y, b = ln c el problema se reduce al caso lineal entre las variables x e y'.

También es posible ajustar polinomios de mayor orden, siguiendo la metodología de mínimos cuadrados. Por ejemplo la expresión cuadrada :

; ( ecuación cuadrática )

aquí se minimiza la suma :

de igual manera que para el caso lineal.La curva que mejor representa un conjunto de datos experimentales puede no ser ninguna de las

ya mencionadas. La única guía con la que cuenta el ingeniero o científico para seleccionar la curva apropiada es la comprensión de la física del fenómeno estudiado.

Los valores de los parámetros m y b de una relación lineal calculado por el método de los mínimos cuadrados también están sujetos a errores , por lo que es posible calcular la desviación típica de la pendiente ( Sm ) y del término constante ( Sb ) y que serán considerados como los errores de m y b respectivamente.

En el presente curso de cálculos de ajustes mínimos cuadrados se realizan mediante rutinas quecontienen los software DS ( Data Studio ) y GA ( Graphical Analysis ), mediante los cálculos equivalentes siguientes :

m = pendiente =

b = intersección con eje y =

r = coeficiente de regresión =

Sm = desv. estándar de la pendiente =

Sb = desv. estándar de la intersección - y =

Donde N = número de pares de datos

x = valor medio de x = y = valor medio de y =

Estas fórmulas pueden encontrarse con mayor detalle en textos de estadística.

3.-SOFTWARE DATA STUDIO

¿Qué es DataStudio?Introducción

DataStudio es un programa de recopilación, análisis y presentación de datos. El software hace uso de interfaces y sensores PASCO para recopilar y analizar los datos. Con DataStudio puede crear y realizar experimentos de Ciencias generales, Biología, Física y Química de cualquier nivel de estudios.

InterfacesDependiendo del equipo utilizado, se recomiendan las siguientes interfaces:

En nuestro laboratorio utilizaremos la Interface Science Workshop con puerto SCSI.

Requisitos de DataStudioWindows: Windows 95, 98,XP o NT 4.0, memoria RAM disponible: 8 Mb (se recomiendan 16 Mb), puerto serie, SCSI o USB, unidad de CD-ROM y 20 MB de espacio libre en el disco duro.

Utilización de DataStudioDataStudio recopila y muestra los datos durante el experimento. Para configurar un experimento, sólo tiene que conectar los sensores a la interfaz y configurar el software. DataStudio puede mostrar los datos de varias formas, por ejemplo, dígitos, instrumento analógico, gráficos o un osciloscopio. Para utilizar DataStudio, puede:

1. Abrir un experimento previamente configurado.2. Abrir un cuaderno de prácticas diseñado previamente.3. Crear un cuaderno de prácticas electrónico o configurar un experimento.

4. Introducir datos manualmente en una tabla, graficar y analizar los datos 5. Representar gráficamente una ecuación.

Configuración de los equipos y el software: Uso de DataStudio por primera vez:

Al hacer doble clic en el icono DataStudio del escritorio se abre el programa DataStudio. Cuando se inicia DataStudio, aparece la ventana del navegador Bienvenido a DataStudio, que muestra cuatro opciones:

En la pantalla de inicio, elija una de las 4 opcionesSi ya está abierto DataStudio, elija "Nueva actividad" en el menú Archivo.

A continuación se dan algunas características del software que se usará en el presente curso

Data Studio

Data Studio es un software que permite introducir o adquirir y manipular datos tomados con cualquiera de las interfases y sensores de PASCO en el Laboratorio

Con Data Studio los alumnos podrán usar la interfase, mostar las mediciones en una cantidad de maneras diferentes, analizar los resultados con poderosas herramientas computacionales y aún redactar sus informes incluyendo los datos experimentales de manera automática. Y se podrá crear sus propios libros o apuntes electrónicos o tomar algunos de los nuestros.

Posibilidades de Data Studio:

Gráficos avanzados Superposición de varias secuencias de tomas de datos de diferentes

sensores y/o funciones de modelado El eje de las X puede ser el tiempo o cualquier otra variable o cálculo

realizado con ellas Escala automática Zoom in y zoom out Selección gráfica de datos relevantes Ajustes y modelado Cálculos sobre datos y funciones Integración y derivación gráfico-numérica Mediciones absolutas y relativas entre puntos de cada gráfico Ajuste unificado o independiente de escalas y puntos de origen Espacios para anotaciones Estadísticas variadas Preajuste de las preferencias de graficación

Histogramas o Múltiples canales o Diversos tamaños de "contenedor"

Regresiones y modelización o Variedad de modelos de ajuste: proporcional, lineal, polinomial

(Taylor), logarítmico, exponencial, senoidal (Fourier), etc o Optimización automática por iteración o Acepta constantes o funciones definidas por el usuario o Es posible probar uno o más ajustes simultáneamente sobre cada

conjunto de datos

Osciloscopio Digital o Hasta 5 trazos simultáneos o Trigger o Memoria o Amplitud y offset independiente para cada trazo o Modo XY o Ajuste de ancho de trazo o Cursor inteligente

Analizador de espectros de frecuencia o Transformada Rápida de Fourier (TRF o FFT) en tiempo real o Selección de la cantidad de puntos utilizados por el algoritmo (a

más puntos mejor resolución y menor frecuencia de actualización)

o Cursor inteligente o Exportación de datos

Generador de funciones o Ajuste digital de frecuencia y amplitud o 1mHz a 50kHz de a 1mHz o 0 a 10Vpap de a 10mV o Senoidal o Triangular o Cuadrada o Rampa ascendente y descendente o Continua o Rampa ascendente y descendente sin cruce por cero (solo +) o Cuadrada sin cruce por cero (solo +) o Encendido/apagado independiente o automático sincronizado con

la toma de datos

 

Tablas de datos o Múltiples columnas o Múltiples sesiones de toma de datos o Posibilidad de edición de puntos o Sincronización con las selecciones realizadas sobre gráficos o Resúmen estadístico de cada columna: máximo, mínimo, media,

desviación estándar

Indicadores Analógicos y Digitales o Las mediciones o cálculos se pueden presentar también como

indicadores tradicionales digitales o de aguja. o El tamaño es ajustable, de manera que puede ocupar toda la

pantalla para demostraciones frente a curso

Calculadora científica experimental o Cálculos en tiempo real sobre las variables medidas, u otros

cálculos anidados o Los cálculos pueden recibir nombres de variables o Las variables son tratadas por el resto del programa como si se

tratara de una entrada más

Libros electrónicos de trabajos prácticos o Pueden contener la teoría subyacente, indicaciones

experimentales y/o informes o Múltiples páginas o Importación directa de textos escritos con procesadores (acepta

copiar y pegar, incluyendo la mayoría de los formatos) o Inclusión de diagramas y fotos o Incorporan cualquier combinación deseada de las ventanas de

presentación de datos del Data Studio, en las que se limita la cantidad de controles a gusto del docente

o Zonas editables por los alumnos (por ejemplo para escribir los informes, incluir fotos o tablas con datos medidos)

o Cada libro se guarda en un archivo único, de manera que es sencillo hacer copias de seguridad, enviarlo por e-mail, etc.

o Amplia variedad de experimentos sugeridos en libros pre-armados

Importación y exportación de datos o Los datos importados o cargados manualmente son tratados en un

pie de igualdad con los nativos o Se pueden exportar imágenes, textos o tablas de datos ASCII

separados por TAB (compatibles con Excel y otros paquetes)

Tiempo Real o Todos las ventanas del programa se actualizan en tiempo real

(mientras que se toman los datos) o Por ejemplo: es posible observar simultáneamente el desarrollo

temporal y el contenido espectral de un sonido tomado en vivo o Aún las regresiones y ajustes funcionan en tiempo real

Plug-ins y Bibliotecas o Existe una serie de paquetes que extienden las prestaciones del

Data Studio: o Wave-Port (CI-6872): estudio de ondas y sonido aprovechando

las placas internas de la PC o Bibliotecas de experiencias para física, química y biología

4.- PROPAGACIÓN DE ERRORESFrecuentemente el resultado final de un experimento es una cantidad que debe calcularse

mediante una ecuación que contiene variables medidas experimentalmente.Sea y un resultado calculado a partir de N variables xi determinadas experimentalmente

y = f ( x1, x2, ..... , )en que: x1 = S1 , x2 = S2, ..., xN = SN

siendo: , , ., , los mejores valores de x1, x2, .. xN , y S1, S2, ..., SN, los errores de x1, x2, .., xN.

La variable y, a calcular, tambien debería tener la forma: y = Sy

siendo: , el mejor valor de y Sy , el error de y.

El mejor valor de y, osea se obtiene al evaluar la función con los valores de x1, x2, ..., xN: = f( 1, 2, ... N,)

El error de y, o sea Sy, puede estimarse mediante :

Sy =

donde : xi es el error asociado a la variable xi, o sea Si.El cuociente y/ xi es la sensibilidad del resultado relativa a la variable x i y debe evaluarse

en el punto ( 1, 2, ..., N) . Analizando esta ecuación antes de realizar el experimento puede estudiarse la posibilidad de realizar medidas muy cuidadosas de aquellas variables x i que tienen mayor influencia en el error del resultado final, ya sea porque la sensibilidad asociada es alta, o porque el error de dicha variable es alto o ambas cosas a la vez.

TAREA

AJUSTE MINIMO CUADRÁTICOUtilizando el software Data Studio (DS) resuelva los siguientes ejercicios.

1.- Se ha encontrado que la conductividad de una cierta disolución varía con la concentración del siguiente modo.

Concentración C[mol/m3]

0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60

Conductividad K[10-4/ m]

6.1 8.9 11.5 14.9 17.8 20.0 22.4 25.5 29.0 31.6 34.2

Represéntese K en función de C en forma gráfica, Escríbase una ecuación que dé la relación funcional entre la conductividad K y la concentración C. ( Determine la pendiente y el término constante de la relación lineal, utilizando mínimos cuadrados ).

2.- Un gas contaminante se introduce en un punto de un ambiente cerrado pero debido a la difusión del gas, se detectan cantidades de gas a diferentes distancias del punto de entrada en diferentes instantes obteniéndose la tabla de valores siguiente :

X, Distancia [cm] 0 5 11 15 27 35 45 50

t, Tiempo [s] 0 100 500 1000 3000 5000 8000 10000

a )Presente los datos en forma gráfica.b )Calcular la relación entre t. y X

3.- El ritmo al cual las moléculas de agua pasan, por osmosis, a través de una membrana semipermeable desde un recipiente de agua pura a otro con una disolución de azúcar, puede medirse utilizando el marcado radiactivo de algunas de las moléculas de agua. El ritmo a que se mueven las moléculas de agua a través de la membrana viene dado en función del tiempo en la tabla siguiente :

R, Ritmo del movimiento [Unidad arbitraria] 59 38 25 17 11 7 4

t ,Tiempo [h] 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Represéntese los resultados en una gráfica. Admitiendo que la curva sigue una relación de la forma :

R = Ro e- t ,

determínese Ro y .

4.- Un avión al despegar, varía su velocidad en el tiempo tal como se indica en la tabla de valores siguiente :

t : tiempo [s] 0.5 1 2 3 4 5 10 v : velocidad [ Km/hr] 0.025 0.2 1.6 5.4 12.8 25 200

a ) Grafique v en función de t. b ) Encuentre la relación funcional entre v y t.

5.- La ecuación de Arrhenius : K = A , permite determinar la velocidad de reacción

K en función de la temperatura absoluta T ( en ºK ), en donde : A : factor de frecuencia, cte., [1 / s]e : base de neperR : Cte de los gases [ 2 cal/mol K ]E : Energía de activación, cte. [cal / mol ]

En una investigación se obtuvieron los siguientes datos : Temperatura Celsius: Tc , [ OC ] 100 110 120 130 140 150

Velocidad de Reacción: K, 10-16 [ 1 / s] 1.055 10.7 92.5 694 4480 31900 Determine las constantes E y A.

PROPAGACIÓN DE ERRORES

6.- La ley de gravitación Universal es : =

donde F: fuerza atractiva ( N )G = ( 6,673 0,003 ) x 10 -11 ( N m2 / Kg2 ) es la constante gravitacional.M, m : Masas puntuales ( Kg )r : distancia entre las masas ( m )

Calcule la fuerza más probable y el error experimental de F , si se miden : m =4,0 0,4 ( Kg ); M = 5,0 0,4 ( Kg ); r = 20,0 0,1 ( cm ), G = ( 6673 3 )x 10 -15 N m2 / Kg2

7.- El espacio X ( en [m] ) recorrido por un móvil varía con el tiempo t ( en [s] ) según la expresión :

a ) X = Xo + v t + 5 b ) X = g t2 + v t + Xo

Calcular el espacio recorrido al cabo de t = ( 10,0 0,5 ) minutos, si se considera que g = ( 9,8 0.1 ) [ m / s2 ], v = (10 1 ) [ Km / hr ], Xo = 50 [ m ] está libre de errores

8.- Si se miden x = 2,5 0,3 [m]; y = 3,8 0,4[m]; z = 4,2 0,5[m]; Calcule : a ) r = 2 x + y2 /z + xy/(x+y) b ) p = xz/y – 10 c ) q =( y + z ) x + x2

9.- La resistencia equivalente de un sistema de 3 resistores en serie, puede calcularse por la expresión :R = R1 + R2 + R3

Si el error relativo de las resistencias R1 y R3 es 20 % y la resistencia R2 es 10 % . Calcular R, sabiendo que : R1 = 200 ohm, R2 = 50 ohm, R3 = 10 ohm 10.- Repita el cálculo anterior si las tres resistencias se conectan en paralelo

11.- El campo eléctrico en el interior de una esfera de radio R, cargada con una densidad de carga volumetrica no uniforme, está dada por = A · r, (donde A es una constante desconocida) es :

Ei = A r2 / 4o

El siguiente archivo de datos entrega el campo eléctrico en función de la distancia para puntos interiores de una esfera de Radio R.

Ei ;(109 N/C) 0 10,6 42,4 95,4 170 265 382 520 679 r ; (m) 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

Si la permitividad del vacío es o = 8.85 + 0.05· 10 –12 [C2/ N m2], determine el valor de la constante A, con su error.

12.- Respecto del problema anterior el archivo siguiente,

entrega el valor del campo eléctrico para puntos exteriores a dicha esfera. Sabiendo que la dependencia del campo eléctrico con la distancia para puntos exteriores es:

Ei = A R4 / 4o r2

calcule el radio R de la esfera cargada, con su error

13.- Un condensador de capacidad C y voltaje inicial V0 desconocidos se descarga a través de una resistencia R = 10 K ( 10 % ). Se mide la corriente de descarga i (en mA) en función del tiempo t (en s), tal como indica la tabla de valores siguiente :

Tiempo: t , [s] 1 2 3 4 5 8 10 20 30 50

Corriente : i, [mA] 9.8 9 8.8 8.2 8.0 6.9 6.4 3.9 2.7 0.9

Determine : a ) El voltaje inicial V0 , con su errorb ) La capacidad del condensador C, con su error.

Nota : Considere que: i =

14.- El campo eléctrico en el interior de una esfera de radio R, cargada uniformemente con una densidad volumétrica , es:

Ei = r /3 o

El archivo de datos siguiente

Ei ;(109 N/C) 7,5 15,2 22,5 30,2 37,8 45,0 53,0 60,0 68,0 75,0 113,0 150,0r ; (10-1 m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20

entrega el campo eléctrico en función de la distancia para puntos interiores de una esfera de Radio R. Sabiendo que la permitividad del vacío es o = (8.84 + 0.05) · 10 –12 [C2/ N m2], determine el valor de la densidad de la esfera, con su error

15.- Respecto del problema anterior el archivo siguiente

Ee ;(109 N/C) 150 67 37 25 17 12 9 7,5 6r ; (10-1 m) 20 30 40 50 60 70 80 90 100

entrega el valor del campo eléctrico para puntos exteriores a dicha esfera. Sabiendo que la dependencia del campo eléctrico con la distancia para puntos exteriores es:

Ee = R/3 o r2

calcule el radio R de la esfera cargada, con su error.

Ee ;(109 N/C) 680 538 435 360 302 260 220 110 27r ; (m) 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 10,0 20,0