Apuntes Ing de Costos Fraf

7/21/2019 Apuntes Ing de Costos Fraf

http://slidepdf.com/reader/full/apuntes-ing-de-costos-fraf 1/28

Conceptos básicos

La ingeniería de costos es la disciplina que se preocupa de los aspectos económicos de laingeniería; implica la evaluación sistemática de los costos y beneficios de los proyectostécnicos propuestos.

Los principios y metodología son partes integral de la administración y operación diariade compañías y corporaciones del sector privado, servicios pblicos regulados, unidades oagencias gubernamentales, y organi!aciones no lucrativas. "stos principios se utili!anpara anali!ar usos alternativos de recursos financieros, particularmente en relación conlas cualidades físicas y la operación de una organi!ación. #or ltimo, la ingenieríaeconómica es sumamente importante para usted al evaluar los méritos económicos de losusos alternativos de sus recursos personales.#or tanto, se encarga del aspecto monetario de las decisiones tomadas por los ingenierosal traba$ar para %acer que una empresa sea lucrativa en un mercado altamentecompetitivo. &n%erentes a estas decisiones son los cambios entre diferentes tipos de

costos y el desempeño 'tiempo de respuesta, seguridad, peso, confiabilidad, etcétera(proporcionado por el diseño propuesto o la solución del problema. La misión es balancearesos cambios de la forma más económica.

Principios de la Ingeniería de Costos

Principio 1: Desarrollar las alternativas

La elección 'decisión( se da entre las alternativas. "s necesario identificar lasalternativas y después definirlas para el análisis subsecuente.

Principio 2: Enfocarse en las diferencias)l comparar las alternativas debe considerarse solo aquello que resulta relevante para latoma de decisiones, es decir, las diferencias en los posibles resultados.

Principio 3: Utilizar un punto de vista consistente

Los resultados probables de las alternativas, económicas y de otro tipo, deben llevarse acabo consistentemente desde un punto de vista definido 'perspectiva(.

Principio 4: Utilizar una unidad de edici!n co"n

*tili!ar una unidad de medición comn para enumerar todos los resultados probables

%ará más fácil el análisis y comparación de las alternativas.Principio #: Considerar los criterios relevantes

La selección de una alternativa 'toma de decisiones( requiere del uso de un criterio 'o devarios criterios(. "l proceso de decisión debe considerar los resultados enumerados en launidad monetaria y los e+presados en alguna otra unidad de medida o %ec%os e+plícitosde una manera descriptiva.



Principio $: %acer e&plicita la incertidu're

La incertidumbre es in%erente al proyectar o estimar los resultados futuros de lasalternativas y debe reconocerse en su análisis y comparación.

Principio (: )evisar sus decisiones

La toma de decisiones me$orada resulta de un proceso adaptativo, %asta donde seaposible, los resultados iniciales proyectados de la alternativa seleccionada debencomparase posteriormente con los resultados reales logrados.

&. "stimación de Costos

Costo- "s el sacrificio, o esfuer!o económico que se debe reali!ar para lograr unob$etivo.

Los ob$etivos de la estimación de costos son aquellos de tipo operativos, como pore$emplo- pagar los sueldos al personal de producción, comprar materiales, fabricar unproducto, venderlo, prestar un servicio, obtener fondos para financiarnos, administrar laempresa, etc.

i no se logra el ob$etivo deseado, decimos que tenemos una pérdida.

/ambién es necesario precisar algunos conceptos que se utili!an para definir ycaracteri!ar aspectos relacionados con el tema que estamos anali!ando. #ore$emplo- 0esembolso, )morti!aciones e &nversión.

"l costo es fundamentalmente un concepto económico, que influye en el resultado de laempresa.

*plicaciones del c+lculo de costos

"l Cálculo de Costos se integra al sistema de informaciones indispensables para la gestiónde una empresa.

"l análisis de los costos empresariales es sumamente importante, principalmente desde el

punto de vista práctico, puesto que su desconocimiento puede acarrear riesgos para laempresa, e incluso, como %a sucedido en muc%os casos, llevarla a su desaparición, conocerno sólo que pasó, sino también dónde, cuándo, en qué medida 'cuánto(, cómo y porquépasó, permite corregir los desvíos del pasado y preparar una me$or administración delfuturo.



"sencialmente se utili!a para reali!ar las siguientes tareas- irve de base para calcular el precio adecuado de los productos y servicios. Conocer qué bienes o servicios producen utilidades o pérdidas, y en que magnitud. e utili!a para controlar los costos reales en comparación con los costos

predeterminados- 'comparación entre el costo presupuestado con el costo

realmente generado, postcálculo(. #ermite comparar los costos entre-

• 0iferentes departamentos de la empresa• 0iferentes empresas• 0iferentes períodos

Locali!a puntos débiles de una empresa. 0etermina la parte de la empresa en la que más urgentemente se debe reali!ar

medidas de racionali!ación. Controla el impacto de las medidas de racionali!ación reali!adas. 0iseñar nuevos productos y servicios que satisfagan las e+pectativas de los

clientes y, al mismo tiempo, puedan ser producidos y entregados con un beneficio. 1uiar las decisiones de inversión. "legir entre proveedores alternativos. 2egociar con los clientes el precio, las características del producto, la calidad, las

condiciones de entrega y el servicio a satisfacer. "structurar unos procesos eficientes y eficaces de distribución y servicios para

los segmentos ob$etivos de mercado y de clientes. *tili!ar como instrumento de planificación y control.

"$ercicio- 0efinir los siguientes términos-

3. Costos fi$os, variables e incrementales4. Costos recurrentes y no recurrentes5. Costos directos, indiscretos y generales6. Costos estándar7. Costos amorti!ados8. Costos de producción9. Costos de administración:. Costos de ventas. Costos financieros3<. Costos de puesta en marc%a



2,-, Derivaci!n de f!rulas . factores de ingeniería econ!ica

2,1 El /alor del dinero a trav0s del tiepo.

=ay un fenómeno económico conocido como inflación, el cual consiste en la pérdida de

poder adquisitivo del dinero con el paso del tiempo. 2ingn país en el mundo está e+entode inflación, ya sea que tenga un valor ba$o, de 4 a 7 > anual en países desarrollados, opor arriba del 3<<< > anual, como en algunos países de )mérica del ur. 2adie puedeescapar de ella. 0e la misma forma, nadie sabe con certe!a por qué es necesaria lainflación o por qué se origina en cualquier economía. Lo nico que se aprecia claramentees que en países con economías fuertes y estables, la inflación es muy ba$a, pero nuncade cero. Lo nico en que se %ace énfasis, es que el valor del dinero cambia con el tiempodebido principalmente a este fenómeno, de lo contrario, es decir, si no %ubiera inflación,el poder adquisitivo del dinero sería el mismo a través de los años y la evaluacióneconómica probablemente se limitaría a %acer sumas y restas simples de las ganancias

futuras 'sin embargo, no debe olvidarse la capacidad todavía más importante del dinerode generar ganancias o generar rique!a en el transcurso del tiempo(.

"l dinero, como cualquier otro bien, tiene un valor intrínseco. *n %ombre puede tener unacasa o cambiarla por dinero en efectivo, o tener un auto o cambiarlo por dinero enefectivo. i este %ombre no es dueño de una casa y necesita utili!ar una, deberárentarla, es decir deberá pagar por ello; i no posee un auto y necesita utili!ar uno,deberá pagar una renta, no importa si es por media %ora, como en el caso de un ta+i, opor un día o un mes. 0el mismo modo, si este %ombre no tiene dinero y lo necesita,deberá pagar cierta cantidad para tenerlo. ) este pago se le conoce con el nombre de

&2/"?@ .

"n general se puede decir que el uso de bienes a$enos con valor intrínseco implicanecesariamente un pago por ese uso. )l contrario, si nadie utili!a esos bienes, supropietario no obtendrá ganancia alguna, por su inactividad, lo que sería igual a tener unta+i sin circular o guardar el dinero ba$o el colc%ón.

2,2 El concepto de inter0s . período de capitalizaci!n,

&nterés es el pago que se %ace al propietario del capital por el uso del dinero. Cuando unapersona deposita dinero en el banco, de %ec%o le está prestando ese dinero para que éstelo use, por tanto, el banco debe pagar cierto interés al propietario del dinero. "ningeniería económica al interés se le designa con la letra i .

"l pago de interés siempre está asociado a un periodo de tiempo. Cuando un banco ofrecea sus a%orradores 4<> de interés anual significa que el a%orrador deberá de$ar sudinero depositado por un periodo de un año e+acto para percibir el interés ofrecido.



"l periodo mínimo necesario para que se pueda cobrar un interés se llama período decapitali!ación. i una persona le presta a otra A 3<<< al 3<> de interés pero con lacondición de liquidar tanto los A3,<<< como el interés de A3<< al cabo de una semana; elperiodo de capitali!ación del que presta es de una semana. e llama periodo decapitali!ación porque a su término ya se tiene o ya se formó más capital. )sí, quien

prestó A3,<<< al 3<> de interés semanal tendrá A3,3<< en una semana. 0e igual forma, siotra persona deposita A3,<<< en un banco que paga 4<> de interés anual, pasado elperiodo de capitali!ación de un año, su capital %abrá aumentado de A3,<<< a A3,4<<.

"l valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés utili!ada con$untamente generan elconcepto de equivalencia , esto es, que diferentes sumas de dinero en diferentes tiempospueden tener igual valor económico.

"$emplo. *na persona presta A3, <<< con la condición de que le paguen A 3,4<< al cabo deun año. BCuál es la tasa de interés anual que cobra el prestamista

Capital &nicial o #rincipal '# (- "s la cantidad que se presta durante un tiempodeterminado para producir un interés.

&nterés '&(- #ago que se %ace al propietario del capital por el uso del dinero.

/asa de &nterés 'i (- "s la ra!ón del interés devengado respecto del capital inicial.

#eríodo de capitali!ación- #eríodo mínimo necesario para que se pueda cobrar un interés.?ecibe este nombre porque a su término ya se tiene o ya se formó más capital.

2,3 Inter0s siple e inter0s copuesto.

"n la actualidad cualquier actividad económica, por sencilla que pare!ca, descansa en elconcepto de interés, entendiéndose esta como una cantidad que se paga por %acer uso dedinero solicitado en préstamo, o bien la cantidad obtenida al invertir un capital.



#or su naturale!a el interés puede ser dividido en dos grandes rubros- interés simple e interés compuesto .

"l inter0s siple es aquel que se calcula sobre un capital inicial que permanece invariableen el tiempo, ya que los intereses se mane$an por separado y siempre son de la misma

cuantía.

"l inter0s copuesto por el contrario, a pesar de poderse calcular a una tasa constantede interés durante el pla!o de la operación origina que el capital inicial se incrementeperiódicamente, ya que se integra automáticamente al capital invertido para formar unnuevo capital.

Lo anterior significa, que cuando los intereses de una operación financiera se paganperiódicamente, se trata de interés simple , y sólo en el caso de que el pago de interesesno se efecten a su vencimiento y que se integren al capital inicial para acrecentamiento,

se trata de interés compuesto .

&nterés simple

"s aquél que se cobra por el uso del dinero a través de varios períodos de capitali!ación,no se cobra interés sobre el interés que se debe. "l interés simple se calcula usando elcapital solamente, ignorando cualquier interés que pueda %aberse acumulado en períodosprecedentes.

"n el caso del interés simple, los intereses que van a pagarse en el momento de devolver

el préstamo son proporcionales a la longitud del período de tiempo durante el cual se %atenido en préstamo la suma principal. "l total del interés puede calcularse usando larelación.

&nterés D 'Capital( '2mero de períodos( '/asa de interés( D #EnEi

"$emplo- i se solicita un préstamo de A 3 <<< <<<.<< en 5 años al 5< > anual de interéssimple; Cuánto dinero deberá al cabo de 5 años



&nterés compuesto

Cuando se calcula el interés compuesto, el interés de un período es calculado sobre elprincipal más la cantidad acumulada de interés ganados en períodos anteriores. )sí, elcálculo de interés significa Finterés sobre interésG 'esto refle$a el efecto del valor del

dinero en el tiempo sobre el interés también(.

"$emplo- i usted presta A3 <<< <<<.<< al 5< > anual de interés compuesto calcule lacantidad adecuada después de 5 años.

2,4 Inter0s noinal e inter0s efectivo

Las tasas de interés nominal y efectiva se usan cuando el período de capitali!ación 'operíodo de interés( es menor que el período en que la tasa está dada. )sí, cuando una

tasa de interés se e+presa sobre un período de tiempo menor que un año, tal como 3>mensual, los términos tasa de interés nominal y efectiva deben considerarse, si se deseaconocer, de una manera más e+acta, el interés que se deberá pagar por un año.

&nterés nominal.

/asa de interés nominal 'r (- "s aquella tasa de interés aparente o pretendida. que ignorael valor del dinero en el tiempo; por lo que la tasa de interés nominal 'r ( es-

r D 'tasa de interés por período( 'nmero de períodos(

*na tasa de interés nominal puede encontrarse para un período más largo que eloriginalmente establecido. #or e$emplo, una tasa de interés del 3.7> mensual puedee+presarse como el 6.7> nominal trimestral 'esto es 3.7> mensual H 5 meses deltrimestre(, o > semestral, 3:> anual, o 58> por dos años, etc. "l cálculo de la tasa deinterés nominal evidentemente ignora el valor del dinero en el tiempo.



&nterés efectivo

/asa de interés efectiva 'i (- "s aquella renta que realmente se cobra o se paga alfiniquitar el contrato de crédito. Considera el cambio del valor del dinero en el tiempodado que se establece en base al interés generado por el interés sobre interés.

"l año es uno de los períodos de capitali!ación más usual en que se puede cobrar uninterés. in embargo, %ay períodos muc%o más cortos, en los cuales es posible ganarinterés. "stos períodos pueden ser semestrales, trimestrales, mensuales, de acuerdo consus necesidades. Cuando se presentan situaciones de este tipo, puede mane$arse variosconceptos respecto de las tasas de interés. /ómese una tasa de interés de 34> anualpara desarrollar tales conceptos, en los siguientes e$ercicios-

a) *n banco paga a sus depositarios 34> de interés anual capitali!ado cada año. "n estecaso al 34> se le llama tasa nominal anual yIo tasa efectiva anual, puesto que solo

después de transcurrido un año es posible cobrar ese interés.b) *n banco paga a sus depositarios 34> de interés anual capitali!ado cada tres meses.

"n este caso, 34> sigue siendo la tasa nominal anual, pero debido a que se capitali!aen períodos menores a un año, e+iste una tasa efectiva por período 'trimestral, eneste caso(, y una tasa efectiva anual.

=m

r i período por

en este caso, i efectiva trimestral D <.34I6 D <.<5 ó 5> trimestral.

La tasa efectiva anual se obtiene cuando se aplica la siguiente fórmula-

10011 ×

−

+=

m

m

r i

donde-r /asa de interés nominalm 2mero de veces que entra el período de capitali!ación en el período en que está

dada la tasa de interés nominal.

%55.1210014

12.1

4

=×

−

+=anual efectivai

Como puede observarse el %ec%o de capitali!ar en períodos menores de un año %ace quela tasa efectiva anual sea ligeramente mayor que la tasa nominal anual, esto se debe a quecuando se gana el interés, por e$emplo, en un trimestre, ya se tiene una cantidad e+traacumulada sobre la cual se vuelve a ganar nuevamente el interés.



2ota-

Los valores de interés efectivo por periodo y los pagos por periodo deben sercongruentes al ser utili!ados en las fórmulas para resolver problemas, esto es, si elinterés está e+presado mensualmente, los pagos deben ser mensuales, si el interés es

anual, los pagos deben ser anuales, etc.

"$emplo-

Calcular el interés efectivo anual, si se cobra un interés de 58> anual capitali!ado

a( Capitali!ado mensualmente

b( Capitali!ado semestralmente

c( Capitali!ado anualmente

4.7 )epresentaci!n gr+fica de los fluos de efectivo

La ingeniería económica tiene como ob$etivo anali!ar los movimientos de dinero a loscuales de les llama flu$os de efectivo representan el dinero que entra o sale de unaempresa, lo cual puede suceder a diario, pero para efecto contable se %ace el balance enun periodo establecido 'cada mes o cada año(.

*n flu$o de efectivo positivo representa un ingreso mientras que un flu$o de efectivonegativo representa un pago o desembolso. "n cualquier instante de tiempo, el flu$o de

efectivo podría representarse como-

Jlu$o 2eto de "fectivo D entradas desembolsos

*n diagrama de flu$o de ca$a es simplemente una representación gráfica de un flu$o deefectivo en una escala de tiempo.



"l diagrama representa el planteamiento del problema y muestra los datos y lo que debeencontrarse. e debe considerar lo siguiente-

a( "l tiempo se representa como una línea %ori!ontal.

b( "l inicio del periodo siempre se ubica en el e+tremo i!quierdo y el final en ele+tremo derec%o de la línea.

c( "l punto < es considerado el presente y el punto 3 es el final del período 3.

d( Los flu$os de efectivo están representados por flec%as, con la punta %acia arribao %acia aba$o, segn sea positivo o negativo.

Los símbolos y su significado-

Las relaciones matemáticas usadas en la ingeniería económica emplea los siguientessímbolos-

# D Kalor o suma de dinero en un tiempo denominado presente; dólares, pesos etc.

J D Kalor o suma de dinero en algn tiempo futuro; dólares, pesos, etc.) D *na serie consecutiva, igual de dinero al final de cada período; dólares por mes,pesos por año, etc.

n D 2mero de períodos; meses, años, etc.i D /asa de interés por período, porcenta$e por mes, porcenta$e por año, etc.

Los símbolos # y J representan valores sencillos que ocurren una sola ve! en el tiempo.

) ocurre en cada período por un nmero específico de períodos con el mismo valor. Lasseries representadas por ), deben ser uniformes 'los valores de dinero deben ser losmismos en cada período( y deben e+tenderse a través de períodos consecutivos. )mbascondiciones deben e+istir para que estos valores puedan ser representados por ). #uestoque n es comnmente e+presado en años o meses, ) es e+presada usualmente enunidades monetarias por año o unidades monetarias por mes, respectivamente.

La tasa de interés compuesta i es e+presada en porcenta$es por período, por e$emplo 7>por año. "+cepto cuando se dice otra cosa, esta tasa se aplica a lo largo de un períodoentero de un año.

0

1 2 3 4



/odos los problemas de ingeniería económica deben incluir por lo menos cuatro de lossímbolos arriba anotados y conocer por lo menos tres de ellos.

"$ercicios

3. *na persona depositó A3,<<<.<< en el banco el 3 de enero del 4<<7 y pudo retirarA397<.<< el 53 de diciembre de 4<<9. BCual es la representación de este flu$o deefectivo

4. e desarrolla el siguiente plan de inversión- &nvertir A 7<<.<< %oy y asísucesivamente cada año %asta el año 3<, retirar A 5<< anualmente comen!andodentro de 7 años a partir de %oy y %aciéndolo durante : años consecutivos. 0ibu$e los

flu$os netos de efectivo.

5. u tío %a acordado depositarle en una cuenta de a%orros A 9<<.<< anuales durantelos pró+imos 7 años empe!ando a%ora. ) la ve!, usted se compromete a no retirardinero %asta el final del año , cuando retirará A 5,<<<.<< de la cuenta.)dicionalmente usted planea retirar la cantidad restante en tres cuotas iguales de

fin de año, después del retiro inicial. 0ibu$e los flu$os de efectivo.

6. BCuánto dinero se acumulará en 8 años si una persona deposita A7<<.<< %oy eincrementa este deposito en A 7<.<< anuales durante los pró+imos 8 años. )sumaque i es 38> anual y dibu$e el diagrama de flu$o de ca$a.

2,$ Derivaci!n de f!rulas . factores considerando capitalizaci!n discreta,

2,$,1 Deterinaci!n de fluos "nicos,



i se invierte una cantidad # , con la cantidad producida por una tasa de interés por unaño Bcuál será el capital y el interés que se %an acumulado después de n años. "ldiagrama de flu$o para este acuerdo financiero es el siguiente-

0esarrollo de un factor de pago nico compuesto.

)ño Cantidad alcomien!o del año

&nterés devengadodurante el año

Cantidad compuestaal final del año

3 # # i # M #Ei D #'3Mi(4 #'3Mi( #'3Mi( i #'3Mi( M #'3Mi( i D #'3Mi('3Mi(

5 #'3Mi(4 #'3Mi(4 i #'3Mi(4 M #'3Mi(4 i D #'3Mi('3Mi('3Mi(- - - -n #'3Mi(n3 #'3Mi(n3 i #'3Mi(n3 M #'3Mi(n3 i D #'3Mi(n D

#or lo que el valor futuro y presente equivalente de una cantidad que cambia su valor auna tasa i durante n años es-

( ) ni P F += 1 y ( ) n

i

F P

+=

1

"$ercicios-

3. Cuanto dinero se obtiene al a%orrar A3<<,<<<.<< por 4 años, en un banco que pagael 4> mensual

4. *n préstamo de A67,<<<.<< se liquidará pagando A:,<<<.<< el primer año,A,<<<.<< el segundo año, A3<,<<<.<< el tercer año, A33,<<<.<< el cuarto año y elresto en el quinto año. i la tasa de interés es de 3<> , Bqué cantidad de dinero se

pagará en el ltimo pago

2,$,2 erie de fluos unifores . su relaci!n con el presente . el futuro,

#ara determinar la equivalencia en el futuro de una serie uniforme de flu$os de efectivo,es necesario introducir una nueva variable, la cual denotamos por ).



) D ?epresenta el flu$o neto al final del período, el cual ocurre durante n períodos.

'3( '3( J D ) M )'3Mi( 3 M )'3Mi( 4 M )'3Mi( 5 M .... M )'3Mi( n,3 Nultiplicando por '3Mi(

'4( '4( J'3Mi( D )'3Mi( 3 M )'3Mi( 4 M )'3Mi( 5 M .... M )'3Mi( n,3 M )'3Mi( n

'5( '5( J '3Mi( D )O'3Mi( 3 M '3Mi( 4 M '3Mi( 5 M .... M '3Mi( n,3 M '3Mi( n P ?estando '5( Q '3(

0esarrollando ambos lados- J'3Mi( Q J D , ) M )'3Mi( n

J M Ji Q J D ) O,3 M'3Mi( n P

J D ) O,3 M '3Mi( n P i

#or lo que el valor futuro equivalente 'J( de una serie de flu$os uniformes, que se dadurante n períodos con un factor de cambio de valor del dinero a través del tiempo i , sepuede determinar mediante la formula-

( )

−+=i

i A F

n 11

#or despe$e, encontramos la formula para obtener una anualidad a partir de un valorfuturo conocido, como-

( )

−+=

11 n

i

i F A

#ara determinar la equivalencia en el presente de una serie uniforme de flu$os deefectivo; dado que J D #'3Mi( n ; entonces-

( ) ( )

−+=+i

i Ai P

nn 111

( )( )

+

−+=n

n

ii

i A P

1111

#or lo que el valor presente equivalente '#( de una serie de flu$os uniformes, que se dadurante n períodos con un factor de cambio de valor del dinero a través del tiempo i , sepuede determinar mediante la formula-

0 n-3 n-2 n-1 n1 2 3 4

A A A A A A A A

F

=

0

P

n

A’s



( )

( )

+

−+=

n

n

ii

i A P

1

11

#or despe$e, encontramos la formula para obtener una anualidad a partir de un valorpresente conocido, como-

( )( )

−++=

11

1n

n

i

ii P A

Eeplo:

3. i en una cuenta de a%orros que paga el 5<> anual se depositan A 3<R<<<,<<< anualesdurante 7 años. Bqué cantidad acumulada al final del año 3< tendrá, si el primer depositose %i!o al final del año 3

2,$,3 erie de radiente

Ciertos proyectos de inversión generan flu$os de efectivo que crecen o disminuyen unacierta cantidad constante cada período. #or e$emplo, los gastos de mantenimiento de uncierto equipo se pueden incrementar una cierta cantidad constante cada período./ambién, es posible que ciertos proyectos generen flu$os que se incrementen un ciertoporcenta$e constante por cada período. "ste ltimo caso se comprende fácilmente

01 2 3 4

F

5 6 7 ! 10

10’000,000



cuando se supone que los flu$os por el efecto de la inflación crecen un cierto porcenta$econstante por período.

) esta ra!ón de crecimiento constante 'cantidad o porcenta$e( en ingeniería económicase le conoce con el nombre de F1radienteG .

radiente *rit0tico:

*n gradiente aritmético ' 4 ( o uniforme es una serie de flu$os de ca$a que aumenta odisminuye de manera uniforme. "s decir que el flu$o de ca$a, ya sea ingreso odesembolso, cambia en la misma cantidad cada año. La cantidad de aumento o disminuciónes el gradiente .

)l desarrollar una formula que se pueda utili!ar para gradientes aritméticos o uniformeses conveniente suponer que el primer flu$o de la serie se encuentra al final del período 3 y no involucra un gradiente, sino un pago base .

1 D Cambio uniforme aritmético en la magnitud de las entradas o en los ingresos o desembolsos para un período de tiempo.

"l valor de 1 puede ser positivo o negativo. i ignoramos el pago base, podríamosconstruir un diagrama generali!ado de flu$o de ca$a de gradiente creciente uniformecomo se muestra en la siguiente figura-

( )( )

+

−−+

=

n

n

in

ii

i" P

11111

( )

−

−+

= n

i

i

i" F

n111

"$ercicios3. Calcular el valor de # en el flu$o de efectivo de la figura; i D 3<>

$1000$1500

$2500 $2500

P

1 2 3 4 5

F

1 2 3 4 5



4. BCuál es la serie de pagos iguales con duración de 37 años que equivale a una seriede pagos de 3<,<<< dólares al final del primer año y que disminuye 7<< dólaresanuales durante los 37 años "l interés compuesto es del 9> anual.

5. Sorge acaba de graduarse de 8 año y su papá le obsequia una cuenta de a%orroscon A 7 <<<.<< con una ta!a de interés de :> mensual y le promete que por cadaaño que acredite le depositará A3<<<.<< mas a la cantidad depositada el año

anterior. i el dinero se pretende retirar el día de la graduación de Sorge 'dentrode 3< años(, Bcuánto dinero tendrá Sorge para iniciar su vida profesional

"$ercicios de ?epaso

3. *na compañía petrolera está planeando vender unos po!os de petróleo e+istentes. eespera que los po!os produ!can 3<<,<<< barriles de petróleo anualmente durante 36 añosmás. i el precio de venta por barril de petróleo es actualmente A57 <<<.<<, Bcuántoestaría dispuesto apagar por los po!os si se espera que el precio del petróleo disminuya

0 1 2 3 4 AÑOS

P



en A4 <<<.<< por barril cada 5 años uponga que la tasa de interés es 34> anual y quelas ventas de petróleo se reali!an al final de cada año.

4. *na compañía manufacturera compró una máquina semiautomática por A3:<,<<<. ucosto de mantenimiento y operación anual fue A49,<<<. 0espués de 6 años de su compra,

la compañía decidió adquirir para la máquina una unidad adicional que la %aríacompletamente automática. La unidad adicional tuvo un costo adicional de A3.<<<.<<. "lcosto de operar la máquina en condición completamente automática fue A34,<<<.<< poraño. i la compañía utili!ó la máquina durante un total de 35 años, tiempo después del cualésta quedó sin valor, Bcuál fue el valor anual uniforme equivalente de la máquina a unatasa de interés del > anual

5. Calcule el valor presente equivalente de las entradas y desembolsos de una compañíade transporte terrestre a una tasa de interés del 34> anual.

)ño < 3 4 5 6 7 8 9 :Jlu$o de efectivo A 3<,<<< 6,<<< 4,<<< 6,<<< 6,<<< 6,<<< 3,<<< 7,<<< 7,<<<

6. "l departamento de productos derivados de una planta empacadora de carne tiene un%orno cuyos costos de mantenimiento anuales se muestran a continuación. e pretendeadquirir un nuevo %orno que reducirá los costos de mantenimiento en 5<>. #ara una tasade interés del 34>, cual debe ser el precio del %orno nuevo para que valga la pena elreempla!o

)ño 3 4 5 6 7 8 9 : 3<

Costo 5<<< 67<< 7<<< 77<< 8<<< 87<< 9<<< 97<< :<<< :7<<

7. 0etermine el valor presente equivalente al flu$o de efectivo mostrado en la figura, i D:>

3, )elaci!n dinero-tiepo . 0todos de evaluaci!n de pro.ectos,

"l problema básico al que se enfrenta una persona o una empresa que dispone de ciertofondo de inversión, consiste en elegir la alternativa de inversión más conveniente, entérminos de producir una utilidad ra!onable y que al mismo tiempo le ofre!ca ciertaseguridad con respecto a su consecución.

20 20 20 20 20

60 60 60

40 40 404060

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12



Cuando nos enfrentamos al problema de tomar una decisión financiera, lo primero quedebemos %acer, es determinar los posibles cursos de acción a seguir, una ve! que se %angenerado todas las alternativas a anali!ar. "l siguiente paso es determinar lasconsecuencias que sean cuantificables de las mismas.

"n el caso de los proyectos de inversión, se debe tratar de e+presar en términosmonetarios los resultados de cada periodo y una ve! que las alternativas %an sidoidentificadas y evaluadas, lo siguiente es utili!ar algn procedimiento general que ayude aseleccionar la me$or de ellas.

) continuación, partiendo de la premisa de que el inversionista debe utili!ar criteriospara medir la rentabilidad de sus inversiones, para de esta manera, poder planear lamagnitud y composición de su presupuesto en lo referente a las erogaciones de capital,se presentarán los principales métodos de selección de alternativas de inversión ba$ocondiciones de certe!a.

La toma de decisiones debe %acerse en condiciones de certe!a, cuando la persona físicao moral, que debe tomar las decisiones de inversión, puede predecir e+actamente losflu$os de efectivo asociados con los diferentes proyectos y que además, conoce el costode capital necesario para su funcionamiento.

3,1 eneralidades de la 5asa de )endiiento 6ínia *tractiva 75)E6*8 o

756*)8

/odo inversionista, ya sea persona física, empresa, gobierno o cualquier otro, tiene enmente, antes de invertir beneficiarse por el desembolso que va a %acer. Considérese queaunque el gobierno de un país sea el que invierta, éste debe esperar, si no lucrar, almenos salir a mano en sus beneficios respecto de sus inversiones, para que no %aya unsubsidio en el consumo de bienes o servicios y no aumente el déficit del propio gobierno.

#or tanto, se debe partir del %ec%o de que todo inversionista deberá tener una tasa dereferencia sobre la cual basarse para %acer sus inversiones. *na tasa de referencia es labase de comparación de cálculo en las evaluaciones económicas que %aga. i no se obtienecuando menos esa tasa de rendimiento, se rec%a!ará la inversión.

#ara establecer esa tasa debe considerarse que todo inversionista espera que su dinerocre!ca en términos reales. Como en todos los países %ay inflación, aunque su valor seapequeño, crecer en términos reales significa ganar un rendimiento superior a la inflación, ya que si se gana un rendimiento igual a la inflación el dinero no crece, solo mantiene supoder adquisitivo. "s ésta la ra!ón por la cual no debe tomarse como referencia a la tasade rendimiento que ofrecen los bancos, pues es bien sabido que la tasa bancaria derendimiento es siempre mayor a la inflación. i los bancos ofrecieran una tasa igual o



menor a la inflación implicaría que, o no ganan nada o que transfieren sus ganancias ala%orrador, %aciéndolo rico y descapitali!ando al propio banco, lo cual nunca va a suceder.#or tanto, la /?"N) se puede definir como-

5)E6* 9 5asa de Inflaci!n Preio al )iesgo

"l premio al riesgo significa el verdadero crecimiento de dinero y se le llama así porque elinversionista siempre arriesga su dinero 'siempre que no invierta en el banco( y porarriesgarlo merece una ganancia adicional sobre la inflación. Como el premio es porarriesgar, significa que a mayor riesgo, se merece mayor ganancia.

La determinación de la inflación está fuera del alcance de cualquier analista oinversionista, y lo más que se puede %acer es pronosticar un valor, que en el me$or de loscasos se acercará un poco a lo que sucede en la realidad. Lo que si puede establecercuando %aga la evaluación económica es el premio al riesgo.

#ara calcular el premio al riesgo se pueden tomar como referencias las dos situacionessiguientes-

a) i se desea invertir en empresas productoras de bienes o servicios, deberá %acerseun estudio del mercado de esos productos. i la demanda es estable, es decir, sí tienepocas fluctuaciones a lo largo del tiempo y crece con el paso de los años, aunque seaen pequeña proporción y no %ay una competencia muy fuerte de otros productores, sepuede afirmar que el riesgo de la inversión es relativamente ba$o y el valor del premioal riesgo puede fluctuar del 5 al 7 >.

b) La segunda referencia es anali!ar las tasas de rendimiento por sectores en la bolsade valores. #or un lado, deberá observar cuál %a sido el rendimiento promedio de lasempresas del mismo giro, que coti!an en la bolsa de valores, y por otro, conocer elvalor real de la inflación. i se observa, por e$emplo, que los rendimientos actualessobrepasan apenas un 5> al ritmo inflacionario, no sería acertado fi$ar un premio alriesgo muy superior al promedio vigente para una nueva empresa, pues implicaríapedir altos rendimientos a un sector productivo que en ese momento, por las ra!onesque sean, no está proporcionando altos rendimientos. Ta será decisión de losinversionistas arriesgarse en esas condiciones.

La fiaci!n de un valor para el preio al riesgo . por tanto para la 5)E6* es; coo

su no're lo indica el ínio acepta'le, i la Inversi!n produce un rendiiento u.superior a la 5)E6*; es uc<o eor,

3,2 Costo de capital siple o i&to,

La /?"N), es fundamental en la ingeniería económica. /ambién se le llama Costo de Capital , debido a que tiene un costo el %ec%o que la obtención de los fondos necesarios



para constituir la empresa, y que funcione.

Cuando una sola entidad, llámese persona física o moral, es la nica que aporta capitalpara una empresa, el costo de capital equivale al rendimiento que pide esa entidad porinvertir o arriesgar su dinero. Cuando se presenta este caso se le llama C osto de Capital

imple .

in embargo, cuando esa entidad pide un préstamo a cualquier institución financiera paraconstituir o completar el capital necesario para la empresa, seguramente la instituciónfinanciera no pedirá el mismo rendimiento al dinero aportado que el rendimiento pedido ala aportación de propietarios de la empresa.

Cuando se da el caso de que la constitución de capital de una empresa fue financiada enparte, se trata de un Costo de Capital Ni+to. "l cálculo de este costo se presenta en elsiguiente e$emplo.

Eeplo: #ara invertir en una empresa de productos plásticos se necesitan A3,47<millones, Los socios sólo cuentan con A9<< millones. "l resto se pedirá a dos institucionesfinancieras. La Jinanciera ) aportará A5<< millones por los que cobrará un interés del47> anual. #or su parte, la Jinanciera U aportará A47< millones a un interés de 49.7>anual. i la /N)? de los accionistas es de 5<>, Bcuál es el costo de capital o /N)?mi+ta para esta empresaoluci!n. La /N)? mi+ta se calcula como un promedio ponderado de todos losaportadores de capital de la empresa. La tabla 5.3 es una tabla de cálculo.

Entidad)portación

'millones de pesos(Jracción de)portación

?endimientopedido

D #romedioponderado

)ccionistas 9<< <.78 <.5< D <.38:Jinanciera ) 5<< <.46 <.47 D <.<8<Jinanciera U 47< <.4< <.497 D <.<77uma 3,47< 3.< <.4:5

La /N)? mi+ta de esta empresa es 4:.5>.

0ebe enfati!arse que en la práctica financiera el rendimiento e+igido por los préstamos

aumenta con el nivel de endeudamiento de la empresa. #or e$emplo, a partir de ciertonivel, digamos 4<> del capital total de la empresa, la tasa e+igida será constante, peroun endeudamiento por arriba del 4<> %ará que las tasas de interés se eleven en formacontinua.



3,3 El /alor de alvaento,

/alor . Los bienes y servicios se producen y desean porque directa o indirectamentetienen utilidad 'poder de satisfacer requerimientos y necesidades %umanas(. La utilidadse mide muy comnmente en términos de valor, e+presado en algn instrumento de

cambio como el precio que debe pagarse para obtener el artículo particular.

/alor de 6ercado . Nonto que pagará un comprador voluntario a un vendedor voluntariopor un bien donde cada uno tiene igual venta$a y ninguna coacción para comprar o vender.

/ida =til, #eríodo estimado en el que un bien se usará en un comercio o negocio o paraproducir alguna utilidad. 2o es cuanto tiempo durará el bien sino cuánto tiempo elpropietario espera utili!arlo de forma productiva. La vida til algunas veces se denominavida depreciable.

/alor de 3alvaento 7/8. "s el valor estimado de una propiedad al final de su vida til;también es llamado valor de rescate. "s la cantidad que se recupera por la venta, el

intercambio o descuento en la adquisición de un activo sustituto. "ste debecontabili!arse como un &ngreso, dentro del flu$o de efectivo del equipo.

3,4 60todo del /alor Presente >eto 7/P>8,

"ste método, consiste en determinar la equivalencia en el tiepo cero de los flu$os deefectivo futuros que genera un proyecto y comparar esta equivalencia con el desembolso

inicial. Cuando dic%a equivalencia es mayor que el desembolso inicial; o sea, si este valores positivo es recomendable que el proyecto sea aceptado.

0e acuerdo a lo anterior el K#2 de un proyecto estará dado por la formula-

∑= +

+−=n

t t

i

#t # $P%

1

0)1(

K#2 , Kalor #resente 2eto.

< &nversión &nicial.t Jlu$o de efectivo neto del período t.n 2mero de períodos de vida del proyecto.i /asa de interés '/?"N)(.

"l método del valor presente tiene la venta$a de ser siempre nico, independientementedel comportamiento que sigan los flu$os de efectivo que genera el proyecto de inversión."sta característica lo %ace ser preferido para utili!arse en situaciones en que el



comportamiento irregular de los flu$os de efectivo; origina el fenómeno de tasasmltiples de rendimiento.

Las preguntas que se %acen los inversionistas es, Bconviene invertir en este proyectodadas las e+pectativas de ganancias e inversión

#ara responder a esta pregunta se puede utili!ar el K#2 como criterio de selección. #aracalcularlo, sólo traslade los flu$os de los años futuros al tiempo presente y réstese lainversión inicial, que ya está en tiempo presente. Los flu$os se descuentan a una tasa quecorresponde a la /?"N), de acuerdo con la siguiente fórmula-

n

n

i

F%&

i

F%&

i

F%& P $P%

)1(...

)1()1( 2

2

1

1

+++

++

++−=

0onde-J2" n Jlu$o neto de efectivo del año n , que corresponde a la ganancia neta después

de impuestos en el año n .# &nversión inicial en el año cero.i tasa de referencia que corresponde a la /?"N)..

"s decir, el K#2 es la ganancia o pérdida en términos del valor del dinero en estemomento 'tiempo presente(, después de %aber recuperado la &nversión &nicial a una tasaigual a la /?"N). #or tanto, si el K#2 es positivo, significará que %abrá ganancia más alláde %aber recuperado el dinero invertido y deberá aceptarse la inversión. i el K#2 esnegativo, significará que las ganancias no son suficientes para recuperar el dinero

invertido. i éste es el resultado, debe rec%a!arse la inversión. i el K#2 es igual a cero,significará que sólo se %a recuperado la /?"N) y, por tanto, debe aceptarse la inversión.?esumiendo-

i: K#2 ≥ < *c0ptese la inversi!n

K#2 V < )ec<+cese la inversi!n

Eercicio:

uponga que cierto proyecto de inversión requiere de una inversión inicial deA4<<,<<<.<<, los gastos de operación y mantenimiento son de A4<,<<<.<< para el primer

año y se espera que estos costos cre!can en el futuro a una ra!ón del 3<> anual. La vidaestimada del proyecto es de 3< años al final de los cuales su valor de rescate se estimaen A 7<,<<<.<<. Jinalmente, suponga que los ingresos que genera este proyecto son deA7<,<<<.<< el primer año y se espera en lo sucesivo que éstos aumenten a una ra!ónconstante de A 6,<<<Iaño. i la /?"N) es de 47>, Bdebería este proyecto seraceptado



3,# 60todo del /alor uturo 7/8,

Como un ob$etivo principal de todos los métodos de valor temporal del dinero esma+imi!ar la rique!a futura de los propietarios de una empresa, la información económicaproporcionada por el método del valor futuro 'KJ( es muy til en situaciones dedecisiones de inversión de capital. "l valor futuro está basado en el valor equivalente detodos los flu$os de entrada y de salida de efectivo al final del %ori!onte de planeación'período de estudio( a una tasa de interés que por lo general es la /?"N).

0e acuerdo a lo anterior el KJ de un proyecto estará dado por la formula-

( )∑

=

=

−

+=

nt

t

t n

t i# $F 0

1

#or lo que, si-

KJ ≥ < *c0ptese la inversi!n

KJ V < )ec<+cese la inversi!n

La selección del método de evaluación 'K#2 o KJ( muc%as veces depende de lascircunstancias propias de la decisión, o simplemente se lleva a cabo por conveniencia al

reali!ar los cálculos.

3,$ 60todo de la 5asa Interna de )endiiento 75I)8,

La tasa interna de rendimiento '/&?(, es un índice de rentabilidad ampliamente aceptado."stá definida como la tasa de interés que reduce a cero el valor presente neto

*na de las equivocaciones más comunes que se cometen con el significado de la /&?, esconsiderarla como la tasa de interés que se gana sobre la inversión inicial requerida por

la propuesta. in embargo, lo anterior es correcto solamente en el caso de propuestascuyas vidas sean de un período.

"n conclusión la /&?- W"s la tasa de interés que se gana sobre el saldo no recuperado deuna inversión, de tal modo que el saldo al final de la vida de la propuesta es ceroW.

"$emplo-



0etermine la tasa de interna de rendimiento para una inversión de A3 <<< <<<.<< quegeneró un flu$o anual de A 447 <<<.<< por 7 años.

"S"?C&C&X3. #ara el siguiente proyecto de inversión, determine si con una /?"N) de 5<> el

proyecto se $ustifica.

)ño < 3 4 5 6Jlu$o de efectivo 4<< 3<< 5<< 4<< 7<<

4. La compañía T"/) .). que utili!a una /?"N) de 4<> para evaluar sus proyectos deinversión, desea saber si el proyecto que se muestra a continuación es rentable.

)ño < 3 4 5 6Jlu$o de efectivo 4<< 3,<<< 4<< :<< 7<<

5. *n torno puede ser adquirido a un valor de A3,<<<,<<<.<<; se estima que este tornova a producir a%orros en los costos de producción de A37<,<<< anuales. i la vida deeste equipo es de 3< años al final de los cuales su valor de rescate se consideradespreciable, Bcuál será la tasa interna de rendimiento que resulta de la adquisición

de este equipo

6. "ncuentre la /&? de cada una de las siguientes alternativas mutuamente e+clusivas.Cada una con un vida til de : años, presentan los siguientes pronósticos de flu$o deefectivo. 'ver tabla(

)YX ) U< 897 <<

3 Q 6 4<< 6<<7 Q : 57< 53<

7. *na &nstitución "ducativa %a invertido A5 7<<,<<<.<< en equipos de impresión. uproyecto consiste en reproducir te+tos que se impartirían en la escuela y venderlosa ba$o costo a sus estudiantes. #iensa %acer un tira$e anual de 47,<<< e$emplares alprincipio de cada ciclo escolar. e calcula que al término del primer semestre se%ayan vendido el 9<> de los e$emplares y al final del segundo se %ayan agotado losinventarios de te+tos, ciclo que se repetiría año con año. Cada te+to tiene un preciode A:<.<< y los costos de producción son de A57.<< por e$emplar. Calcule la /&? de



la inversión de la escuela para un período de 7 años, si los equipos de impresióntienen un valor de salvamento de A4<<,<<< al final de los 7 años.

3,( 60todo del /alor *nual E?uivalente 7/*E8,

"ste método consiste en convertir en una anualidad con pagos iguales todos los ingresos y gastos que ocurren durante un período. Cuando dic%a anualidad es positiva, entonces esrecomendable que el proyecto sea aceptado.

"l método se utili!a comnmente para comparar alternativas. "l K)" significa que todoslos ingresos y desembolsos 'irregulares y uniformes( son convertidos en una cantidaduniforme anual equivalente, que es la misma cada período.

( )

( )

−+

+

+

+= ∑= 11

1

)1(1

0 n

nn

t t

i

ii

i

#t # $A& ó ( )

( )

−+

+= ∑

=

=

−

11

1

0

n

nt

t

t n

t

i

ii# $A&

#or lo tanto, si- /*E @ )céptese la inversión.

/*E @ ?ec%ácese la inversión.

3,A 60todo del período de recuperaci!n,

*na de las preocupaciones principales de la mayoría de los empresarios es cómo y cuándopuede recuperarse el dinero invertido en un proyecto. "l método del periodo derecuperación evala los proyectos con base en el tiempo necesario para que lasrecepciones netas sean iguales a los de inversión.

"l período de recuperación es el nmero de años necesarios para recuperar la inversiónde un proyecto. i la compañía toma decisiones de inversión e+clusivamente con base en

el período de recuperación, solo considerará aquellos proyectos cuyo período derecuperación sea menor que el período establecido.

Eeplo:

*na compañía piensa invertir fondos para la compra de una máquina nueva con una tasa deinterés de 37>. 0etermine el K)" si la proyección de flu$os de efectivo después deimpuestos es la siguiente-

1200

500500

800

1500

7001000

0 1

2 3 4 5 6



3,B 60todo de la raz!n costo'eneficio

"l análisis de costobeneficio es una %erramienta de toma de decisiones para desarrollarsistemáticamente información til acerca de los efectos deseables e indispensables delos proyectos.

"l esquema general para el análisis de costobeneficio se puede resumir de la siguientemanera-

3. &dentificar los beneficios para los usuarios que se esperan del proyecto.

4. Cuantificar en la medida de lo posible, estos beneficios en términos monetarios,de manera que puedan compararse diferentes beneficios entre sí y contra loscostos de obtenerlos.

5. &dentificar los costos del patrocinador.

6. Cuantificar, en la medida de lo posible, estos costos en términos monetarios parapermitir comparaciones.



7. 0eterminar los beneficios y los costos equivalentes en el período base, usando latasa de interés apropiada para el proyecto.

8. )ceptar el proyecto si los beneficios equivalentes de los usuarios e+ceden loscostos equivalentes de los promotores 'UZC(.

#odemos emplear el análisis de costobeneficio para elegir entre alternativas como laasignación de fondos para la construcción de un sistema de transporte colectivo, unapresa para riego, carreteras o un sistema de control de tráfico aéreo. i los proyectosestán en la misma escala en lo referente a costo, basta elegir el proyecto en el cual losbeneficios e+cedan los costos en mayor cantidad.

)az!n Costo-eneficio 7C8

e %an %ec%o diversas formulaciones de la ra!ón CIU. ) continuación se presentan las

más comunes-

Considerando E>EICIC5:

∑=

=

+=nt

t

t

t i' (1

)1( ; ∑=

=

+=nt

t

t

t ic) 1

)1( ;) *

(

)

( ()

+==/

i- U I C ≥ 3 )céptese el proyecto; ya que, por cada peso de costo se obtiene loequivalente a uno o más pesos de beneficio. 0e lo contrario

rec%ácese.

0onde-

t 2mero de período.& &nversión de capital.U Ueneficios.bt Ueneficio del período t.C Costo.ct Ueneficio del período t.

Eeplo-

3. "l departamento de transporte considera el proyecto de reempla!ar un vie$o puente,en una carretera estatal que cru!a el río Cumberland. "l actual puente de dos carriles escostoso de mantener y constituye motivo de embotellamiento para el tráfico, ya que lacarretera estatal es de cuatro carriles en ambos lados del puente. e puede construir elpuente con un costo de A5<<,<<<.<< y se estima que los costos anuales de



mantenimiento serán de A3<,<<<.<<; los costos anuales de mantenimiento del puenteactual son A3:,7<<.<< se estima que el beneficio anual del nuevo puente de cuatrocarriles para los automovilistas, al de$ar de ser punto de embotellamiento del tráfico,serán de A47,<<<.<<. )nalice la ra!ón costobeneficio con una tasa de interés del :> yun período de estudio de 47 años para determinar si se debe construir el nuevo puente.

4. e espera que el costo de regar gravilla en una carretera rural corta sea deA9<<,<<<.<<. "l costo de mantenimiento de la carretera será de A47,<<<.<< por año.

)unque la carretera nueva no es la ideal, permite acceso a un área a la cualanteriormente solo podía llegarse en camioneta. "sta mayor accesibilidad %a conducido aun incremento del 4<<> en los valores de la propiedad a lo largo de la carretera. i elvalor de mercado anterior de la propiedad era de A6<<,<<<.<<. Calcule la ra!ón costobeneficio 'CIU( para la carretera utili!ando una tasa de recuperación social del :> anual y un período de estudio de 4< años. =aga su recomendación e interprete el resultado.

Documents

Apuntes Ing de Costos Fraf