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7/24/2019 Apuntes para un curso de Mecnica Cuntica (cap 2)
1/20
Captulo2
Laecuacin
de Schrdinger
En 1913, N. Bohr publicelresultadode sus investigaciones sobre
laspropiedades
cunticas del ms simple de los tomos, el de hidrgeno. Basndose en
el modelo
atmico
de
Ruther ford , Bohr encontraba
que la
cantidad
que era
necesario cuantizar
era la accin, obteniendo que las
rbitas
posibles para un electrn slo podan ser
aquellas
que
obedecieran este postulado cuntico,
con
este resultado
fue
inmediato
probar, tericamente, que las llamadas series radiativas del tomo
de hidrgeno que
correspondan m uy bien a lafrmula emprica de Rydberg.
Posteriormente, Sommerfeld
y
Wilson (1916) extendieron
el
modelo
de
Bohr
para
incluir rbitas elpticas.
Las
reglas
de cuant izacin de Bohr, Sommerfeld y Wilson resultaron
insuficientes e imprecisas
1
sobre todo cuando
se
trataba
de
explicar algunas propiedades ma gnticas
del
tomo
de hidrgeno.
A
principios de la dcada de 1920, un nuevo experimento sobre
dispersin de elec-
trones
por un
cristal atrajo
la
atenicin
de los
cientficos
de la
poca. Este fenmeno
fue
explicado de dos formas: por medio de la hiptesis de L. De
Broglie (1924) referente
a las
ondas
de
materia
y por
medio
de la
hiptesis
de
cuant izacin
de la
accin
de
Duane-Compton (1923).Enesta exposicin seguiremos la la segunda
opcin debido a
que se enmarca en la misma hiptesis de la vieja teora cuntica
que para esa poca
era aceptadaa
pesar
de sus
fallas.
La
explicacin
a
todos estos fenm enos cunticos
la
dio
E.
Schrdinger
en
1926,
tratando de extender la hiptesis cu ntica de B ohr, Somm erfeld,
Wilson, Du ane y
Compton
introdujo
un
postulado
para
la
accin:
que la
accin
en la
ecuacin
de
Ham ilton-Jacob i satisface el principio variacional. De ah
obtuv o una ecuacin de val-
ores propiosparauna funcin ($)que alcumpl i rcon lascondicionesd
e frontera apropi-
adas reproduce correctamente la s reglas de cuant izacinpara
eloscilador armn ico,el
tomo de hidrgeno, un electrn en un cristal, etc. La solucin de
Schrdinger su-
per, por mucho , a la que proporcionaba la vieja teora cuntica:
poda ser aplicada
a cualquier sistema aunque no fuese peridico, era capaz de
predecir el orden de los
conjunto de
estas reglas
de
cuantizacin
se le
conoci como
la
viejateora cuntica.
21
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2/20
22 CAPITULO 2. LA ECUACIN DE SCHRODINGER
niveles de energa, las transiciones permitidas entre niveles de
energa, las intensidades
de las lneas espectrales, la vida medias deestos niveles, la
interaccin del
tomo
de
hidrgeno
con campos elctricos y magnticos, etc.
A
part ir de ese momento y
hasta
la
fecha,
la teora desarrollada por Schrdinger
a mostrado ser la muy exitosa para describir a lossistemas
cunticos (aquellos cuya
accin es muy pequea, comparable a la constante de planck h). Ha
descrito exitosa-
mente:
tomos, molculas, ncleos, cristales, semiconductores, etc.
Incluso
e s
capaz
de
describir sistemas muy complejos como los
superfluidos,
los supe rcon duc tores, estrellas
de neutron es, etc.
La
teora cuntica
se
convirti
en la
teora
de la
materia,
es la
nica
capaz
de
predecir
las
propiedades
de la
materia
tales
como
l a
com presibil idad
la
suscep-
tibilidad elctrica,
coeficientes
de transp orte, la permitividad mag ntica de un material ,
y casi todas la s propiedades de la materia. La teora de
Schrdinger no es una teora
relativista
2
,
por esa razn fuenecesario
desarrollar
una teora cuntica
relativista,
la
que fue obtenida slo un ao despus por P. A. M. Dirac la que
resulta apropiada cuan-
do no es
posible despreciar
lo s
efectosrelativistas
3
. Desde
la
ecuacin
de
S chrdinger,
la teora cuntica se ha desarrollado
hasta conformar
una teora muy completa que
en alguna de sus formas es aplicable a cualquier sistema
cuntico.
Para
sistemas de
muchas partculas, se desarrollo la teora cuntica de muchos
cuerpos; igualmente la
teora cuntica
de
campos,
la
electrodinmica cu ntica,
la
teora cuntica relativista,
etc.
En este captulo describimos la interpretacin para la funcin t /
> llamada funcin
de estado
4
; aqu , adoptamos para la funcin de estado la interpretacin
estadstica
tambin conocida como la interpretacinde Einstein
2.1.
Modelo
atmico
de
Rutherford Bohr
Desde fines del siglo XIX era sabido qu e todos lo s elementos
de la tabla peridica
mostraban espectros de emisin y absorcin de radiacin
electromagntica muy car-
actersticos, a tal grado que cada elem ento pue de ser
identificado por su espectro de
emisin.
Parte del
espectro
de
emisin
del
hidrgeno
en la
regin visible
del
espectro
de radiacin electromagntica, se ilustra en la figura (2.1).
Esta
serie se conoce con el nombre de serie de Balmer, adems de esta
serie el
hidrgeno presenta otras series
en las
regiones infrarroja
y
ul travioleta
(e n
conjunto
reciben los
nombres
de
Lyman, Balmer ,
Pashen,
Bracket ,
Pfund, . . . ) .
Empricamente,
J. J. Balmer y J. R. Rydberg lograron obtener una expresin
algebraica simple que
2
Laecuacin
deSchrdinger es
invariante
deGalileo,no es invariante de Lorentz.
3
Cuando la
energa
de una
partcula
o
sistema
fsico es
comparable
con su
energa
de
masa me
2
.
4
En c ontraste a la llamada
funcin
de onda de la teora de De Broglie.
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2.1. MODELO ATMICO DE RUTHERFORD-BOHR
23
6565
A
X
=
3 6 4 6
A
Figura 2.1: Laserie de Balmer en el
tomo
de hidrgeno.
.
reproduca con gran exactitud las frecuencias (o las longitudes
de onda) decada lnea
de las series radiativas del tomo de hidrgeno, cuya expresin
es:
A
(2.1)
donde
R
es una
constante l lamada
la
constante
de
Rydberg, cuyo valor numrico
es:
R l ,097x10
5
cm~
1
yn\
es una constante. Nuevamente, arreglando tendremos
que
dW
fi
m
dO ) '
sen
2
9
para
questose satisfaga necesitamos que
dW
0
\
2
d O se n
2
9
(2.13)
(2.14)
2
es una
nueva constante
de
separacin;
la
ecuacin restante, para
la
variable
r, es la
siguiente,
/ W T / T / \ ^
_
2
_
j tf\
-ir
\
<
Cte
^ luj
dr
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26
CAPITULO
2. LA
ECUACIN
DE SCHRODINGER
En resumen:
dW
0
m
2
Pe =
d9
V sen
2
i
dW
T
(E-V(r))-~ (2.16)
las constantes m, I y E tienen aqu elsentido de : proyeccin
sobreel eje polar del mo-
mento angular, mdulo
del
mom ento angular
y la
energa respectivamente,
son las
tres
constantes
de
movimiento
qu e
hacen
al
problema soluble. Claramente,
el
movimiento
en j ) y en 9 son
peridicos (vase relaciones
para
p# , p^ , 9 y
0),
de tal
forma
que se
pueden
definir
las
variables
de
accin,
J < t >
=
P < t > d 4 >= m d < j ) = 2?rm
en
esta ltima expresin
es
necesario
que i
>
m
para
que
J Q
se a
real,
esto
tiene
el
siguiente
sentido
fsico, el
momento angular
es
mayor
o
igual
qu e
cualquiera
de sus
componentes, los
lmites
de
integracin para
9
sern aquellos valores para
los
cuales
se
anula el integrando,
0 =sen'
1
(mii} ,
0
2
=
T T
- sen"
1
(m/i)
,
(2.18)
resultando que
J
g
= 2
> 2
(
2
- m
2
s e n
2
0 )
1 / 2
d 0 = 2 ^ ( - m ) .
(2.19)
Si
las constantes m,
i,
E, y la funcin V (r) son tales que el movimiento en r es
peridico,
entonces podemos definir
la
variable
de
accin
pra la
coordenada
r;
J
r
=2
l
Jfy
(E-V
(r)}
- - dr (2.20)
Jri
V
r
2
donde
r\ y
r?
son los
valores
der que
anulan
el
integrando,
i.e., son los
pun tos clsicos
de
retorno del potencial
efectivo.
El problema de campo central que nos interesa es aquel
donde, V =K/r
(dependiendo
del
valor
de K',
podemos tener atraccin gravitatoria
K = GM m o el
campo elctrico
de una
carga puntual
K = e\a-i]\ en este
caso,
el
movimiento
peridico
en la
variable
r
corresponde
a
rbitas elpticas
o
circulares,
i.e.,
energas negativas. Recordemos
que
r = \ T I r - 2 \
y que el
movimiento
del
centro
de
masa
ha
sido separado.
Para
este caso
/
r-
2
r 21i/
2
\2n(E-K/r)--\ dr
(2.21)
i
r
-
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2.1. MODELO ATMICO DERUTHERFORD-BOHR
27
con
=
1,2 (2.22)
V
V
integral que se puede efec tuar
7
, resultando que
-,
2 .23)
aqu
Ejiebe
ser negativa de lo contrario el movimiento no es peridico y
J
r
resultara
compleja. Sustituyendo
el
valor
de
i
en
trminos
de
Jg y
J < ,
dados
por la
ecuacin
(2.17) tendremos que
H
( J
r
,
Je,
JJ
=
-
,
2
=
E
(2-24)(
J
r
+ Je
+
con
el
hamiltoniano
en
variables
de
accin podemos calcular
las
frecuencias
dH 2
1
(J
r
8H
esdecir v
r
V Q
i / ^ ,
y larbita escerrada, cuando las frecuencias son iguales
decimos
que el
sistema
es degenerado.
Por ltimo la
funcin
generadora o
funcin
caracterstica se puede finalmente cal-
cular as:
W = W(r,
6, < / > ,
J
r
,Je,J < p ) =
(Prdr +
Pe
d0
+p} (2.26)
mientras
que la funcin
principal
de
Hamilton resulta
ser
S(r,0,
4 > ,
J
r
,J
g
, J , p ) = /
(p
r
d
r
+p
e
d
e
+p}- E t.
(2.27)
Debemos hacer notar que elproblema del campo central es soluble
en el mtodo de
Hamilton-Jacobi
gracias a que existen las
tres
integrales de
movimiento:
m,,
E, equiv-
alentemente,
que el
movimiento
es
peridico
y
separable.
Los
modelo
de Bohr-Wilson-Sommerfeld.
La primera solucin cuntica al problema del tomo de hidrgeno
fue
dada
por N.
Bohr
(1913) y completada por Wilson y Sommerfeld (1916); consiste de
dos postulados:
7
Vasepo r ejemplo la referencia
[49].
-
7/24/2019 Apuntes para un curso de Mecnica Cuntica (cap 2)
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28 CAPITULO 2. LA
ECUACIN
DE SCHRDINGER
I) La s
integral
de
a ccin para
que un
electrn permanezca
en una
rbita estacionaria
(sin
emitir radiacon electromagntica) estn cuantizadas;
J i
=
Pidqi
=
Hi h
(2.28)
II) Un
electrn
emite o
a bsorbe
un
fotn
de
frecuencia
u j
cuando
efecta
espontnea-
mente una
transicin entre
dos
estados estacionarios
n yn bajo la ley de
conservacin
de la energa
hu
nn
,=E
n
-E
n
,, (2.29)
Sust i tuyendo la ecuacin (2.28) en
(2.24)
obtenemos inmediatamente la expresin
cuntica
la
energa E ,
E=
-3 (2.30)
(n j
+
n
2
+
n
3
)
La
definicin usual
de
estos nmeros cunticos
es
asi:
a la
accin J
r
se leasocia
el nmero cunt ico pr incipal n, a la suma de Jg +
J^
se le asocia el nmero cutico
azimutal K , y a la accin J se le
asocia
el nmero cuntico magnticom. Los nmeros
cunticos n
y
Kdefinen
la s
rbitas elpticas
del
modelo
de
Wilson-Sommerfeld mientras
qu e
n
con
K = m
= O
define
las rbiras circulares de Bohr
([12]),
los radios que pueden
tener las rbitas circulares se obtienen de la ecuacin (2.23) y
la ecuacin
para
la
cuantizacin
de la
energa,
n
2
fi?
Estas ltimas ecuaciones implican que los nicos posibles estados
electrnicos en
un
tomo hidrogenoide
8
tiene rbitas y energas discretas. Ha ciend o uso del segundo
postulado es inmediato probar que
i
ofc
o
7o -- o
H 2/r
[n
2
n
2
ya que c u = kc, k =
2yr/A
con k el nmerode onda
knn>
=R-~
(2.33)
\ _ n ' n
\
la
cual
es la
frmula emprica
de
Rydberg-Balmer
y
este valor obtenido tericamente
para R coincide
con la
constante
de
Rydberg , dentro
de los
lmites experimentales
con
quese determina.
R
=
Por tom o hidro genoid e enten dere mo s aquel que tiene un slo
electrn y una carga Ze en el nc leo
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7/24/2019 Apuntes para un curso de Mecnica Cuntica (cap 2)
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2.2. DIFRACCIN
DE
ELECTRONES
POR UN
CRISTAL 29
El postulado
de Bohr-Sommerfeld-Wilson
puede explicar
la
fenomenologa
de las
series radiativas muy apropiadamente. Posteriormente, como
sucede muchas veces en
la
fsica,
una vez que se
resuelve
u n
problema aparecen otros, este
es un
ejemplo tpico
de la metodologa de las ciencias naturales: el primer
sealamiento sobre estos postu-
lados
es que
siguen
sin
explicar porque
el
electrn
en una
rbi ta permi t ida
no
rada
y
segundo, que la descripcin que haca del nmero cuntico magntico
no era precisa. Si
atendemos
al
postulado cuntico,
en una
rbita estacionaria
la
accin
est
cuant izada
y la energa radiada o absorbida se realiza al, pasar entre
rbitas permitidas (esta-
cionarias); debemos entonces preguntar Cul es la dinmica que
hace que la accin
este cuantizada?, claramente
no se trata de la
mecnica
de
Newton. Anlogamente
podemos preguntarnos: qu sucedecon unsistemaque no sea peridico
en elcual no
se puedan definir los variables de accin (llamados tambin
invariantes adiabticos)?,
porqu sonestables la s rbitas?, cmosepuedentratarotros
tomosmscomplejos,
como el Helio y otros con ms electrones que no son peridicos y
que no tiene las inte-
grales de movimiento suficientes
para
poder resolver la ecuacin de hamilton-Jacobi?,
cmo calcular las intensidadesde las lneas espectrales?, etc.
Podemos ahora adelantar
que el
postulado cuntico
no
result
ser la
nueva teora
que
seestaba buscando; sin embargo, resulto tilparaestablecer el
carcter cun tico de los
sistemas
microscpicos como tomos, molculas, iones en cristales, etc.; los
postulados
de Bohr-Sommerfeld-Wilson validaban la idea del quantum de M.
Planck y A. Einstein
y
adems sirvi como un escaln hacia la teora cuntica.
2.2.
Difraccin
de
electrones
por un
cristal
Difraccin
de electrones por un cristal. En 1923 Davisson y Germer
experimentaron
con un haz de electrones que incida sobre la
superficie
de un cristal, con lo que obtu-
vieron un
patrn
de
dispersin
de
partculas
m uy
parecido
al
patrn
de
difraccin
de un
haz derayosx por uncristal. Laexplicacina este experimento (no
es lanicani la ms
conocida) la obtuvo W. Duane ese mismoao
9
siguiendo las reglas de cuantizacin de
la
vieja teora cuntica, postul
que la
variable
de
accin
se
cuant iza
( [55 , 56 , 57 , 58]) .
En un
cristal existe
una
periodicidad espacial, digamos
que a lo
largo
del ejez,
donde
todos lo s planos cristalinos estn igualmente espaciados por la
distancia d; debido a
la invariancia traslacional del cristal, un electrn del cristal
tendr momento
p
z
en la
posicin z = Z Q idntico que en la posicin z= Z Q + d, de tal
forma que el momento y
la posicin del electrn son peridicas y la variable de accin
correspondiente es:
p
z
dz =nh, (2.34)
9
Detalles
sobre este clculo se pueden consultar en la ref.[12],este
postulado fue
refinado
posteri-
ormente
por
Compton, Epstein
y
Ehrenfest. Desafortunadamente esta hiptesis
fue
subestimada
en
esa
poca.
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7/24/2019 Apuntes para un curso de Mecnica Cuntica (cap 2)
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30
CAPITULO 2. LA ECUACIN DE SCHRODINGER
Figura 2.2: Un electrn incide a un ngu lo0, con momentop sobre
la
superficie
de un
cristal, el periodo espacial del cristal es
d,
la s
parculas
en el cr istal t iene n com ponente
del
momento l ineal en la direccin
z
igual a p
z
.
esta integral
se
efecta sobre
un
periodo espacial
e ? , si el
electrn
es
libre
o
cuasi-libre
(momento lineal constante o casi constante) los nicos momentos
permitidos por la
regla de cuantizacin sern aquellos que cumplan con
nh
(2.35)
Cualquier
partcula
que
interaccione
con
este electrn podr intercambiar momento
de
ta l
forma
que el
electrn
del
cristal quede
en un
estado
permisible
por la
regla
de
cuantizacin, por lo
tanto,
el cambio en elmom ento del electrn del
cristal ser
h ,h
=An-=n'-.
d d
2 .36)
Por conservacin de mo me nto, el electrn incid ente sufr ir en
la colisin un cam bio de
momento (ver
figura (2.2))
Ap= 2psen0=
n'-,,
(2.37)
d
esta
expresin puede arreglarse
de la
siguiente forma:
n =
2d
sen9,
P
(2.38)
la
cual
es muy
parecida
a la ley de
difraccin
de
Bragg para rayos
x
10
y que
tambin
cumplen lo s
electrones difrac tados
por el
cristal;
el
resultado ex perimental obtenido
por
10
Laley dedifraccinde Bragg se obtendra si escribimosque A =-,la
cuales lahiptesis de L.
DeBroglie; ntese que en
este
casono es
necesaria
dicha hiptesis y que si no definim os deesta forma
a la
longitud
de
onda
A,
basta
con
medir
el
momento
de la
partculaem ergentepara conocer
el
ngulo
de difraccin.
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7/24/2019 Apuntes para un curso de Mecnica Cuntica (cap 2)
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2.3. LA HIPTESIS DE
SCHRDINGER
31
Davisson
y
Germer coincide
muy
bien
con
este resultado. Esto
es, el
experimento
de
Davisson y Germer es explicado satisfactoriamente por la
hiptesis de Duane-Compton:
Para un electrn en un cristal la variable de accin
J
z
est cuantiza da en unidades
de
/i ,
la
constante
de
Planck.
Nuevamente
la
hiptesis
de
Duane-Compton
se
reduce
a
cuantizar
la
accin
para
un
sistema que es peridico.
2.3. Lahiptesisde
Schrdinger
Resumiendo
los resultados obtenidos
hasta
1924, podemos asegurar que los exper-
imentos de radiacin de cuerpo negro, el efecto fotoelctrico, el
calor especfico de
lo s
slidos
a
bajas temperaturas (ver captulo
1), las
lneas espectrales
de l
tomo
de
hidrgeno,
la
difraccin
de
electrones
por un
cristal, etc., podan
ser
explicados
con
la
hiptesis
de
cuantizacin
de las
variables
de
accin.
El
paso lgico
que
segua
era
preguntarse cmo cuantizar a un sistema para el cual no pueden
definirse variables de
accin,i.e.,
sistemas
no
peridicos? como
por
ejemplo
el
tomo
de
helio
o una
molcu-
la, en los que sus variables dinmicas no son peridicas. La
respuesta lleg en 1926
con el
trabajo
de E.
Schrdinger
[9].
Buscando
la s
reglas para cuantizar
la
accin
encontr
la
ecuacin
de
movimiento
de los
sistemas cunticos.
La
esencia
del
mtodo
de Schrodinger la describimos a con tinua cin .
Consideremos un electrn en eltomo de hidrgeno, separamos al
movimiento del
centro de
masa
y entonces, las coordenadas relativas ob edecen la siguiente
ecuacin de
Hamilton-Jacobi
H(q,~
=E,
(2.39)
qson los grados de libertad del sistema. Sup ongam os ahora q ue
la accinS la escribimos
en trminos de una nueva funcin a de terminar $(
-
7/24/2019 Apuntes para un curso de Mecnica Cuntica (cap 2)
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32
CAPITULO
2. LA
ECUACIN
DE
SCHRDINGER
m
es (muy aproximadamente) lamasa del electrn, ees su carga. Para
encontrar a la
funcin $ q ue proporciona la accin, Schrdinger exigi que la
integral sobre
todo
el
espacio de la ecuacin (2.43) se a extremal,
i.e.,
qu e satisfaga elprincipio variacional:
dxdydz =0. (2.44)
Este integrand o t iene la siguiente forma:
y
,
z
,x,y,z) (2.45)
donde hemos definido
9 < J >
< 9 < E >
( 9 $
**=a?
-
*'=a
;
X
3>
y
,
$
z
,x,
y,
z):
para que se cum pla la ecuacin
(2.47)
el integrando d ebe cum plir la ecuacin
diferencial
de
Euler-Lagrange
u
d F _ _ d_dF_ _ d _ d F _ _ _ d_dF_
d d x
d
x
d
y
d
y
d z
d
z
'
AplicandolasecuacioinesdeEuler-Lagrange a laecuacin
(2.44)
obtenemos lasiguiente
ecuacin
diferencialpara
la
funcin $:
2m
dx
2
dy
2
dz
2
K
adems, para que la funcin
< I >
tenga valor definido en la frontera (no tenga variacin
en
la frontera del volumen de integracin) debe satisfacer la
siguiente restriccin,
dA
=
O,
(2.50)
on
donde dA es el elemento de rea en la frontera del volum en de
integracin. La ecuacin
(2.49) es la ecuacin de Schdinger para el tomo de hidrgeno
12
, es una ecuacin
11
Para
losdetalles de este teorema consltese loscaptulo 9 y 11 de la
referencia
[30].
12
En el trabajo original de Schrdinger la
funcin
se denota por 4",la razn es que Schrdingerestaba
motivado por la idea de ondas de materia de L. De Broglie que se
denotaba de manera generalizada
po r$; sinembargo, enesta formad e plantear elproblema
lahiptesis de DeBroglieno es necesaria.
-
7/24/2019 Apuntes para un curso de Mecnica Cuntica (cap 2)
13/20
2.3. LA HIPTESIS DE SCHRODINGER 33
de valores propios a la que deben imponrsele condiciones de
frontera apropiadas: A
la solucin se le exige se r diferenciable, univa luada , finita
y cumpl i r la condicin de
frontera
(2 .50) .
En el caso del tomo de hidrgeno, la solucin a esta ecuacin
es
posible solamente para
funciones que se
pueden
identificar por un
conjunto
de
valores
de nmeros enteros
n,
i,
ra;
stos
son las
constantes
de
separacin
y son los
nmeros
que cuantizan
a la
energa n,
al
momento angulari
y la
proyeccin z
del
momento
angular m
13
. La ecuacin de Schrdingerpara el tomo de hidrgeno result ser
la
forma
apropiada para
describir alsistema cuntico
mientras
que elpostuladode Bohr
Sommerfeld y
Wilson
no lo
era.
La solucin al problem a de valores propios slo es fsicamente
aceptable cuan do hay
un conjunto discreto
de
nmeros cunticos, parmetros
de la
funcin $,
que la
hacen
ser
univaluada, continua, diferenciable
y
cuadrticamente integrable
14
. Esta funcin
l lamada
funcin
de estado aportar el resto de la informacin fsica que se
puede
obtener del sistema en un estado estacionario.
El
mtodo
de
Schrdinger
fu e
aplicado tambin
al
oscilador armnico
en una di-
mensin con el siguiente operador de
Hamil ton
^L 1 ___ o K 9
H
=*?>
+
2*
obteniendo su funcin $(x) y su energa cuantizada
1 5
,
.
(2.51)
2 2
De
esta
fo rma
el
postulado
de
Planck qued totalmente just if icado.
Si
la aplicamos a una red cristalina un idim ensio nal en la
direccin del eje z obten-
emos
la
regla
de
cuantizacin
de
Duanepara
lo s
electrones libres
o
cuasi-libres (ecuacin
(2.35))
nh
P
^T'
justif icando a su vez el postulado de Duane-Compton.
En esa
poca,
muchosotrossistemassepudieron describir con elmtodode
Schrdinger
al
menos aproximadamente, tomos
de
varios electrones algunas molculas sencillas,
se
pudo tambin describir
aproximadamentes losestados
electrnicos
en un
cristal, etc.
13
No es sorprendente que estos nmeros cunticos no coincidan con
los de la teora de Bohr, Som-
merfeld
y
W ilson debido
a que
proviene
de un
postulado diferente
14
La
condicin impuesta por la ecuacin (2.50) se puede tra nsform ar a
que lafuncin sea cuadrtica-
mente integrable en todo el espacio.
15
Esta cuantizacin
de la
energa
no
coincide exactamente
con el
postulado
de
Planck , difiere
po r
un factor aditivo
^hv
qu e resulta se r intracendente en cuanto a las transiciones
entre estados. Sin
embargo, el postulado de Planck no contiene el llamado punto
cero de energa
(n =
0) que si tiene
relevancia en la teora.
-
7/24/2019 Apuntes para un curso de Mecnica Cuntica (cap 2)
14/20
34 C PITULO 2. LA ECUACIN DE SCHRDINGER
El
mtodo
de
Schrdinger consisti
en
definir operadores diferencialespara
la
funcin
hamiltoniana
y el
momento lineal
con la
siguiente regla:
Px-Pi
=
~^a~' (2.52)
H(r,p) H
=
H(r,p).
2.53)
Para
el
caso general, donde
el
potencial
es
slo funcin
de las
coordenadas,
el
operador
de
Hamilton
de una
partcula
se
escribe como sigue:
H =H(r,p)=-L(-W)
2
+V(x, y,
z ) , (2 .54)
2m
donde V es la
funcin
potencial que representa a la interaccin a la que est sujeta
la
partcula.
La
ecuacin
de
Schrdinger
es la que
determina
la
dinmica
de un
sistema
microscpico en unestadoestacionario, ntese que elformalismoen el
que seescribe la
teora cuntica
es un
formalismo hamiltoniano.
Deesta
forma,
la
ecuacin
que
describe,
el
estado
estacionariode un electrn en el campo central del protn se
escribe as:
(2 . 5 5 )
En el
caso
del
tomo
de
hidrgeno, descrito
por
esta ecuacin,
fue muy
satisfactorio
al
comparase
con los
resultados experimentales, cosa
que no
lograba
la
vieja teora
cuntica
de
Bohr, Sommerfeld
y
Wilson.
M s
an, cuando
se
incluyenotrosefectos:
comoelefectode uncampo magntico
(efecto
Zeeman) ,
el de uncampo elctrico(efecto
Stark), o el acoplamiento magntico debido a los momentos angular
del electrn, del
espn del electrn y del ncleo estructura fina e hiperf ina del
tomo de hidrgeno),
lo s resultados obtenidos por la ecuacin de Schrdinger comparan
muy bien con los
resultados experimentales. Esto hizoque se reconociera a la
ecuacin de Schrdinger
como
la
ecuacin fundamentalpara sistemas cunticos.
Para describir sistemas cunticos que tienen dependencia
temporal, en lugar de
la ecuacin 2.39) debemos partir de la correspondiente ecuacin de
Hamilton-Jacobi
dependiente del tiempo, esapresentacin laomitiremos aqu y
lapospondremos para
el siguiente captulo,vase la seccin (3.4); por ahora, slo nos
referiremosa ella co-
mo un
resultado establecido
([9]) . La
ecuacin
de
Schrdinger dependiente
del
tiempo
result
ser
H
=fcjU 2.57)
ella describe a un sistema que tieneuna evolucin temporal y por
su exactitud para
describir
a los
sistemas cunticos
fue
elevada
a
nivel
de
principio fundamental
de la
-
7/24/2019 Apuntes para un curso de Mecnica Cuntica (cap 2)
15/20
) ? t
obtenemos como solucin *J
1
'
-i
=A
exp((
- p r)) (2.59)
de tal
fo rma
que
2m ' 2m
)
(2.61)
dondep
2
/2m
y
E
son los
valores propios
de
esta ecuacin.
La
ecuacin (2.59) representa
una onda plana monocromt icaconmomento linealp y energa E.
El contenido del traba jo de Schroding er estaba enfo cado a
obtener reglas generales
de cuantizacinpara la accin; sinembargo, enesta bsqueda
Schrodinger obtuvo una
ecuacin
(para una
funcin
relacionada con la accin) cuya solucin corresponda a la
de una ecuacin de valores propios y la cuantizacin de una
variable dinmica corre-
sponda a losvalores propiosque suelense rdiscretos,esta
cuantizacin provienede las
condiciones
de
f rontera
para
la
funcin
de
estado
y de sus
condiciones
de
continuidad,
finitud, derivavilidad y que debe ser cuadrticamente integrable.
Muy poco tiempo
despus de la publicacin de su primer trabajo fueron publicados
varios mas, entre
ellos destaca el que establece la ecuacin dinmica
fundamenta l
para cu alqu ier sistema
cuntico, conocida comolaecuacin de Schrodinger dependiente del
tiempo ([9]).Esta
ecuacin result
ser la
ecuacin fundamenta l
de la
teora cuntica.
T an
slo
un ao
despus P. A. M. Dirac formul la teora cuntica para sistemas
relativistas en los
cuales la energa cintica de las partculas es muy grande
comparada con su energa en
reposo, dicha
teora
se le conoce como la
teoracuntica relativista
([ ]).Parafines de
la dcada de los cuare nta y princ ipios de la dcada de los
cincuentas se obtuvo la ver-
sin cuntica para fenmenos electromagnticos, es decir; la
electrodinmica cuntica
([39]).
Desde su establecimiento en 1926, la
teora
cuntica mostr un excelente acuerd o
con los resultados experimentales. Se convirti en la teora de la
materia, esto es, es
la
nica teora capaz
de
predecir
la s
propiedades
de la
materia tales como: coeficientes
16
Para sistemas de: partculas con espn, relativistas,
electromagnticos, etc. debe usarse la ver-
sin apropiadade la ec. de Schrodinger y eloperadorhamiltoniano
debe incluir apropiadamentelas
variables que no tienen anlogo clsico en elcaso de questas
existan.
-
7/24/2019 Apuntes para un curso de Mecnica Cuntica (cap 2)
16/20
36
CAPITULO 2. LA
ECUACIN
DE SCHRDINGER
elsticos, respuestas elctricas (la
funcin dielctr ica) ,
coeficientes de trans po rte, calores
especficos, magnetizabilidad y polarizabilidad, etc.
Sigui
entonces,
una
cascada
de
desarrollos tanto tericos como experimentales
que
no
h a
cesado
hasta
la
fecha,
con los
cuales
el
avance
cientfico
y
tecnolgico
h a
alcanzado
una rapidez sorprendente. La teora cuntica result ser una teora
m uy exacta con
un
rango de aplicabilidad gigantesco, ha logrado espectaculares
xitos en una gran
variedad de sistemas fsicos:desde partculas elementales hasta
sistemas muy complejos
pasando
por
tomos, ncleos, molculas, m acromo lculas, slidos cristalinos
y
amorfos,
estrellas
de
neutrones, superconductores,
superfluidos,
etc.Todas estas subreas
de la
mecnica cuntica han tenido un gran impacto en la ciencia y la
tecnologa y por
lo tanto en la cultura moderna. Tomemos como ejemplo tpico al
transistor (1948),
el
transistor fue desarrollado gracias al conocimiento que se haba
alcanzado en los
slidos cristalinos, muchas de las propiedades fsicas del
transistor fueron concebidas
antes de que
fuera
producido ,es decir;el transistor fu e, bsicam ente, un diseo
terico
gracias
a la
teora
delestado
slido
que yaestaba muydesarrolladaen ese
momento.
El
transistor cambi drsticamente
la
electrnica
y
todo
su
desarrollo. Este avance
no
par ah; gracias al propio desarrollo experimental generado en el
estudio y produccin
del transistor , en 1970 surgi la microelectrnica, nuevamente
con un gran impacto
tecnolgico
y cu ltura l. Este de sarrollo con tin a; actua lm ente, se
investiga sobre nuevos
sistemas cunticos como por ejemplo electrones confinados en dos
dimensiones (gases
de electrones bidimen sionales) , puntos cunticos (regiones muy
pequeas del espacio
donde se pueden confinar unos pocos electrones) , sistemas
superconductores de
alta
temperatura crtica; todos ellos
con
propiedades elctricas novedosas
que
permit i r an
constru ir
nuevos dispositivos electrnicos: ms rpidos ms
eficientes,
ms complejos
y de m enor consumo energtico. Como el transistor hay m uchos
ejemp lo de desarrollo
tecnolgico cuyo origen
es
d irectamente
la
investigacin
cientfica, en
par t icu lar
en la
teora cuntica. En los aos recientes este desarrollo ha tomado
una gran velocidad,
pasa
m uy
poco tiempo entre
el
resultado
de la
investigacin pura
y su
correspondiente
aplicacin tecnolgica.
2.4. La interpretacin de la funcin deestado
.
Dela ecuacin de Schrdinge r (2.5 7) con las cond iciones de
fronte ra y las propiedade s
del a
funcin
se
obt ienen
los
niveles
de
energa
q ue
puede ocupar
el
sistema
de
estudio,
stos pueden asumir valores discretos o continuos, y como ya
dijimos, concuerdan muy
bien con los
resultados experim entales
para una
gran cantidad
de
sistemas cunticos.
Sin embargo , es necesario asociar un significado fsico a esta
funcin llamada
funcin
de estado
17
.
17
En la
interpretacin
de la
funcin
< i> que
haremos aqu
l e
l lamaremos
funcin de
estado.
El
nombre
defuncin deestad osedebea que
esta
funcin correspondea unestadoposibleen elespaciodeHilbert
-
7/24/2019 Apuntes para un curso de Mecnica Cuntica (cap 2)
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2.4. LA INTERPRETACIN DE LA FUNCIN DE
ESTADO
37
eje de incidencia
rejilla de difraccin
Figura 2.3: Esquema
que
i lustra
el
experimento
de difraccin de
neut rones
por una
rendija. En cada punto x de la pantalla colectora se toman 23
muestras, cada una de
ellas
durante
5 00
segundo s, esto
se
hacepara acumular estadstica.
El
detector barre
la
pantal la tomando
un
tota l
de 100
mue stras para
formar el
espectro
de
difraccin.
Parainterp retar a la
funcin
de estado recurrirem os a un experim ento mo derno
[65];
en
ste,a un haz de neu tron es se le hace incidir sobre una
rendijapara ser difractados
18
.
La
rendija
se
construye
con
vidrio
de
alto contenido
de
boro
que
t iene
un
gran poder
de absorcin de neutrones ,el vidrio espu lido especialmentepara
obtener una rendi ja
muy definida,
el
ancho
de
ella
es
d = 96//m.
El haz de
neutrones trmicos proviene
de l
puerto desalida de un reactor experimental ,es de muy baja
energa, h /p~ 19,3A,
co n
p el momento l ineal de las partculas del haz de neutrones. El
flujo de neutrones
es de
unas decenas
de
neut rones
por
m i nu t o
y es
cuas i -monoenergt ico;
es
decir,
la
distribucin de
momentos
de las
partculas
en el haz es
aproximadamente gaussiana
co n una
desviacin estandard
m uy
pequea, Oh
~
0,7A
El
arreglo experimental
se
p
ilustra
en la figura (2.3).
El detector de neutrones es un cristal BF
3
, se coloca sobre la pantalla colectora
a una distancia
x
del eje de inciden cia despus de una ren dija muy angosta de
una
cuantas milsimas de m ilmetro de ancho y es impermeable a n
eutro nes, la pan talla se
encuentra a 5 m del
difractor
de tal
forma
que el
ng ulo slido
que
cubre
el
detector
es
en
el queest
definido
el operador ha miltoniano . T ambin suele llamrsele
funcin de onda,
debido a
razones histricas relacionadas con la hiptesis de L. De
Broglie.
18
Tambin
podemos hacer un anslisis del experimento de Rutherford de la
dispersin de partculas
alfa
por ncleos de oro, en ese experimento Rutherford establece un
concepto estadstico, la seccin
transversal de dispersi (ver captulo 1). Sin embargo, el
experimento de difraccin de neutrones
resulta mas fcil de analizar desde el punto de vista
conceptual.
-
7/24/2019 Apuntes para un curso de Mecnica Cuntica (cap 2)
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38
CAPITULO
2. LA
ECUACIN
DE SCHRDINGER
5000
Figura
2.4: Representacin cualitativa
del
experimento
de
difraccin
de
neutrones
por
una
rejilla..
muy pequeo. En cada punto x de la pantalla se recogen 23
muestras independientes
de 500
s cada una, haciendo
un
t i empo
de
muestreo total
de A T =
11500 s =
192
minutos para cada posicin x. Sobre
la
pantalla
se
efectan
100
muestras iguales,
de
esta forma el tiempo total de muestreo para obtener el patrn
completo result de 320
h
~ 13,3 das .
El
resultado
del
experimento
se
m uestra
en la figura (2.4).
En el anlisis de este experimento deben tomarse en cuenta los
siguientes hechos:
El tiempo necesario
para
obtener este patrn es de cientos de horas, con un flujo de
neutrones
de
aproximadamente
30
neutrones
por
minuto,
i.
e. ,
elpa trn no lo forma
una sola partcula. El
patrn
se
forma
con las
partculas
que van
llegando
al
detector
a
lo largo de 192minutos para cada pu nto de la muestra, las
muestras en lospuntosx\
y x - 2 son totalmente independientes entre si, es decir, las
100muestras en la pantalla
pueden
ser
tomadas
en
desorden
y
med iar entre ellas
un
tiempo arbitrario (siempre
que
se ma nten gan las condiciones experimentales). E l detector m
ide partculas individuales,
esto
es, no se
detecta
una fraccin de
neu t rn
y la
probabilidad
de que el
neutrn
interaccione
con el
detector
y lo
active
es
menor
de 1,
esta
caracterstica
es la
misma
para
cada punto
de los 100
puntos
de la
muestra.
Este experimento tiene una gran analoga con elexper imentode
Rutherford de la
disperin
de
partculas alfa
por
ncleos
de
oro.
A l
igual
que en ese
experime nto, aqu,
el patrn observado en la pantalla se mide por su intensidad
relativa, i.e.,como la razn
del nmerod epartculas qu e llegana lapantalla en laposicinx por
unidad de tiempo
entre
el
n mero total
de
partculas
que
in cidi sobre
la
rendija
de
difraccin
en la
unidad
de tiempo. La ecuacin deSchrdinger deber describir este proceso
dedifraccin, si la
funcin de estado < J > esta asociada a las propiedades
fsicamente mediblesde l sistema,
ella debe determinar, entre otras cosas, la intensidad relativa
de la distribucin de
partculas sobre lapantalla, de ah queparezca raz onable asociar
a lafuncin $ con la
probabilidad
de que una
partcula
del haz
incidente
sea
difractada
a la
posicin
x,
de la
-
7/24/2019 Apuntes para un curso de Mecnica Cuntica (cap 2)
19/20
2.4. LA INTERPRETACIN DE LA FUNCIN DE ESTADO
39
misma forma en que Rutherford defini y midi la seccin de
dispersin. Sin embargo,
la funcin de estado puede ser una funcin compleja y la probabil
idad W debe ser
un nmero real, de tal forma que lacantidad que asociamos con la
probabilidad de
encontrar
a una
part cula
del
conjunto
en la
posicin
x
al
t i empo
t
es:
W(x
t) =
|$(x,)|
2
(2.62)
la cual es una cantid ad positiva definida, y si la funcin de
estado es cuadrticamente
integrable la
funcin
$ es normal izablea la unidad, estoes,
*(x,t) (x,t)dx
=
l. (2.63)
La variable
x
denota a todos la sgrados de l ibertad del sistema y la funcin
de estado
pued e depender de parm etros del sistema com o por ejemp lo el
ancho de la rendija
y
la energa del haz. La ecuacin
(2.62)
que asocia una probabil idad con el m o d u -
lo al cuadrado de la
funcin
de estado resulta
funcionar
muy bien al interpretar los
experimentos con part culas que t ienen un comportamiento
cuntico, de ah que sea
necesario elevar
esta
relacin a postulado dentro del formalismode la teora
cuntica,
esta
discusin
la
dejaremos para
el
siguiente captulo.
-
7/24/2019 Apuntes para un curso de Mecnica Cuntica (cap 2)
20/20
40 CAPTULO
2. LA
ECUACIN
DE SCHRDINGER
2 .5 .
Ejercicios
Aplicando
las reglas de cuantizacin de Wilson-Sommerfeld calcular los
niveles de
energa
para
una partcula que se mueve en un potencial de lasiguiente
forma
V(r)
=
-ma>
2
r
2
con r
la
magnitud
de l
vector
de
posicin
de la
partcula,m
su
masa
y u; su
frecuencia
natural de oscilacin en este potencial armnico.
