Apuntes-Prueba Hipotesis Una Muestra

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Apuntes sobre Prueba de Hiptesis: Una Muestra

(Borrador para correccin)

Elaborado por:

Hctor Medina Disla

Santo Domingo Julio 2008

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Prueba de Hiptesis. Se ha hablado mucho sobre la importancia de la Estadstica como metodologa cientfica para hacer inferencia sobre la poblacin a partir del estudio de una muestra. En este captulo nos centraremos en probar si nuestra suposicin sobre el comportamiento de un parmetro se puede considerar cierta o por el contrario se tiene evidencia para descartar dicha suposicin. Una hiptesis puede definirse como una suposicin sobre el comportamiento de algo, sea cierto o no. Dicha suposicin se origina a partir de la observacin o de la induccin y que requiere ser verificada. Una Hiptesis Estadstica en una suposicin sobre un parmetro poblacional, es decir una suposicin sobre la forma de distribucin de probabilidad de una o varias poblaciones determinadas. Por ejemplo un gerente de operaciones pude suponer que un programa de capacitacin al personal podra reducir el porcentaje de artculos defectuosos, el gerente de mercadeo de una empresa puede creer que un tipo de campaa influye en la demanda de un producto o servicio, un psiclogo clnico puede entender que una terapia determinada es mejor que otra, o que el tiempo que un paciente tarda en recuperar un trastorno con una terapia determinada es tantos das, etctera. La suposicin o hiptesis que se tenga sobre el comportamiento de un fenmeno puede ser cierta o no, el procedimiento que se sigue para verificar la certeza o la falsedad de nuestra suposicin se le denomina prueba de hiptesis. La prueba de una hiptesis estadstica consiste en probar si la diferencia que se observa entre un valor muestral o estadgrafos difiere significativamente con el valor de referencia o parmetro. Este proceso de verificacin de una hiptesis requiere de un proceso de inferencia estadstica, se ha dicho en reiteradas ocasiones y se reitera una vez ms, que difcilmente se pueda analizar una poblacin completa, dado el costo y tiempo requerido para ello, por lo que, cuando se desea conocer ciertas caractersticas de una poblacin, se recurre a estudiarla a partir de una muestra. De igual forma se observ que al tomar diferentes muestras de una poblacin, el valor muestral del promedio, por ejemplo, era diferente con respecto al promedio poblacional o parmetro y que eran diferentes uno de los otros. El objetivo fundamental de la prueba de hiptesis es ayudar a decidir si la diferencia que se observa entre el valor muestral y el parmetro es estadsticamente significativa. Esto equivale a decir que lo buscamos es, determinar si la diferencia observada entre el estimador o estadgrafo y el parmetro se debe a alguna cusa especfica, (diferecnia estadsticamente significativa) o por el contrario se debe causas aleatorias, (diferecnia estadsticamente no significativa)

Hiptesis nula e hiptesis alternativa

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El procedimiento de prueba de hiptesis se realiza sobre dos tipos de hiptesis: la Hiptesis nula, que se representa por H0 y la hiptesis alternativa que se representa por HA. En la hiptesis nula se establece la hiptesis que se desea probar, en ella se plantea que la diferecia observada entre el estimador y el parmetro se debe a causas aleatorias y su planteamiento conlleva un signo de igualdad, puede ser el de igualdad, (=), el de mayor o igual, () o el de menor o igual, () En la hiptesis alternativa, por su parte es la hiptesis alterna posible a la hiptesis nula y debe ser planteada de forma que esta y la hiptesis nula sean mutuamente excluyentes.

Errores en la prueba de hiptesis Una hiptesis puede ser cierta o puede ser falsa y con respecto a ella se toma una de dos decisiones, se acepta o se rechaza, de forma que se puede rechazar una hiptesis que sea cierta o se puede aceptar una que sea falsa. En ambos casos se est incurriendo en un error y a estos errores se le llama Error Tipo I y Error Tipo II. Error Tipo I: es la probabilidad de rechazar una hiptesis nula siendo esta cierta, esta probabilidad est definida por el nivel de confianza que se utilice para la prueba, en cambio el Error Tipo II es la probabilidad de aceptar una hiptesis nula cuando esta es falsa. Potencia de una prueba: La potencia de una prueba define la probabilidad de rechazar una hiptesis nula cuando esta es falsa. En la tabla sigueinte se resumen estos conceptos

Decisin Hiptesis Nula, H0 Aceptar Rechazar Cierta Decisin correcta, con

probabilidad igual al nivel de confianza

Error Tipo I. Con probabilidad igual al nivel de significacin

Falsa Error Tipo II. Probabilidad de cometer este error

Decisin correcta. Con probabilidad igual a: 1- , (Potencia de una prueba)

Prueba de hiptesis bilateral y unilateral En los problemas relacionados con la prueba de hiptesis se pueden presentar uno de dos plantemanientos: 1) se desea conocer si el valor muestral o estimador

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es diferente del parmetro, es decir que la diferencia puede estar a cualquier lado de la curva, en este caso al procedimiento se le llama prueba de hiptesis bilateral o de dos colas y 2) se desea probar si la estimador o estadgrafo es superior al parmetro poblacional o si por el contrario es menor a este, es decir que la diferencia entre ambas medidas se encuentra en un solo lado de la curva. En este caso se le denomina prueba de hiptesis unilateral o de una cola. Para ilustrar estas consideraciones tomamos un ejemplo. El rendimiento promedio de un grupo de trabajadores es de 20 unidades y una desviacin estndar de 5 unidades. Suponga que se han generados cambios en el ambiente de trabajo y que se desea saber si estos cambios han influido en el rendimiento del grupo. En este caso se podran plantear tres hiptesis nulas con su respectiva hiptesis alternativa. Un primer planteamiento que se podra hacer es el siguiente Ho: El rendimiento promedio del grupo sigue siendo 20 unidades Ha: El rendimiento promedio del grupo es diferente 20 unidades En este caso se est planteando que el rendimiento del grupo ha sufrido cambios, sin especificar si es que ha aumentado o que ha disminuido. Este procedimiento es bilateral o de dos colas. S representamos el rendimiento del grupo por la letra R, estas hiptesis podran plantearse como se ilustra a continuacin

Ho: R = 20;

Ha: R 20 Un segundo planteamiento es

Ho: El rendimiento promedio del grupo sigue siendo 20 unidades Ha: El rendimiento promedio del grupo es mayor de 20 unidades

En este caso se est planteando que el promedio es mayor despus de los cambios en el ambiente. En este caso la hiptesis es unilateral o de una cola, en este caso a la derecha.

Ho: R = 20; Ha: R > 20

Y un tercer planteamiento es

Ho: El rendimiento promedio del grupo sigue siendo de 20 unidades Ha: El rendimiento promedio del grupo es menor de 20 unidades

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En este caso se est planteando que el promedio es mayor despus de los cambios en el ambiente. En este caso la hiptesis es unilateral o de una cola, en este caso hacia la izquierda.

Ho: R = 20; Ha: R < 20

Pasos para probar una hiptesis: Un procedimiento de prueba de hiptesis requiere seis pasos:

1. Plantear o enunciar las hiptesis 2. Identificar el estadstico de la prueba, (Distribucin de probabilidad a

utilizar en la prueba) 3. Especificar el nivel de confianza de la prueba de hiptesis. Establecer zona

de rechazo y zona de aceptacin 4. Obtener los datos y realizar los clculos de la prueba 5. Decidir sobre la veracidad o no de la prueba 6. Redactar una conclusin sobre el proceso.

Enunciacin de las hiptesis: La enunciacin de las hiptesis consiste en establecer las hiptesis que se quiere probar. En el procedimiento de prueba de hiptesis se plantean dos opciones: La hiptesis nula, la cual se representa por Ho y la hiptesis alternativa, que se representa por Ha. La hiptesis nula es la hiptesis que se somete a prueba, por lo tanto la decisin y la conclusin sern sobre esta hiptesis, en cambio la hiptesis alternativa es la hiptesis complementaria de la hiptesis nula. El planteamiento de la hiptesis nula siempre lleva un signo de igualdad, es decir, mayor o igual, menor o igual o igual. Eleccin del estadstico de la prueba El estadstico de la prueba es la distribucin de probabilidad que sigue la variable en la muestra. Para la eleccin del estadstico de la prueba se tomar en consideracin tres elementos: el tamao de la muestra, el origen de la varianza y estimador que se est probando. Por ejemplo, para la prueba de hiptesis del promedio se utiliza la distribucin normal de probabilidad cundo se conoce la varianza de la poblacin, o cuando se tiene una varianza calculada a partir de una muestra grande, (muestra con ms de 30 elementos, n > 30), en cambio se utiliza la distribucin T de Student cuando no se conoce la varianza de la poblacin y se tiene una muestra pequea, (muestra menor a 30 elementos, n < 30).

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En el caso de la prueba de hiptesis de la proporcin siempre se utiliza la distribucin normal de probabilidad Establecimiento del nivel de confianza: El nivel de confianza es la probabilidad de que el parmetro poblacional se encuentre dentro de los lmites del intervalo calculado para dicho parmetro, de forma tal que al establecer el nivel de confianza tambin se establece la zona de aceptacin y la zona de rechazo de la hiptesis nula. La zona de aceptacin en el rea bajo la curva correspondiente al nivel de confianza, mientras que la zona de rechazo es el rea correspondiente a las colas del intervalo. Para una prueba de hiptesis de dos colas y un nivel de confianza de 95.0% de confianza la zona de aceptacin y de rechazo estaran dadas como se ilustra en la figura siguiente Zona de aceptacin

de Ho

ZF/2=-1.96 ZF/2=1.96 El valor de Z se obtiene a partir de la tabla de la distribucin normal. En este caso como se trata de un nivel de confianza de 95.0%, en las colas hay 5.0% y como es de dos colas, cada lado de la cola les corresponde la mitad es decir 2.5% o 0.025 a cada lado por lo que al buscar en el tabla de la distribucin normal el 0.475 de uno de los lados de la curva esta probabilidad se ubica en la columna de Z correspondiente a 1.9 y la columna 0.06, es decir Z = 1.96 Clculos del estadstico de la prueba Para la prueba de hiptesis lo esencial es calcular el estadstico de la prueba, esto es, el valor de Z o T, segn sea el caso, calculado a partir de los datos de la muestra y los cuales se comparan con el valor estndar obtenido a partir de la tabla correspondiente. El calculo que se hace indica en cuantos errores estndar se aleja el estimador del parmetro, para luego compara en cuantos debera alejarse. El clculo del estadstico se obtiene a partir de:

( )Estimador

Estimador ParmetroEstadstico

S

= , donde Estimador es el error estndar

del estimador. Decisin sobre la prueba de hiptesis

Zona de rechazo de Ho

Zona de rechazo de Ho

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Los datos obtenidos y los clculos realizados llevan a tomar una decisin, aceptar o rechazar la hiptesis nula. La regla es simple, solo hay que comparar el valor del estadstico calculado con el estadstico de la tabla. Si el valor absoluto del estadstico calculado es mayor que el valor estndar, este cae en zona de rechazo y por lo tanto hay evidencia para rechazar la hiptesis nula Redaccin de la conclusin La hiptesis nula plantea que la diferencia observada entre el estimador y el parmetro poblacional se debe a causas aleatorias o a la distribucin muestral, por lo tanto al hacer la compasin y decidir se debe redactar una conclusin sobre la veracidad o no de la hiptesis nula.

II. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA UNA MUESTRA Este procedimiento de prueba de hiptesis se usa cuando se desea conocer si la diferencia que se observa entre un estimador y su parmetro es estadsticamente significativa, esto es, si la diferencia que se observa se debe a la presencia de un factor o si por contrario se debe a causas aleatorias. En este procedimiento de prueba de hiptesis solo se dispone de datos de una muestra. En este caso los planteamientos de las hiptesis seran, segn sea el caso, los siguientes:

Estadstico Tipo de prueba Promedio Proporcin o

porcentaje

Regla de decisin

Prueba bilateral o de dos colas

Ho: = ; Ha:

Ho: Px = P0; Ha: Px P0

Rechazar H0 si el estadstico calculado es mayor o si es menor al estadstico de la tabla

Prueba unilateral a la derecha

Ho: = ; Ha: >

Ho: Px = P0; Ha: Px > P0

Rechazar H0 cuando el estadstico calculado sea mayor al estadstico de la tabla

Prueba unilateral a la izquierda

Ho: = ; Ha: <

Ho: Px = P0; Ha: Px < P0

Rechazar H0 cuando el estadstico calculado sea menor al estadstico de la tabla

PRUEBA DE HIPTESIS DEL PROMEDIO: Este procedimiento de prueba de hiptesis se usa cuando se desea conocer si la diferencia que se observa entre un promedio calculado a partir de una muestra y el promedio de la poblacin o parmetro es estadsticamente significativa, esto es, si la diferencia que se observa se debe a causas aleatorias o si por el contrario se debe a un factor no aleatorio que hace que se produzca tal diferencia.

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Ejemplo 1: Un psiclogo que trabaja para una escuela introdujo un nuevo mtodo de enseanza con el objetivo de facilitar el aprendizaje y mejorar las condiciones de trabajo del cuerpo de profesores. Antes de iniciar el nuevo mtodo de enseanza el rendimiento promedio de los estudiantes era de 74.4 puntos. Luego de tres meses de trabajar con el nuevo mtodo tom una muestra de 60 estudiantes y encontr un promedio de 77.8 puntos con una varianza de 95.2 puntos2. Con un nivel de confianza de 95.0% puede decirse que con el nuevo mtodo de enseanza el rendimiento es mayor.

1) Planteamiento de las hiptesis, para este caso se refiere a una prueba de una

sola cola o unilateral, ya que se desea probar si promedio ahora es mayor, por lo tanto el planteamiento de las hiptesis es como sigue:

Ho: = 74.4;

Ha: > 74.4

2) Identificar el estadstico de la prueba, en este caso el estadstico de la prueba es

la Distribucin Normal, dado que tenemos una muestra grande, por lo tanto el

estadstico de la prueba es ( )c

x

xZ

S

=

3) Especificar el nivel de confianza de la prueba de hiptesis. Se desea un nivel de

confianza de 95.0% y por lo tanto el rea de significacin es de 5.0%, por lo que el intervalo es:

ZF =1.64

4) Realizando los clculos

= 77.8 puntos, = 74.4 puntos, n = 60 estudiantes, S2 = 95.2 ptos2, Sx=9.8 puntos

= 0.05 y S = n

Sx S = 608.9

S =1.27

( )c

x

xZ

S

= , por lo tanto, ( )77.8 74.4 3.4 2.68

1.27 1.27cZ

= = =

5) Decisin: Dado que el cZ = 2.68 es mayor que ZF =1.64 hay evidencia para rechazar la hiptesis

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6) Conclusin sobre el proceso. Como el valor de Z calculado cae en zona de

rechazo, se puede concluir que existe evidencia para rechazar la hiptesis de que el promedio sigue siendo el mismo, pudiendo afirmar, con un nivel de confianza de 95.0%, que con el nuevo mtodo de enseanza el rendimiento del grupo es significativamente mayor. Ejemplo 2: Antes de recibir entrenamiento el promedio de fallas por empleado era de 2.0 y la desviacin estndar de 0.06. Tratando de mejorar esta situacin el Gerente de Recursos Humanos dispuso desarrollar un curso de entrenamiento y luego de poner en prctica los conocimientos del curso tom una muestra de nueve empleados y encontr que el promedio de fallas era de 1.95. Al observar los resultados el gerente de produccin plantea al de R. H. que el promedio de fallas por empleado sigue siendo el mismo. Con un nivel de confianza de 95.0% qu se puede decir acerca del planteamiento del gerente de produccin? 1) Planteamiento de las hiptesis, para este caso se refiere a una prueba de dos

colas o bilateral, ya que se desea probar si promedio ahora es diferente, por lo tanto el planteamiento de las hiptesis es como sigue:

Ho: = 2.0 errores;

Ha: 2.0 errores


la distribucin normal, dado que, aunque se tiene una muestra pequea, se conoce la varianza de la poblacin, por lo tanto el estadstico de la prueba es

( )c

x

xZ

=


confianza de 95.0% y por lo tanto el rea de significacin es de 5.0%, en ambos extremo, es decir 2.5% en cada lado por lo que el intervalo es: -1.96 1.96 4) Realizando los clculos

= 1.95, = 2, n = 9, = 0.06, = 0.05

= n

x = 906.0

=0.02

10

( )c

x

xZ

= , ( )1.95 2.00 0.05 2.50

0.02 0.02cZ

= = =

5) Decisin: Dado que el cZ = -2.50 es menor que ZF/2 = -1.96 se rechaza la hiptesis 6) Conclusin sobre el proceso. Como el valor calculado cae en el rea de

significacin, existe evidencia para rechazar la hiptesis de que el promedio de fallas sigue siendo el mismo. Por lo que podemos decir que el entrenamiento ha tenido efectos positivos al reducir significativamente el promedio de fallas por empleado.

Prueba de hiptesis del promedio en una muestra pequea, n < 30 Cuando se tienen datos de una muestra pequea y no se conoce la varianza de la poblacin, es decir que lo que se tiene es la varianza calculada a partir de la muestra, en este caso se procede a utilizar el estadstico T de la distribucin T de student, la cual tiene forma de campana con la caracterstica de que la curva es ms plana que en una muestra mayor dado el grado de variabilidad. Ejemplo 3: Un psiclogo industrial est midiendo en rendimiento de un grupo de empleados, para ello toma en consideracin el tiempo que tarda un empleado en terminar una tarea determinada. El tiempo promedio en terminar dicha tarea es de 0.30 minutos. Una estrategia para reducir este tiempo es colocar msica mientras los empleados desarrollan su trabajo y en una muestra de 16 empleados que trabajaron con msica se encontr un tiempo promedio de 0.28 minutos con una desviacin estndar de 0.017 minutos. Con un nivel de confianza de 99.0% puede decirse que la msica disminuye el tiempo en terminar dicha tarea? 1) Planteamiento de las hiptesis, para este caso se refiere a una prueba de una

cola o unilateral, ya que se desea probar si el tiempo promedio en terminar una tarea ahora es menor, por lo tanto el planteamiento de las hiptesis es como sigue:

Ho: = 0.30 minutos;

Ha: < 0.30 minutos


la distribucin T de Student, dado que se tiene una muestra pequea y la varianza se calcul a partir de los datos de la muestra. En este caso el estadstico

de la prueba es ( )

c

x

xt

S

=

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confianza de 99.0% y por lo tanto el rea de significacin es de 1.0%, en el extremo izquierdo:

t15, 0.01= -2.606 4) Realizando los clculos

= 0.28, = 0.30, n = 16, Sx = 0.017

= 0.01 y S = n

Sx S = 16017.0

S = 0.0043

( )c

x

xt

S

= ( )0.28 0.30 0.02 4.651

0.0043 0.0043ct

= = =

5) Decisin: Dado que el tc = - 4.651 es menor que t15, 0.01 = -2.977 se rechaza la

hiptesis 6) Conclusin sobre el proceso. Como se observa en el estadstico t calculado y el

de la tabla, indica que existe evidencia para rechazar la hiptesis de que trabajando con msica los empleados duran el mismo tiempo para terminar su tarea. Siendo as, podemos concluir, con un 99.0% de confianza, que la msica ayuda a que los empleados tarden menos tiempo para terminar su tarea.

PRUEBA DE HIPTESIS PARA LA PROPORCIN:

La proporcin define el porcentaje de xito de una variable, por ejemplo porcentaje de estudiantes promovidos, porcentaje de artculos defectuosos, porcentaje de personas que consumen un determinado producto, porcentaje de cuestas recuperadas, entre otros muchos casos. El procedimiento de la prueba de hiptesis es comparar el porcentaje de xito en la muestra, (Px) con el porcentaje de referencia o porcentaje de la poblacin (P0).

Para el caso de la prueba de hiptesis de la proporcin siempre se utiliza la Distribucin Normal de Probabilidad, sin importar el tamao de la muestra. Para la prueba de la proporcin el estadstico Z es:

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n

PPPP

Zc X)1(

)(00

0

=

El denominador del estadstico Zc es error estndar de la proporcin, (Sp) por lo que el estadstico de la prueba se puede escribir como sigue:

( )0xc

p

P PZ

S

= , siendo el error estndar de la proporcin, (Sp) ,)1( 00

n

PPS p

=

Ejemplo 4: Recordemos la introduccin del nuevo mtodo de enseanza, del ejemplo nmero uno, introducido por el psiclogo en la escuela, una de las variables estudiadas fue el nmero de estudiantes reprobados en aos anteriores y en este sentido encontr que de todos los estudiantes el 19.6% haba reprobado. Con el nuevo mtodo de enseanza en la muestra de 60 estudiantes se encontr que 11 de ellos haban reprobado. Con un nivel de significacin de 95.0% se puede decir que con el nuevo mtodo de enseanza el porcentaje de estudiantes reprobado es menor?

Si X define el nmero de estudiantes reprobados, en la muestra de 60 estudiantes,

Px = 11/60, es decir Px = 0.183 y P0 = 0.196. Ahora se puede calcular el error

estndar de la proporcin, (Sp), resultando: ,)1( 00

n

PPS p

= as

,

60)196.01(196.0

=pS es decir ,60)804.0196.0

=pS 0.158 0.0026 0.051

60pS = = =

Ahora se procede a probar la hiptesis:

1) Planteamiento de la hiptesis, lo que deseamos probar es si realmente el

porcentaje de estudiantes reprobado es menor, por lo tanto el planteamiento de la hiptesis es:

Ho: Px = P0; Ha: Px < P0

2) Estadstico de la prueba, para este caso se debe utilizar el estadstico Z, dado

que se trata de una prueba para la proporcin: ( )0xc

p

P PZ

S

=

3) Especificar el nivel de confianza de la prueba, como se trata de una prueba

unilateral o de una cola.

ZF= -1.64

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4) Realizando los clculos de la prueba

Px = 11/60 Px= 0.183 P0 = 0.196 n = 60 Sp = 0.051

Luego, el clculo de Zc es: ( )0 (0.183 0.196) 0.013 0.25

0.051 0.051x

c

p

P PZ

S

= = = =

5) Decisin sobre la veracidad o no de la prueba.

Como Zc = -0.25 > ZF = -1.64 se acepta la hiptesis

6) Redaccin de la conclusin: Dado que el valor del estadstico calculado cae en

zona de aceptacin, podemos concluir que hay evidencia para aceptar la hiptesis de que el porcentaje de estudiantes reprobado es igual con el nuevo mtodo, que con el viejo, por lo que se puede decir con 95.0% de confianza que el nuevo mtodo de enseanza no contribuye a reducir el porcentaje de estudiantes reprobados.

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Ejercicios 1. El gerente de ventas de una cadena de tiendas le establece una meta visitar 24 clientes cada da, para ofrecer nuevos productos y conocer como estn utilizando los ya adquiridos. Para probar su poltica de visita selecciona una muestra aleatoria de 36 das de trabajo de su equipo y encuentra que el nmero promedio de visitas es 30 con una desviacin estndar de 12 visitas. Con un nivel de confianza de 95.0%. Se puede decir que el nmero de visitas diario es diferente de 24?

a) Cul sera el parmetro para esta prueba b) Esta prueba sera de una o dos colas. c) Haga un planteamiento de las hiptesis nula y la alternativa d) Siga el procedimiento adecuado para probar la hiptesis planteada en el punto c

2. Un fabricante de bateras para automviles asegura que las bateras producidas por l

tienen una duracin promedio de 40,000 millas. Se aprob una muestra aleatoria de 60 bateras y se tuvo una duracin promedio de 40,800 millas, con una desviacin estndar de la muestra de 5,400 millas con un nivel de confianza de 95.0%. Es vlida la afirmacin del fabricante de las bateras.


3. Un fabricante de televisores anuncia que el 90% de sus aparatos no necesita ninguna reparacin durante los dos primeros aos de uso. La oficina de proteccin al consumidor selecciona una muestra de 100 aparatos y encuentra que 14 necesitan alguna reparacin durante los dos primeros aos de uso. Con un nivel de confianza de de 99.0% A qu conclusin puede llegar la oficina de proteccin al consumidor?


4. El propietario de una firma de mayoreo querra saber la proporcin de cuentas por cobrar con ms de 60 das de vencidas. El propietario estima que 15.0% de las cuentas

por cobrar tienen ms de 60 das de vencidas. Una muestra aleatoria de 300 cuentas por cobrar revela que 44 tenan ms de 60 das de vencidas. Al nivel de significacin de 0.05. Es vlida la estimacin del propietario?


5. El peso promedio de cierto artculo debe de ser 45.0 Kg segn las normas de proteccin al consumidor. En una muestra de 20 artculos para fines de control de calidad se encontr un peso promedio de 41.8 Kg y una desviacin est de 2.3 Kg. Con un nivel de

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confianza de 95.0% puede decirse que el peso promedio del artculo es menor de lo establecido.


6. Una oficina de servicios al usuario establece como poltica de servicio que por lo menos el 90 por ciento de los usuarios debe ser atendido en menos de 15 minutos una vez que haya llegado a la estacin de servicios. De un total de 2,400 usuarios, 2,040 fueron atendidos antes de los 15 minutos de haber llegado a la estacin de servicios. Con un nivel de confianza de 99.0% puede decirse que la oficina est cumpliendo sus metas. 7. El nmero de das establecidos para dar respuesta a un reporte de avera es de ocho

das. En una evaluacin de la eficiencia de una oficina comercial en una muestra de 16 reportes se encontr que las mismas fueron resueltas en el siguiente plazo.

9 7 10 8 10 10 9 15

11 7 10 9 6 7 8 10


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