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Metodos Estadsticos II Econ. Gonzalo Villa Cox
Apuntes de Clase # 3
Fecha: II Termino-2012
4. Estimacion
4.1. Preliminares
Objetivo: Familiarizarse con las tecnicas estadsticas que
permiten extraer conclusiones acercade los parametros de una
poblacion a partir de datos experimentales.
Definicion 4.1.1 La inferencia estadstica es el conjunto de
metodos por los que se realizangeneralizaciones acerca de una
poblacion.
Nota: Existen dos metodos que se utilizan para realizar
inferencias estadsticas: El metodo clasicoy el metodo bayesiano, en
este curso se profundizara sobre el metodo clasico.
Definicion 4.1.2 El metodo clasico de estimacion es aquel que
basa la inferencia estadsticaestrictamente en la informacion que se
obtiene de una muestra.
Definicion 4.1.3 Se llama estimacion puntual al proceso de
utilizar el valor de un estadstico(definicion 3.1.4) para estimar
un parametro poblacional. Al estadstico del cual se obtiene este
valorse lo llama estimador puntual, y al valor obtenido punto
estimado.
Nota: Se habla de puntual para diferenciar de la estimacion por
intervalos que se estudiara masadelante.
Ejemplos:
Utilizar el valor que toma X para estimar la media de la
poblacion.
Considerar a una proporcion muestral observada como estimador
del parametro de unadistribucion bernoulli.
Nota: A menos que se indique algo diferente, por estimador se
entendera estimador puntual ypor estimado se entendera punto
estimado.
4.2. Propiedades deseables de un estimador
Los estimadores, al ser una funcion de una muestra aleatoria
(definiciones 4.1.3 y 3.1.4), sonvariables aleatorias y por tanto
no pueden brindar informacion exacta sobre el parametro quetratan
de estimar.
Para cada parametro existe un numero infinito de
estimadores.
En esta seccion se expondra un conjunto de criterios que
permitiron calificar los meritos decada uno de los posibles
estimadores de un parametro.
4.2.1. Insesgadez
Definicion 4.2.1 Un estadstico es un estimador insesgado del
parametro si
E() =
A3-1
-
Ejemplo 4.2.1 S2, definido como
S2 =
ni=1(Xi X)n 1
es un estimador insesgado de la varianza poblacional 2
Demostracion Como parte de la demostracion del segundo postulado
del teorema 3.4.7 se puedeestablecer que
S2 =
ni=1(Xi X)2
n 1=
1
n 1
[ni=1
(Xi )2 n (X )2]
a partir de este punto
E(S2) = E
[ni=1(Xi X)2
n 1
]=
1
n 1
[ni=1
E(Xi )2 nE(X )2]
y puesto que
E(Xi )2 = 2 y E(X )2 =2
n
entonces
E(S2) =1
n 1
(n2 n
2
n
)E(S2) = 2 //
QED
Definicion 4.2.2 (Sesgo) Sea un estimador de , el sesgo del
estimador esta definido como
b(, ) = E()
Si b() 6= 0 entonces se dice que es un estimador sesgado de
Definicion 4.2.3 (Insesgadez asintotica) Sea un estimador
sesgado de , se dice que esasintoticamente insesgado si el lmite
del sesgo tiende a cero cuando n tiende a infinito
lmn
b(, ) = 0
Nota: Todo estimador insesgado es tambien asintoticamente
insesgado.
Ejemplo 4.2.2 Si X1, X2, . . . , Xn constituyen una muestra
aleatoria de la poblacion dada por
f(x) =
{e(x) para x > 0 en otro caso
entonces X es un estimador sesgado de
Demostracion El teorema 3.3.1 establece que E(X) = E(X). Por
otro lado, se tiene que laesperanza de X es igual a
E(X) =
xe(x) dx = 1 +
A3-2
-
para demostrarlo se utilizara el metodo de integracion por
partes.u dv = uv
v du
Seau = x y por tanto du = dx
dv = e(x) dx y por tanto v = e(x)
entonces xe(x) dx = xe(x)
e(x) dx
= x
e(x)
e(x)
= [
x
e(x)
x=
] [0 1]
Comox
e(x)evaluado en x = es una indefinicion de la forma se puede
aplicar la regla de LHopital
obteniendose finalmente que
xe(x) dx =
[1
e(x)
x=
]
+ 1
= [0 ] + 1 xe(x) dx = 1 + //
QED
Por tanto X es un estimador sesgado de , que es lo que se quera
demostrar. En particular, el sesgoesta dado por
b(X, ) = E(X) = (1 + ) = 1 //R
Nota: Del ejercicio anterior se puede concluir que Y = X 1 es un
estimador insesgado de. Por supuesto, en la mayora de los casos no
es posible pasar de un estimador sesgado a uno inses-gado por el
simple conocimiento del sesgo.
Ejemplo 4.2.3 Si X1, X2, . . . , Xn constituyen una muestra
aleatoria de una poblacion normal, en-tonces
2 =
ni=1
(Xi X
)2n
es un estimador sesgado de 2, pero asintoticamente
insesgado.
Demostracion Siguiendo un procedimiento similar al del ejemplo
4.2.1 se tendra que
E(2) = E
[ni=1
(Xi X
)2n
]
=1
n
ni=1
E(Xi X)2 =1
n
(n2 2
)E(2) =
(n 1n
)2
lo que demuestra que 2 es un estimador sesgado de 2 con sesgo
igual a
b(2, 2
)= E
(2) 2 =
(n 1n
)2 2
= 2(n 1n 1)
= 1n2
No obstante, este sesgo tiende a cero cuando n tiende a
infinito
lmn
b(2, 2
)= lmn
( 1n2)
= 0
A3-3
-
Por tanto 2 es un estimador asintoticamente insesgado de 2.
Ejemplo 4.2.4 Dada una muestra aleatoria X1, X2, . . . , Xn. El
estimador X = Xi es un estimadorinsesgado de la media poblacional ,
para cualquier i {1, 2, 3, . . . , n}
Demostracion La esperanza de un elemento cualquiera de la
muestra (el elemento i) es igual a
E(Xi) =
En conclusion, X = Xi para cualquier i {1, 2, 3, . . . , n} es
un estimador insesgado de .
4.2.2. Eficiencia relativa
Definicion 4.2.4 Si 1 y 2 son dos estimadores insesgados del
parametro de una poblaciondada y la varianza de 1 es menor que la
varianza de 2, entonces 1 es relativamente maseficiente que 2
Teorema 4.2.1 La varianza de todos los estimadores insesgados
cumple la siguiente propiedadconocida como la Desigualdad de
Cramer-Rao
Var(
) 1
n E
[( ln f(X; )
)2]
donde es el conjunto de parametros que definen la poblacion,
f(x) es el valor de la funcion dedensidad en x y n es el tamano de
la muestra aleatoria.
Teorema 4.2.2 Si es un estimador insesgado de y
Var(
)
=1
n E
[( ln f(X; )
)2]
entonces es un estimador insesgado de varianza mnima de
Nota: La cantidad en el denominador se conoce como la
informacion sobre que proporcionala muestra. As, mientras menor sea
la varianza mayor es la informacion.
Definicion 4.2.5 Si es un estimador de que cumple con el teorema
4.2.2 entonces es elestimador insesgado mas eficiente de .
Nota: Cuando simplemente se dice que un estimador es el mas
eficiente usualmente es implcitoque se esta hablando de el
estimador insesgado mas eficiente.
Ejemplo 4.2.5 X es un estimador insesgado de varianza mnima de
la media de una poblacionnormal.
Solucion: La funcion de densidad de la distribucion normal est a
dada por
f(x;, 2) =1
22 e
12 (
x )
2
Se requiere calcular
E
[( ln f(X; )
)2]= E
[( ln f(X;, 2)
)2]
A3-4
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Para tal efecto se requiere hacer los siguientes calculos
ln f(x;, 2) = ln[
2] 1
2
(x
)2 ln f(x;, 2)
=
1
(x
)Reemplazando valores
E
[( ln f(X;, 2)
)2]=
1
2E
[(x
)2]=
1
2
Finalmente se ha obtenido que un estimador insesgado de tendra
como mnimo una varianza de
1
n E
[( ln f(X;, 2)
)2] = 1n
1
2
=2
n
Dado que esta es justamente la varianza del estadstico X, el
cual es un estimador insesgado de, se concluye que para poblaciones
normales X es un estimador insesgado de varianza mnima de.
(Recuerdese que no se puede generalizar que X sea el estimador mas
eficiente de la media decualquier poblacion)
Definicion 4.2.6 (Eficiencia asintotica) Un estimador es
asintoticamente eficiente si suvarianza tiende a cero cuando n
tiende a infinito
lmn
Var() = 0
Observaciones 4.2.1 Sean 1 y 2 dos estimadores insesgados de
La eficiencia relativa de 1 respecto a 2 no implica que 1 sea el
estimador mas eficientede .
Si 1 es el estimador mas eficiente entonces 1 tambien sera
asintoticamente eficiente.
Si 1 no es asintoticamente eficiente entonces 1 tampoco puede
ser el mas eficiente.
Los dos puntos anteriores requieren que la informacion que la
muestra provee sobre el parame-tro sea diferente de cero.
Ejemplo 4.2.6 X = Xi para cualquier i {1, 2, 3, . . . , n} es un
estimador insesgado de pero noes asintoticamente eficiente.
Demostracion La varianza de X esta dada por
Var(X) = Var(Xi) = 2
Dado que la varianza del estimador no tiende a cero a medida que
n tiende a infinito se concluyeque el estimador no es
eficiente.
lmn
Var(X) = lmn
2 = 2 6= 0
Ejemplo 4.2.7 Si X1, X2, . . . , Xn constituyen una muestra
aleatoria de una poblacion normal, en-tonces
S2 =
ni=1
(Xi X
)2n 1
es un estimador insesgado de 2, su varianza no es mnima (es
mayor al lmite inferior de Cramer-Rao), pero es asintoticamente
eficiente.
A3-5
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Solucion: En el ejemplo 4.2.1 ya se demostro que S2 es un
estimador insesgado de 2. Queda pordemostrar que este estimador no
es de varianza mnima para una poblacion normal. En particular,se
necesitara calcular
E
[( ln f(X; )
)2]= E
[( ln f(X;, 2)
2
)2]Para esto, se tiene que
ln f(x;, 2) = 12
ln[22
] 1
2
(x )2
2
ln f(x)
2= 1
22+
1
24(x )2 = 1
22
[(x )2
2 1
]
por lo que
E
[( ln f(X;, 2)
2
)2]= E
{ 122
[(x )2
2 1
]}2=
1
44E
{(x )4
4 2(x )
2
2+ 1
}
=1
44
E[(x )4
]4
2 E[(x )2
]2
+ 1
=
1
44
(34
4 2
2
2+ 1
)=
1
44 (2)
=1
24
Se concluye que para una poblacion normal, un estimador
insesgado de varianza mnima de 2 tendrauna varianza de
1
n E
[( ln f(X;, 2)
2
)2] = 1n
1
24
=24
n
Se procede ahora a calcular la varianza de S2, y para tal efecto
se sabe por el teorema 3.4.7 que
Var
[(n 1)S2
2
]= Var
[2(n1)
](n 1)2
4Var(S2) = 2(n 1)
por lo tanto
Var(S2) =24
n 16= 2
4
nfinalmente se calcula el lmite de la varianza del estimador
cuando n tiende a infinito.
lmn
Var(S2) = lmn
24
n 1= 0
Lo cual demuestra que S2 es un estimador insesgado que no tiene
varianza mnima pero que esasintoticamente eficiente. (o S2 solo es
eficiente asintoticamente)
Nota: Si la media poblacional fuera conocida, entonces un
estimador insesgado de varianzamnima para una poblacion normal
sera
2 =
ni=1
(Xi )2
n
A3-6
-
Definicion 4.2.7 El error cuadratico medio de un estimador se
define como
ECM() = E
[(
)2]Observaciones 4.2.2
El ECM es diferente a la varianza de la cual esta definida
por
Var() = E
[( E()
)2]
La diferencia entre ambos es que la Var() mide la dispersion de
la distribucion de alrededor
de su valor esperado, mientras que ECM() mide la dispersion
alrededor del verdadero valordel parametro.
La relacion entre ambos esta dada por
ECM() = E
[(
)2]= E
{[( E()
)+(
E() )]2}
= E
[( E()
)2+ 2
( E()
)(E()
)+(
E() )2]
= E
[( E()
)2]+ E
[2(
E())(
E() )]
+ E
[(E()
)2]y dado que E() y son constantes
= E
[( E()
)2]+ 2
(E()
)E
[( E()
)]+(
E() )2
de donde se obtiene que
ECM() = Var() +[b(, )
]2Es decir, el error cuadratico medio de es igual a la varianza
de mas el sesgo de alcuadrado.
Definicion 4.2.8 El criterio de mnimo ECM consiste en
seleccionar un estimador cuyo ECMsea el menor en un conjunto de
estimadores comparables.
Observaciones 4.2.3
Si el sesgo es igual a cero el critero de mnimo ECM es
equivalente al criterio de mnimavarianza, pues en ese caso
ECM() = Var()
En la practica el criterio de mnimo ECM se utiliza cuando los
estimadores insesgados sonincapaces de cumplir con el criterio de
varianza mnima.
4.2.3. Consistencia
Definicion 4.2.9 El estadstico es un estimador consistente del
parametro si y solo si paracada c > 0
lmn
P( < c) = 1
Interpretacion: Para cada nmero positivo c, existe un valor de n
lo suficientemente grandea partir del cual podemos estar
practicamente seguros que la diferencia entre el estimador y
elparametro no excedera a c.
A3-7
-
gn
c
c +
n
La clase de convergencia expresada por el lmite de la definicion
4.2.9 generalmente se llama con-vergencia en probabilidad.
Teorema 4.2.3 Si es un estimador insesgado del parametro y Var()
desciende hacia cero
conforme n asciende a infinito, entonces es un estimador
consistente de .
( )E =
( )f n
( )Var
0
El teorema 4.2.3 tambien es valido si es asintoticamente
eficiente.
4.3. Metodos de estimacion puntual
Existe un numero infinito de estimadores para un mismo parametro
de una poblacion.
Por las propiedades que cumplen, algunos de los metodos de
estimacion mas conocidos son:
Metodo de momentos. Metodo de maxima verosimilitud. Estimacion
bayesiana. Metodo de mnimos cuadrados.
4.3.1. El metodo de maxima verosimilitud
Los estimados hallados por este metodo maximizan la probabilidad
de obtener la muestraobservada.
Los estimadores de maxima verosimilitud son asintoticamente
insesgados de varianza mnima.
Propiedad de invarianza: Si es un estimador de maxima
verosimilitud del parametro y la funcion dada por g() es continua,
entonces g() tambien es un estimador de maximaverosimilitud de
g().
A3-8
-
Definicion 4.3.1 Si x1, x2, . . . , xn son los valores
observados en una muestra aleatoria de una po-blacion con parametro
, la funcion de verosimilitud de esta muestra esta dada por
L() = f(x1, x2, . . . , xn; )
Donde se encuentra dentro de un dominio dado y f(x1, x2, . . . ,
xn; ) es el valor de la distribucion deprobabilidad conjunta de las
variables aleatorias X1, X2, . . . , Xn cuando X1 = x1, X2 = x2, .
. . , Xn =xn.
Ejemplo 4.3.1 La probabilidad de que llueva en un da esta dada
por . Hubo lluvia en 5 de los7 das de la semana pasada. Cual es el
valor de que maximiza la probabilidad de que suceda
loobservado?
Solucion: La probabilidad de que llueva en 5 de los 7 das de la
semana pasada cuando laprobabilidad de lluvia para cada da es puede
ser calculada a traves de la funcion de probabilidadbinomial (
nx
)x (1 )nx
donde n es el total de das en analisis y x representa el numero
de das en los que efectivamentellovia. Reemplazando valores se
tiene que la probabilidad en cuestion es igual a(
75
)5 (1 )75 = 21 5 (1 )2
Esta probabilidad es una funcion de y corresponde a la
definicion de funcion de verosimilitud L().
L() = 21 5 (1 )2
Interesa encontrar el valor que maximice esta probabilidad (que
maximice la funcion de verosimi-litud)
= arg max
L() = 21 5(1 )2
este problema de maximizacion es equivalente a
= arg max
lnL() = ln 21 + 5 ln + 2 ln(1 )
para encontrar el valor de en cuestion se deriva la expresion
anterior con respecto a y se igualaa cero, obteniendo as la
condicion que debe cumplir .
5
2
1 = 0
y por tanto
=5
7
Se concluye que la probabilidad de que se hayan observado 5 das
con lluvia la semana pasada semaximiza cuando la probabilidad de
lluvia para un da es igual a 5/7. Al valor obtenido se lo
llamaestimado de maxima verosimilitud.
Ejemplo 4.3.2 Se puede resolver el ejercicio anterior para un
caso general: dado x exitos en nintentos, encontrar el estimador de
maxima verosimilitud () del parametro de una poblacionbinomial.
Solucion: La funcion de verosimilitud para este caso esta dada
por
L() =
(nx
)x (1 )nx
Para encontrar el valor que maximiza esta probabilidad es
necesario maximizar la funcion deverosimilitud con respecto a .
As
= arg max
L() =
(nx
)x(1 )nx
A3-9
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lo que es equivalente a
= arg max
lnL() = ln
(nx
)+ x ln() + (n x) ln(1 )
derivando con respecto a e igualando a cero se obtiene que
x
n x
1 = 0
=x
n
por tanto, el estimador de maxima verosimilitud de es
=X
n
Observaciones 4.3.1
es el estimado de maxima verosimilitud del parametro , es decir
el valor que se halla parauna muestra en particular.
El estimado de maxima verosimilitud del parametro es aquel valor
de que maximiza lafuncion de verosimilitud o, dicho de otro modo,
el valor de que hace maxima la probabilidadde observar una muestra
en particular.
es el estimador de maxima veromilitud del parametro , es decir
la formula que indicacomo a partir de los datos de una muestra
calcular el estimado.
Ejemplo 4.3.3 Si X1, X2, . . . , Xn constituyen una muestra
aleatoria de tamano n de una poblacionnormal con media y varianza
2, encuentre los estimadores conjuntos de maxima verosimilitud
deestos dos parametros.
Solucion: La funcion de densidad para cada Xi esta dada por
f(xi;, ) =1
2 e 1
22(xi )2
Como los elementos de una muestra aleatoria proveniente de una
poblacion infinita son independien-tes, entonces la funcion de
densidad conjunta f(x1, x2, . . . , xn;, ) de la muestra es la
multiplicacionde las funciones de densidad de cada Xi. Esta funcion
de densidad conjunta evaluada en la muestraconstituye la funcion de
verosimilitud.
L(, ) =
ni=1
f(xi;, )
=
(1
2
)n e 1
22
ni=1
(xi )2
Para hacer mas facil el proceso de maximizacion se puede tomar
logaritmos a la funcion de verosi-militud, as
lnL(, ) = n2
[ln(2) + ln(2)
] 1
22
ni=1
(xi )2
las derivadas parciales con respecto a y 2 son las
siguientes
lnL(, )
=
1
2
ni=1
(xi )
lnL(, )
2= n
22+
1
24
ni=1
(xi )2
A3-10
-
al igualar a cero ambas derivadas parciales se encuentran las
condiciones que deben cumplir losestimados de maxima verosimilitud
x (para ) y s2 (para 2)
:1
2
ni=1
(xi x) = 0
ni=1
xi nx = 0
x =
ni=1 xin
= x
2 : n2s2
+1
2s4
ni=1
(xi x)2 = 0
s2ni=1 (xi x)
2 =1
n
s2 =
ni=1 (xi x)
2
n
s2 =
ni=1 (xi x)
2
n
En conclusion, los estimadores de maxima verosimilitud de los
parametros y 2 de una poblacionnormal son
=
ni=1Xin
2 =
ni=1
(Xi X
)2n
Observacion 4.3.2 El estimador de maxima verosimilitud del
parametro de una poblacion nor-mal es
=
ni=1
(Xi X
)2n
por la propiedad de invarianza del metodo de maxima
verosimilitud.
4.4. Estimacion por intervalo
Definicion 4.4.1 Una estimador por intervalo de es un intervalo
de la forma
L < < U
donde L y U son estadsticos elegidos de tal forma que la
probabilidad de que el parametro seencuentre en el intervalo es un
valor dado 1 .
Prob(L < < U ) = 1
Observaciones 4.4.1
Al igual que los estimadores puntuales, los estimadores por
intervalo de un parametro no sonunicos.
Tanto L como L son variables aleatorias que dependen de la
muestra aleatoria y de laprobabilidad 1 .
A3-11
-
Definicion 4.4.2 Un intervalo de confianza del (1 )100 % para el
parametro
L < < U
es el valor que toma el estimador por intervalo de
L < < U
para una probabilidad 1 dada.
Definicion 4.4.3 Al valor 1 se lo conoce con el nombre de nivel
de confianza. A se lo suelellamar nivel de significancia.
Definicion 4.4.4 A los lmites inferior L y superior U de un
intervalo de confianza se los llamalmites de confianza inferior y
superior respectivamente.
Observaciones 4.4.2
Mientras mas alto sea 1 , mayor sera la amplitud del
intervalo
Mientras mas grande sea el intervalo mas imprecisa sera la
informacion que se proporciona.
Ejemplo: Que es preferible? Saber con un nivel de confianza del
90 % que un parametro seencuentra entre 2 y 4 o saber con un nivel
de confianza del 99,99 % que el mismo parametrose encuentra entre
-10000 y 10000?
Una propiedad deseable de un intervalo de confianza es que la
longitud del intervalo, dado unnivel de confianza 1 , sea la menor
posible.
Otra propiedad deseable es que la longitud esperada, E(U L), sea
tan corta como seaposible.
Ejemplo 4.4.1 Para una muestra aleatoria X1, X2, . . . , Xn
donde n > 30 se define el siguienteestimador por intervalo para
la media poblacional : L < < U , donde L = X 2 X yU = X + 2 X
Cual es la probabilidad 1 de que la media poblacional se encuentre
dentro deeste intervalo? (probabilidad de que la media poblacional
se encuentre dentro de dos desviacionesestandar de la media
muestral)
Solucion: Considerese que efectivamente se encuentra dentro del
intervalo
x 2 X < < x+ 2 X
Reordenando terminos la expresion anterior tambien indica que x
se encuentra a dos desviacionesestandar de
x 2 X < < x+ 2 X
x+ 2 X > > x 2 X
2 X > x > 2 X
+ 2 X > x > 2 X
2 X < x < 2 X
Para determinar la probabilidad de que esto ocurra se definira
la siguiente variable aleatoria
Z =X /n
=X X
A3-12
-
que se distribuye aproximadamente normal estandar dado que la
muestra es mayor a 30. Por tanto
P (L < < U ) = P ( 2 X < X < 2 X)= P (2 < Z <
2)= 0,955 //
R
En conclusion la probabilidad de que el verdadero valor de la
media poblacional se encuentre a dosdesviaciones estandar de la
media muestral es 0,955.
Nota: En el ejemplo se ha podido asumir que X se distribuye
aproximadamente normal, portanto, la esperanza de la media muestral
es la media poblacional y esta se encuentra ubicada enel centro de
la curva normal. (ver figura 1)
Figura 1: Distribucion aproximada de la media muestral
Para todos los valores de X que se encuentran fuera del rango
que va desde 2 X hasta +2 Xla estimacion por intervalo (X 2 X <
< X + 2 X) no contendra a la verdadera media de lapoblacion.
Esto sucede en el 4,5 % de los casos, es decir, en el area no
sombreada de la figura 1.
Figura 2: Intervalos de confianza para distintos valores de X y
un mismo
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-
Observacion 4.4.3 Por lo general se trabajara con dos tipos de
intervalos de confianza:
Los de dos colas, en los que Prob( > U ) =
2y Prob( < L) =
2; y
Los de una cola, en los que Prob( > U ) = y L = , o Prob(
< L) = y U =.
Su uso dependera del problema a tratarse.
Tipos de intervalos de confianza para el parametro
-
L
^
U^
Intervalo de confianza de dos colas
Rango de posibles valores de
Prob(L < < U)=1- ^ ^ Prob( > U)= / 2
^Prob( < L)= / 2
^
-
L
^
Intervalos de confianza de una cola
Rango de posibles valores de
Prob( > L)=1- ^
Prob( < L)= ^
-
L
^
U^
Rango de posibles valores de
Prob( < U)=1- ^ Prob( > U)= ^
U
^
Definicion 4.4.5 Dado un estimador del parametro , el error de
estimacion es un valor d talque la probabilidad de que la
diferencia maxima entre y sea a lo mucho d es al menos 1 .Esto
puede ser expresado por
Prob( d) 1
Observacion 4.4.4 Para estimadores consistentes y un nivel de
significancia dado es posibleestablecer un error de estimacion tan
pequeno como se desee manipulando el tamano de la muestran. Esto se
vera claramente en la siguiente seccion.
4.5. Estimacion de medias
4.5.1. Error de estimacion
Teorema 4.5.1 Si X, la media de una muestra aleatoria de tamano
n de una poblacion normal convarianza conocida 2, se va a usar como
un estimador de la media poblacional , la probabilidadde que el
error de estimacion
(X ) sea menor a Z/2 /n es 1 , donde Z/2 es tal que laintegral
de la funcion de densidad normal estandar desde Z/2 hasta es igual
a /2.
A3-14
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Demostracion Por la observacion 3.3.1 se sabe que X sigue una
distribucion normal con
X = y 2X =
2
n
para muestras aleatorias de tamano n de una poblacion normal con
media y varianza 2.
Si se define a la variable aleatoria Z por
Z =X /n
se puede decir queProb(|Z| < Z/2) = 1
lo cual puede ser re-escrito como
Prob
(X /n < Z/2) = 1
de donde finalmente se obtiene
Prob
(X < n Z/2
)= 1
Corolario 4.5.1 Para muestras grandes (n > 30) los resultados
del teorema se aplican de maneraaproximada independientemente de la
distribucion que siga la poblacion.
Demostracion La demostracion es directa invocando al teorema
3.3.2, el teorema del lmitecentral.
Corolario 4.5.2 Si la poblacion no sigue una distribucion normal
y el tamano de la muestra espequeno (n < 30), entonces se
requiere de mas informacion sobre la poblacion para poder decir
algoacerca del error de estimacion.
Demostracion El teorema del lmite central solo se cumple para
muestras grandes.
Observacion 4.5.1 (el tamano del error de estimacion)
Manipulando el tamano de la mues-tra n es posible conseguir un
error de estimacion arbitrariamente pequeno para un nivel de
confianza1 dado.
Teorema 4.5.2 Si la media muestral X se va a usar como un
estimador de la media de unapoblacion normal, y la varianza
poblacional 2 es desconocida, entonces la probabilidad de que
elerror de estimacion
(X ) sea menor a t2 ,n1
Sn
es 1 ; donde S es la desviacion estandarmuestral y t
2 ,n1 es tal que la integral de la funcion de densidad t-student
desde t2 ,n1 hasta
es igual a /2.
Demostracion Para una poblacion normal, se sabe que
T =X S/n
se distribuye como una t con n 1 grados de libertad. Por
tanto
Prob(|T | < t2 ,n1) = 1
De donde se puede obtener que
Prob
(X S/n < t2 ,n1) = 1
y por tanto que
Prob
(X < Sn t
2 ,n1
)= 1
A3-15
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Corolario 4.5.3 Para muestras grandes (n > 30) el error de
estimacion puede ser aproximado porZ/2 Sn ; donde Z/2 es como se
definia en el teorema 4.5.1.
Demostracion La distribucion t-student con n 1 grados de
libertad converge a una normalcuando n tiende a infinito. Se suele
considerar que a partir de n > 30 la distribucion normal es
unabuena aproximacion de la distribucion t-student con n 1 grados
de libertad.
Corolario 4.5.4 Si la poblacion no se distribuye como una normal
y la muestra es grande (n > 30),entonces el error de estimacion
puede ser aproximado por Z/2 Sn ; donde Z/2 es como se definiaen el
teorema 4.5.1.
Idea de la demostracion Se requiere demostrar que
T =X S/n
converge a una distribucion normal estandar cuando n tiende a
infinito para cualquier distribucionque haya generado a X y S.
Re-escribiendo T de la siguiente manera
T =X /n S
y haciendo uso de la independencia entre X y S2 (teorema 3.4.7)
se puede demostrar que el pri-mer termino de la multiplicacion
converge en distribucion a una normal estandar y que el
segundotermino converge en probabilidad a 1.
Claramente estan involucradas definiciones que no se han
estudiado en el presente curso y por estono se desarrolla la
demostracion.
4.5.2. Intervalos de confianza
Los errores de estimacion y los intervalos de confianza suelen
hallarse ntimamente relacionados.La causa es que se pueden
construir intervalos de confianza a partir del conocimiento del
error deestimacion.
Teorema 4.5.3 Si x es el valor de la media de una muestra
aleatoria de tamano n de una poblacionnormal con varianza conocida
2, entonces
x Z/2 n< < x+ Z/2
n
es un intervalo de confianza al (1 )100 % de la media
poblacional.
Demotracion Se sabe que
Prob
(X < n Z/2
)= 1
Prob
(
n Z/2 < X X >
n Z/2
)= 1
Prob
(
n Z/2 < X 30 al (1 )100 % de x Z/2 n < < x+ Z/2
n
x Z/2 sn < < x+ Z/2 sn
x t2,n1 sn < < x+ t2 ,n1
sn
que se puede aproximar por
x Z/2 sn < < x+ Z/2 sn
x t2,n1 sn < < x+ t2 ,n1
sn
Se requiere conocer la distribucion exacta de la poblacion
Las demostraciones son iguales a las de los dos teoremas
anteriores mas la argumentacion de siel tamano de la muestra es lo
suficientemente grande como para aproximar la distribucion de X
auna normal.
4.6. Estimacion de diferencias de medias
Establecida la relacion entre el error de estimacion y los
intervalos de confianza que se estanpresentando, a partir de esta
parte solo se trabajara con los intervalos de confianza.
Teorema 4.6.1 Si x1 y x2 son los valores de las medias de
muestras aleatorias independientes detamano n1 y n2 de poblaciones
normales con varianzas conocidas
21 y
22 , entonces
(x1 x2) Z2
21n1
+22n2
< 1 2 < (x1 x2) + Z2
21n1
+22n2
es un intervalo de confianza al (1 )100 % de la diferencia entre
las dos medias poblacionales.
A3-17
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Demostracion Por la observacion 3.3.1 y el corolario 3.3.2 se
sabe que X1 y X2 se distribuyennormalmente y que su combinacion
lineal tambien sera normal, por tanto
Z =(X1 X2) (1 2)
21n1
+22n2
sigue una distribucion normal estandar. Si en
Prob(Z/2 < Z < Z/2)
se reemplaza Z se obtendra
Prob
(Z/2 < (X1X2)(12)
21n1
+22n2
< Z/2
)= 1
Prob
(Z/2
21n1
+22n2< (1 2)
(X1 X2) < Z/2
21n1
+22n2
)= 1
Prob
((X1 X2) Z/2
21n1
+22n2< (1 2)
< (X1 X2) + Z/2
21n1
+22n2
)= 1
Obteniendo a partir de aqu el intervalo de confianza que propone
el teorema.
Corolario 4.6.1 Para muestras grandes (n1 y n2 mayores a 30), si
las poblaciones de donde pro-vienen X1 y X2 no son normales, los
resultados del teorema siguen siendo aplicables de
maneraaproximada.
Demostracion Haciendo uso del teorema 3.3.2 (teorema del lmite
central) se sabe que paracualquier distribucion que sigan X1 y
X2
Z =(X1 X2) (1 2)
21n1
+22n2
se distribuye aproximadamente como una normal estandar. A partir
de aqu el resto de la prueba esigual que la del teorema.
Corolario 4.6.2 Para muestras grandes (n1 y n2 mayores a 30), si
las poblaciones son normalesy las varianzas poblacionales 21 y
22 no son conocidas pero se puede disponer de las varianzas
muestrales (s21 y s22 respectivamente), entonces
(x1 x2) Z2
s21n1
+s22n2
< 1 2 < (x1 x2) + Z2
s21n1
+s22n2
es aproximadamente un intervalo de confianza al (1 )100 % de la
diferencia entre las dos mediaspoblacionales.
Idea de la demostracion: Se aplica igual criterio que en el
corolario 4.5.4.
A3-18
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Teorema 4.6.2 Si x1, x2, s1 y s2 son los valores de las medias y
las desviaciones estandar de va-riables aleatorias independientes
de tamano n1 y n2 de poblaciones normales con varianzas iguales(21
=
22 =
2), entonces
(x1 x2) t2 ,n1+n22 sp
1
n1+
1
n2< 1 2
< (x1 x2) + t2 ,n1+n22 sp
1
n1+
1
n2
donde
sp =
(n1 1)s21 + (n2 1)s22
n1 + n2 2es un intervalo de confianza al (1 )100 % de la
diferencia entre las dos medias poblacionales
Demostracion Se sabe que para poblaciones normales
Z =(X1 X2) (1 2)
21n1
+22n2
sigue una distribucion normal estandar, y por tanto si las
varianzas poblaciones son iguales la mismadistribucion normal
aplica para
Z =(X1 X2) (1 2)
1n1
+ 1n2
donde es un parametro desconocido que sera estimado por Sp.
Aparte se sabe que
(n1 1)S212
y(n2 1)S22
2
siguen distribuciones chi-cuadrado con n1 1 y n2 1 grados de
libertad, y por tanto su suma
Y =(n1 1)S21
2+
(n2 1)S222
=(n1 + n2 2)S2p
2
sigue una distribucion chi-cuadrado con n1 + n2 2 grados de
libertad. Z y Y son independientes(lo cual no se demostrara) por lo
que aplicando el teorema 3.5.1 tenemos que
T =ZY
n1+n22
T =(X1 X2) (1 2)
Sp
1n1
+ 1n2
sigue una distribucion t con n1 + n2 2 grados de libertad.
Reemplazando este valor en
Prob(t2 ,n1+n22 < T < t
2 ,n1+n22) = 1
se obtiene
Prob
(t
2 ,n1+n22 30 los resultados del teorema 4.6.2 pueden
aproximarsecon un intervalo de confianza construido en base a la
distribucion normal.
Si alguna de las poblaciones no es normal, entonces se aplicaran
los resultados para muestrasgrandes y varianzas desconocidas solo
si n1 > 30 y n2 > 30.
A3-19
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4.7. Estimacion de proporciones
Una proporcion puede ser entendida como el parametro de una
poblacion Bernoulli con funcionde probabilidad
f(y) = y(1 )1y y {0, 1}
representa en esta poblacion la probabilidad de exito, es decir,
la probabilidad de que X = 1.
Si Y1, Y2, Y3, . . . , Yn es una muestra aleatoria de esta
poblacion, entonces el total de exitos dentro dela muestra
X =
ni=1
Yi
constituye una variable aleatoria binomial cuya funcion de
probabilidad es la siguiente
f(x) =
(nx
)x(1 )nx x {0, 1, 2, . . . , n}
Teorema 4.7.1 Si X es una variable aleatoria que tiene una
distribucion binomial con los parame-tros n y , entonces la
distribucion de
Z =X nn(1 )
se aproxima a la distribucion normal estandar cuando n
Bosquejo de la demostracion Para demostrar el teorema se
requiere probar que la funciongeneratriz de momentos de la
distribucion binomial tiende a la funcion generatriz de momentos
dela distribucion normal estandar cuando n . No se realizara la
prueba dado que las funcionesgeneratrices de momentos no han sido
estudiadas en este curso.
Observacion 4.7.1 Los resultados del teorema solo son validos
cuando n , sin embargo amenudo se usa la distribucion normal para
aproximar probabilidades binomiales. Una buena reglaemprica es usar
esta aproximacion solo cuando n y n(1 ) son ambos mayores a 5.
Teorema 4.7.2 Si X es una variable aleatoria binomial con
parametros n y , n es grande y = x/n,donde x es el valor que toma
la variable aleatoria X, entonces podemos afirmar con un (1 )100
%de confianza que el error de estimacion es menor a
Z2
(1 )
n
Demostracion Se sabe por el teorema 4.7.1 que para muestras
grandes
Z =X nn(1 )
se distribuye aproximadamente como una normal estandar. Z puede
ser re-escrito de la siguientemanera
Z =X nn(1 )
=X nn2 (1)
n
=X n
n
(1)n
=Xn (1)n
Z = (1)n
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Es facil ver que (1)/n es la varianza de = X/n lo cual implica
que tambien se distribuyeaproximadamente normal en muestras
grandes. Se observa que el error de estimacion que planteael
teorema utiliza la version muestral de la desviacion estandar de ,
esto es (1)/n. Si utilizamosesta version tendremos una nueva
variable aleatoria Z definida por
Z = (1)
n
La pregunta es si Z sigue alguna distribucion conocida. Para
responder a esta pregunta se puedeutilizar la misma argumentacion
empleada en el corolario 4.5.4 y por tanto se puede decir que Z
sedistribuye aproximadamente como una normal estandar para muestras
grandes.
A partir de lo expuesto anteriormente se tiene que
Prob(|Z | < Z
2
)= 1
Reemplazando Z se encuentra que
Prob
(1)n
< Z2 = 1
Prob
1(1)
n
< Z2
= 1 Prob
< Z2
(1 )
n
= 1 De donde se puede ver que | | < Z/2
(1)n con un (1 )100 % de confianza
Teorema 4.7.3 Si X es una variable aleatoria binomial con
parametros n y , n es grande y elestimado de la proporcio n es =
x/n, donde x es el valor que toma la variable aleatoria
X,entonces
Z2
(1 )
n< < + Z
2
(1 )
n
es un intervalo de confianza aproximado al (1 )100 % para .
Demostracion En la prueba del teorema 4.7.2 ya se argumento las
condiciones bajo las cuales
Z = (1)
n
sigue aproximadamente una distribucion normal estandar, y a
partir de este hecho se establecia que
Prob
< Z2
(1 )
n
= 1 Ahora se manipulara la expresion anterior para que la
desigualdad haga referencia solo a .
Prob
< Z2
(1 )
n
= 1 Prob
Z2
(1 )
n< < Z
2
(1 )
n
= 1 Prob
Z2
(1 )
n< < + Z
2
(1 )
n
= 1 Este resultado demuestra el teorema.
A3-21
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4.8. Estimacion de diferencias entre proporciones
Para establecer intervalos de confianza para la diferencia de
proporciones entre poblaciones Ber-noulli independientes con
parametros 1 y 2 es necesario primero determinar cual es la
distribuciondel estimador a usarse. En esta seccion se trabajara
con el estimador 1 2 que esta definido por
1 =X1n1
y 2 =X2n2
donde n1 y n2 son los tamanos de las muestras aleatorias de cada
poblacion y, X1 y X2 representanel total de exitos encontrados en
cada una de las dos muestras en cuestion.De 1 2 se puede demostrar
que
E(
1 2)
= 1 2
Var(
1 2)
=1(1 1)
n1+2(1 2)
n2
y puesto que tanto 1 como 2 se distribuyen aproximadamente
normal para muestras grandes (verla primera parte de la
demostracion del teorema 4.7.2) entonces tambien su diferencia lo
hara, estoimplica que
Z =(1 2) (1 2)
1(11)n1
+ 2(12)n2
es aproximadamente una variable aleatoria normal estandar.
Teorema 4.8.1 Si X1 es una variable aleatoria binomial con
parametros n1 y 1, X2 es una variablealeatoria binomial con
parametros n2 y 2, n1 y n2 son grandes, y 1 = x1/n1 y 2 = x2/n2,
donde x1y x2 son los valores que toman las variables aleatorias X1
y X2 respectivamente, entonces
(1 2) Z2
1(1 1)
n1+2(1 2)
n2
