001-004-CA-LE-2012-2013- RESMENES DE LAS CUATRO PRIMERAS CLASES

001. RESUMEN DE LA PRIMERA CLASE ( 19-SEP-2012)

En esta primera clase, el profesor (Agustn Morales Gonzlez), present el Proyecto

(o Gua) Docente de la asignatura, sirvindose para ello de un resumen preparado al

efecto. Aclar que los contenidos no se impartiran de forma lineal.

A continuacin indic que comenzaramos viendo el denominado Estudio (Proyecto o

Informe) PISA 2003, que versa sobre Conocimientos y destrezas en Matemticas,

Lectura, Ciencias y Solucin de problemas, para lo cual se bas en el documento

titulado PISA-RICO_2003 que puede verse en el Portal de la asignatura. Para saber

ms del Informe Pisa y del TIMSS 2003 (Marcos tericos y especificaciones de

evaluacin) puede visitarse:

http://www.educacion.gob.es/inee/publicaciones/estudios-

ie.html#PISA_2003._Matem_ticas._Informe_espa_ol_2

Puso especial nfasis en el concepto de competencia matemtica que supone la

capacidad de una persona para aplicar sus conocimientos matemticos al anlisis y

resolucin de problemas que se plantean en la vida diaria o en el seno de otras

materias.

Como ejemplo, consider y resolvi en la pizarra el primer problema, titulado

Caminar que se encuentra en el documento titulado PRUEBAS MATEMTICAS PISA

2003, tambin disponible en el Portal y aadi que los estudiantes deberan continuar

haciendo el resto de problemas (del 1 al 39 que figuran en el citado documento).

http://www.educacion.gob.es/inee/publicaciones/estudios-ie.html#PISA_2003._Matem_ticas._Informe_espa_ol_2http://www.educacion.gob.es/inee/publicaciones/estudios-ie.html#PISA_2003._Matem_ticas._Informe_espa_ol_2

002. RESUMEN DE LA SEGUNDA CLASE ( 26-SEP-2012)

En esta segunda clase, el profesor continu explicando los

fundamentos del Informe Pisa 2003; hizo especial nfasis al concepto de

matematizacin, es decir, a la creacin de modelos matemticos que

sirven para resolver situaciones del mundo real. Cit la frase del

matemtico francs Andr Revuz (1914-2008), quien fue profesor honorario

de la Universidad Paris Diderot (Paris 7)

para quien el profesor de Matemticas es, esencialmente, un profesor de matematizacin.

Esta idea est en consonancia con el pensamiento del eminente profesor, catedrtico

de Anlisis Matemtico de la

Universidad Autnoma de Madrid y

presidente del ICMI (International

Commision on Mathematical Instruction) en el periodo 1991 a 1998, Dr.

Miguel de Guzmn Ozmiz (1936-2004), quien realiz mltiples

trabajos para la divulgacin de las matemticas; para l la Matemtica

es ms una ciencia de mtodo que de contenido.

Para saber ms de este gran profesor (foto de la izquierda), vistese:

http://platea.pntic.mec.es/aperez4/miguel/Miguel%20de%20Guzm%E1n.htm

http://platea.pntic.mec.es/aperez4/miguel/Miguel%20de%20Guzm%E1n.htm

Seguidamente, el profesor volvi a considerar el problema titulado Caminar con la

finalidad de poner de manifiesto que la funcin n / p = 140, dada en el enunciado del

problema, que tambin puede expresarse como n = 140 p, es una funcin lineal (del tipo

y = a x), cuya grfica es una lnea recta que pasa por el origen de coordenadas.

Tambin plante la cuestin de analizar en casa qu tipo de transformaciones

geomtricas (isometras) del plano, estn involucradas en el dibujo (foto) de las huellas

que dejan los pies al andar, por ejemplo, sobre la arena (ntese que no basta el

concepto de traslacin para explicar como la primera Hi puede considerarse la imagen

de Hd). Raznese.

Nota: como orientacin, puede buscarse informacin sobre el concepto de glide-

reflection.

A continuacin se explic el ejercicio titulado ROBOS, que sirvi como base para

recordar los conceptos de porcentaje, variacin absoluta y variacin porcentual, de

importancia fundamental por su uso en la vida diaria. Vase el texto que sigue:

Los porcentajes se utilizan a menudo para realizar comparaciones de tipo

proporcional.

Comenzaremos diciendo que, por ejemplo, "el 27 por ciento" (27%) de un nmero

dado, b, representa 27 centsimas partes de ese nmero, b. As, el 27% de 100 es 27 y

el 27% de 200 es 54.

En general, diremos que a es el p% de un nmero, b, si a representa p centsimas

partes de b, es decir, se verifica: ba = p

100

Esta igualdad surge, asimismo, de considerar la proporcin:

a p = b 100

Variaciones porcentuales

Veamos un ejemplo:

Si la poblacin (de hecho) de las islas de Lanzarote y Fuerteventura, en los aos 1978

y 1981, respectivamente, fueron las que se indican, se desea saber en cul de las dos

islas se produjo un aumento ms grande de poblacin.

Isla 1978 1981

Lanzarote 48.614 53.452

Fuerteventura 25.012 30.185

Las variaciones absolutas, vienen dadas, como sigue:

Lanzarote: 53.452 - 48.614 = 4.838

Fuerteventura: 30.185 - 25.012 = 5.173

Es decir, la poblacin de Lanzarote se increment en 4.838 habitantes, mientras que

la de Fuerteventura lo hizo en 5.173.

Sin embargo, conviene considerar los incrementos porcentuales, es decir, cuntos

habitantes se han incorporado por cada 100 de los que haba originariamente.

Para ello, basta plantear las siguientes proporciones:

L4.838 p=48.614 100

y F5.173 p=

25.012 100

As, en Lanzarote, la poblacin aument en un:

L4.838p 100 9,952%

48.614= =

que se interpreta como sigue: por cada 100 habitantes que tenamos en 1978, en 1981

tendremos 109,952, es decir, unos 110.

Mientras que en Fuerteventura, la poblacin se increment en un:

F5.173p 100 20,682%

25.012= =

El aumento porcentual, en Fuerteventura, fue ms del doble del que experiment

Lanzarote. Ahora, por cada 100 habitantes que tenamos en 1978, en 1981 tendremos

120,682, es decir, unos 121.

En general, si pasamos de un valor, a, a otro, b, la variacin absoluta viene dada por

la diferencia b - a, mientras que la porcentual (sobre a) viene dada por:

b-a bp = 100 % = ( 1)100%a a

Estas expresiones surgen de la proporcin:

b - a p = a 100

Como ltima actividad, se explic la titulada CARPINTERO. Para su realizacin no

se precis clculo alguno, sino simples razonamientos geomtricos basados en las

figuras. El profesor constat la poca familiarizacin que pareca tener la mayor parte de

los asistentes a razonar sobre imgenes geomtricas. A este respecto, indic la gran

importancia que se da hoy al empleo de este tipo de razonamiento (Visual Thinking), de

indudable valor formativo y, bastante olvidado en la enseanza obligatoria.

El profesor recomend la pelcula-documental, de unos 140 minutos de duracin,

titulada La educacin prohibida, cuya versin ntegra se puede encontrar en

http://www.youtube.com/watch?v=-1Y9OqSJKCc

Por ltimo, encarg que, de forma individual o en grupos de hasta tres componentes,

se fuera realizando la Tarea 1, que figura en el Portal.

003. RESUMEN DE LA TERCERA CLASE ( SEP-2012)

En relacin con la tendencia actual de que, en la enseanza obligatoria, los

conocimientos matemticos que programen deben estar fundamentalmente destinados a

su aplicabilidad a la vida diaria, el profesor explic que el Informe Cockcroft de 1988

indica aquellos conocimientos que tienen mayor aplicabilidad por parte de un individuo

medio. Entre estos se encuentran:

Por otra parte, debe considerarse que no por el hecho de que lo que se estudia

guarde relacin con la vida diaria, se va a producir necesariamente una mayor

motivacin del alumnado de dichos niveles educativos. Como ejemplo, puede citarse

toda la Aritmtica Comercial que se estudiaba en los aos 60y 70 en los primeros cursos

del Bachillerato, cuando los alumnos tenan unos 11 o 12 aos de edad, que

contemplaba, entre otros contenidos lo referente a las letras de cambio, no generaba

ningn inters especial por parte de los alumnos pues, de tener que aplicarlo, sera algo

que les quedaba muy lejano en el tiempo.

Sin embargo, otros contenidos propiamente matemticos como, por ejemplo, la

construccin en el papel punteado de figuras poligonales cuyas superficies sean de 2, 3

4, unidades cuadradas, s parecen despertar el inters de los estudiantes de Primaria,

como hemos tenido la ocasin de comprobar al trabajar con ellos.

Una idea, adoptada por la escuela francesa del profesor Guy Brousseau (autor de la

Teora de las situaciones didcticas) y por el Shell Center de la Universidad de

Nottinghan, entre otros, es el inters en provocar en los estudiantes lo que se conoce

como conflicto cognitivo, es decir, provocar en ellos una situacin que despierte su

inters hasta el punto de que sientan verdaderos deseos de conocer la respuesta; las

http://www.youtube.com/watch?v=-1Y9OqSJKCc

experiencias del cordel (rectngulos isoperimtricos) y la de

los cilindros de Galileo, ambas usadas con profusin por la

profesora italiana Emma Castelnuovo (en la imagen) son

ejemplos de situaciones que provocan en la mayora dicho

conflicto. Ambas actividades se propondrn en breve para su

resolucin.

Se conserva el rea de los infinitos rectngulos que pueden materializarse con un

hilo de longitud dada que se mantiene entre cuatro dedos de las manos? Vase una

animacin en http://www.musil.it/incontri/EmmaCastelnuovo/spago.gif

A la hora de abordar el concepto de nmero natural

en la escuela, no podemos perder de vista que se trata

de un concepto abstracto; al menos el docente, no

debe confundir nmero con numeral (signo que lo

representa). As la idea abstracta doscientos setenta y

seis ha sido representada por diversos signos tales

como la representada en la figura (egipcios), CCLXXVI

(romanos), 276 (simbologa indoarbiga usada

actualmente), entre otras muchas.

El profesor coment un dilogo meramente anecdtico, expuesto en una obra de

Stephen White, en el cual un periodista trata, sin xito, de que un ser extraterrestre

recin llegado a la Tierra,le d la respuesta a la pregunta cuntos son dos y dos? La

incomprensin de la pregunta por parte del extraterrestre, segn explica ste, radica en

que, en su civilizacin, no tiene sentido sumar abstracciones.

Para comprender el concepto del nmero natural cuatro, podemos concebir varios

conjuntos de cuatro objetos cada uno y algunos otros con un nmero de elementos

inferior o superior. En este caso, resulta evidente ver que slo se pueden poner en

biyeccin los conjuntos de cuatro elementos. De ah podemos abstraer la idea de

http://www.musil.it/incontri/EmmaCastelnuovo/spago.gif

nmero cuatro como aquello que tienen en comn tales conjuntos (de cuatro

elementos).

Tipos de aplicaciones entre dos conjuntos

Vocabulario del grfico:

Function = Aplicacin; Injective=Inyectiva; Surjective = Sobreyectiva (o Suprayectiva)

Debemos distinguir el conjunto de los nmeros naturales: = {0, 1, 2, 3, 4, 5, }

del conjunto * = = {1, 2, 3, 4, 5, }.

posee un nmero infinito de elementos. El creador de la Teora de Conjuntos y de

los llamados nmeros transfinitos George Cantor, denomin a su cardinal.

Se escribe: card( ) = o

Note: A fundamental theorem due to Georg Cantor (1845

1918) shows that it is possible for infinite sets to have different

cardinalities, and in particular the set of real numbers and the

set of natural numbers do not have the same cardinal number.

It is also possible for a proper subset of an infinite set to have

the same cardinality as the original set, something that cannot

happen with proper subsets of finite sets.

El cardinal del conjunto de los nmero reales se

denomina aleph uno. Se demuestra que 01 2 =

Es importante recordar que, en conjunto de los nmeros naturales, la adicin y la

multiplicacin son leyes de composicin interna pues, al sumar o multiplicar cualesquiera

dos nmeros naturales, el resultado de la operacin es tambin un nmero natural. Sin

embargo, no lo son la sustraccin y la divisin pues, no siempre, al restar o dividir dos

nmeros naturales, el resultado de la operacin es un nmero natural.

Procesos inductivos. Relaciones numricas. Patrones. Modelos visuales

La generalizacin constituye un proceso caracterstico del razonamiento matemtico.

Entendemos por tal la capacidad de llegar a propiedades generales, conclusiones o

resultados a partir de la observacin, el anlisis o la verificacin de casos particulares.

Como forma de razonamiento, la induccin matemtica permite demostrar que una

cierta propiedad aritmtica o geomtrica Pn que se desea vlida para cualquier nmero

natural n. Remitimos quien est interesado a la pgina 42 de la obra de Alsina y otros,

1987.

http://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantorhttp://en.wikipedia.org/wiki/Real_numberhttp://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number

Sin embargo, la induccin como forma de procedimiento educativo es un motor

esencial para el descubrimiento y la consolidacin de conceptos: la propiedad Pn no se

conoce y de lo que se trata es llegar a formular dicha propiedad a partir del anlisis de

los primeros casos P1, P2, P3

En este Curso, ms que estudiar verdaderos procesos de induccin matemtica, se

considerar una serie de actividades en la que debemos plantear una bsqueda

inductiva con la obtencin, en su caso, de la correspondiente frmula general.

,

Como veremos en las actividades propuestas, la induccin puede utilizarse para

contar, para verificar, para ver cmo evoluciona una relacin o propiedad, para generar

nuevos conceptos, entre otros.

Debe insistirse en el hecho de que, en educacin, es comn inducir propiedades

generales a partir de la verificacin de ciertos casos particulares. Como indican los

citados autores, si bien se trata ms de una generalizacin que de una induccin

propiamente dicha, el proceso resulta fundamental. Tambin resulta ilustrativo el

observar cuando esta induccin falla. Un ejemplo es el resultado errneo que al que se

llega al analizar slo los cuatro primeros casos particulares en el ejercicio que sigue: Si

consideramos n puntos sobre una circunferencia (2, 3, 4, 5,) y los unimos cada uno

con los dems, en cuntas regiones, como mximo, queda dividido el crculo? En

efecto, al elegir un sexto punto sobre la circunferencia el resultado obtenido no es el que

cabra esperar. Comprubese como ejercicio.

Como ejemplo de bsqueda inductiva, se resolvi en clase los siguientes ejercicios:

1. LUCES. El rbol de un piso necesita 3 luces, el de 2 pisos necesita 7, el de 3 pisos necesita 11. Cuntas necesitar un rbol de 20 pisos? Y de n pisos?

Se trata, pues, de encontrar un patrn (pattern), es decir, una frmula que depende de

n (nmero natural) y que permite la obtencin del resultado correspondiente a un valor

arbitrario de n. El proceso consiste en considerar la secuencia de rboles de la figura

adjunta e ir haciendo un recuento del nmero de luces que posee cada uno de los

rboles. Este nmero de pisos depende, lgicamente, del nmero de pisos (1, 2, 3, 4,

) de los sucesivos rboles de la serie.

Nmero de pisos, n Nmero de luces, L(n)

1 3

2 7

3 11

4 15

5 19

Sin embargo, tal como est, esta tabla es poco til para permitir la generalizacin, es

decir, para obtener la expresin L(n) que nos permita obtener el nmero L(n) de luces,

conocido el nmero, n, de pisos que posee el rbol que consideremos. Por ello, es

importante darse cuenta que el nmero de luces correspondiente a un rbol con un

determinado nmero de pisos se obtiene siempre sumando 4 al nmero de luces

correspondientes a un rbol que posea un nmero de pisos inferior en una unidad al

rbol considerado. Ello nos permite escribir la tabla en la forma que sigue:

Nmero de pisos (n) Nmero de luces, L(n)

1 3

2 3 + 4 = 3 + 1 4

3 3 + 4+ 4 = 3 + 2 4

4 3 + 4+ 4 + 4 = 3 + 3 4

5 3 + 4+ 4 + 4+ 4 = 3 + 4 4

Una vez hecho esto, podemos considerar lo que se suele llamar una generalizacin

prxima. As, para un rbol de 24 pisos (por ejemplo), se tiene:

Nmero de pisos (n) Nmero de luces, L(n)

24 3 + (24 -1 ) 4

.. ..

Finalmente, consideramos una generalizacin remota. As, para un rbol de n pisos,

la tabla queda, definitivamente como sigue:

Nmero de pisos (n) Nmero de luces, L(n)

5 3 + 4+ 4 + 4+ 4 = 3 + 4 4 = 3 + (5 -1) 4

.

24 3 + (24 -1) 4

n 3 + (n-1) 4 = 3 + 4 n 4 = 4 n - 1

Es decir, la expresin buscada (patrn) es L(n) = 4 n 1

Es importante comprobar, que la frmula obtenida es correcta. Para ello basta

considerar algunos valores particulares de n. As, por ejemplo, para n = 4, se obtiene

L(4) = 4 4 1 = 16 1 = 15. Se sugiere comprobar que la frmula proporciona el valor

adecuado para otros valores de n de los que aparecen en la tabla inicial.

En estos ejercicios, suele pedirse la grfica correspondiente. sta se puede obtener,

mediante EXCEL, por ejemplo, a partir de la tabla siguiente:

n L(n)

1 3

2 7

3 11

4 15

5 19

6 23

7 27

8 31

9 35

10 39

La grfica figura a continuacin:

LUCES

0

5

1015

20

25

3035

40

45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Nmero de pisos, n

Nm

ero

de lu

ces,

L(n

)

Cabe plantearse si los puntos que aparecen representados en la grfica pueden

unirse mediante una recta o no. La contestacin negativa es evidente si se considera

que n slo puede tomar valores enteros (naturales, para ser ms precisos).

As pues, podemos decir que la grfica se compone de infinitos puntos situados sobre

una recta que no pasa por el origen, pero no que la grfica sea una lnea recta. Ntese que el hecho de que los puntos de la grfica estn alineados se puede saber de

antemano, pues la expresin L(n) = 4 n 1, corresponde a la conocida como funcin

afn, cuya ecuacin es y = a x + b, con b distinto de cero, que, como sabemos,

corresponde (cuando x es un nmero real) a una recta que no pasa por el origen.

2. JARDINERAS. El Ayuntamiento quiere instalar 100 jardineras y rodearlas con baldosas hexagonales segn el modelo de arriba (en l se tienen 18 baldosas rodeando a 4 jardineras). Cuntas baldosas necesitar el Ayuntamiento? Y si quiere instalar n jardineras?

Si razonamos de forma anloga a como lo hicimos en el ejercicio 2, podemos elaborar

fcilmente la tabla que sigue:

Nmero de jardineras (n) Nmero de baldosas, B(n)

1 6

2 6 + 4 = 6 + 1 4 = 3 + (2 -1) 4

3 6 + 4+ 4 = 6 + 2 4 = 6 + (3 -1) 4

4 6 + 4+ 4 + 4 = 6 + 3 4 = 6 + (4 -1) 4

5 6 + 4+ 4 + 4+ 4 = 6 + 4 4 = 6 + (5 -1) 4

.

83 6 + (83 -1) 4

n 6 + (n-1) 4 = 6 + 4 n 4 = 4 n + 2

Es decir, la expresin buscada (patrn) es B(n) = 4 n + 2

Hgase la comprobacin y la grfica correspondiente.

Los patrones (frmulas) obtenidos son de primer grado, pues la funcin obtenida es

polinmica de primer grado; sin embargo, es muy frecuente que se presenten

situaciones que vienen regidas por un patrn de segundo grado. Para poder abordar

estas situaciones debemos considerar la expresin que proporciona la suma S(n) de los

n primeros nmeros naturales.

Para ello, comenzamos viendo cmo Gauss(*), a la edad de 7 u 8 aos, sum los 100

primeros nmeros naturales usando para ello, segn algunos autores, un modelo de

arco iris similar al que aparece en la figura (en ste slo se suman los nmeros del 1 al 10):

10 10(10+1) n (n + 1)S(10) 511 (10 1) S(n) = 2 2 2

= = + =

Con ms rigor Para obtener la suma S(n) = 1 + 2 + 3 + + (n-2) + (n-1) + n, basta

sumarla trmino a trmino con la misma expresin pero escrita en el orden opuesto, es

decir, con

S(n) = n + (n-1) + (n-1) ++ 3 + 2 +1

As, obtendremos:

2 S(n) = (n+1) + (n+1) + (n+1) + + (n+1) + (n+1)+ (n+1) = n (n+1), dado que,

lgicamente, el sumando (n+1) se repite n veces. Por tanto, la suma S(n) vendr dada

por n (n + 1)S(n) = 2

.

Del mismo modo, si quisiramos la expresin que da la suma de, por ejemplo, los

n 3 primeros nmeros naturales, S(n-3), bastar sustituir en la expresin anterior n por n - 3. As, la suma S(n-1) de los n-1 primeros nmeros naturales viene dada por:

S(n-1) = 1 + 2 + 3 + + (n-3) + (n-2) + (n-1) = n (n - 1)2

(comprubese).

La obtencin de expresiones como la de S(n), para valores determinados de n, puede

realizarse mediante la utilizacin de diversos modelos visuales.

(*) Johann Carl Friedrich Gauss (Gau) (30 de abril de 1777,

Brunswick 23 de febrero de 1855, Gttingen), fue un matemtico,

astrnomo, geodesta, y fsico alemn que contribuy

significativamente en muchos campos, incluida la teora de

nmeros, el anlisis matemtico, la geometra diferencial, la

estadstica, el lgebra, la geodesia, el magnetismo y la ptica.

Considerado el prncipe de las matemticas y el matemtico

ms grande desde la antigedad, Gauss ha tenido una influencia notable en muchos

campos de la matemtica y de la ciencia, y es considerado uno de los matemticos que

ms influencia ha tenido en la Historia. Fue de los primeros en extender el concepto de

divisibilidad a otros conjuntos.

Gauss fue un nio prodigio, de quien existen muchas ancdotas acerca de su

asombrosa precocidad. Hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas

un adolescente y complet su magnum opus, Disquisitiones Arithmeticae a los veintin

aos (1798), aunque no sera publicado hasta 1801.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/De-carlfriedrichgauss.ogghttp://es.wikipedia.org/wiki/30_de_abrilhttp://es.wikipedia.org/wiki/1777http://es.wikipedia.org/wiki/Brunswickhttp://es.wikipedia.org/wiki/23_de_febrerohttp://es.wikipedia.org/wiki/1855http://es.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6ttingenhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Astr%C3%B3nomohttp://es.wikipedia.org/wiki/Geodesiahttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Alemaniahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeroshttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeroshttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geodesiahttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnetismohttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93pticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ni%C3%B1o_prodigiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnum_opushttp://es.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticaehttp://es.wikipedia.org/wiki/1798http://es.wikipedia.org/wiki/1801

004. RESUMEN DE LA CUARTA CLASE ( 10-OCT-2012)

En esta cuarta clase, el profesor comenz recordando dos ideas que considera

esenciales en el trabajo con patrones y, en general, en el trabajo matemtico.

- La primera se debe al escritor y aviador francs, autor de la famosa obra El

principito, Antoine Marie Jean-Baptiste Roger de Saint-Exupry (1900-1944), segn la

cual: Para llegar a ver, hay que mirar mucho.

Para saber ms de este autor, vistese:

http://es.wikipedia.org/wiki/Antoine_de_Saint-Exup%C3%A9ry

- La segunda es un haiku, (), forma de poesa tradicional japonesa que consiste

en un poema breve, generalmente formado por tres versos, de cinco, siete y cinco moras

respectivamente, que reza como sigue: Siempre queda/por mucho que se mire/algo sin

ver.

Para saber ms de este tipo de poemas, vistese: http://es.wikipedia.org/wiki/Haiku

Con ambas ideas claras, se hicieron en clase las dos actividades que siguen, cuyos

enunciados y formas de resolucin se muestran a continuacin:

- EL ROSETN. De cuntos segmentos se compone un rosetn dibujado a partir de 18 puntos distribuidos uniformemente sobre una circunferencia? Y si se gener a partir

de n puntos (aqu se pide ya la funcin S(n)).

http://es.wikipedia.org/wiki/Escritorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Piloto_de_aviaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Franciahttp://es.wikipedia.org/wiki/El_principitohttp://es.wikipedia.org/wiki/El_principitohttp://es.wikipedia.org/wiki/Antoine_de_Saint-Exup%C3%A9ryhttp://es.wikipedia.org/wiki/Jap%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Mora_(ling%C3%BC%C3%ADstica)http://es.wikipedia.org/wiki/Haikuhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/68/Antoine_de_Saint-Exup%C3%A9ry.jpg

Desde el punto de vista matemtico, un rosetn es el diseo formado por una

circunferencia en la que se han marcado un cierto nmero, n, de puntos uniformemente

distribuidos y todos los segmentos que puedan trazarse de modo que sus extremos sean

los citados puntos (vase la figura que sigue).

Se explic que, para marcar un punto sobre la circunferencia, a partir de otro marcado

previamente, poda usarse un transportador de ngulos (semicrculo graduado) y

considerar que el ngulo con vrtice en el centro de la circunferencia, a cuyos lados

pertenecen ambos puntos, debe ser de 360 / 18 = 20.

El rosetn ms simple que podemos concebir es aquel que posee nicamente 2

puntos sobre la circunferencia (Fig. 1), el que le sigue sera aquel que posee 3 (Fig. 2),

luego el que posee 4 (Fig. 3), luego el de 5(Fig. 4), luego el de 6 puntos (Fig. 5), etc.

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5

Si observamos cuantos segmentos se van incorporando a cada nuevo rosetn, en

relacin con el nmero de puntos del rosetn precedente, podemos elaborar la tabla que

sigue:

Nmero de puntos (n) Nmero de segmentos S(n)

2 1

3 1 + 2

4 1 + 2 + 3

5 1 + 2 + 3 + 4

6 1 + 2 + 3 + 4 + 5

38 1 + 2 + 3 + + 35 + 36 + 37

n 1 + 2 + 3 + + (n-3) + (n-2) + (n-1)

Por tanto, la frmula (patrn) buscada corresponde a la suma de los n 1 primeros

nmeros naturales, es decir, S(n)= S(n-1) = 2n (n - 1) 1 1 = n - n2 2 2

, que corresponde a la

funcin cuadrtica (y = ax2

NOTA: al escribir S(n-1) nos referimos a la expresin que permite obtener la suma de

los n-1 nmeros naturales. Esta expresin se obtiene a partir de la de S(n) sin ms que

sustituir en ella n por n-1-

+ bx +c).

Luego podemos afirmar que la grfica est formada por puntos sobre una parbola.

Lgicamente, estos puntos no pueden unirse dado que n es un nmero natural, es decir,

la variable representada en el eje de abscisas es discreta (no cabe considerar un

nmero de puntos que no sea un nmero natural (mayor que 1).

Con EXCEL (o a mano), a partir de una tabla de valores (n, S(n)) podemos elaborar la

grfica que se muestra en la pgina siguiente (ntese que los puntos de la grfica no

pueden unirse mediante un trazo continuo toda vez que los valores de n son nmeros

naturales, mayores que la unidad):

ROSETN

05

101520253035404550

0 2 4 6 8 10 12

Nmero de puntos (n)

Nm

ero

de s

egm

ento

s S(

n)

Debemos aclarar que, en Arte, el concepto de rosetn no es el indicado, sino que se entiende por tal una ventana o motivo circular cuya tracera se dispone generalmente de forma

radial. Para saber ms, Vase http://es.wikipedia.org/wiki/Roset%C3%B3n

A continuacin se muestran dos ejemplos de rosetones artsticos:

http://es.wikipedia.org/wiki/Ventanahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tracer%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Roset%C3%B3n

2. CASTILLO DE CARTAS. Para realizar el castillo de tres pisos de la figura se necesitan 15 cartas. Cuntas cartas se necesitarn para construir un castillo similar,

pero de 10 pisos de altura? El rcord mundial est en 61 pisos. Cuntas cartas

necesitaras para batir este rcord y hacer un castillo de 62 pisos de altura? Y de n

pisos?

Una forma de resolver este ejercicio es la que sigue:

Observamos que el castillo de la figura dada, de 3 pisos, no tiene cartas horizontales

en su base. Eso supone que ninguno de los castillos las tendr. Con esto claro,

podemos hacer un recuento del nmero de cartas horizontales y oblicuas que podemos

ver en un castillo de 1, 2, 3, , n pisos. As, tendremos:

Nmero

total, n, de pisos

que

compon

en el

castillo

Nmero de cartas horizontales para ese castillo

H(n)

Nmero de cartas oblicuas

para ese castillo

O(n)

1 0 2

2 1 2 + 4 = 2 (1 + 2)

3 1 +2 2 + 4 + 6 = 2 (1 + 2 + 3)

4 1 +2 + 3 2 + 4 + 6 + 8 = 2 (1 + 2 + 3 + 4)

5 1 +2 + 3+ 4 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5)

24 1 +2 + 3 + + 21 + 22 + 23 2 (1 + 2 + 3 + + 22 + 23 + 24)

n [1 + 2 + 3 + + (n-3) + (n-2) + (n-1)] 2 [ 1 + 2 + 3 + + (n-2) + (n-1) + n ]

As pues, para un castillo de n pisos, el nmero total de cartas C(n) vendr dada por

la suma del nmero de cartas horizontales H(n) ms el nmero de cartas oblicuas O(n),

es decir,

C(n) = S(n-1) + 2 S(n) = n (n - 1)2

+ 2 n (n + 1)2

= 2 2 2n - n + 2n + 2n 3n + n

2 2=

Por tanto, un castillo de n pisos, se compondr, en total de un nmero C(n) de cartas

(horizontales ms oblicuas) dado por:

C(n) = 23n + n2

Podemos comprobar que, por ejemplo, para n = 3 (castillo de 3 pisos del enunciado),

tendremos: C(3) = 23 3 + 3 30 15

2 2= =

La representacin grfica de C(n) se compone de infinitos puntos sobre una parbola.

Lgicamente, estos puntos no pueden unirse dado que n es un nmero natural (mayor

que 1).

Para batir el rcord y hacer un castillo de 62 pisos de altura, se precisan, pues:

C(62) = (3 622 + 62 ) / 2 = 5797 cartas.