Colegio Nuestra Seora de los ngeles Curso 2013-2014

Almudena de la Fuente, 2013

2

NDICE

TEMA 1: VIBRACIONES Y ONDAS 1. Movimiento armnico simple 3 2. Movimiento ondulatorio 11 3. Ondas sonoras 18

TEMA 2: PTICA 1. Naturaleza de la luz. 21 2. Propagacin de la luz: reflexin y refraccin 22 3. ptica geomtrica 29 TEMA 3: INTERACCIN GRAVITATORIA 1. Teora de la gravitacin universal 43 2. Estudio energtico del campo gravitatorio 49 3. Leyes de Kepler 55

TEMA 4: INTERACCIN ELECTROMAGNTICA 1. Interaccin elctrica 59 2. Interaccin magntica 71 3. Induccin electromagntica 80

TEMA 5: INTRODUCCIN A LA FSICA MODERNA 1. Fsica cuntica 87 2. Fsica nuclear 91 3. Fsica relativista 96

Constantes fsicas utilizadas 98

3

TEMA 1: VIBRACIONES Y ONDAS 1. Movimiento armnico simple El movimiento armnico simple (M.A.S.) es un movimiento rectilneo y peridico en torno a una posicin central de equilibrio. El movimiento de un cuerpo unido a un mue-lle o el movimiento de un pndulo (para oscilaciones pequeas) son ejemplos de M.A.S.

Ecuacin de la posicin El M.A.S. se puede considerar como la proyeccin de un M.C.U sobre un dimetro de la circunferencia.

Si la partcula comienza a moverse por un punto distinto de 0, habr un ngulo inicial o, luego el ngulo recorrido vendr dado por = t + o, y la posicin en x ser:

x = Asen (t + o) x = elongacin o posicin en el eje x en un M.A.S. Unidad: m A = amplitud del movimiento o elongacin mxima. Unidad: m = frecuencia angular o pulsacin. Unidad: rad/s; =

T2

, siendo T = periodo o tiempo en completar una oscilacin. Unidad: s

= 2f, siendo f = T1

= frecuencia o n de oscilaciones por segundo. Unidad: s-1 o Hz

t = tiempo transcurrido. Unidad: s o = fase inicial o ngulo correspondiente a la posicin inicial. Unidad: rad

Al representar la elongacin (x) frente al tiempo (t), se obtiene una funcin sinusoidal:

0 1 6 2

5 6 0 1

A x 4 2 3=3

5 4

Supongamos que la partcula se mueve con una velocidad angular describiendo una circunferencia de radio A a partir del punto 0. Despus de un tiempo t la partcula alcanza los puntos 1, 2, 3,, siendo el ngulo reco-rrido = t. Al proyectar 1, 2, 3, sobre el eje x se ob-tienen los puntos 1, 2, 3, siendo x: x = A sen = A sen (t)

x +A

t

0 T/4 T/2 3T/4 T

-A

4

Ejemplo: Un cuerpo se encuentra unido a un muelle situado a lo largo del eje X. En el instante inicial, el muelle se comprime 3 cm y se deja libre, tardando 6 s en regresar a la posicin inicial. Determinar la ecuacin de la posicin del cuerpo en funcin del tiempo y su posicin en el instante t = 1 s.

1. El movimiento de una partcula sigue la ecuacin x = 8 sen

+ t

2

. Determinar

el perodo del movimiento y representar la posicin de la partcula respecto al tiempo en el intervalo [0,T]. Solucin: 4 s

2. Una partcula describe un movimiento armnico simple a lo largo del eje X, de for-ma que, en el instante inicial, se encuentra en el extremo positivo de su trayectoria y tarda 4 s en alcanzar el extremo opuesto, situado a 10 cm de la posicin inicial. a) Determinar la posicin en funcin del tiempo. b) Calcular la posicin en los instantes t = 1 s, t = 2 s y t = 3 s. Solucin: a) x = 0,05sen

+

2t

4 ; b) 0,0353 m; 0; -0,0353 m

Ecuacin de la velocidad Derivando la posicin respecto al tiempo, se obtiene la ecuacin de la velocidad:

Para t = 0 -0,03 = 0,03sen(0 + o) sen o = -1; o= rad23

62

= = rad3 /s; por tanto: x = 0,03sen

+

23t

3

Para t = 1 s x = 0,03sen

+

23

3

= -0,015 m

v = dtdx

= Acos(t + o) siendo maxv = A

v +A

t

0 T/4 T/2 3T/4 T

-A

5

Ecuacin de la aceleracin Derivando la velocidad respecto al tiempo, se obtiene la ecuacin de la aceleracin:

Ejemplo: Una partcula se mueve segn la ecuacin: x = 0,03sen

+

23t

3

.

Determinar su velocidad y su aceleracin para t = 1 s.

v =dtdx

= 0,033

cos

+

23t

3 ; para t = 1 s v = 0,03

3

cos

+

23

3

= 0,027 m/s

a =dtdv

= -0,032

3

sen

+

23

3

t ; para t = 1 s a = -0,032

3

sen

+

23

3

=

= 0,016 m/s2

3. Un cuerpo oscila con movimiento armnico simple de manera que su desplaza-miento a lo largo del eje X viene dado por x = 4sen (t + /2) en unidades del S.I. Calcular: a) Distancia entre los extremos de la trayectoria y nmero de oscilaciones que

realiza el cuerpo en un minuto. b) Posicin, velocidad y aceleracin del cuerpo cuando t = 1 s. Solucin: a) 8 m; 30; b) 4 m; 0; 39,5 m/s2

4. Una partcula realiza un movimiento armnico simple de 10 cm de amplitud y tarda 2 s en efectuar una oscilacin completa. Si en el instante t = 0 su velocidad es nula y la elongacin positiva, determinar: a) La expresin matemtica que representa la elongacin en funcin del tiempo. b) La velocidad y la aceleracin de oscilacin en el instante t = 0,25 s. Solucin: a) x = 0,1sen

+

2

t ; b) -0,222 m/s; -0,698 m/s2

a +A2

t

0 T/4 T/2 3T/4 T

-A2

a = dtdv

= - A2sen(t + o) siendo maxa = A2

6

Relacin entre posicin y velocidad

Sabiendo que sen2 + cos2 = 1, cos = 2sen1 ; por tanto:

v = A )(1 2 otsen + = )o222 t(senAA + = 22 xA

Por tanto, si x = 0, v = A = vmax , y para x = A, v = 0

Relacin entre posicin y aceleracin Comparando las ecuaciones, se observa que son directamente proporcionales pero con signo opuesto:

Ejemplo: Una partcula efecta un movimiento armnico simple completando 30 vibra-ciones por minuto. En el instante inicial se encuentra en x = 5 cm y su velocidad es de 0,272 m/s. Determinar la ecuacin del movimiento de la partcula y su aceleracin inicial.

Tvibracin1

s60svibracione30

= T = 2 s; = =2

2 rad/s

-0,272 = - 22 )05,0(A ; A = 0,1 m

0,05 = 0,1sen (0 + o); sen o= 0,5

==

0v rad/65rad/6

o2

o1

x = 0,1 sen ( t +6

5 ); a = -()20,05 = -0,493 m/s2

5. Un punto material est animado de un movimiento armnico simple a lo largo del eje X, alrededor de su posicin de equilibrio en x = 0. En el instante t = 0, el punto material est situado en x = 0 y se desplaza en el sentido negativo del eje X con una velocidad de 40 cm s-1. La frecuencia del movimiento es de 5 Hz. a) Determinar la posicin en funcin del tiempo. b) Calcular la posicin y la velocidad en el instante t = 5 s. Solucin: a) x = 0,012 sen(10t + ); b) 0; -0,4 m/s.

6. Una partcula efecta un movimiento armnico simple cuyo perodo es igual a 1 s. Sabiendo que en el instante t = 0 su elongacin es 0,70 cm y su velocidad 4,39 cm/s, calcular: a) La amplitud y la fase inicial. b) La mxima aceleracin de la partcula. Solucin: a) 0,989 cm; /4 rad; b) 39,04 cm/s2.

v = 22 xA

a = -2x

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Dinmica del movimiento armnico simple Sustituyendo la relacin entre aceleracin y posicin en la segunda ley de Newton se obtiene la expresin para la fuerza que da lugar al M.A.S. (fuerza recuperadora).

F = ma = - m2x ; luego (ley de Hooke), siendo K = constante recuperadora. Unidad: N/m

Ejemplo: Un cuerpo de 200 g de masa esta unido a un muelle de constante K = 5 N/m. Determinar el periodo del movimiento y la fuerza ejercida por el muelle cuando ste se alarga 5 cm.

5 = 0,22 = 5 rad/s; 5T2pi

= ; T = 1,26 s

F = -50,05 = - 0,25 N

En un pndulo simple, si consideramos oscilaciones pequeas, se puede considerar que se produce un M.A.S., y se puede demostrar que la fuerza que produce el movi-miento es directamente proporcional a la posicin de la partcula., pero con signo opuesto.

Ejemplo: Para determinar la aceleracin de la gravedad en un planeta, un astronauta hace oscilar un hilo de 20 cm de longitud de cuyo extremo pende una pequea masa. Si el pndulo oscila con un periodo de 1,5 s, cunto vale la aceleracin de la grave-dad en dicho planeta?

T 2 = 42gl

g = 22

Tl4= 2

2

5,10,24

= 3,5 m/s2

T

Px

P Py x

Px = mg sen mg

lx

= -Kx

siendo K = lgm

Sabiendo que K = m2 m2 =lgm 2 =

lg

, por tanto podemos determinar el periodo de un pndulo:

lg

T2 2

=

T = 2

gl

Esta expresin se puede utilizar para determinar experimentalmente el valor de g en un punto.

l

x

F La fuerza es positiva cuando la elongacin es negativa (muelle contrado) y negativa cuando la elongacin es positiva (muelle alargado).

F= - Kx K = m2

8

7. Un objeto de 2,5 kg est unido a un muelle horizontal y realiza un movimiento ar-mnico simple con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 3,3 Hz. Determinar: a) El periodo del movimiento y la constante elstica del muelle. b) La velocidad mxima y la aceleracin mximas del objeto. Solucin: a) 0,303 s; 1,07103 N/m; b) 1,04 m/s; 21,5 m/s2

8. Un objeto est unido a un muelle horizontal de constante elstica 2104 Nm-1. Despreciando el rozamiento: a) Qu masa ha de tener el objeto si se desea que oscile con una frecuencia de

50 Hz? Depende el periodo de las oscilaciones del estiramiento inicial del muelle? Razonar la respuesta.

b) Cul es la mxima fuerza que acta sobre el objeto si la amplitud de las osci-laciones es de 5 cm?

Solucin: a) 0,203 kg; b) 1000 N

9. Una partcula de 5 g de masa se mueve con un movimiento armnico simple de 6 cm de amplitud a lo largo del eje X. En el instante inicial su elongacin es de 3 cm y el sentido del desplazamiento hacia el extremo positivo. Un segundo ms tarde su elongacin es de 6 cm. Determinar: a) Fase inicial y frecuencia del movimiento. b) Ecuacin que representa la elongacin en funcin del tiempo. c) Los valores mximos de la velocidad y la aceleracin de la partcula. d) La fuerza que acta sobre la partcula en t = 1 s. Solucin: a) /6 rad; 0,167 Hz; c) 0,0628 m/s; 0,0658 m/s2; d) 3,2910-4 N

10. Una partcula de 0,1 kg de masa se mueve en el eje X describiendo un movimiento armnico simple. La partcula tiene velocidad cero en los puntos de coordenadas x = -10 cm y x = 10 cm y en el instante t = 0 se encuentra en el punto x = -10 cm. Si el periodo de las oscilaciones es de 1,5 s, determinar: a) La fuerza que acta sobre la partcula en el instante inicial. b) La velocidad mxima de la partcula. c) La expresin matemtica de la posicin de la partcula en funcin del tiempo. Solucin: a) 0,175 N; b) 0,42 m/s; c) x = 0,1sen

+

23t

34

11. En el extremo libre de un resorte colgado del techo, de longitud 40 cm, se cuelga un objeto de 50 g de masa. Cuando el objeto est en posicin de equilibrio con el resorte, este mide 45 cm. Se desplaza el objeto desde la posicin de equilibrio 6 cm hacia abajo y se suelta desde el reposo. Calcular: a) El valor de la constante elstica del resorte y la funcin matemtica del movi-

miento que describe el objeto. b) La velocidad y la aceleracin al pasar por el punto de equilibrio cuando

el objeto asciende. Solucin: a) 9,8 N/m; y = 0,06sen (14t + 3

2); b) 0,84 m/s; 0

9

Energa del movimiento armnico simple La energa cintica de una partcula que se mueve con M.A.S. viene dada por la ex-presin:

Sustituyendo la relacin entre velocidad y posicin se obtiene una expresin que per-mite calcular la energa cintica en funcin de la posicin:

Ec = 21

m( 22 xA )2 = 21

m2(A2 - x2) ; luego:

La fuerza recuperadora que produce un M.A.S. es una fuerza conservativa, ya que la energa cintica que pierde la partcula al alejarse de la posicin de equilibrio, queda almacenada en forma de energa potencial y vuelve a recuperarse cuando la partcula regresa a la posicin de equilibrio. La energa potencial en una posicin x es igual al trabajo realizado por la fuerza elstica para llegar a dicha posicin pero con signo opuesto.

Ep = - W = - dxF = - xK dx = 21

Kx2 +c; si tomamos c = 0

La energa mecnica es la suma de la energa cintica y la energa potencial y perma-nece constante a lo largo del movimiento.

E = Ec + Ep = 21

K(A2 - x2) + 21

Kx2 = 21

KA2

Ejemplo: Un cuerpo de masa 1,5 kg realiza un movimiento armnico simple con un periodo de 4 s y una amplitud de 30 cm. Determinar las energas cintica y potencial del cuerpo cuando se encuentra a 15 cm de la posicin de equilibrio.

= rad/s22

=

4; K = 1,5(/2)2 = 3,7 N/m

Ec =21 3,7((0,3)2 (0,15)2) = 0,125 J; Ep =

21 3,7(0,15)2 = 0,0416 J

12. Una masa de 150 g unida a un muelle horizontal de constante elstica k = 65 Nm-1 constituye un oscilador armnico simple. Si la amplitud del movimiento es de 5 cm, determinar: a) La energa potencial elstica del sistema cuando la velocidad es nula. b) La energa cintica del sistema cuando la velocidad es mxima. c) La energa cintica y la energa potencial elstica del sistema cuando el mdu-

lo de la aceleracin de la masa es igual a 13 ms-2. Solucin: a) 0,08125 J; b) 0,08125 J; c) 0,052 J; 0,02925 J

E

Ec = 21

mv2

Ec =21

K(A2 - x2)

Ep Ec E

-A 0 +A x

E =21

KA2

Ep =21

Kx2

10

13. Una partcula se mueve en el eje X, alrededor del punto x = 0, describiendo un mo-vimiento armnico simple de periodo 2 s, e inicialmente se encuentra en la posicin de elongacin mxima positiva. Sabiendo que la fuerza mxima que acta sobre la partcula es 0,05 N y su energa total 0,02 J, determinar: a) La amplitud del movimiento que describe la partcula. b) La masa de la partcula. c) La expresin matemtica del movimiento de la partcula. d) El valor absoluto de la velocidad cuando se encuentre a 20 cm de la posicin

de equilibrio. Solucin: a) 0,8 m; b) 6,3310-3 kg; c) x = 0,8 sen(t + /2); d) 2,43 m/s

14. Una partcula de masa 100 g se mueve con un movimiento armnico simple de amplitud 3 m y cuya aceleracin viene dada por la expresin a = -92 x en unida-des del SI. En el instante inicial su aceleracin es mxima y su desplazamiento po-sitivo. Determinar: a) El periodo y la constante recuperadora. b) La ecuacin que representa la elongacin en funcin del tiempo. c) Los valores absolutos de la velocidad y la aceleracin de la partcula cuando el

desplazamiento es la mitad del mximo. d) Las energas cintica y potencial cuando la velocidad es mxima. Solucin: a) 0,67 s; 8,9 N/m; c) 24,5 m/s; 133,2 m/s2; d) 39,9 J; 0.

15. En la figura se muestra la representacin grfica de la energa potencial (Ep) de un oscilador armnico simple constituido por una masa puntual de valor 200 g unida a un muelle horizontal, en funcin de su elongacin (x). a) Calcular la constante elstica del muelle b) Calcular la aceleracin mxima del oscilador. c) Determinar numricamente la energa cintica

cuando la masa est en la posicin x = +2,3 cm. d) Dnde se encuentra la masa puntual cuando el

mdulo de su velocidad es igual a la cuarta parte de su velocidad mxima?

Solucin: a) 80 N/m; b) 20 m/s2; c) 0,079 J;d) 4,84 cm

16. Un objeto de 100 g de masa, unido al extremo libre de un resorte de constante elstica K, se encuentra sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Se estira, suministrndole una energa elstica de 2 J, comenzando a oscilar desde el reposo con un periodo de 0,25 s. Determinar: a) La constante elstica y la funcin matemtica que representa la oscilacin. b) La energa cintica cuando han transcurrido 0,1 s. Solucin: a) 63,2 N/m; y = 0,25sen(8t + /2); b) 0,68 J

17. Se tiene una masa m = 1 kg situada sobre un plano horizontal sin rozamiento unida a un muelle, fijo por su otro extremo a la pared. Para mantener estirado el muelle una longitud x = 3 cm, respecto de su posicin de equilibrio, se requiere una fuerza de F = 6 N. Si se deja el sistema masa-muelle en libertad: a) Cul es el periodo de oscilacin de la masa? b) Determinar el trabajo realizado por el muelle desde la posicin inicial, x = 3 cm,

hasta su posicin de equilibrio, x = 0. c) Cul ser el mdulo de la velocidad de la masa cuando se encuentre a 1 cm

de su posicin de equilibrio? Solucin: a) 0,44 s; b) 0,09 J; c) 0,4 m/s

11

18. Una partcula realiza un movimiento armnico simple. Si la frecuencia de oscilacin se reduce a la mitad manteniendo constante la amplitud de oscilacin, explicar qu ocurre con: a) el periodo; b) la velocidad mxima; c) la aceleracin mxima y d) la energa mecnica de la partcula.

19. Un cuerpo de masa m est suspendido de un muelle de constante elstica K. Se tira verticalmente del cuerpo desplazando ste una distancia X respecto de su po-sicin de equilibrio, y se le deja oscilar libremente. Si en las mismas condiciones del caso anterior el desplazamiento hubiese sido 2X, deducir la relacin que existe en ambos casos entre: a) Las velocidades mximas del cuerpo. b) Las energas mecnicas del sistema oscilante. Solucin: a) 2; b) 4

20. Se dispone de un oscilador armnico formado por una masa m sujeta a un muelle de constante elstica k. Si en ausencia de rozamientos se duplica la energa me-cnica del oscilador, explicar que ocurre con: a) La amplitud y la frecuencia de las oscilaciones. b) La velocidad mxima y el periodo de oscilacin. Solucin: a) se multiplica por 2 ; no vara; b) se multiplica por 2 ; no vara

2. Movimiento ondulatorio

Una onda es la transmisin de una vibracin o perturbacin sin transporte de materia.

Cuando la perturbacin que da lugar a la onda es un movimiento armnico simple, se produce una onda armnica.

Segn la direccin de vibracin, las ondas pueden ser:

- Transversales, cuando la direccin de vibracin es perpendicular a la direccin de propagacin. Ej: ondas producidas en la superficie del agua, ondas producidas al agi-tar una cuerda, ondas luminosas,...

- Longitudinales, cuando la direccin de vibracin coincide con la direccin de propa-gacin. Ej: ondas producidas en un muelle, ondas sonoras,... Segn las dimensiones en las que se propagan, las ondas pueden ser:

- Unidimensionales, cuando se propagan en una sola direccin.

- Bidimensionales o planas, cuando se propagan en dos dimensiones.

- Tridimensionales o esfricas, cuando se propagan en las tres dimensiones.

Las ondas que precisan de un medio material para propagarse reciben el nombre de ondas mecnicas. Las ondas electromagnticas (luz, ondas de radio, rayos X, mi-croondas,...) son las nicas que se pueden propagar en el vaco. Se llaman ondas estacionarias a la que no se desplazan, sino que permanecen confi-nadas en una regin del espacio, como las ondas producidas en una cuerda fija por sus extremos; surgen por la superposicin de las ondas sucesivas que se producen en dicha regin.

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Magnitudes caractersticas de las ondas

Longitud de onda (): distancia entre dos puntos consecutivos con el mismo estado de vibracin (unidad: m). Est relacionada con el nmero de onda (k): (unidad: rad/m o m-1)

Amplitud (A): elongacin mxima de un punto. Unidad: m Periodo (T): tiempo que tarda un punto en realizar una vibracin; coincide con el tiem-po que tarda la onda en recorrer una distancia igual a su longitud de onda. Unidad: s

Velocidad de propagacin (v): distancia recorrida por la onda por unidad de tiempo. Es caracterstica de cada onda, variando slo al cambiar el medio de propagacin. Unidad: m/s

Ecuacin de las ondas armnicas unidimensionales

Suponemos una cuerda, fija por un extremo, en la que se produce una onda.

El punto O describe un movimiento armnico simple: y = A sen (t + o) Un punto cualquiera de la cuerda (P), describe el mismo movimiento con un desfase respecto a O, ya que la onda tarda un tiempo to en alcanzar dicho punto:

y = A sen ((t - to) + o) = A sen (t- to) + o) ; siendo to =v

x=

k

x=

xk

Por tanto: y = A sen (t-

xk ) + o)

Si la onda se propagara de derecha a izquierda, el punto O tendra un desfase respec-to a P; por tanto, se obtendra la ecuacin:

A

O P

y = A sen (t - kx + o)

MRU: x = vt; si x = y t = T ; o bien: vk

2

k2

==

T

v =

2k =

y = A sen (t + kx + o)

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Ejemplo: La expresin matemtica de una onda armnica transversal que se propaga por una cuerda tensa coincidente con el eje X, es: y = 0,2 sen (100t - 200 x), en unidades Sl. Determinar los valores del perodo, la amplitud, la longitud de onda y la velocidad de propagacin de la onda.

T2

s/rad100 == T = 0,02 s; A = 0,2 m;

2m/rad200k == ; = 0,01 m

v =02,001,0

= 0,5 m/s

Ejemplo: Una onda armnica transversal que se propaga en el sentido negativo del eje de las X, tiene una amplitud de 10 cm, una longitud de onda de 60 cm y una velo-cidad de propagacin de 3 m/s. Sabiendo que en el instante inicial la elongacin de la partcula en x = 0 es -10 cm, determinar la ecuacin que representa la onda ==

0,62k 3,33 rad/m; 3 =

T6,0 T = 0,2 s; 10

0,22

== rad/s

Para t = 0 y x = 0: -0,1 = 0,1sen (10 0 +3,33 0 + o); sen o= -1; o = 3/2 rad Por tanto: y = 0,1sen (10 t +3,33 x + 3/2)

21. a) Escribir la expresin matemtica de una onda armnica transversal unidimen-

sional, y = y(x,t), que se propaga en el sentido positivo del eje X. b) Definir los conceptos de las siguientes magnitudes: amplitud, periodo, longitud

de onda y fase inicial.

22. Dada la expresin matemtica de una onda armnica transversal que se propaga en una cuerda tensa de gran longitud: y = 0,03 sen (2t x) ,donde x e y estn expresados en metros y t en segundos. a) Cul es la velocidad de propagacin de la onda? b) Para t = 0, cul es el valor del desplazamiento de los puntos de la cuerda

cuando x = 0,5 m y x = 1 m? c) Para x = 1 m, cul es el desplazamiento cuando t = 0,5 s? Solucin: a) 2 m/s; b) -0,03 m, 0; c) 0.

23. Una onda armnica transversal de longitud de onda = 1 m se desplaza en el sen-tido positivo del eje X. En la grfica se muestra la elongacin (y) del punto de coor-denada x = 0 en funcin del tiempo. Determinar: a) La velocidad de propagacin de la onda. b) La expresin matemtica que describe esta

onda. Solucin: a) 0,33 m/s; b) y = 0,8 sen(2/3 t -2x)

14

24. Una onda armnica transversal que se propaga a lo largo de la direccin positiva del eje de las X, tiene las siguientes caractersticas: amplitud, A = 5 cm, longitud de onda, = 8 cm, velocidad de propagacin, v = 40 cm/s. Sabiendo que la elongacin de la partcula de abscisa x = 0, en el instante t = 0, es de 5 cm, determinar:

a) La ecuacin que representa el movimiento armnico simple de la partcula de abscisa x = 0.

b) La ecuacin que representa la onda armnica transversal indicada. Solucin: a) y = 0,05sen(10t+/2); b) y = 0,05sen(10t -25x+/2)

25. Una onda sinusoidal con una amplitud de 1,5 m y una frecuencia de 100 Hz viaja con una velocidad de propagacin v = 200 m/s en la direccin positiva del eje X y oscila en la direccin del eje Y. En el instante t = 0 la elongacin es mxima y positiva en el punto x = +3 m. a) Calcular la longitud de onda, , y el nmero de onda, k, de la onda. b) Determinar la expresin matemtica que representa la onda. Solucin: a) 2 m; m-1; b) y = 1,5sen (200t x + 7/2)

Velocidad y aceleracin de vibracin El movimiento de vibracin en una onda armnica es un M.A.S. Por tanto la velocidad y la aceleracin de vibracin corresponden con las de dicho movimiento y se obtienen de-rivando las ecuaciones correspondientes.

Velocidad de vibracin: v = dtdy

= Acos(t kx + o)

Aceleracin de vibracin: a = dtdv

= - A2sen(t kx + o) Por tanto, cada punto de la onda tendr, en cada instante, una velocidad y una acelera-cin caractersticas que se repetirn peridicamente en el espacio y el tiempo. Se dice que dos puntos estn en fase cuando se encuentran en el mismo estado de vi-bracin, es decir, cuando su elongacin, velocidad y aceleracin de vibracin son iguales en el mismo instante. La distancia entre dichos puntos es un nmero entero de longitu-des de onda. Se dice que dos puntos estn en oposicin de fase cuando su elongacin, velocidad y aceleracin de vibracin son opuestas en el mismo instante. La distancia entre dichos puntos es un nmero impar de semilongitudes de onda.

Ejemplo: Una onda armnica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje de las X, tiene una amplitud de 20 cm, una longitud de onda de 40 cm y un periodo de 2 s. Sabiendo que en el instante inicial la elongacin del punto x = 0 es 20 cm, determinar la velocidad y la aceleracin un punto de la onda situado en x = 1 m para t = 1 s. ==

22

rad/s; k ==4,02 5 m-1

0,2 = 0,2sen (0 -50 + o); sen o= 1; o = /2 rad v = 0,2cos (1 - 51 + /2) = 0; a = - 0,22sen (1 - 51 + /2) = -1,97 m/s2

Los puntos A, B y C estn en fase entre s.

Los puntos D y E se en-cuentran en oposicin de fase respecto a A, B y C.

A B C

/2 D /2 /2 E /2

15

26. Por una cuerda muy larga se propaga una onda armnica transversal. a) Explicar la diferencia entre la velocidad de un punto de la cuerda y la velocidad de

la onda. b) Si se duplica la frecuencia de dicha onda Cmo variar la velocidad mxima de

los puntos de la cuerda? Y la velocidad de la onda?

27. Una onda sinusoidal transversal en una cuerda tiene un periodo de 0,2 s y se propa-ga en el sentido negativo del eje X a una velocidad 30 m/s. En el instante t = 0, la par-tcula de la cuerda en x = 0 tiene un desplazamiento positivo de 0,02 m y una veloci-dad de oscilacin negativa de 2 m/s. a) Cul es la amplitud de la onda? b) Cul es la fase inicial? c) Cul es la velocidad mxima de oscilacin de los puntos de la cuerda? d) Escribir la funcin de onda correspondiente. Solucin: a) 0,066 m; b) 2,84 rad; c) 2,07 m/s

28. Una onda armnica transversal de amplitud 8 cm y longitud de onda 140 cm se pro-paga en una cuerda tensa, orientada en el sentido positivo del eje X, con una veloci-dad de 70 cm/s. El punto de la cuerda de coordenada x = 0 (origen de la perturba-cin) oscila en la direccin del eje Y y tiene en el instante t = 0 una elongacin de 4 cm y una velocidad de oscilacin positiva. Determinar: a) Los valores de la frecuencia angular y del nmero de onda. b) La expresin matemtica de la onda. c) La expresin matemtica del movimiento del punto situado a 70 cm del origen.

Solucin: a) rad/s;7

10rad/m; b) y=0,08sen

+

6

x7

10t ; c) y=0,08sen

65

t

29. Una onda armnica transversal de frecuencia angular 4 rad/s se propaga a lo largo de una cuerda con una velocidad de 40 cm/s, en la direccin positiva del eje X. En el instante inicial t = 0, en el extremo de la cuerda x = 0, su elongacin es de + 2,3 cm y su velocidad de oscilacin es de 27 cm/s. Determinar: a) La expresin matemtica que representa la onda. b) El primer instante en el que la elongacin es mxima en x = 0.

Solucin: a) y = 0,0315sen(4t - 10x + 0,82); b) 0,06 s

Diferencia de fase El trmino (t - kx + o) recibe el nombre de fase de la onda () e informa del estado de vibracin de cada punto de la onda en un instante determinado. Se mide en rad. Para conocer la posicin relativa de dos puntos en un instante determinado, se emplea la diferencia de fase espacial:

= (t kx1 + o)- (t kx2 + o)= k x1-x2 = k x Cuando dos puntos estn en fase, la diferencia de fase es un mltiplo entero de 2; si estn en oposicin de fase, la diferencia de fase es un mltiplo impar de . Para conocer la posicin relativa de un mismo punto en dos momentos distintos, se em-plea la diferencia de fase temporal:

= (t1 kx + o)- (t2 kx + o)= t1-t2 = t

16

Ejemplo: Una onda armnica que se propaga por un medio unidimensional tiene una frecuencia 500 Hz y una velocidad de propagacin de 350 m/s. a) Qu distancia mnima hay, en un cierto instante, entre dos puntos del medio que

oscilan con una diferencia de fase de 60? b) Cul es la diferencia de fase de oscilacin, en un cierto punto, para un intervalo de

tiempo de 10-3 s? a) 350 = 500; = 0,7 m; k = 2

0,7= 2,86 m-1

60 2 rad360

=

rad3

;

3= 2,86 x x = 0,117 m

b) = 2500 = 1000 rad/s; =100010-3 = rad

30. Una onda armnica cuya frecuencia es de 50 Hz, se propaga en la direccin positiva del eje X. Sabiendo que la diferencia de fase, en un instante dado, para dos puntos separados 20 cm es de /2 radianes, determinar: a) La velocidad de propagacin de la onda b) En un punto dado qu diferencia de fase existe entre los desplazamientos que

tienen lugar en dos instantes separados por un intervalo de 0,01 s? Solucin: a) 40 m/s; b) rad

31. Una onda transversal, que se propaga en el sentido positivo del eje X, tiene una velo-cidad de propagacin de 600 ms-1 y una frecuencia de 500 Hz. Determinar: a) La mnima separacin entre dos puntos del eje X que tengan un desfase de 60,

en el mismo instante. b) El desfase entre dos elongaciones, en la misma coordenada x, separadas por un

intervalo de tiempo de dos milsimas de segundo. Solucin: a) 0,2 m; b) 2 rad

32. La funcin matemtica que representa una onda transversal que avanza por una cuerda es y = 0,3 sen (100t - 0,4x + o), donde todas las magnitudes estn expre-sadas en unidades del SI. Calcular: a) La separacin entre dos puntos cuya diferencia de fase, en un determinado ins-

tante, es de /5 radianes. b) La diferencia de fase entre dos vibraciones de un mismo punto del espacio sepa-

radas por un intervalo de tiempo de 5 ms. Solucin: a) 0,5 m; b) /2 rad

33. Una onda armnica transversal se desplaza en la direccin del eje X en sentido posi-tivo y tiene una amplitud de 2 cm, una longitud de onda de 4 cm y una frecuencia de 8 Hz. Determinar: a) La velocidad de propagacin de la onda. b) La fase inicial, sabiendo que para x = 0 y t = 0 la elongacin es y = -2 cm. c) La expresin matemtica que representa la onda. d) La distancia entre dos partculas del eje X que oscilan separadas /3 rad. Solucin: a) 0,32 m/s; b) 3/2 rad; d) 6,6710-3 m

34. Un punto material oscila en torno al origen de coordenadas en la direccin del eje Y, segn la expresin:

Y = 5 sen (3 t + )

4

(y en cm; t en s) originando una onda armnica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje X. Sabiendo que dos puntos materiales de dicho eje que oscilan con un desfase de rad estn separados una distancia mnima de 30 cm, determinar: a) La amplitud y la frecuencia de la onda armnica. b) La longitud de la onda y la velocidad de propagacin de la onda.

17

c) La expresin matemtica que representa la onda armnica. d) La expresin de la velocidad de oscilacin en funcin del tiempo para el punto

x = 80 cm, y el valor de dicha velocidad en el instante t = 20 s. Solucin: a) 0,05 m; 0,167 Hz; b) 0,6 m; 0,1 m/s; c) y = 0,05 sen (

3 t -

310

x+ )4 ;

d) v = 0,052 cos (3 t -

1229 ); 0,037 m/s

35. Una onda armnica transversal, de periodo 2 s, se propaga con una velocidad de 60 cm/s en una cuerda tensa orientada segn el eje X, y en sentido positivo. Sabiendo que el punto de la cuerda de abscisa x = 30 cm oscila en la direccin del eje Y, de forma que en el instante t = 1 s la elongacin es nula y la velocidad con la que oscila positiva y en el instante t = 1,5 s su elongacin es 5 cm y su velocidad de oscilacin nula, determinar: a) La frecuencia y la longitud de onda. b) La fase inicial y la amplitud de la onda armnica. c) La expresin matemtica de la onda armnica. d) La diferencia de fase de oscilacin de dos puntos de la cuerda separados un

cuarto de longitud de onda. Solucin: a) 0,5 Hz; 1,2 m; b)

23

rad; 0,05 m; c) y=0,05sen

+

23

x3

5t ; d)

2

rad

Principio de Huygens. Reflexin, refraccin y difraccin. Interferencias. La propagacin de las ondas y los fenmenos relacionados con sta pueden explicarse mediante el principio de Huygens (1678), segn el cual, "todo punto de un frente de onda, es centro emisor de nuevas ondas elementales cuya envolvente es el nuevo frente de onda".

El principio de Huygens permite explicar los fenmenos de reflexin, refraccin y difrac-cin de las ondas. - Reflexin: Es el cambio en la direccin y el sentido de propagacin que experimenta una onda al alcanzar la superficie de separacin entre dos medios, siendo devuelta al primer medio. - Refraccin: Es el cambio en la direccin de propagacin que experimenta una onda al traspasar la superficie de separacin entre dos medios, y transmitirse en el segundo me-dio con distinta velocidad de propagacin. Por ejemplo, si en el segundo medio las ondas se propagan con menor velocidad, los puntos del frente de onda que alcanzan primero la superficie de separacin y comienzan a transmitirse por el segundo medio, se retrasan

Los puntos A, B, C y D forman par-te de un frente de onda y describen un M.A.S., con lo que se convierten en centros emisores de nuevas ondas secundarias. Al cabo de un tiempo, todas estas ondas habrn recorrido una misma distancia, al-canzando los puntos A', B', C' y D' respectivamente, que estarn en fase entre s formando un nuevo frente de onda. La formacin sucesiva de frentes de onda hace posible la propaga-cin de las ondas.

A

A

B B O C C'

D

D'

18

respecto a los que permanecen en el medio inicial, producindose un cambio en la direc-cin de propagacin. - Difraccin: es el fenmeno que se produce cuando un obstculo impide el avance de una parte del frente de onda. Los puntos del frente de onda que no estn tapados por el obstculo, se convierten en focos emisores de nuevas ondas, logrando que la onda bor-dee el obstculo y se propague detrs del mismo.

Interferencias Una interferencia es el fenmeno que se produce cuando dos ondas se superponen en un mismo punto. Si dos ondas iguales interfieren en fase, tiene lugar una interferencia constructiva y la amplitud del movimiento resultante es el doble de la amplitud de cada una de dichas on-das. Si dos ondas iguales interfieren en oposicin de fase, tiene lugar una interferencia des-tructiva y en dicho punto las ondas se anulan mutuamente. Si se produce la difraccin de una onda a travs de una doble rendija, al interferir las ondas que se generan al otro lado del obstculo se origina una sucesin de zonas de interferencia constructiva y destructiva que recibe el nombre de figura de difraccin.

3. Ondas sonoras El sonido es una onda que se propaga por sucesivas compresiones y descompresiones de un medio material elstico. Las ondas sonoras son ondas mecnicas, longitudinales y esfricas.

El odo humano slo puede percibir sonidos con frecuencias comprendidas entre 20 y 20000 Hz. Los sonidos cuya frecuencia es inferior a 20 Hz reciben el nombre de infraso-nidos; cuando la frecuencia es superior a 20000 Hz se llaman ultrasonidos.

La velocidad del sonido depende de las caractersticas del medio y, en general en los slidos es mayor que en los lquidos y en stos mayor que en los gases. La velocidad del sonido en el aire a 20 C es de 340 m/s.

El sonido presenta tres cualidades que permite distinguir unos sonidos de otros:

- Intensidad: permite distinguir un sonido fuerte de uno dbil. Est directamente rela-cionado con el cuadrado de la amplitud de la onda. Matemticamente representa la energa transmitida (E = KA2) por unidad de tiempo a travs de la unidad de su-perficie.

SP

StEI == ; como se trata de ondas esfricas: S = 4r2; por tanto:

I = intensidad de la onda; unidad: W/m2 P= potencia transmitida; unidad: W r = distancia del punto al foco emisor; unidad: m

I 2r4P

=

19

El umbral de audicin para el odo humano (Io) se establece en 10-12 W/m2. Para medir el nivel de intensidad sonora se utiliza una escala logartmica que asigna el nivel de 0 dB (decibelios) al umbral de audicin.

= nivel de intensidad sonora Unidad: decibelios (dB)

Ejemplo: Una fuente sonora emite un sonido de 10-3 W de potencia. Determinar el nivel de intensidad sonora a 50 m de distancia.

I = 23

50410pi

= 3,1810-8 W/m2

= 10 log 128

101018,3

= 45 dB

Ejemplo: Una fuente sonora emite un sonido de 10-3 W de potencia. A qu distancia el nivel de intensidad sonora ser de 20 dB? 20 = 10 log 1210

I

; 2 = log I + 12; log I = -10; I = 10-10 W/m2

10-10 = 23

r410

pi

r = 892 m

- Tono: es la cualidad que permite distinguir un sonido grave de uno agudo. Depende de la frecuencia del sonido, cuanto mayor es la frecuencia, ms agudo es el sonido.

- Timbre: es la cualidad que permite distinguir dos sonidos de la misma intensidad y tono producidos por dos fuentes sonoras distintas. Depende de la forma de la onda, ya que la mayora de los sonidos no son puros, formados por una onda sinusoidal, sino que son la consecuencia de la superposicin de varias ondas sinusoidales, dando lugar a una onda ms compleja cuya forma es caracterstica de cada foco emisor.

Sonido compuesto Sonido puro

I I

t t

Sonido grave Sonido agudo

= 10 logoI

I

20

36. Una onda sonora que se propaga en el aire tiene una frecuencia de 260 Hz. a) Describir la naturaleza de la onda sonora e indicar cul es la direccin en la que

tiene lugar la perturbacin, respecto a la direccin de propagacin. b) Calcular el periodo de esta onda y su longitud de onda. Dato: velocidad del sonido en el aire = 340 ms-1 Solucin: b) 3,8510-3 s; 1,31 m

37. Razonar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) La intensidad de la onda sonora emitida por una fuente puntual es directamente

proporcional a la distancia a la fuente. b) Un incremento de 30 decibelios corresponde a un aumento de la intensidad del

sonido en un factor 1000.

38. La potencia sonora del ladrido de un perro es aproximadamente 1 mW y dicha poten-cia se distribuye uniformemente en todas las direcciones. Calcular: a) La intensidad y el nivel de intensidad sonora a una distancia de 10 m del lugar

donde se produce el ladrido. b) El nivel de intensidad sonora generada por el ladrido de 5 perros a 20 m de dis-

tancia de los mismos. Suponer que todos los perros emiten sus ladridos en el mismo punto del espacio.

Dato: Io Solucion: a) 7,9610-7 W/m2; 59 dB; b) 60 dB

39. La potencia de la bocina de un automvil, que se supone foco emisor puntual, es de 0,1 W. a) Determinar la intensidad de la onda sonora y el nivel de intensidad sonora a una

distancia de 8 m del automvil. b) A qu distancias desde el automvil el nivel de intensidad sonora es menor de

60 dB? Dato: Io Solucin: a) 1,2410-4 W/m2; 80,9 dB; b) 89,2 m

40. El sonido producido por la sirena de un barco alcanza un nivel de intensidad sonora de 80 dB a10 m de distancia. Considerando la sirena como un foco sonoro puntual, determinar: a) La intensidad de la onda sonora a esa distancia y la potencia de la sirena. b) El nivel de intensidad sonora a 500 m de distancia. Dato: Io Solucin: a) 10-4 W/m2; 0,126 W; b) 410-8 W/m2; 46 dB

41. El nivel de intensidad sonora producido por un foco emisor puntual es de 60 dB a 10 m de distancia. Determinar: a) El nivel de intensidad sonora a 1 km de distancia. b) La distancia a la que el sonido deja de ser audible. Dato: Io Solucin: a) 20 dB; b) 104 m

42. Se realizan dos mediciones del nivel de intensidad sonora en las proximidades de un foco sonoro puntual, siendo la primera de 100 dB a una distancia x del foco y la se-gunda de 80 dB al alejarse en la misma direccin 100 m ms. a) Obtener las distancias al foco desde donde se efectan las mediciones. b) Determinar la potencia sonora del foco. Dato: Io Solucin: a) 11,1 m; 111,1 m; b) 15,5 W

21

TEMA 2: PTICA 1. Naturaleza de la luz. La luz tiene una doble naturaleza: ondulatoria y corpuscular. Ondulatoria: la luz es una onda electromagntica, presentando todos los fenmenos ca-ractersticos de las ondas (reflexin, refraccin, difraccin, interferencias,...) Corpuscular: cuando la luz interacciona con la materia intercambiando energa con sta (efecto fotoelctrico), presenta carcter corpuscular y puede considerarse formada por fotones, siendo la energa de cada fotn directamente proporcional a su frecuencia.

La mayora de los fenmenos relacionados con la luz pueden explicarse a partir de su naturaleza ondulatoria, ya que presenta todas las caractersticas propias de las ondas electromagnticas:

- Consisten en la propagacin de un campo elctrico y un campo magntico que varan peridicamente y son perpendiculares entre s.

- Son ondas transversales, ya que la direccin de propagacin es perpendicular a la osci-lacin de ambos campos.

- No son ondas mecnicas, ya que no precisan de un medio material para propagarse.

- En el vaco todas las ondas electromagnticas se propagan a la misma velocidad (c 3108 m/s), mientras que su longitud de onda y su frecuencia son variables (c = f); en el aire esta velocidad permanece prcticamente constante.

- En los medios materiales la velocidad de las ondas electromagnticas disminuye, dis-minuyendo tambin su longitud de onda, mientras que su frecuencia permanece constan-te (v = f) La secuencia de todas las ondas electromagnticas ordenadas segn su frecuencia reci-be el nombre de espectro electromagntico: - Ondas de radio (f < 1010 Hz) - Microondas (1010 Hz < f < 1012 Hz) - Infrarrojo (1012 Hz < f < 1014 Hz) - Luz visible (1014 Hz < f < 1015 Hz): de menor a mayor frecuencia incluye los colores rojo,

naranja, amarillo, verde, azul, ail y violeta. - Ultravioleta (1015 Hz < f < 1017 Hz) - Rayos X (1017 Hz < f < 1019 Hz) - Rayos (f > 1019 Hz)

1. Discutir la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) Un fotn de luz roja tiene mayor longitud de onda que un fotn de luz azul. b) Un fotn de luz amarilla tiene mayor frecuencia que un fotn de luz azul. c) Un fotn de luz verde tiene menor velocidad de propagacin en el vaco que un

fotn de luz amarilla. d) Un fotn de luz naranja es ms energtico que un fotn de luz roja.

Efotn = hf Efotn = energa de un fotn (J) h = constante de Planck = 6,6310-34 Js f = frecuencia de la onda luminosa (Hz)

22

2. Propagacin de la luz: reflexin y refraccin

La luz, al igual que todas las radiaciones electromagnticas, es una onda esfrica que se propaga en todas las direcciones del espacio. Para estudiar los fenmenos relacionados con la propagacin de la luz, se elige una direccin de propagacin perpendicular a las superficies esfricas (frentes de ondas) alcanzadas por la luz en su propagacin que recibe el nombre de rayo luminoso.

Cuando un rayo de luz incide en la superficie de separacin entre dos medios, se produ-cen dos fenmenos:

- Reflexin: es el fenmeno por el cual el rayo luminoso es devuelto el primer medio, cambiando su direccin de propagacin.

- Refraccin: es el fenmeno por el cual el rayo luminoso pasa a propagarse en el se-gundo medio, cambiando su direccin de propagacin debido a la diferencia entre la ve-locidad de propagacin de la luz en ambos medios.

Se llama ndice de refraccin de un medio al cociente entre la velocidad de la luz en el vaco y la velocidad de sta en dicho medio.

Ejemplo: Hallar el ndice de refraccin del agua (vagua = 2,25108 m/s) 33,1

1025,2103

n 8

8

agua ==

2. Una fuente luminosa emite luz monocromtica de longitud de onda en el vaco = 610-7 m (luz roja) que se propaga en el agua de ndice de refraccin n = 1,34. De-terminar: a) La velocidad de propagacin de la luz en el agua. b) La frecuencia y la longitud de onda de la luz en el agua. Dato: c Solucin: a) 2,24108 m/s; b) 51014 Hz; 4,4810-7 m.

Leyes de la reflexin y la refraccin

La reflexin y la refraccin se rigen por las siguientes leyes:

1. El rayo incidente, el rayo reflejado y el rayo refractado, estn en un mismo plano que contiene a la normal.

2. El ngulo de incidencia es igual al ngulo de reflexin ( i = 'i ) 3. El cociente entre los senos de los ngulos de incidencia y de refraccin, es igual al cociente entre las velocidades de la luz en ambos medios (ley de Snell).

v

cn =

n = ndice de refraccin del medio c = velocidad de la luz en el vaco 3108 m/s v = velocidad de la luz en el medio (m/s)

2

1

v

v

rsen

isen=

i = ngulo de incidencia r = ngulo de refraccin v1 = velocidad de la luz en el primer medio v2 = velocidad de la luz en el segundo medio

23

La ley de Snell puede expresarse en funcin de los ndices de refraccin:

1

2

2

1

2

1

n

n

nc

nc

v

v

rsen

isen===

Ejemplo: Un rayo de luz monocromtica incide desde el aire sobre el agua (n = 1,33) con un ngulo de incidencia de 30. Calcular el ngulo de refraccin.

133,1

rsen

30sen= ; sen r = 0,375; r = 22

3. Enunciar las leyes de la reflexin y de la refraccin de la luz y efectuar los esquemas grficos correspondientes.

4. Una superficie plana separa dos medios de ndices de refraccin distintos n1 y n2. Un rayo de luz incide desde el medio de ndice n1. Razonar si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes: a) El ngulo de incidencia es mayor que el ngulo de reflexin. b) Los ngulos de incidencia y de refraccin son siempre iguales. c) El rayo incidente, el reflejado y el refractado estn en el mismo plano. d) Si n1 > n2 el ngulo de refraccin es menor que el ngulo de incidencia.

5. Un rayo de luz monocromtica cuya longitud de onda en el vaco es 656,3 nm incide desde el aire sobre un lquido de ndice de refraccin n =1,42 con un ngulo de inci-dencia de 30. a) Determinar velocidad de propagacin, longitud de onda y frecuencia de dicho ra-

yo en el lquido. b) Dibujar un esquema de los rayos incidente, reflejado y refractado y calcular el n-

gulo de refraccin. Dato: c Solucin: a) 2,11108 m/s; 4,6210-7 m; 4,571014 Hz; b) 20,6 .

i 'i

r

rayo incidente

1

2

n

n

rsen

isen=

n1 = ndice de de refraccin del primer medio n2 = ndice de de refraccin del segundo medio

rayo reflejado

rayo refractado

24

6. Considrese un haz de luz monocromtica, cuya longitud de onda en el vaco es o= 600 nm. Este haz incide, desde el aire, sobre la pared plana de vidrio de un acua-rio con un ngulo de incidencia de 30. Determinar: a) El ngulo de refraccin en el vidrio, sabiendo que su ndice de refraccin es

n1 = 1,5. b) La longitud de onda de dicho haz en el agua, sabiendo que su ndice de refrac-

cin es n2 = 1,33. Solucin: a) 19,5; b) 451 nm

Reflexin total Cuando el ndice de refraccin del primer medio es mayor que el del segundo (n1>n2), el ngulo de refraccin es mayor que el de incidencia (sen r > sen i ; r > i ); en este caso, existe un ngulo de incidencia llamado ngulo lmite (L ) para el cual el ngulo de refrac-cin vale 90. Para ngulos de incidencia mayores que el ngulo lmite no se produce refraccin y aparece el fenmeno de reflexin total.

Ejemplo: Un rayo de luz monocromtica pasa al aire desde un lquido de ndice de re-fraccin n =1,43. Determinar el ngulo lmite.

43,11

90senLsen

= ; sen L = 0,7 ; L = 44,4

7. a) Explicar el fenmeno de la reflexin total y las condiciones en las que se produce. b) Calcular el ngulo a partir del cual se produce reflexin total entre un medio mate-

rial en el que la luz se propaga a una velocidad v = 1,5108 ms-1 y el aire. Tener en cuenta que la luz en su propagacin pasa del medio material al aire.

Datos: Velocidad de la luz en el vaco; ndice de refraccin del aire Solucin: b) 30

8. Un buceador enciende una linterna debajo del agua (ndice de refraccin 1,33) y diri-ge el haz luminoso hacia arriba formando un ngulo de 40 con la vertical. a) Con qu ngulo emerger la luz del agua? b) Cul es el ngulo de incidencia a partir del cul la luz no saldr del agua? Efectuar esquemas grficos en la explicacin de ambos apartados. Solucin: a) 58,7; b) 48,8

90r =

1

2

n

n

90senLsen

=

sen L = 1

2

n

n

L = arcsen 1

2

n

n

Li =

25

9. En tres experimentos independientes, un haz de luz de frecuencia f = 1015 Hz inci-de desde cada uno de los materiales de la tabla sobre la superficie de separacin de stos con el aire, con un ngulo de incidencia de 20, producindose reflexin y refraccin.

Material Diamante Cuarzo Agua ndice de refraccin 2,42 1,46 1,33

a) Depende el ngulo de reflexin del material? Justificar la respuesta. b) En qu material la velocidad de propagacin de la luz es menor? Determinar

en este caso el ngulo de refraccin. c) En qu material la longitud de onda del haz de luz es mayor? Determinar en

este caso el ngulo de refraccin. d) Si el ngulo de incidencia es de 30, se producir el fenmeno de reflexin to-

tal en alguno(s) de los materiales? Solucin: b) 55,9; c) 27,1

10. Un rayo de luz se propaga desde el aire al agua, de manera que el rayo incidente forma un ngulo de 30 con la normal a la superficie de separacin aire-agua, y el rayo refractado forma un ngulo de 128 con el rayo reflejado. a) Determinar la velocidad de propagacin de la luz en el agua. b) Si el rayo luminoso invierte el recorrido y se propaga desde el agua al aire, a

partir de qu ngulo de incidencia se produce la reflexin total? Dato: c Solucin: a) 2,25108 m/s; b) 48,5

11. Un rayo de luz roja que se propaga en el aire tiene una longitud de onda de 650 nm. Al incidir sobre la superficie de separacin de un medio transparente y pene-trar en l, la longitud de onda del rayo pasa a ser de 500 nm. a) Calcular la frecuencia de la luz roja. b) Calcular el ndice de refraccin del medio transparente para la luz roja. c) Si el rayo incide desde el aire con un ngulo de 30 respecto a la normal, cul

ser el ngulo de refraccin en el medio transparente? d) Si el rayo se propagara por el medio transparente en direccin hacia el aire,

cul sera el ngulo de incidencia a partir del cual no se produce refraccin? Dato: c Solucin: a) 4,621014 Hz; b) 1,3; c) 22,6; d) 50,3

12. Se tiene un prisma ptico de ndice de refraccin 1,5 inmerso en el aire. La seccin del prisma es un tringulo rectngulo issceles como muestra la figura. Un rayo luminoso incide perpendicularmente sobre la cara AB del prisma.

a) Explicar si se produce o no re-flexin total en la cara BC del prisma.

b) Hacer un esquema grfico de la trayectoria seguida por el rayo a travs del prisma. Cul es la direccin del rayo emergente?

B

A C

26

13. Un rayo de luz de longitud de onda en el vaco o = 650 nm incide desde el aire sobre el extremo de una fibra ptica formando un ngulo con el eje de la fibra (ver figura), siendo el ndice de refraccin n1 dentro de la fibra 1,48. a) Cul es la longitud de onda de la

luz dentro de la fibra? b) La fibra est revestida de un material

de ndice de refraccin n2 = 1,44. Cul es el valor mximo del ngulo para que se produzca reflexin to-tal interna en P?

Solucin: a) 439 nm; b) 20

Lmina de caras planas y paralelas Cuando un rayo luminoso atraviesa una lmina de caras planas y paralelas, el rayo experimenta una doble refraccin. Si el medio inicial coincide con el medio final, el rayo emergente ser paralelo al rayo incidente, observndose un desplazamiento late-ral del rayo.

1 refraccin: 1

1

rsen

isen=

1

2

n

n; 2 refraccin: =

2

2

rsen

isen

2

1

n

n

Por tanto: 1

1

rsen

isen=

2

2

isenrsen

; sabiendo que 21 ir = 1isen = 2rsen 1i = 2r

Para determinar x: cosx

er1 = ; para determinar d: sen ( 11 ri )

x

d=

1i

2i 1r

2r

e

d

1i = ngulo de incidencia 1r = ngulo de refraccin en el interior de la lmina 2i = ngulo de incidencia en el interior de la lmina 2r = ngulo de emergencia

e = espesor de la lmina x = espacio recorrido por el rayo dentro de la lmina d = desplazamiento lateral de la lmina

11 ri

x

medio 1

medio 2

medio 1

n2

n1 P

27

Ejemplo: Sobre una lmina de vidrio de caras planas y paralelas, de espesor 1 cm y de ndice de refraccin 1,5, situada en el vaco, incide un rayo de luz monocromtica con un ngulo de 30 normal a la cara. Calcular:

a) El ngulo que forma con la normal el rayo que emerge de la lmina. b) La distancia recorrida por el rayo dentro de la lmina. c) El desplazamiento lateral del rayo.

a) 1rsen

30sen=

15,1 1r = 19,5 = 2i ;

2rsen

5,19sen=

5,11

2r

= 30

b) cos 19,5 =x

1 x = 1,06 cm

c) sen (30-19,5)=06,1d

d = 0,19 cm

14. Una lmina de vidrio de caras planas y paralelas, situada en el aire, tiene un espe-sor de 8 cm y un ndice de refraccin n = 1,6. Calcular para un rayo de luz mono-cromtica que incide en la cara superior de la lmina con un ngulo de 45. a) Los valores del ngulo de refraccin en el interior de la lmina y del ngulo de

emergencia correspondientes. b) El desplazamiento lateral experimentado por el rayo al atravesar la lmina. Solucin: a) 26,2; 45; b) 2,87 cm

15. Sobre una lmina de vidrio de caras planas y paralelas de 3 cm de espesor y si-tuada en el aire incide un rayo de luz monocromtica con un ngulo de incidencia de 35. La velocidad de propagacin del rayo en la lmina es c

32

, siendo c la velo-

cidad de la luz en el vaco. a) Determinar el ndice de refraccin de la lmina. b) Comprobar que el rayo emerger de la lmina y determinar el ngulo de emer-

gencia. c) Calcular la distancia recorrida por el rayo dentro de la lmina. Solucin: a) 1,5; b) 35; c) 3,25 cm

16. Se tienen tres medios transparentes de ndices de refraccin n1, n2 y n3 separados entre s por superficies planas y paralelas. Un rayo de luz de frecuencia 61014 Hz incide desde el primer medio (n1 = 1,5) sobre el segundo formando un ngulo de 30 con la normal. a) Sabiendo que el ngulo de refraccin en el segundo medio es 23,5, cul ser

la longitud de onda de la luz en este segundo medio? b) Si el ndice de refraccin del tercer medio es n3 = 1,3 cul ser el ngulo de

emergencia del rayo? Dato: c Solucin: a) 2,6610-7 m; b) 35,6

17. Una lmina de vidrio (ndice de refraccin n = 1,52) de caras planas y paralelas y espesor d se encuentra entre el aire y el agua. Un rayo de luz monocromtica de frecuencia 51014 Hz incide desde el agua en la lmina. Determinar: a) Las longitudes de onda del rayo en el agua y en el vidrio. b) El ngulo de incidencia en la primera cara de la lmina a partir del cual se pro-

duce reflexin total interna en la segunda cara. Datos: c; ndice de refraccin de agua nagua = 1,33 Solucin: a) 4,510-7 m; 3,9510-7 m; b) 48,75

28

Prisma ptico Cuando un rayo luminoso atraviesa una de las caras laterales de un prisma triangular (prisma ptico), el rayo experimenta una doble refraccin.

1 refraccin: 1

1

rsen

isen=

1

2

n

n; 2 refraccin: =

2

2

rsen

isen

2

1

n

n;

Sabiendo que 21 ir + +(180-) = 180 21 ir + =

Ejemplo: Sobre un prisma de ndice de refraccin 1,55 y ngulo en el vrtice 45, inci-de un rayo de luz con un ngulo de 30. Determinar el ngulo de emergencia.

1rsen

30sen=

155,1

1r = 18,8 ; 2i = 45-18,8 =26,2; 2rsen

2,26sen=

55,11

2i = 43,2

18. Un rayo de luz monocromtica incide sobre una cara lateral de un prisma de vidrio de ndice de refraccin n = 2 . El ngulo del prisma es 60. Determinar.

a) El ngulo de emergencia a travs de la segunda cara lateral si el ngulo de incidencia es de 30. Efectuar un esquema grfico de la marcha del rayo.

b) El ngulo de incidencia para que el ngulo de emergencia sea de 90. Solucin: a) 63,6; b) 21,5

Dispersin de la luz Es el fenmeno que se produce al refractarse un rayo de luz policromtica. Debido a que la velocidad de propagacin de cada radiacin en un medio material vara ligera-mente en funcin de la frecuencia, cada una de las radiaciones que componen el rayo se refractar con distinto ngulo, producindose la descomposicin del rayo luminoso. La dispersin de la luz se observa fcilmente a travs de cuerpos transparentes de caras no paralelas (prisma ptico, gota de agua,...), ya que cada rayo emerge con un ngulo distinto.

1i 2r

1r 2i

1i = ngulo de incidencia 1r = ngulo de refraccin en el prisma 2i = ngulo de incidencia en el prisma 2r = ngulo de emergencia

= ngulo en el vrtice

29

Ejemplo: Un haz luminoso est constituido por dos rayos de luz: uno azul de ndice de refraccin nazul= 1,55 y otro rojo de ndice de refraccin nrojo = 1,40. Si este haz incide desde el aire sobre la superficie de un vidrio con un ngulo de 30, calcular el ngulo que forman entre s los rayos azul y rojo refractados.

azulrsen

30sen=

155,1

azulr = 18,8; rojorsen

30sen=

140,1

rojor = 20,9

rojor - azulr =20,9 18,8 = 2,1

19. a) Describir brevemente los fenmenos de refraccin y dispersin de la luz. Pue-de un rayo de luz monocromtica sufrir ambos fenmenos?

b) Por qu no se observa dispersin cuando la luz blanca atraviesa una lmina de vidrio de caras plano-paralelas?

20. Un rayo de luz blanca incide desde el aire sobre una lmina de vidrio con un ngu-lo de incidencia de 30. a) Qu ngulo formarn entre s en el interior del vidrio los rayos rojo y azul,

componentes de la luz blanca, si los valores de los ndices de refraccin del vi-drio para estos colores son, respectivamente, nrojo=1,612 y nazul=1,671?

b) Cules sern los valores de la frecuencia y de la longitud de onda correspon-dientes a cada una de estas radiaciones en el vidrio, si las longitudes de onda en el vaco son, respectivamente, rojo = 656,3 nm y azul = 486,1 nm?

Solucin: a) 0,7; b) 4,571014 Hz; 407,1 nm; 6,171014 Hz; 290,9 nm

3. ptica geomtrica Es la parte de la ptica que estudia la formacin de imgenes en espejos y lentes. Espejos esfricos Los espejos esfricos pueden ser: - Cncavos: cuando la superficie reflectante se encuentra en el interior. - Convexos: cuando la superficie reflectante se encuentra en el exterior .En todo espejo esfrico se pueden distinguir los siguientes elementos: - Centro de curvatura (C): centro de la superficie esfrica. - Vrtice (O): centro geomtrico del espejo. - Foco (F): punto medio entre el centro de curvatura y el vrtice.

Rojo Luz blanca

Azul

30

- Eje ptico: lnea imaginaria que pasa por el centro de curvatura, el foco y el vrtice.

Para obtener la imagen de un objeto se deben trazar al menos dos de los siguientes rayos:

- Rayo paralelo: cuando un rayo incide paralelamente el eje ptico, el rayo reflejado (o su prolongacin) pasa por el foco.

- Rayo focal: cuando un rayo (o su prolongacin) incide pasando por el foco, el rayo reflejado es paralelo al eje ptico.

O F C F

O F C F

O F C

f r

Espejo convexo

f = 2r

= distancia focal > 0

r = radio de curvatura > 0

C F O

f r

Espejo cncavo

f = 2r

= distancia focal < 0

r = radio de curvatura < 0

31

- Rayo central: cuando un rayo (o su prolongacin) incide pasando por el centro de curvatura, el rayo reflejado sigue la misma trayectoria.

Las caractersticas de la imagen formada por un espejo cncavo dependen de la posi-cin del objeto. Existen tres posibilidades:

a) Objeto situado entre - y C

b) Objeto situado entre C y F

c) Objeto situado entre F y O

C F O

Imagen real, invertida y mayor que el objeto

C F O

Imagen real (formada por los rayos reflejados), invertida y menor que el objeto.

C F O

O F

C F

Imagen virtual (formada por la prolongacin de los rayos reflejados), derecha y mayor que el objeto.

32

La imagen formada por un espejo convexo tiene siempre las mismas caractersticas independientemente de la posicin del objeto:

Para determinar la posicin de la imagen y el aumento producido por el espejo, se utilizan las siguientes ecuaciones:

Ejemplo: Un objeto de 1,5 cm de altura se encuentra delante de un espejo esfrico de 14 cm de radio, a 20 cm del vrtice del espejo. Determinar la posicin y el tamao de la imagen y efectuar su construccin geomtrica si:

a) El espejo es cncavo. b) El espejo es convexo.

a) f = 214

= -7 cm ; 7

1's

1201

=+

s= -10,8 cm

208,10

5,1'y

= y= -0,81 cm

Imagen virtual, derecha y menor que el objeto

O F C

C F

f1

's

1s

1=+

s = posicin del objeto respecto a O (s < 0)

s = posicin de la imagen respecto a O

virtualimagen0'srealimagen0's

f = distancia focal

convexoespejo0fcncavoespejo0f

y = tamao del objeto (y > 0)

y = tamao de la imagen

invertidaimagen0'yderechaimagen0'y

=

y'y

aumento lateral del espejo

s

s'

yy'

=

33

b) f = 2

14= 7 cm ;

71

's

1201

=+

s= 5,2 cm

202,5

5,1'y

= y= 0,39 cm

21. a) En un sistema ptico centrado formado por espejos, qu caractersticas pre-sentan las imgenes reales y las virtuales?

b) Poner un ejemplo de cada una de ellas utilizando espejos esfricos. Explicar el tipo de espejo esfrico utilizado en cada caso.

22. a) Cmo se define y dnde se encuentra el foco de un espejo cncavo? b) Si un objeto se coloca delante de un espejo cncavo analizar, mediante el tra-

zado de rayos, las caractersticas de la imagen que se produce si est ubica-do entre el foco y el espejo.

23. Un objeto de 4 cm de altura se sita a 6 cm por delante de la superficie cncava de un espejo esfrico. Si la imagen obtenida tiene 10 cm de altura, es positiva y vir-tual: a) Cul es la distancia focal del espejo? b) Realizar un diagrama de rayos del sistema descrito.

Solucin: a) 10 cm

24. Se sita un objeto de 3,5 cm delante de la superficie cncava de un espejo esfrico de distancia focal 9,5 cm, y se produce una imagen de 9,5 cm. a) Calcular la distancia a la que se encuentra el objeto de la superficie del espejo. b) Realizar el trazado de rayos y determinar si la imagen formada es real o virtual. Solucin: a) -6 cm

25. La distancia focal de un espejo esfrico es de 20 cm en valor absoluto. Si se coloca un objeto delante del espejo a una distancia de 10 cm de l, determinar la posicin y la naturaleza de la imagen formada en los dos casos siguientes: a) El espejo es cncavo. b) El espejo es convexo. Efectuar la construccin geomtrica de la imagen en ambos casos. Solucin: a) 20 cm; b) 6,67 cm

26. Se tiene un espejo cncavo de 20 cm de distancia focal. a) Dnde se tiene que situar un objeto para que su imagen sea real y doble que

el objeto? b) Dnde se tiene que situar el objeto para que la imagen sea doble pero tenga

carcter virtual? Efectuar la construccin geomtrica en ambos casos. Solucin: a) -30 cm; b) -10 cm

O F

34

27. Delante de un espejo cncavo de 1 m de radio y a una distancia de 0,75 m se co-loca un objeto luminoso de tamao 10 cm. a) Determinar la posicin, la naturaleza y el tamao de la imagen formada por el

espejo. b) Si desde la posicin anterior el objeto se acerca 0,5 m hacia el espejo, calcular

la posicin, la naturaleza y el tamao de la imagen formada por el espejo en este caso.

Solucin: a) -1,5 m, -20 cm; b) 0,5 m, 20 cm

28. Un objeto de tamao 15 cm se encuentra situado a 20 cm de un espejo cncavo de distancia focal 30 cm. a) Calcular la posicin y el tamao de la imagen formada. b) Efectuar la construccin grfica correspondiente e indicar cul es la naturaleza

de esta imagen. Si el espejo fuese convexo en lugar de cncavo y del mismo radio:

c) Cul sera la posicin y el tamao de la imagen formada? d) Efectuar la resolucin grfica, en este ltimo caso, indicando la naturaleza de la

imagen formada. Solucin: a) 60 cm; 45 cm; b) 12 cm; 9 cm

29. Un espejo esfrico convexo proporciona una imagen virtual de un objeto que se aproxima a l con velocidad constante. El tamao de dicha imagen es igual a 1/10 del tamao del objeto cuando ste se encuentra a 8 m del espejo. a) A qu distancia del espejo se forma la correspondiente imagen? b) Cul es el radio de curvatura del espejo? c) Un segundo despus, el tamao de la imagen es 1/5 del tamao del objeto.

A qu distancia del espejo se encuentra ahora el objeto? d) Cul es la velocidad del objeto? Solucin: a) 0,8 m; b) 1,78 m; c) -3,56 m; d) 4,44 m/s

30. Por medio de un espejo cncavo se quiere proyectar la imagen de un objeto de tamao 1 cm sobre una pantalla plana, de modo que la imagen sea invertida y de tamao 3 cm. Sabiendo que la pantalla ha de estar colocada a 2 m del objeto, cal-cular: a) Las distancias del objeto y de la imagen al espejo, efectuando su construccin

geomtrica. b) El radio del espejo y la distancia focal. Solucin: a) -1 m; -3 m; b) 1,5 m; -0,75 m

31. Se utiliza un espejo esfrico para formar una imagen invertida y cinco veces mayor que el objeto sobre una pantalla situada a 5 m del objeto. a) Determinar la posicin del objeto respecto al espejo y su radio de curvatura

qu tipo de espejo es? b) Utilizando el mismo espejo, a qu distancia tendra que colocarse el objeto

para obtener una imagen virtual del mismo tamao que en el caso anterior? Efectuar la construccin geomtrica en ambos casos.

Solucin: a) 1,25 m; 2,08 m; b) -0,83 m

35

Lentes delgadas Una lente es un medio transparente limitado por dos caras, al menos una de las cuales es curva. Las lentes pueden ser de dos tipos:

- Convergentes: ms gruesas en el centro que en los extremos (biconvexa, plano-convexa,...). Al pasar los rayos a travs de ellas, los rayos refractados se juntan (con-vergen) en un punto. - Divergentes: ms gruesas en los extremos que en el centro (bicncava, plano-cncava,...). Al pasar los rayos a travs de ellas, los rayos refractados se separan (di-vergen). Esquemticamente, se representan por:

En toda lente pueden distinguirse los siguientes elementos:

- Foco objeto (F): cuando el rayo incidente (o su prolongacin) pasa por el foco objeto, el rayo refractado es paralelo al eje ptico.

- Foco imagen (F): cuando el rayo incidente es paralelo al eje ptico, el rayo refracta-do (o su prolongacin) pasa por el foco imagen.

F

f= distancia focal imagen f

F

f

F

f

f= distancia focal objeto

F f

Lente conver-gente

Lente diver-gente

36

- Centro ptico (O): cuando el rayo incidente pasa por el centro ptico, el rayo refrac-tado sigue la misma trayectoria.

Las caractersticas de la imagen formada por una lente convergente depende de la posicin del objeto. Existen tres posibilidades: a) Objeto situado entre - y 2F

b) Objeto situado entre 2F y F

c) Objeto situado entre F y O (lupa)

2F F O F

Imagen virtual, derecha y mayor que el objeto

Imagen real, invertida y menor que el objeto

2F F O F

F O F

Imagen real, invertida y mayor que el objeto

O O

37

La imagen formada por una lente divergente tiene siempre las mismas caractersticas independientemente de la posicin del objeto:

Para determinar la posicin de la imagen y el aumento producido por la lente, se utili-zan las siguientes ecuaciones:

Se llama potencia de una lente a la inversa de su distancia focal (en valor absoluto) expresada en metros. Se mide en dioptras (m-1)

Ejemplo: La potencia de una lente convergente es de 5 dioptras. Calcular la posicin y aumento de la imagen que produce dicha lente para un objeto que se encuentra de-lante de ella a las siguientes distancias:

a) 50 cm b) 15 cm

Realizar el trazado de rayos en ambos casos.

a) 5 =f1 ; 2,0f = m = 20 cm; f = -20 cm

201

's

1501

=

s = 33,3 cm; 32

503,33

y'y

=

=

F O F

Imagen virtual, derecha y menor que el objeto

f1

's

1s

1=

s = posicin del objeto respecto a O (s < 0)

s = posicin de la imagen respecto a O

virtualimagen0'srealimagen0's

f = distancia focal objeto

divergentelente0feconvergentlente0f

y = tamao del objeto (y > 0)

y = tamao de la imagen

invertidaimagen0'yderechaimagen0'y

=

y'y

aumento lateral de la lente s

s'

yy'

=

f1P =

P = potencia de la lente (dioptras) f = distancia focal (m)

38

b) 201

's

1151

=

s = -60 cm; 41560

yy'

=

=

32. a) Explicar, ayudndose de un diagrama de rayos, la formacin de imgenes por parte de una lente convergente. En concreto, detallar la naturaleza de la ima-gen en funcin de la posicin del objeto.

b) Explicar cmo funciona una lupa: dnde se ha de colocar el objeto, qu tipo de lente se utiliza y qu tipo de imagen se forma.

33. Explicar dnde debe estar situado un objeto respecto a una lente delgada para obtener una imagen virtual y derecha: a) Si la lente es convergente. b) Si la lente es divergente. Realizar en ambos casos las construcciones geomtricas e indicar si la imagen es mayor o menor que el objeto.

34. La lente de un proyector tiene una distancia focal de 0,5 cm. Se sita a una distan-cia de 0,51 cm de la lente un objeto de 5 cm de altura. Calcular: a) La distancia a la que hay que situar la pantalla para observar ntida la imagen

del objeto. b) El tamao mnimo de la pantalla para que se proyecte entera la imagen del ob-

jeto. Solucin: a) 25,5 cm; b) 250 cm

35. Un objeto luminoso de 3 cm de altura est situado a 20 cm de una lente divergente de potencia 10 dioptras. Determinar: a) La distancia focal de la lente. b) La posicin de la imagen. c) La naturaleza y el tamao de la imagen. d) La construccin geomtrica de la imagen. Solucin: a) 10 cm; b) 6,67 cm; c) 1 cm

O

O

39

36. Una lente delgada convergente proporciona de un objeto situado delante de ella una imagen real, invertida y de doble tamao que el objeto. Sabiendo que dicha imagen se forma a 30 cm de la lente, calcular: a) La distancia focal de la lente. b) La posicin y la naturaleza de la imagen que dicha lente formar de un objeto

situado 5 cm delante de ella, efectuando su construccin geomtrica. Solucin: a) -10 cm; b) -10 cm

37. Una lente delgada convergente de 10 cm de distancia focal se utiliza para obtener una imagen de tamao doble que el objeto. Determinar a qu distancia se encuen-tra el objeto y su imagen de la lente si: a) La imagen es derecha. b) La imagen es invertida. Realizar en cada caso el diagrama de rayos. Solucin: a) -5 cm; -10 cm; b) -15 cm, 30 cm

38. Determinar el tipo de imagen y el aumento lateral que se obtiene al situar un objeto delante de una lente divergente en los siguientes casos: a) El objeto se sita a una distancia igual al doble de la distancia focal. b) El objeto se sita a una distancia igual a la mitad de la distancia focal. Solucin: a) 1/3; b) 2/3

39. Delante de una lente convergente de distancia focal f se coloca un objeto perpen-dicularmente a su eje ptico. a) A qu distancia de la lente debe colocarse para obtener una imagen de igual

tamao que el objeto e invertida? Cul es la naturaleza de esta imagen? b) A qu distancia de la lente debe colocarse para obtener una imagen de doble

tamao y derecha? Cul es la naturaleza de esta imagen? Efectuar la construccin geomtrica en ambos apartados. Solucin: a) 2f; b) f/2

40. Un objeto luminoso de 2 cm de altura est situado a 4 m de distancia de una panta-lla. Entre el objeto y la pantalla se coloca una lente esfrica delgada, de distancia focal desconocida, que produce sobre la pantalla una imagen tres veces mayor que el objeto. Determinar: a) La posicin del objeto respecto a la lente y la clase de lente necesaria. b) La distancia focal de la lente y efectuar la construccin geomtrica de la ima-

gen. Solucin: a) 1 m; b) 0,75 m

41. Un objeto luminoso est situado a 6 m de una pantalla. Una lente, cuya distancia focal es desconocida, forma sobre la pantalla una imagen real, invertida y cuatro veces mayor que el objeto. a) Cul es la naturaleza y la posicin de la lente? Cul es el valor de la distan-

cia focal de la lente? b) Si se desplaza la lente de manera que se obtenga sobre la misma pantalla una

imagen ntida, pero de tamao diferente al obtenido anteriormente cul es la nueva posicin de la lente y el nuevo valor del aumento?

Solucin: a) -1,2 m; 0,96 m; b) 4,8 m; -0,25

40

42. Una lente convergente forma, de un objeto, una imagen real, invertida y aumentada 4 veces. Al desplazar el objeto 3 cm hacia la lente, la imagen que se obtiene es vir-tual, derecha y con el mismo aumento en valor absoluto. Determinar: a) La distancia focal imagen y la potencia de la lente. b) Las distancias del objeto a la lente en los dos casos citados. c) Las respectivas distancias imagen. d) Las construcciones geomtricas correspondientes.

Solucin: a) 6 cm; 16,7 m-1; b) -7,5 cm; -4,5 cm; c) -18 cm; 30 cm

Sistemas pticos Un sistema ptico es un conjunto formado por dos o ms lentes en el que la imagen formada por la primera lente (imagen intermedia) acta como objeto de la segunda y as sucesivamente.

En un sistema ptico formado por dos lentes la distancia (d) entre ambas lentes permi-te determinar la posicin del objeto respecto a la segunda lente (s2) una vez determi-nada la posicin de la imagen formada por la primera lente (s1). Si la imagen interme-dia se forma entre ambas lentes, se verifica que: d = 21 s+'s .

Ejemplo: Un sistema ptico est formado por dos lentes convergentes separadas 60 cm entre s cuyas distancias focales son respectivamente de 12 cm y 15 cm. Un objeto de 2 cm de tamao se coloca a una distancia de 20 cm delante de la primera lente Calcular la posicin y el tamao de la imagen producida por el sistema ptico y efectuar la construccin geomtrica correspondiente.

12-1

=

's

1-20-

11

s1 = 30 cm; cm 30=30-60=s2 ; s2 = -30 cm

15-1

=

's

1-30-

12

s2 = 30 cm;

20-30

=2y'1

y1= -3 cm = y2; 30-30

=

3-y'2

y2= 3 cm

imagen intermedia objeto imagen final

F1 F1 F2 F2

s1 s1 s2 s2

41

Un microscopio consiste en dos lentes convergentes; la que se sita cerca del objeto es el objetivo y la que se sita junto al ojo es el ocular. La imagen formada por el obje-tivo se sita ligeramente por detrs del foco del ocular, dando lugar a una imagen vir-tual, invertida y de mayor tamao que el objeto.

43. Un microscopio consta de dos lentes convergentes (objetivo y ocular). a) Explicar el papel que desempea cada lente. b) Realizar un diagrama de rayos que describa el funcionamiento del microscopio.

44. Un objeto de 1 cm de altura se sita 15 cm por delante de una lente convergente de 10 cm de distancia focal. a) Determinar la posicin, naturaleza y tamao de la imagen formada, efectuando

su construccin geomtrica. b) A qu distancia de la lente anterior habra que colocar una lente convergente

de 20 cm de distancia focal para que la imagen final se formara en el infinito? Solucin: a) 30 cm; -2 cm; b) 50 cm

45. Sea un sistema ptico formado por dos lentes delgadas convergentes de la misma distancia focal (f'=20 cm), situadas con el eje ptico comn a una distancia entre s de 80 cm. Un objeto luminoso lineal perpendicular al eje ptico, de 2 cm de tama-o, est situado a la izquierda de la primera lente y dista de ella 40 cm. a) Determinar la posicin de la imagen final que forma el sistema ptico y efectuar

su construccin geomtrica. b) Cul es la naturaleza y el tamao de esta imagen? Solucin: a) 40 cm; b) 2 cm

46. Un sistema ptico est formado por dos lentes delgadas convergentes, de distan-cias focales 10 cm la primera y 20 cm la segunda, separadas por una distancia de 60 cm. Un objeto luminoso de 2 mm de altura est situado 15 cm delante de la pri-mera lente. a) Calcular la posicin y el tamao de la imagen final del sistema. b) Efectuar la construccin geomtrica de la imagen. Solucin: a) 60 cm; 8 mm

Objetivo Ocular

F1 F1 F2 F2

42

47. Un sistema ptico est formado por dos lentes convergentes, la primera de poten-cia 5 dioptras y la segunda de 4 dioptras, ambas estn separadas 85 cm y tienen el mismo eje ptico. Se sita un objeto de tamao 2 cm delante de la primera lente perpendicular al eje ptico, de manera que la imagen formada por ella es real, in-vertida y de doble tamao que el objeto. a) Determinar las distancias focales de cada una de las lentes. b) Determinar la distancia del objeto a la primera de las lentes. c) Dnde se formar la imagen final? d) Efectuar un esquema grfico, indicando el trazado de los rayos. Solucin: a) 20 cm, 25 cm; b) -30 cm; c)

48. Un sistema ptico est formado por dos lentes: la primera es convergente y con distancia focal de 10 cm; la segunda, situada a 50 cm de distancia de la primera, es divergente y con 15 cm de distancia focal. Un objeto de tamao 5 cm se coloca a una distancia de 20 cm delante de la lente convergente. a) Obtener grficamente la imagen que produce el sistema ptico. b) Calcular la posicin de la imagen producida por el sistema. c) Cul es el tamao y la naturaleza de la imagen final? Solucin: b) -10 cm; c) -1,67 cm

43

TEMA 3: INTERACCIN GRAVITATORIA 1. Teora de la gravitacin universal Fue enunciada por Isaac Newton en 1666 y afirma que: "Dos cuerpos cualesquiera del Universo se atraen mutuamente con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que existe entre sus centros".

Vectorialmente:

2221

12 ur

mmGF

= ; siendo r

rrdesentidoelenunitariovectoru 222

==

y =r2

vector de posicin de m2 respecto a m1

1221

21 ur

mmGF

= ; siendo r

rrdesentidoelenunitariovectoru 111

==

y =r1

vector de posicin de m1 respecto a m2

Ejemplo: Dos masas puntuales de valor 4 kg y 6 kg, se encuentran situadas en el pla-no XY, en los puntos (0,0) y (12,9) respectivamente, estando las coordenadas expre-sadas en m. Expresar vectorialmente la fuerza que la primera masa ejerce sobre la segunda.

j0,6i0,8912

(0,0)(12,9)u

222

+=

+

=

( ) (N)j4,310i5,710)j0,6i(0,891264

6,6710F 1212222

1112

=++

=

1. Un satlite artificial de 8000 kg de masa gira en torno a la Luna siendo el radio de su orbita de 10000 km. Determinar la fuerza gravitatoria a la que est sometido cuando se encuentra situado: a) En el segmento que une los centros de la Tierra y la Luna. b) En la recta que une los centros de la Tierra y la Luna, en el sentido de alejamiento

de la Tierra. Datos: G, MT, Masa de la Luna = 7,471022 kg; distancia Tierra-Luna = 3,84108 m. Solucin: a) 375,8 N; b) 419,2 N

1u

m1

21F

12F

r m2 2u

221

2112r

mmGFF ==

=12F

fuerza que ejerce m1 sobre m2 (N) =21F

fuerza que ejerce m2 sobre m1 (N)

G = cte. de gravitacin universal = = 6,6710-11Nm2/kg2

m1, m2 = masas que se atraen (kg)

44

2. Dos masas iguales, M=20 kg, ocupan posiciones fijas separadas una distancia de 2 m, segn indica la figu-ra. Una tercera masa, m=0,2 kg, se suelta desde el reposo en un punto A equidistante de las dos masas anteriores y a una distancia de 1 m de la lnea que las une (AB = 1 m). Si no actan ms que las accio-nes gravitatorias entre estas masas, determinar: a) La fuerza ejercida (mdulo, direccin y sentido)

sobre la masa m en la posicin A. b) Las aceleraciones de la masa m en las posicio-

nes A y B. Dato: G Solucin: a) -1,8610-10 j (N); b) 9,4310-10 m/s2; 0

Campo gravitatorio Se llama campo gravitatorio a la regin del espacio que rodea a una masa en la que se manifiesta la atraccin gravitatoria.

La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza que se ejerce sobre la uni-dad de masa situada en dicho punto.

g = (intensidad del) campo gravitatorio (N/kg) o aceleracin de la gravedad (m/s2) M = masa que genera el campo gravitatorio (kg) r = distancia del centro de M al punto P (m)

Vectorialmente:

ur

MGg 2

= siendo r

ru

= = vector unitario en el mismo sentido que r

Si en el punto P se sita una masa m, la fuerza ejercida por M sobre m (peso del cuer-po) vendr dada por:

m A

M B M

u

P g

M r

El campo gravitatorio se puede representar mediante lneas de fuerza que indican la trayectoria que seguira una partcula dejada en un punto del campo gravitatorio.

=

2Mg Gr

gmF

=

45

Ejemplo: Dos masas puntuales de 5106 kg y 6106 kg se encuentran a 30 km y 50 km de distancia respectivamente de un punto P, como indica la figura. Calcular el vector campo gravitatorio en el punto P.

)kg/N(j107,3)j(30000

1051067,6g 132

611

1

==

i106,1)i(50000

1061067,6g 1326

112

== (N/kg)

j107,3i106,1ggg 131321

+=+= (N/kg) 13213213 104)107,3()106,1(g =+= N/kg

Ejemplo: Un planeta esfrico tiene una densidad media de 5103 kg/m3 y un radio de 4000 km. Determinar la intensidad del campo gravitatorio en su superficie y el peso de una persona de 70 kg situada en la superficie de dicho planeta. V =

34

(4106)3 =2,71020 m3; M= 51032,71020 = 1,351024 kg

==

26

2411

)104(1035,11067,6g 5,6 N/kg

P = F = mg = 705,6 = 392 N

3. Cuatro masas puntuales idnticas de 6 kg cada una estn situadas en los vrtices de un cuadrado de lado igual a 2 m. Calcular el campo gravitatorio que crean las cuatro masas en el centro de cada lado del cuadrado. Dato: G Solucin: 1,4310-10 N/kg

4. Un planeta esfrico tiene un radio de 3000 km, y la aceleracin de la gravedad en su superficie es 6 m/s2. Calcular su densidad media. Dato: G Solucin: 7,16103 kg/m3

Campo gravitatorio terrestre Sabiendo que la masa de la Tierra es MT = 5,981024 kg y el radio terrestre es RT = 6370 km, puede determinarse el valor del campo gravitatorio (o aceleracin de la gravedad) en la superficie de la Tierra. g = G 2

T

T

RM

==

26

2411

)1037,6(1098,51067,6 9,8 m/s2

Al aumentar la altura sobre la superficie terrestre, disminuye g. La aceleracin de la gravedad a una altura h vendr dada por:

g' = G 2T

T

)hR(M

+

M1=5106 kg

30 km 1g

M2=6106 kg P 2g

50 km

46

Ejemplo: Determinar la relacin entre la aceleracin de la gravedad en la superficie terrestre y la aceleracin de la gravedad a una altura igual al doble del radio terrestre.

9R

)R3(

)R2R(MG

RM

G

'gg

2T

2T

2TT

T

2T

T

==

+

=

5. a) Expresar la aceleracin de la gravedad en Ia superficie de un planeta en fun-cin de Ia masa del planeta, de su radio y de la constante de gravitacin uni-versal G.

b) Si la aceleracin de la gravedad sobre la superficie terrestre vale 9,8 m/s2, cal-cular la aceleracin de la gravedad a una altura sobre la superficie terrestre igual al radio de la Tierra.

Solucin: b) 2,45 m/s2

6. Calcular: a) La densidad media del planeta Mercurio, sabiendo que posee un radio de

2440 km y una intensidad de campo gravitatorio en su superficie de 3,7 Nkg-1. b) La altura para la cual el valor de la intensidad de campo gravitatorio ser la

cuarta parte de su valor en la superficie. Solucin: a) 5,42103 kg/m3; b) 2440 km

7. Un cuerpo de masa 100 kg est situado en la superficie de la Tierra. a) Si se duplicar el radio de la Tierra, manteniendo constante la masa de sta,

cul sera el peso del cuerpo? b) Si se duplicara el radio de la Tierra, manteniendo constante su densidad me-

dia, Cul sera en ese caso el peso del objeto? Dato: g Solucin: a) 245 N; b) 1960 N.

8. Sabiendo que la aceleracin de la gravedad en un movimiento de cada libre en la superficie de la Luna es un sexto de la aceleracin de la gravedad en la superficie terrestre y que el radio de la Luna es aproximadamente 0,27 RT (siendo RT el radio terrestre), calcular la relacin entre las densidades medias Luna / Tierra. Solucin: 0,617

Movimiento orbital de satlites y planetas La fuerza gravitatoria es una fuerza central, ya que est dirigida siempre hacia un mismo punto (centro de M). Por ello, cuando un cuerpo se desplaza sometido a la ac-cin de la fuerza gravitatoria, sta acta como fuerza centrpeta, de forma que el cuer-po describe un movimiento circular uniforme (MCU).

m

F

M