Upload
cesar-crurre
View
2.016
Download
8
Embed Size (px)
Citation preview
AREA BAJO UNA CURVA
CALCULO INTEGRAL
Sean f(x) una función continua en el intervalo [a,b]. Entonces el
área determinada por la gráfica de f(x) y el eje x en el intervalo [a,b] está dada por la integral.
𝐴 = 𝑎
𝑏
|𝑓(𝑥)|𝑑𝑥
El signo de valor absoluto garantiza que las partes negativas de la
función f(x) no se restan en la integral.
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL
DEFINIDA
𝑎
𝑎
|𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 0 (𝑐𝑒𝑟𝑜)
𝑏
𝑏
|𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 0 (𝑐𝑒𝑟𝑜)
𝑎
𝑏
|𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 + (𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎)
𝑏
𝑎
|𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 − 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 "a" 𝑦 "b" son los límites y f(x) es la función tal...
HALLAR EL ÁREA LIMITADA POR LA
PARÁBOLA 𝑦 = 𝑥2, EN EL EJE DE LAS X Y
LAS ORDENADAS 𝑥 = 1 Y 𝑥 = 5
SOLUCIÓN:
1
5
𝑥2 𝑑𝑥
=1
3𝑥3 + 𝐶
5
1=
1
35 3 + 𝐶 −
1
31 3 + 𝐶
=1
3125 + 𝐶 −
1
31 + 𝐶 =
125
3+ 𝐶 −
1
3+ 𝐶 =
125
3=125
3
∴ 𝐴 = 1
5
𝑥2 𝑑𝑥 =125
3𝑈2
LA GRAFICA DE LA FUNCIÓN TAL
SERÍA ASÍ:
LA GRAFICA DE LA FUNCION SERÍA ASÍ:
HALLAR EL ÁREA LIMITADA POR EL CÍRCULO 𝑥2 + 𝑦2 = 36, EN EL EJE DE LAS X Y LAS ORDENADAS 𝑥 = −4 Y 𝑥 = 5
SOLUCIÓN:
𝑥2 + 𝑦2 = 36
𝑦2 = 36 − 𝑥2
𝑦 = 36 − 𝑥2
𝐴 = −4
5
36 − 𝑥2 𝑑𝑥 =𝑥
236 − 𝑥2 +
36
2𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛
𝑥
6
5
−4
=5
236 − 52 +
36
2𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛
5
6−−4
236 − (−4)2+
36
2𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛
−4
6
=5
236 − 25 +
36
2𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛
5
6−−4
236 − 16 +
36
2𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛
−4
6
=5
211 + 18𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛
5
6− −2 20 + 18𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛
−2
3
= 2.5 3.316 + 18 0.985 − −2 4.472 + 18 −0.7297 = 8.29 + 17.73 − −8.944 − 13.1346
= 26.02 − −22.0786 = 26.02 + 22.0786 = 48.0986 = 48.0986
∴ 𝐴 = −4
5
36 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 48.0986 𝑈2
BOSQUEJAR LA CURVA 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝜋
2Y
HALLAR EL ÁREA DE UNA ARCADA
SOLUCIÓN:
PARA ENCONTRAR LOS LIMITES SE HACE LO SIGUIENTE:
𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝜋
2
X Y
0 0
0.5 2
1 2
1.5 2
2 0
LA GRAFICA DE LA FUNCION SERÍA ASÍ
Y de acuerdo con los valores del dominio hay 2 en los que el condominio se obtiene el 0 (cero); así que continuamos y da:
𝐴 = 0
2
2 𝑠𝑒𝑛𝑥
2𝜋 𝑑𝑥 =
2
𝜋 0
2
2 𝑠𝑒𝑛𝑥
2𝜋𝜋
2𝑑𝑥
=2
𝜋−2 cos
𝑥
2𝜋2
0=2
𝜋−2 cos
2
2𝜋 − −2 cos
0
2𝜋
=2
𝜋−2 cos𝜋 − −2 cos 0 =
2
𝜋−2(−1) − −2(1)
=2
𝜋2 + 2 =
2
𝜋4 =
2
𝜋4 =
8
𝜋
∴ 𝐴 = 0
2
2 𝑠𝑒𝑛𝑥
2𝜋 𝑑𝑥 =
8
𝜋𝑈2
CALCULAR EL AREA DE LA FUNCIÓN 𝑥 = 𝑦3 + 9 EN EL EJE
DE LAS Y Y EN LAS ORDENADAS Y=0 Y Y=15
SOLUCION:
𝐴 = 0
15
𝑦3 + 9 𝑑𝑦 =1
4𝑦4 + 9𝑦
15
0
=1
415 4 + 9 15 −
1
40 4 + 9 0
=1
415 4 + 135 − 0 =
50625
4+ 135 =
51165
4=51165
4
∴ 𝐴 = 0
15
𝑦3 + 9 𝑑𝑦 =51165
4𝑈2
LA GRAFICA DE LA FUNCION SERÍA ASI:
Por lo general las coordenadas “x” y “y” de un punto en una curva se expresan
como funciones de una tercera variable, por ejemplo “t”, a la que se le denomina
parámetro; también pueden ser otras letras del alfabeto o las letras del alfabeto
griego. Las ecuaciones de la curva x=f(t) y y=g(t) expresadas en forma paramétrica,
en donde cada valor de “t” da un valor de x y un valor y, dan lugar a un punto de
la curva.
𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝑦 = 𝑔(𝑡)
𝑑𝑥 = 𝑓′ 𝑡 𝑑𝑡
Entonces tenemos:
𝐴 = 𝑎
𝑏
𝑦𝑑𝑥 = 𝑡1
𝑡2
𝑔(𝑡) 𝑓′ 𝑡 𝑑𝑡
HALLAR EL ÁREA DE LA SUPERFICIE LIMITADA POR UNA ARCADA DE
LA CICLOIDE 𝑥 = 𝑎(𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃), 𝑦 = 𝑎 COS𝜃 − 1 Y EL EJE DE LAS X
SOLUCION:
COMENZAMOS CON DAR VALORES A “x” Y ”y” DE LAS DOS FUNCIONES:
COMO VEMOS QUE LA FUNCION TERMINA HASTA 𝟐𝝅 SE HACE LO SIGUIENTE:
𝜃 0 𝝅
𝟔
𝝅
𝟒
𝝅
𝟑
𝝅
𝟐𝟐𝝅
𝟑
𝟑𝝅
𝟒
𝟓𝝅
𝟔
𝝅 𝟕𝝅
𝟔
𝟓𝝅
𝟒
𝟒𝝅
𝟑
𝟑𝝅
𝟐
𝟓𝝅
𝟑
𝟕𝝅
𝟒
𝟏𝟏𝝅
𝟔
𝟐𝝅
X 0 0.024 0.078 0.181 0.571 1.228 1.649 2.118 3.142 4.165 4.634 5.055 5.712 6.102 6.205 6.26 6.283
Y 0 0.134 0.293 0.500 1.000 1.500 1.707 1.866 2 1.866 1.707 1.500 1.000 0.500 0.293 0.134 0
LA GRÁFICA DE ESA FUNCIÓN SERÍA ASÍ:
𝐴 = 𝑎
𝑏
𝑦𝑑𝑥 = 𝑡1
𝑡2
𝑔(𝑡) 𝑓′ 𝑡 𝑑𝑡
𝑥 = 𝑎 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑎𝜃 − 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑦 = 𝑎 cos 𝜃 − 1
𝑑𝑥 = 𝑎 1 − cos𝜃 𝑑𝜃
𝐴 = 0
𝟐𝝅
𝑎 1 − cos𝜃 𝑎 1 − cos 𝜃 𝑑𝜃 = 0
𝟐𝝅
𝑎2 1 − cos𝜃 2𝑑𝜃 = 𝑎2 0
𝟐𝝅
1 − cos 𝜃 2𝑑𝜃
= 𝑎2 0
𝟐𝝅
(cos 𝜃2 − 2 cos 𝜃 + 1)𝑑𝜃 = 𝑎2 0
𝟐𝝅
cos 𝜃2 𝑑𝜃 − 2𝑎2 0
𝟐𝝅
cos 𝜃 𝑑𝜃 + 𝑎2 0
𝟐𝝅
𝑑𝜃
= 𝑎2 0
𝟐𝝅 1
2+ cos 2𝜃 𝑑𝜃 − 2𝑎2
0
𝟐𝝅
cos 𝜃 𝑑𝜃 + 𝑎2 0
𝟐𝝅
𝑑𝜃
=1
2𝑎2
0
𝟐𝝅
𝑑𝜃 + 𝑎2 0
𝟐𝝅
cos 2𝜃 𝑑𝜃 − 2𝑎2 0
𝟐𝝅
cos 𝜃 𝑑𝜃 + 𝑎2 0
𝟐𝝅
𝑑𝜃
=1
2𝑎2𝜃 +
1
2𝑎2𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 2𝑎2𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑎2𝜃
𝟐𝝅
0
=1
2𝑎2 𝟐𝝅 +
1
2𝑎2𝑠𝑒𝑛2 𝟐𝝅 − 2𝑎2𝑠𝑒𝑛 𝟐𝝅 + 𝑎2𝟐𝝅 = 𝝅𝑎2 + 0 − 0 + 𝟐𝝅𝑎2 = 3𝝅𝑎2
∴ 𝐴 = 3𝝅𝑎2 𝑈2
BIBLIOGRAFIAS
Garza Olvera, Benjamín, Cálculo Integral, Matemáticas V DGETI,
1ra Edición, 269-275 págs.
AGUILAR, Gerardo y Castro, Jaime, “PROBLEMARIOS DE
CÁLCULO INTEGRAL”, 1ra edición, División Iberoamericana, Julio 2003, págs. 37-38.
SOFTWARE
GRAPH
MAPLE 14
WOLFRAM|ALPHA