Area de mecanica de fluidos universidad de oviedo

Universidad de Oviedo ÁREA DE MECÁNICA DE FLUIDOS

http://web.uniovi.es/Areas/Mecanica.Fluidos/

MONOGRAFÍAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS

TÉCNICAS NUMÉRICAS EN MECÁNICA DE FLUIDOS

Rafael Ballesteros Tajadura

José González Pérez Jesús Manuel Fernández Oro

Katia María Argüelles Díaz

© Rafael Ballesteros Tajadura ISBN 84-607-9546-2 DEPÓSITO LEGAL AS-05282-2003 Gijón 2003

Técnicas Numéricas en Mecánica de Fluidos 3

Índice. Prólogo.................................................................................... 5 1.- Introducción....................................................................... 7

1.1.- Perspectiva histórica .................................................................................................. 7 1.2.- Aplicaciones habituales de las técnicas numéricas ................................................... 8 1.3.- Niveles de aproximación empleados en las técnicas numéricas. ........................10

2.- Modelos físico-matemáticos............................................ 13

2.1.- Modelos de flujo potencial ..................................................................................13 2.2.- Ecuaciones para flujo ideal..................................................................................13 2.3.- Modelo para flujo ideal, estacionario y rotacional ..............................................14 2.4.- Solución directa de las ecuaciones de Navier-Stokes..........................................14 2.5.- Modelos parabólicos de las ecuaciones de Navier-Stokes ..................................14 2.6.- Modelo de flujo incompresible............................................................................15 2.7.- Modelos para la simulación de la turbulencia .....................................................15 2.8.- Modelos de dos ecuaciones: modelo k-ε .............................................................18 2.9.- Modelos matemáticos para la Capa Límite .........................................................20

3.- Aspectos matemáticos del procedimiento de cálculo ...... 23

3.1.- Condiciones iniciales y de contorno....................................................................25 3.2.- Consideraciones físicas .......................................................................................27

4.- Métodos de resolución y naturaleza de las ecuaciones de gobierno ................................................................................ 29

4.1.- Ecuaciones de gobierno, condiciones de contorno y condiciones iniciales ........30 4.2.- Discretización de las ecuaciones .........................................................................31 4.3.- Métodos de discretización empleados .................................................................38 4.4.- Discretización temporal.......................................................................................56 4.5.- Tipos de aproximación numérica utilizadas en la práctica..................................58 4.6.- Resolución numérica de problemas sencillos......................................................62

4 Técnicas Numéricas en Mecánica de Fluidos

5.- Discretización del dominio: generación de mallados ...... 99

5.1.- Clasificación de los mallados basada en la conectividad y estructura de datos......................................................................................... 100

5.2.- Métodos de generación de mallados no estructurados...................................... 102 5.3.- Mallados “Multiblock” ..................................................................................... 103 5.4.- Mallados ajustados a los contornos (“Body Fitted Coordinates” o BFC) ........ 105

6.- Bibliografía .................................................................... 109 Anexo I.- El metodo Von Neumann para analisis de estabilidad ........................................................................... 113 Anexo II.- Ecuaciones en sistemas generalizados............... 123 Anexo III.- Glosario de términos empleados en técnicas numéricas ............................................................................ 129


Prólogo. Las técnicas numéricas en Ingeniería han experimentado un gran desarrollo en las últimas décadas. De esta tendencia no se ha apartado una rama tan característica de la Ingeniería Mecánica como es la Mecánica de Fluidos. En este trabajo se intenta recopilar las técnicas más utilizadas y los tratamientos que se pueden hacer de las ecuaciones de constitución con el fin de obtener una solución numérica de las mismas. Esta publicación constituye el resultado de varios años de impartición de la asignatura de doctorado “Dinámica de Fluidos Computacional” que los profesores del Área de Mecánica de Fluidos de la Universidad de Oviedo han realizado en distintos Departamentos de la misma. Los autores han tratado de recoger la tradición y conocimientos que comparten con el resto de compañeros del Área, a los que agradecen sus enriquecedores comentarios.



1.- Introducción. La dinámica de fluidos computacional (o CFD, acrónimo de las palabras inglesas “Computational Fluid Dynamics”) consiste en el análisis del movimiento de los fluidos mediante simulaciones con ordenadores. Su objetivo es la búsqueda de una solución aproximada de las ecuaciones que gobiernan el movimiento de los fluidos, discretizando o dividiendo el dominio de cálculo en pequeños elementos y resolviendo allí dichas ecuaciones. Los métodos numéricos aplicados a la Mecánica de Fluidos resultan una herramienta muy útil para el diseño y análisis de las distintas situaciones prácticas en las que se utilizan los fluidos. 1.1.- Perspectiva histórica.

Hasta finales de los años 60 los ordenadores no alcanzaron velocidades de cálculo suficientes como para resolver casos sencillos. Hasta entonces, las técnicas experimentales constituían prácticamente la única herramienta de análisis y diseño de cualquier problema de Mecánica de Fluidos.

En la actualidad, los ensayos experimentales siguen siendo necesarios para la comprobación de las prestaciones de diseños complejos, pero los continuos avances en la capacidad de los ordenadores y en los algoritmos permiten una reducción importante en el número de ensayos necesarios. Así, por ejemplo, el diseño típico de un modelo de ala de avión, exige en la actualidad 3 o 4 ensayos en túnel aerodinámico, en lugar de los 10 o 15 que eran necesarios anteriormente. En realidad, la palabra que mejor definiría hoy la relación entre ambas herramientas podría ser la de complementariedad (Strazisar, 1994, Lakshminarayana, 1991). A lo largo de los últimos veinte años, las técnicas de CFD han evolucionado, mejorando los programas comerciales e introduciéndose en las distintas áreas de la ingeniería hasta hacerse un hueco dentro de las necesidades reales de la industria. Dichos programas se vienen usando de manera creciente paralelalelamente a la mejora de los sistemas informáticos que les sirven de soporte. Desde su inicial concepción, orientada a la industria aeroespacial, la técnicas numéricas se han extendido a un número creciente de aplicaciones dentro de un amplio espectro de industrias, desde las más clásicas como la automovilística o electrónica, hasta las nuevas aplicaciones en industrias alimentarias y biomédicas. Sin embargo, aún no se emplean las técnicas numéricas como auténticas herramientas de diseño. En realidad, se obtendrán los mayores beneficios cuando se llegue a un nivel de utilización en el día a día del diseño industrial, es decir, cuando su difusión sea tal que puedan llegar a ser utilizadas por ingenieros sin demasiada especialización en estas técnicas y no estar restringida su utilización a los expertos en la materia.


1.2.- Aplicaciones habituales de las técnicas numéricas.

Es innegable que la industria aeroespacial fue pionera en el trabajo con técnicas CFD y que todavía hoy se encuentra entre las vanguardias en la explotación de estas técnicas, pero cada día resultan más comunes las aplicaciones en “procesos industriales”, donde los flujos son a baja velocidad y muchas veces prácticamente incompresibles. Esta denominación de proceso industrial se usa a menudo en la bibliografía técnica (Hirsch, 1995) para distinguir dichas aplicaciones de las aeronáuticas o de flujos a altas velocidades, con grandes efectos de compresibilidad. Entre las aplicaciones más importantes en que se emplean las técnicas numéricas, se tienen:

a) Industria automovilística. Las aplicaciones típicas son el estudio de la aerodinámica de vehículos, la climatización del habitáculo interior, el enfriamiento del bloque motor, el flujo en válvulas de distribución, el diseño de filtros y elementos de control y las investigaciones sobre la descarga de combustible en depósitos. b) Industria electrónica. Los problemas más estudiados son el flujo y la distribución de temperaturas en las carcasas electrónicas, el enfriamiento de distintos componentes, el flujo de aire en las unidades de discos, los procesos de construcción de chips usando la técnica de deposición química del vapor (CVD) y algunos problemas indirectos, como la ergonomía de grandes salas. c) Industrias de proceso y químicas. Problemas habituales resueltos con técnicas CFD son el flujo de plásticos, los estudios en conducción de lodos, el flujo del vidrio fundido, los flujos de tintes, la deposición de vapores químicos, el llenado de moldes, estudios en procesos de combustión y los flujos reactivos complejos (con intercambio de calor, masa y reacciones químicas). d) Industria de conformados metálicos. Las aplicaciones más comunes en esta industria son los procesos de fundición continua, las fundiciones abiertas, la extrusión de metales y los procesos de solidificación (construcción de hélices de barco, por ejemplo). e) Industria nuclear. Algunos estudios relacionados con el flujo en conductos de sustancias originadas en los procesos de reacción nuclear, el enfriamiento del reactor, estudios relacionados con el intercambiador de calor, el flujo en el interior del reactor, el almacenamiento de residuos nucleares, el diseño de torres de enfriamiento y las investigaciones sobre chorros térmicos. f) Industria de recubrimientos de película fina. Entre otros, los problemas estudiados por medio de técnicas CFD han sido el recubrimiento de cintas magnéticas, el recubrimiento de películas de fotografía o de sonido, el recubrimiento de adhesivos, multitud de aplicaciones en la industria papelera y los recubrimientos de fibra óptica. g) Industria biomédica y farmacéutica. Entre otras aplicaciones, destacan el flujo de la sangre en la venas y arterias, el flujo a través de distintas prótesis, el flujo en el interior del corazón, los distintos estudios en fenómenos de centrifugación y el diseño de sistemas de inyección intravenosa.


h) Industria alimentaria. Destacan los diseños de procesos de pasteurización, los estudios en equipos de procesado de alimentos con estructura toroidal, la extrusión de fluidos y los hornos de convección. i) Industria aeroespacial. Las aplicaciones habitualmente estudiadas son los efectos de la microgravedad, la ventilación de habitáculos, el diseño de vehículos espaciales, los flujos de combustible en conductos y tanques, estudios varios en motores de propulsión. j) Industria aeronáutica y naval. Estudios en perfiles aerodinámicos, diseño de trenes de aterrizaje, estudios en hélices marinas y el diseño de carenas de barcos. k) Otras aplicaciones. Destacan los estudios en oceanografía, predicciones en hidrología (planificación de embalses, regímenes de precipitaciones, entre otros), los flujo en conductos (calefacción, flujos internos en edificaciones, ingeniería de complejos urbanos), los flujos medioambientales, la meteorología, los estudios de flujos alrededor de edificios, puentes y otras estructuras exteriores, las investigaciones relacionadas con la propagación de humos, los estudios sobre el enfriamiento y crecimiento del vidrio, el flujo en máquinas de desplazamiento positivo, las investigaciones en flujos con varias fases (sprays), el estudio de los MEMS (Micro Electro-Mechanical Systems) y las aplicaciones en turbomáquinas. Por lo tanto, la panorámica es realmente amplia y susceptible de crecimiento en el futuro.

Las ventajas que proporciona el análisis con técnicas CFD se pueden resumir en las siguientes:

- Reducción sustancial de tiempos y de costes en los nuevos diseños. - Posibilidad de analizar sistemas y condiciones muy difíciles de simular

experimentalmente: velocidades supersónicas, temperaturas extremas y elementos en movimiento relativo.

- Capacidad de estudiar sistemas bajo condiciones peligrosas o más allá de sus condiciones límite de funcionamiento, por ejemplo, accidentes con sustancias tóxicas.

- Nivel de detalle prácticamente ilimitado. Los métodos experimentales son tanto más caros cuanto mayor es el número de puntos de medida, mientras que los programas CFD pueden generar un gran volumen de resultados sin coste añadido, y con posibilidad hacer estudios paramétricos.

- Un valor añadido es poder poner en el producto la etiqueta de “Diseñado con ayuda del ordenador”, y la facilidad para generar gráficos fácilmente interpretables, que estimulan la “compra” del producto (lo cual, por otro lado, constituye un riesgo).

Aunque se razone que se abaratan los costes respecto a las técnicas experimentales, las

técnicas CFD no son gratuitas. En primer lugar, son necesarias máquinas de gran capacidad de cálculo (los usuarios de técnicas CFD trabajan habitualmente con los ordenadores más potentes que existen), y un software con precio todavía no accesible al gran público. En segundo lugar, se necesita personal cualificado que sea capaz de dominar los programas y, sobre todo, analizar adecuadamente los resultados.

Los desarrollos en el campo de las técnicas numéricas dedicadas al estudio de flujos se están acercando cada vez más a los de otras herramientas de CAE como las de análisis de


esfuerzos en sólidos y estructuras. Su retraso se debe a la gran complejidad de las ecuaciones y, sobre todo, a la dificultad de modelizar adecuadamente ciertos fenómenos como la turbulencia, los flujos multifásicos y la combustión.

Uno de los mayores inconvenientes de las técnicas CFD consiste en que no siempre es posible llegar a obtener resultados suficientemente precisos y siempre está presente la posibilidad de cometer graves errores en cuestiones básicas. Esto proviene de:

- Simplificación del fenómeno a estudiar para que el hardware y software sean capaz de abordarlo. El resultado será tanto más preciso cuanto más adecuadas hayan sido las hipótesis y las simplificaciones realizadas.

- La existencia de insuficientes e incompletos modelos para la simular el efecto de la turbulencia, los flujos multifásicos o la combustión, entre otros.

- La tendencia humana de creerse todo lo que se ha obtenido utilizando un ordenador, sobre todo cuando se presentan los resultados en forma atractiva.

1.3.- Niveles de aproximación empleados en las técnicas numéricas. El desarrollo de las técnicas numéricas y su aplicación a cualquier ciencia o tecnología han dado lugar al desarrollo y a la concienciación generalizada de uno de los conceptos básicos en ingeniería como es el de grado de aproximación. Esta idea es bastante clara si se considera que lo que se pretende con cualquier técnica numérica es conocer las variables físicas a partir de la resolución numérica de una serie de ecuaciones que gobiernan el fenómeno. Se han de definir y establecer las distintas aproximaciones que introducen los métodos numéricos. En lo referente a la Mecánica de Fluidos, la primera aproximación que aparece es el planteamiento del modelo físico-matemático que defina el comportamiento real de un determinado flujo. Dicho modelo matemático está habitualmente basado en la hipótesis del continuo, válida para la mayor parte de problemas industriales, pero que tiene sus limitaciones para casos extremos de flujos de gases. Una vez hecha esta salvedad, aplicando las leyes básicas de la física clásica se puede establecer una serie de ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento matemático de toda partícula fluida. La resolución exacta de dichas ecuaciones serviría para determinar completamente cualquier movimiento en el seno de un fluido. Se puede decir que un modelo matemático se define únicamente tras haber considerado el nivel de aproximación a la realidad requerido a la hora de obtener la exactitud deseada en el cálculo de una serie de variables dependientes. Desafortunadamente, debido a la complejidad de las ecuaciones diferenciales que aparecen, a la complejidad geométrica de los flujos, y a la complejidad de las condiciones de contorno o iniciales, no resulta posible obtener soluciones analíticas de dichas ecuaciones de gobierno. Establecidas las ecuaciones de gobierno resulta imprescindible introducir una segunda aproximación al problema. La forma clásica de abordarlo sería construir un modelo a escala reducida del flujo en cuestión y analizarlo experimentalmente en el laboratorio. La aproximación numérica implica introducir algunas hipótesis simplificativas que aproximen lo más posible los resultados finales a los que se obtendrían si se pudiera calcular la solución exacta. Dichas hipótesis se dirigen habitualmente hacia la simplificación tanto de la geometría a estudiar como de las ecuaciones a resolver. Obviamente, al no disponerse de la solución analítica exacta resulta bastante complicado establecer de antemano qué hipótesis sirven y


cuales son descartables y, por tanto, en cualquier simulación aplicada a la Mecánica de Fluidos, es preciso dedicar mucho esfuerzo al análisis de los resultados obtenidos antes de aceptarlos como válidos. Una vez definidas las ecuaciones diferenciales simplificadas, aparece otro problema relacionado con el posible tratamiento que se pueda hacer de dichas ecuaciones usando técnicas computacionales. Por medio de los ordenadores resulta muy fácil resolver una ecuación o sistema de ecuaciones algebraico, sin embargo, las ecuaciones que estudian el movimiento de los fluidos son ecuaciones diferenciales no lineales. Resulta obligatorio realizar la transformación de las ecuaciones de forma que puedan ser resueltas por un ordenador. El paso de las ecuaciones diferenciales a sus equivalentes lineales constituye otro nivel de aproximación y normalmente recibe el nombre de discretización de las ecuaciones. En cuanto a la geometría a estudiar, se debe señalar que la aproximación a la que debe someterse no sólo es de orden descriptivo respecto a su contorno sino que además ha de establecerse la definición del espacio ocupado por el fluido. En este sentido, resulta imprescindible referir los puntos a un determinado sistema de coordenadas en los que se pretenderá resolver las ecuaciones para obtener soluciones de las variables deseadas. Aunque el campo fluido sea un continuo, no se puede pretender resolver las ecuaciones en todos los puntos de un determinado volumen, porque entonces se tendría un número enorme de ecuaciones a resolver. Por tanto, hay que elegir cierto conjunto de puntos en los que se resolverán las mencionadas ecuaciones y que serán los puntos dónde finalmente se conocerán los valores de las variables fluidas. La definición de estos puntos es lo que se denomina habitualmente discretización espacial del dominio (también se habla de generación del mallado). El proceso descrito no deja de ser otra aproximación que se introduce en el cálculo y que define el nivel de aproximación espacial. En el caso de tener ecuaciones que dependan de la variable tiempo (flujo no estacionario) es esencial la definición de un nivel de aproximación temporal. No es posible tampoco estudiar la evolución de las variables en el tiempo de forma continua. El nivel indicará la forma de modelizar la evolución real introduciendo lo que se denomina discretización temporal del sistema de ecuaciones. A partir de la solución calculada se podrá realizar un promediado temporal oportuno para estudiar ciertas características medias del flujo que dependan de la evolución de las variables con el tiempo. Finalmente, se pueden manipular las ecuaciones eliminando ciertos términos cuya influencia en un determinado problema se considere despreciable. La conclusión de que algún término no afecta a la solución de una determinado flujo se debe alcanzar tras analizar detenidamente la sensibilidad del problema ante valores dispares de dicho término. Normalmente dicho estudio se hace tras adimensionalizar convenientemente las ecuaciones y realizar el correspondiente análisis de semejanza (técnicas asintóticas). Esta cuestión es de importancia capital en la Mecánica de Fluidos y está en el origen de cualquier estudio experimental. Desde el punto de vista numérico, la eliminación de algún término en las ecuaciones introduce lo que se denomina nivel de aproximación dinámico de las ecuaciones consideradas. Resumiendo, desde el modelo matemático (ecuaciones diferenciales no lineales) que aproxima la realidad física en un medio continuo se llega a un número finito de ecuaciones algebraicas que eliminan algún término de las ecuaciones de partida y que aproximan la evolución temporal real que, tras resolver con técnicas apropiadas, proporcionan una


aproximación al valor de las variables incógnita en los puntos elegidos como discretización espacial del dominio de cálculo. En definitiva, se establece un nivel de aproximación numérico límite por debajo del cuál será imposible acercarse al valor real de las variables en los puntos elegidos. Sin embargo, desde un punto de vista ingenieril, el proceso descrito es perfectamente válido y ha significado a lo largo de la evolución de las técnicas numéricas, la posibilidad de mejorar diseños y ahorrar mucho esfuerzo que de otra manera supondría trabas insalvables a la evolución de muchos sectores industriales. En la figura 1 se muestra gráficamente la panorámica explicada en este apartado.

Figura 1.- Las técnicas numéricas en la Mecánica de Fluidos.


2.- Modelos físico-matemáticos. Existen varias posibles simplificaciones en cuanto a la definición del modelo matemático que describe el movimiento de las partículas de un fluido, de gran interés por dar lugar a soluciones válidas en distintos problemas, que han sido ampliamente utilizadas en muchas aplicaciones numéricas. Se enumeran y describen brevemente los modelos más importantes. Normalmente cada una de estas estrategias ha sido desarrollada para un tipo particular de flujo. 2.1.- Modelos de flujo potencial. Describen el comportamiento de flujos irrotacionales de fluidos ideales, desarrollados en los albores de las técnicas numéricas. La teoría básica para el cálculo consiste en partir de la definición del concepto de potencial de velocidades. Constituye una simplificación adicional muy empleada para el cálculo de flujos estacionarios. Conceptualmente es de gran interés, pero está cayendo en desuso. 2.2.- Ecuaciones para flujo ideal. Cuando el número de Reynolds es suficientemente elevado, lo que ocurre en muchas de las aplicaciones prácticas de la Mecánica de Fluidos, despreciar los efectos viscosos y de conducción de las ecuaciones resulta una aproximación bastante cómoda pues elimina los términos difusivos de segundo orden en las ecuaciones diferenciales y hace que las ecuaciones de gobierno pasen a ser de primer orden, con todo lo que lleva asociado en cuanto a simplificación de cálculos. Con las hipótesis de despreciar los efectos viscosos y la transferencia de calor por conducción, es decir, si se considera al fluido como ideal, se obtienen las ecuaciones de Euler. Los modelos numéricos que resolvían las ecuaciones de Euler eran hasta hace poco los únicos existentes. Hoy en día este tipo de modelos constituye el punto de partida para el desarrollo de modelos más completos (Arts, 1989). Las ecuaciones de Euler fueron desarrolladas por este famoso matemático suizo hacia el año 1670. Adoptan las expresiones siguientes: Continuidad:

0u·dtd

=∇ρ+ρ (1)


Cantidad de movimiento:

eu (u· )u p ft

∂ρ + ρ ∇ = −∇ + ρ

∂ (2)

donde ef es la resultante de las fuerzas volumétricas externas que afecta a cada partícula. Habitualmente sólo se considera la fuerza debida a la gravedad, pero puede tener otros componentes: fuerzas electromagnéticas, fuerzas de Coriolis, fuerzas centrífugas, etc. 2.3.- Modelo para flujo ideal, estacionario y rotacional. Es un tipo de modelos muy similar a los del fluido ideal. Consiste en reducir el número de variables que intervienen en los cálculos introduciendo la vorticidad en las ecuaciones de cantidad de movimiento y de la energía. Normalmente se parte de la denominada representación de Clebsch para la velocidad en función de la vorticidad. No se consideran aquí ni las pérdidas por viscosidad en la capa límite ni los efectos de la turbulencia. 2.4.- Solución directa de las ecuaciones de Navier-Stokes. Las ecuaciones de Navier-Stokes constituyen una modelización correcta del flujo de un fluido Newtoniano, incluyendo todos los efectos viscosos y térmicos. Adecuadamente resueltas incluyen los efectos de la turbulencia y de la capa límite. Pero esta resolución directa (ver Hirsch, 1988) requiere de una discretización espacial y temporal tan fina que está claramente fuera del alcance de cualquier aplicación industrial. Se ha estimado (Moin et al., 1997) en varios cientos de años de CPU del ordenador más potente existente en aquel año el cálculo de un segundo de vuelo de un avión comercial. La resolución numérica de las ecuaciones de Navier-Stokes sí que es posible si se utilizan modelos adecuados para simular el efecto de la turbulencia y de la capa límite en discretizaciones no tan detalladas. Un poco más adelante se hablará de ellos. 2.5.- Modelo parabólico de las ecuaciones de Navier-Stokes (PNS). Este tipo de modelos ha sido desarrollado para el cálculo de flujos supersónicos e hipersónicos, donde la captura de las ondas de choque, gradientes de presión, esfuerzos viscosos superficiales y transferencia de calor son los objetivos más importantes para cualquier diseño. Las ecuaciones de gobierno parabólicas se obtiene a partir de las de Navier-Stokes considerando las siguientes hipótesis:

- Flujo estacionario.


- Los gradientes de esfuerzos viscosos son despreciables en la dirección de las líneas de corriente.

- Los gradientes de presión en la dirección de las líneas de corriente se aproximan por su valor en zonas de capa límite cercanas.

Se ha investigado mucho en las ecuaciones parabólicas de Navier-Stokes (Parabolized Navier-Stokes) y se han desarrollado muchos algoritmos en los últimos años (Hirsch, 1988 y Hoffman, 1989), aunque su aplicación está muy limitada al sector aeroespacial. 2.6.- Modelo de flujo incompresible. Un flujo se denomina incompresible cuando la densidad del fluido en cada instante permanece independiente de las variaciones de presión. La importancia de los flujos incompresibles es indudable y algunos autores, como Batchelor (1967), llegan a afirmar que los problemas relacionados con este tipo de flujos constituyen la aplicación más importante y compleja de resolver de la Mecánica de Fluidos. Cuando el flujo es además isotermo, las ecuaciones de gobierno se simplifican notablemente y la solución para las distintas variables se hace independiente de la temperatura. El sistema de ecuaciones requerido queda reducido a la ecuación de continuidad y la de cantidad de movimiento, que expresadas adimensionalmente y con la única presencia de la gravedad como fuerza volumétrica, adoptan la forma: Continuidad: 0u· =∇ (3) Cantidad de movimiento:

2d u p 1 1= - u gd t Re Fr

∇+ ∇ +

ρ (4)

Contrariamente a lo que pudiera pensarse, la hipótesis de incompresibilidad complica

bastante la resolución de las ecuaciones. No sólo la densidad sino también los distintos coeficientes de transporte del fluido son independientes de la presión y de la temperatura. De esta forma, las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento son independientes de la ecuación de la energía, que no es necesario resolver para obtener los campos de velocidades y presión. Pese a la ventaja que esto parece implicar, en la práctica, las dos ecuaciones a resolver se vuelven “rígidas” por la ausencia de derivada temporal en la ecuación de continuidad, y su solución resulta más dificultosa al no ser posible una iteración tomando ambas como punto de partida. 2.7.- Modelos para simulación de la turbulencia.

El número de Reynolds de un flujo da una medida de la importancia relativa de las fuerzas de inercia, asociadas con los efectos convectivos, y las fuerzas viscosas. En


experimentos con fluidos se observa que para valores inferiores a un número de Reynolds denominado crítico, el flujo es intrínsecamente estable y las capas de fluido adyacentes se deslizan unas sobre otras de forma ordenada. El régimen del flujo se denomina laminar. Si el flujo tiene un valor del número de Reynolds por encima del denominado crítico, se manifiestan en éste unas perturbaciones que dan lugar a un cambio radical del carácter del flujo. El movimiento se vuelve intrínsecamente no estacionario, incluso con condiciones de contorno constantes. Este régimen se denomina flujo turbulento. La turbulencia se define como el estado de movimiento de un fluido en el que las distintas variables relevantes (presión, velocidad, etc.) fluctúan de una forma desordenada. Se trata de un estado no estacionario desde el punto de vista macroscópico en el que las distintas variables adoptan valores dependientes tanto de la posición como del tiempo y estos valores varían de una forma aleatoria y desordenada. La descripción del movimiento de las partículas fluidas debido al efecto de la turbulencia resulta altamente complejo y constituye un problema aún sin solución desde el punto de vista de los métodos numéricos. Se han propuesto varias formas de resolver el problema utilizando distintas aproximaciones. A continuación se exponen los métodos conocidos como simulación directa, simulación de los grandes vórtices y promediado temporal de las ecuaciones de Navier-Stokes. - Simulación directa de las ecuaciones (“Direct Simulation”, DS). Este método (cuyas iniciales provienen de la denominación inglesa Direct Simulation) consiste, en realidad, en no utilizar ningún modelo para la turbulencia, sino realizar discretizaciones temporales y espaciales que sean capaces de simular el flujo en un determinado problema. La resolución directa de las ecuaciones de Navier-Stokes resulta hoy en día abordable sólo para un número muy limitado de problemas simples de interés académico. Los grandes centros dedicados a la Mecánica de Fluidos disponen de líneas de investigación con esta orientación, pero tanto las limitaciones en memoria de almacenamiento de las variables, como en el tiempo de cálculo hacen de momento impensable la solución generalizada de problemas prácticos usando este tipo de técnicas. Según Vandromme (1989), la primera solución de este tipo se realizó en 1981 en la Universidad de Stanford. - Simulación de grandes vórtices (“Large Eddy Simulation”, LES). Este tipo de técnicas numéricas reducen la complejidad de las ecuaciones de gobierno considerando sólo parte de los efectos turbulentos del flujo. Se estudia el intercambio energético entre las denominadas “fluctuaciones de gran escala” y se simula el efecto de las pequeñas escalas de la turbulencia. Se trata de un tipo de modelo intermedio entre la simulación directa y el promediado temporal de las ecuaciones de Navier-Stokes, que extiende el promedio temporal a la captura de ciertos efectos turbulentos básicos de forma numérica. En los modelos de simulación de


grandes vórtices, las ecuaciones no estacionarias del flujo se resuelven para el flujo principal y para los vórtices grandes mientras que se modela el efecto de los vórtices pequeños. Aunque sin llegar al extremo de la simulación directa, sólo es posible para problemas simplificados y requiere unas capacidades de cálculo muy elevadas. - Modelos que promedian temporalmente las ecuaciones de Navier-Stokes

(RANS). Los modelos de promedio de las ecuaciones de Navier-Stokes (Reynolds Averaged Navier-Stokes) han sido muy estudiados y resultan bastante útiles en la mayoría de los problemas prácticos resueltos mediante técnicas numéricas. El procedimiento de promediar las leyes que describen el movimiento de una partícula se introduce en las ecuaciones con el fin de obtener los comportamientos promedio y turbulento (aleatorio) de las distintas variables. El punto de partida es muy sencillo. Se trata de obtener una descomposición de las variables en su valor medio y su valor fluctuante. Por ejemplo, para la velocidad, la descomposición sería: 'uuu += (5) donde la componente media de la velocidad se obtiene haciendo la integral de la velocidad instantánea:

T

0

1u (t) = u(t) dtT ∫ (6)

suponiéndose que el periodo de integración (T) es lo suficientemente grande en comparación con la escala temporal de la turbulencia, pero lo suficientemente pequeño como para captar cualquier fenómeno no estacionario distinto a la turbulencia. La utilización de este tipo de métodos es bastante adecuado, pues la mayoría de los fenómenos no estacionarios en Mecánica de Fluidos tiene lugar a frecuencias con rangos muy alejados del rango de frecuencias de la turbulencia. El proceso de promediado temporal de las ecuaciones diferenciales, da lugar a unos términos, denominados de tensiones de Reynolds (“Reynolds stresses”), que involucran medias de los productos de la fluctuaciones de las componentes de la velocidad, cuya relación con las componentes medias del flujo es desconocida. Para obtener dicha relación es necesario introducir un modelo adicional, denominado modelo de turbulencia o de cierre. Las distintas posibilidades prácticas en cuanto a modelos de turbulencia son analizadas a continuación.

Habitualmente lo que interesa son los efectos de la turbulencia sobre los valores medios de las variables: la velocidad media y la presión media en el caso del flujo en un conducto; en el caso de un avión, las fuerzas medias de resistencia y sustentación; para el caso de un motor, los efectos de la turbulencia sobre las relaciones de mezcla entre combustible y comburente.


Para conseguir esto, las ecuaciones de Navier-Stokes se promedian sobre las escalas de las fluctuaciones de turbulencia (RANS). Estos métodos dan lugar a un campo de flujo promediado y simulado que es más uniforme que el flujo real, y, por tanto, reduce drásticamente el número de puntos de la discretización espacial y de la temporal necesario para obtener las variables buscadas. Un modelo de turbulencia es un procedimiento numérico que permite relacionar los valores medios de las fluctuaciones de las variables con los valores promedio (en la nomenclatura propia de estos métodos, se habla de cerrar el sistema de ecuaciones), de forma que se puedan resolver las ecuaciones de gobierno. Un modelo de turbulencia será útil, dentro de un programa CFD de propósito general, si es exacto, sencillo y económico (computacionalmente hablando). Los modelos de turbulencia más comunes son los siguientes (Wilcox, 1993): Modelos algebraicos: Modelo de cero ecuaciones: modelo de la longitud de mezcla. Modelo Cebeci-Smith-Mosinki. Modelo Baldwin-Lomax. Modelos de viscosidad turbulenta: Modelo de una ecuación: modelo k. Modelo de dos ecuaciones: modelos k-ε, k-ω2 o q-ω, modelo RNG. Modelos de ecuaciones de las tensiones de Reynolds (RSM). Cada uno de ellos tiene sus ventajas e inconvenientes. Aquí se expondrá más en detalle el modelo k-ε, por ser muy extendido. 2.8.- Modelos de dos ecuaciones: modelo k-ε. Como modelo de cierre o estrategia numérica para resolver de forma aproximada las ecuaciones de Navier-Stokes, se desarrollan dos ecuaciones de transporte adicionales (similares a las definidas por las ecuaciones 3 y 4), una para la energía cinética turbulenta (k) y otra para la tasa de disipación de energía cinética turbulenta (ε). Estas variables se definen según las expresiones:

( )222 'w'v'u21k ++= (7)

'

ij'ij eeν2ε = (8)

donde '

ije es la parte fluctuante del tensor de velocidad de deformación. Las ecuaciones de transporte para k y ε se basan en el conocimiento de los procesos que producen los cambios en esas variables y son (Versteeg et al., 1995):


( ) ( ) tt ij ij

k

ρk· ρku · grad k 2µ E E ρε

t∂ µ

+ ∇ = ∇ + − ∂ σ (9)

( ) ( ) t1ε t ij ij 2ε

ε

ρ ε µ ε ε· ρ ε u · grad ε C 2 µ E E C ρ εt σ k k

∂ + ∇ = ∇ + − ∂

(10)

donde Eij es el tensor de componentes medias de la velocidad de deformación. El significado físico de las anteriores expresiones se puede resumir en el siguiente balance:

−

=

ε/kde

nDestrucció

ε/kde+

difusiónporε/kdeTransporte

convecciónpor

ε/kdeTransporte +

ε/kdecambiodeVelocidad Producción

Aparecen varios conceptos cinemáticos relacionados con las “escalas” o longitudes típicas asociadas a los distintos movimientos del flujo (flujo principal medio y flujo oscilante o turbulento, relacionado con los vórtices). La escala de velocidad ζ es característica de los remolinos y de las propiedades del flujo principal y se define según la expresión:

uy

ζ C ∂∂

= (11)

donde C es una constante adimensional y la escala de longitud turbulenta (o longitud de mezcla), que se define como:

ε

k 2/3

= (12)

Este método utiliza la velocidad de disipación ε de los remolinos pequeños para definir la escala de longitud de los remolinos grandes porque, para altos números de Reynolds, la velocidad de extracción de energía del flujo de los remolinos grandes es igual a la velocidad de transferencia de energía a los remolinos pequeños. Si esto no fuese así, la energía en algunas escalas de la turbulencia podría aumentar o disminuir sin límite, cosa que no ocurre en la práctica con lo que se justifica el uso de la velocidad de disipación ε dentro de la definición de la escala de longitud “ ”. Aplicando la misma aproximación del modelo de la longitud de mezcla se puede obtener la viscosidad turbulenta como:

ε

kCζC2

µµt ρ=ρ=µ (13)

Las ecuaciones de transporte de k y ε contienen cinco constantes ajustables Cµ, los números de Prandt (σk y σε), C1ε y C2ε, aunque se suelen emplear valores fijos para una amplia gama de flujos turbulentos. Los números de Prandtl (números adimensionales que muestran el peso relativo de los términos viscosos frente a los términos de transmisión de calor por conducción) relacionan las difusividades de k y ε con la viscosidad turbulenta (µt).


Las principales ventajas e inconvenientes del modelo, tal y como pueden encontrarse en la bibliografía consultada (Lakshminarayana, 1991 y Versteeg et al., 1995), son las siguientes: a) Ventajas:

- Sólo se necesita fijar las condiciones iniciales y de contorno. - Resultados satisfactorios para una gran cantidad de flujos. - Es el modelo turbulento más ampliamente utilizado en la mayoría de flujos en

aplicaciones industriales. - Se dispone de leyes de pared desarrolladas como condiciones de contorno para este

tipo de modelos. b) Inconvenientes:

- Implementación más compleja que los modelos algebraicos debido a la introducción de dos ecuaciones diferenciales adicionales.

- Pobres resultados en casos como: flujos no confinados, flujos con grandes gradientes longitudinales, flujos turbulentos completamente desarrollados en conductos no circulares.

2.9.- Modelos matemáticos para la Capa Límite. La capa límite es la zona del campo fluido próxima a un contorno sólido en la que se manifiestan especialmente los efectos viscosos. Debido a la viscosidad y a la condición de no deslizamiento, cerca de cualquier contorno sólido aparece un gradiente de velocidades en la dirección normal a dicho contorno. Este gradiente de velocidades condiciona el intercambio energético entre las distintas partículas de fluido con velocidades diferentes, originando vorticidad y turbulencia. El problema básico para la modelización numérica del intercambio energético en la capa límite sobre cualquier frontera sólida consiste en la definición correcta de las velocidades de las partículas en una zona muy próxima a dicha frontera. Esto implica una densidad de mallado muy elevada, necesaria para capturar los distintos fenómenos que se producen dentro de la capa límite. Esta dificultad se ha abordado usando varias aproximaciones, que se pueden englobar en cuatro grupos: modelos de distribución de las pérdidas, modelos de capa de cortadura, modelos de capa límite y leyes de pared, que son brevemente explicados a continuación. - Modelos de distribución de las pérdidas (“Distributed Loss Models”). Este tipo de modelos constituye una aproximación muy usada en flujos internos (el fluido está confinado en un canal de paso limitado por paredes sólidas). La hipótesis básica consiste en suponer que el efecto de las tensiones cortantes debidas a la viscosidad es


equivalente a una fuerza de rozamiento distribuida a lo largo del canal de paso y definida por valores semi-empíricos conocidos del problema a resolver. Aunque con este tipo de modelos se puede predecir el flujo en gran parte de la geometría, es claro que se pierde la definición en zonas cercanas a las superficies sólidas. A veces esta falta de precisión en la definición del flujo no es tolerable y se requiere superponer algún modelo de capa límite complementario. Los modelos de distribución de pérdidas fueron muy populares en los inicios de las técnicas CFD cuando la potencia de cálculo hacía difícil de llevar a la práctica cualquier otro tipo de modelo (Bosman, 1976). - Modelos de capa límite (“Boundary Layer Approximations”). Derivado de los estudios de Prandtl sobre la estructura del flujo para elevados valores del número de Reynolds. Bajo estas condiciones, el campo de velocidades en un fluido se puede separar en dos zonas, una de flujo no viscoso alejada de los contornos sólidos y otra dominada por los efectos de la viscosidad, denominada capa límite. Las ecuaciones de este tipo de modelos se pueden derivar de las del modelo de la capa de cortadura simplificándolas aún más mediante la hipótesis del valor despreciable de la velocidad en la dirección normal a la superficie considerada en comparación con la velocidad en la dirección de las líneas de corriente. También existen muchas aplicaciones prácticas de este tipo de modelos (Launder et al., 1972) - Modelos de la capa de cortadura (“Thin Shear Layer, TSL”). Son métodos apropiados para flujos con elevados números de Reynolds en los que las zonas de influencia viscosa, estelas o capas de cortadura ocupan una extensión muy reducida dentro de la geometría del problema estudiado. Fuera de estas zonas, resulta suficiente con considerar el modelo de fluido ideal. Para este tipo de modelos se requiere una discretización espacial muy densa en las zonas en las que se espera influencia de los términos viscosos. En realidad, se trata de un cálculo ligeramente más avanzado que el correspondiente al modelo de capa límite, porque en este caso la geometría de la capa límite es resultado del cálculo y no se introducen hipótesis adicionales. Este tipo de modelos ha sido aplicado a multitud de problemas relacionados con aplicaciones aerodinámicas (Hirsch, 1988). - Leyes de pared. Una posibilidad distinta a los modelos mencionados consiste en incluir en los cálculos alguna aproximación para la distribución de velocidades esperada. Con tal fin, se pueden


utilizar las distribuciones de velocidad obtenidas experimentalmente, pero la práctica habitual consiste en utilizar los datos de distribuciones teóricas. En el contexto de los métodos numéricos, las funciones o “leyes de pared” constituyen un conjunto de fórmulas semi-empíricas que relacionan los valores de las distintas variables en las zonas próximas a los contornos sólidos y sobre dichos contornos. Normalmente incluyen tanto las relaciones para las variables medias y fórmulas para el tratamiento de la turbulencia en zonas próximas a los contornos sólidos. La definición de las distintas fórmulas, con rangos de aplicabilidad variables, provienen de los estudios sobre capa límite y parten de la definición de las variables adimensionales características de dichos estudios. Suelen distinguirse dos zonas que dan lugar a la utilización de las denominadas leyes para capas internas y leyes para capas externas. En la bibliografía existen multitud de modelos basados en alguna hipótesis sobre la distribución de velocidades dentro de la capa límite (Launder et al., 1972 o White, 1991).


3.- Aspectos matemáticos del procedimiento de cálculo.

Los modelos matemáticos de la mayoría de fenómenos físicos pueden ser expresados como un sistema de ecuaciones en derivadas parciales cuasi-lineales de primer o segundo orden. Las propiedades matemáticas de estos sistemas de ecuaciones son un reflejo de las propiedades físicas de los flujos.

Las ecuaciones de flujo representan un balance entre fenómenos de convección y difusión además de la inclusión de términos fuente. En los flujos difusivos aparecen términos con derivadas de segundo orden como consecuencia de la Ley de Fick generalizada. Por el contrario en los flujos convectivos aparecen derivadas de primer orden que expresan propiedades de transporte o arrastre. Cada una de estas contribuciones tiene influencia en la naturaleza matemática de las ecuaciones. En concreto se distingue entre los siguientes tipos de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales:

• Elípticos.

• Parabólicos.

• Hiperbólicos.

Antes de dar una descripción matemática rigurosa de cada tipo, se considera como

ejemplo la componente sobre el eje x de la ecuación de Navier-Stokes para un flujo laminar e incompresible en coordenadas cartesianas:

( )u p + ρ u· u = - + µ ∆ut x

∂ ∂∇

∂ ∂ (14)

Si se adimensionaliza la ecuación 14 utilizando unas magnitudes de referencia T,L y

V se obtiene:

( )V T u p 1u · u uL t x Re

∂ ∂+ ∇ = − + ∆

∂ ∂ (15)

donde:

• ν

=µ

ρ=

LVLVRe es el número de Reynolds y

• L

VT el número de Strouhal.

Se analizan a continuación dos casos particulares:


Para Números de Reynolds muy bajos (un flujo muy viscoso), el término convectivo puede ser despreciado, quedando por tanto:

2V T u pu Re

t x∂ ∂

− + ∆ =ν ∂ ∂

(16)

Analizando la ecuación anterior puede verse que, teniendo en cuenta la naturaleza del flujo (estacionario o no estacionario) aparecen dos tipos de ecuación:

• Flujo Estacionario u 0t

∂⇒ =

∂.

xpReu

∂∂

=∆ (Comportamiento elíptico) (17)

• Flujo No Estacionario u 0t

∂⇒ ≠

∂.

2V T u pu Re

t xν∂ ∂

∆ = +∂ ∂

(Comportamiento parabólico) (18)

Para Números de Reynolds muy altos y fuera de la capa límite, los efectos viscosos apenas tienen influencia en el flujo. La ecuación queda entonces reducida a la ecuación de Euler (Ecuación de primer orden).

( )u p + ρ u· u = -t x

∂ ∂∇

∂ ∂ (Comportamiento hiperbólico) (19)

La distinción entre unas ecuaciones y otras tiene una gran importancia porque los

métodos numéricos de discretización y resolución de problemas son diferentes en cada caso. Los fenómenos de difusión actúan en todo el espacio independientemente de la dirección predominante del flujo (comportamiento elíptico). Por el contrario, los fenómenos de convección actúan en la dirección de propagación, en regiones concretas del espacio (comportamiento hiperbólico)

Entre ambas posibilidades, una ecuación con comportamiento parabólico representa una situación intermedia que se puede interpretar como un proceso de difusión en todas las direcciones pero amortiguado en el tiempo.

En las ecuaciones de Navier-Stokes no estacionarias, la ecuación de continuidad es hiperbólica mientras que las ecuaciones de la cantidad de movimiento y de la energía son parabólicas en espacio y tiempo. Se habla de un comportamiento parabólico-hiperbólico. Sin embargo, en las ecuaciones de Navier-Stokes en su versión estacionaria, las ecuaciones de la cantidad de movimiento y de la energía tienen un comportamiento elíptico por lo que se tienen propiedades elíptico-hiperbólicas.


3.1.- Condiciones iniciales y de contorno.

Se dice que un problema cuya resolución depende de una ecuación diferencial en derivadas parciales está “bien planteado” si la solución depende de manera continua de las condiciones iniciales y de contorno. Se consideran dos tipos de problemas:

• Problema de Condición Inicial. Se conoce la solución en t 0= y se busca la evolución de dicha solución en el tiempo. • Problema de Condición de Contorno. Se fijan las condiciones en los contornos del dominio y se busca la solución en su interior. En este caso existen tres variantes posibles: condición de Dirichlet, condición de Neumann y condición de Robin, que se detallarán en el apartado 4.

En este apartado se analiza cómo se transmite la información relativa a la solución en

las distintas regiones de flujo. Se detalla el fenómeno de propagación de la solución para cada uno de los tipos de clasificación de las EDPS.

• Sistemas Hiperbólicos.

En la figura 2 se considera un problema hiperbólico bidimensional: Γ constituye un

contorno del dominio y la solución U sobre el trozo de contorno AB se propaga en el dominio del flujo siguiendo las superficies características BA S,S que surgen en AB.

Existe una región, llamada “zona de Dependencia”, que delimitan las superficies características que surgen de A y de B junto con el trozo de contorno AB y que determinan la solución en el punto P . Asímismo existe una región, llamada “zona de Influencia”, en la cual la solución resulta influenciada por la solución en el punto P .

Figura 2.- Zonas de influencia y de dependencia de un problema hiperbólico.


• Sistemas Parabólicos.

En la figura 3 se muestra lo que ocurre en un problema parabólico bidimensional.

Figura 3.- Zonas de influencia y de dependencia de un problema parabólico.

En este tipo de problemas ambas superficies características no tienen más que una

línea en común ( AS ). La “zona de Dependencia” del punto P se extiende a un lado de la línea AS y la “zona de Influencia” ocupa el semiespacio restante.

• Sistemas Elípticos.

En la figura 4 se considera un problema elíptico bidimensional. En este caso no hay superficies características y en consecuencia las “zonas de Dependencia y de Influencia” coinciden y son iguales a todo el dominio del problema.

Figura 4.- Zonas de influencia y de dependencia de un problema elíptico.

La naturaleza del problema a resolver es un aspecto crucial en la selección de la técnica de discretización más apropiada. Hay que recurrir a la teoría de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.


3.2.- Consideraciones físicas. Considérese un problema estacionario de transferencia de calor, en el que se requiere hallar la distribución de temperatura en una barra de sección transversal rectangular constante y longitud infinita. El problema es bidimennsional y la ecuación a resolver es:

0y T

xT

2

2

2

2=

∂

∂+

∂

∂ (20)

Para resolver el problema la ecuación debe ser completada con un conjunto de condiciones de contorno. Supóngase que se conoce una solución y que se introduce una perturbación en un punto P (p.e. un foco de calor). Dicha perturbación va a ser percibida en todos los demás puntos de la barra. Por tanto, las temperaturas en todos los puntos del dominio están relacionadas entre sí y con las condiciones de contorno. Habrá que especificar la temperatura (o el flujo de calor) en todos los puntos del contorno para determinar la solución. Se trata de un “problema de contorno”. Ejemplo: se quieren estudiar movimientos de pequeña amplitud en un conducto recto. Las ecuaciones gobernantes son:

xP 1

xu u

tu

0 xu

xu

t

∂∂

ρ−=

∂∂

+∂∂

=∂∂

ρ+∂

ρ∂+

∂ρ∂

(21)

y la ecuación de la energía se reduce a la igualdad s = cte (entropía constante). Esto permite relacionar las variaciones de presión y densidad:

x a

xP 2

∂ρ∂

=∂∂ (22)

siendo “a” la velocidad del sonido. Si la amplitud es pequeña:

tu

xu u y

t

x u

∂∂

<<∂∂

∂ρ∂

<<∂

ρ∂ (23)

entonces:

xa

tu

0 xu

t2

∂∂ρ

ρ−=

∂∂

=∂∂

ρ+∂

ρ∂

(24)

donde ρ es la densidad del fluido en reposo; combinando ambas ecuaciones:


0 x

a t 2

22

2

2=

∂

ρ∂−

∂

ρ∂ (25)

Esta ecuación diferencial de segundo orden se debe resolver en un dominio espacio-temporal. Considérese de nuevo el efecto de una perturbación introducida en el dominio; esta perturbación lógicamente sólo afectará a tiempos t ≥ ti (donde ti es el instante en el que se produce dicha perturbación), es decir, sólo a una parte del dominio temporal. No se puede pues imponer condiciones de contorno en tiempos después de tt. En este caso, los puntos del dominio están relacionados sólo con los puntos que pueden influenciarles, y la solución puede ser obtenida avanzando progresivamente en el dominio temporal (“time-marching”). Se trata de un “problema de valor inicial”. o0o A continuación se describe la naturaleza de algunos problemas de Mecánica de Fluidos: Problemas de contorno (PC).

Flujo estacionario subsónico no viscoso irrotacional. Flujo estacionario viscoso.

Problemas de valor inicial (PVI).

Flujo no estacionario. Flujo estacionario supersónico no viscoso. Flujo en capa límite.

Problemas híbridos.

Flujo estacionario subsónico rotacional. Flujo estacionario no viscoso irrotacional con zonas subsónicas y supersónicas.


4.- Métodos de resolución y naturaleza de las ecuaciones de gobierno. La solución de un determinado problema utilizando las técnicas numéricas implica los siguientes pasos:

1) El planteamiento inicial de las ecuaciones a resolver (ecuaciones de gobierno con condiciones de contorno apropiadas).

2) La obtención de los distintos campos de propiedades fluidas. 3) La interpretación crítica de las soluciones obtenidas (coherencia de resultados y

obtención de variables macroscópicas, como esfuerzos, rendimientos, etc.). En la figura 5 se muestra un esquema simplificado de todo el proceso.

En este apartado se describe de forma general las distintas posibilidades y se resuelven varios ejemplos prácticos de flujos sencillos.

Figura 5.- Esquema general de los métodos numéricos.


4.1.- Ecuaciones de gobierno, condiciones de contorno y condiciones iniciales. Las leyes que rigen el movimiento de una partícula fluida son conocidas desde mediados del siglo XIX. Son las denominas ecuaciones de Navier-Stokes, que pueden expresarse con distintas nomenclaturas, en distintos sistemas de referencia y con distintas notaciones (ver Aris, 1962; Batchelor, 1967; White, 1979 o Hirsch, 1988; por ejemplo). Para un fluido Newtoniano, se pueden expresar así (Hirsch, 1988): Continuidad:

0u·dtd

=∇ρ+ρ (26)

Cantidad de movimiento:

( )2e

d u u 1(u· )u p u ·u fd t t 3

∂ ρ = ρ + ρ ∇ = −∇ + µ ∇ + ∇ ∇ + ρ ∂ (27)

Energía:

( ) f H( E) ·( u E) ·(k T) · ·u W q

t∂ ρ

+ ∇ ρ = ∇ ∇ + ∇ σ + +∂

(28)

Las ecuaciones 26 a 28 están obtenidas teniendo en cuenta que cualquier evolución física de un sistema está gobernada por leyes de conservación. El concepto de conservación significa que la variación de una determinada magnitud intensiva o propiedad en un determinado volumen es debida al efecto neto de las fuentes internas de esa magnitud y al efecto del flujo de esa magnitud que atraviesa la frontera del volumen que define al sistema. En el caso de la Mecánica de Fluidos, las propiedades que se conservan son la masa, la cantidad de movimiento y la energía. Algunas veces, en las técnicas numéricas no se intenta resolver estas ecuaciones directamente sino que se adimensionalizan de forma que, por un lado, resulte más cómodo manejar las ecuaciones sin preocuparse de las unidades y, por otro, se pueda llegar a despreciar términos por su valor muy inferior al resto de términos de la ecuación. Tal y como se ha señalado, eliminar ciertos términos resulta necesario en casi todos los problemas de Mecánica de Fluidos. Ya sea en su forma dimensional o adimensional, se trata de un sistema de cinco ecuaciones diferenciales de segundo orden no lineales y no estacionarias. Las incógnitas o variables dependientes son la velocidad (3 componentes), la presión, la temperatura, la densidad y la viscosidad. Para su correcta solución se deberá disponer de dos ecuaciones adicionales que relacionen la densidad y la viscosidad del fluido con la temperatura y la presión (ecuaciones de estado). La solución analítica de estas ecuaciones con las correspondientes condiciones de contorno y condiciones iniciales definiría el campo fluido en una geometría cualquiera. Sin embargo, como se ha dicho, es imposible encontrar una solución analítica exacta de estas ecuaciones.


Condiciones de contorno y condiciones iniciales. De tanta importancia como las ecuaciones de gobierno resultan las condiciones de contorno y condiciones iniciales. En la mayoría de los textos dedicados a las técnicas numéricas se concede gran importancia a las discusiones sobre las distintas posibles condiciones de contorno e iniciales. Las condiciones iniciales definen el estado del fluido en el instante inicial considerado como origen para la evolución temporal (t = 0). Por tanto, para la correcta definición de un problema se deberá conocer el valor que tienen todas las variables en ese instante. Muchas veces, en problemas resueltos mediante técnicas numéricas esto es imposible, con lo que se ha de buscar una alternativa. La más sencilla y habitual consiste en dar a todas las variables un valor cero, asumiendo que, si se avanza suficientemente en el tiempo, se llega a un estado estacionario, o periódico, independientemente de la solución inicial, según las condiciones de contorno sean constantes o periódicas. Tiene como ventaja la sencillez de implementación, pero tiene una gran desventaja, pues si dicha solución inicial se aparta bastante de la solución real, puede dar lugar a problemas de convergencia en cuanto a la resolución de las ecuaciones. En función del tipo de evolución temporal, se clasifican las ecuaciones diferenciales y, por tanto los problemas de origen, en elípticas, parabólicas e hiperbólicas. Una ecuación diferencial se clasifica dentro de un grupo u otro dependiendo de la forma de dependencia espacio-temporal de la evolución de las variables. Las condiciones de contorno pueden ser de varios tipos. Los más comunes en la práctica son:

a) Condiciones de contorno tipo Dirichlet. La variable dependiente es conocida en la frontera física del problema.

b) Condiciones de contorno tipo Neumann. Se conoce en la frontera física del problema el valor del gradiente normal de la variable dependiente.

c) Condiciones de contorno tipo Robin. La condición conocida constituye una combinación lineal de los tipos anteriores.

d) Condiciones de contorno mixtas. En unas zonas de la frontera física se tienen condiciones de contorno Dirichlet y en otras zonas condiciones del tipo Neumann.

La correcta definición de las condiciones de contorno constituye una parte fundamental en la definición de un problema numérico. 4.2.- Discretización de las ecuaciones. A lo largo de la historia de los métodos numéricos aplicados a la Mecánica de Fluidos muchas han sido las aproximaciones o formas de pasar del modelo fisico-matemático al modelo numérico discreto. Las técnicas modernas se construyen con un requerimiento adicional importante, consistente en la condición de que el resultado final de la discretización sea fácilmente integrable en una arquitectura de cálculo determinada. Se indican a continuación las técnicas más comunes que cumplen este requerimiento y que son usadas en las distintas aproximaciones en CFD.


La aplicación de las leyes básicas de la Física permite obtener las relaciones entre las

distintas variables a través de un conjunto de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales: son las Ecuaciones de Constitución de la Mecánica de Fluidos (ecuaciones 26 a 28). Por desgracia, debido a su gran complejidad, rara vez es posible resolverlas de un modo exacto (solución analítica del problema) y es necesario buscar métodos alternativos que proporcionen una buena predicción, es decir, métodos que proporcionen una solución numérica aproximada. Así, la solución numérica aproximada se obtendrá a partir de la resolución de una serie de relaciones algebraicas obtenidas mediante técnicas de discretización de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. En la figura 6 se muestra de forma esquemática la metodología propuesta por los métodos numéricos.

Figura 6.- Metodología utilizada en las resoluciones numéricas.


4.2.1.- Consistencia, convergencia y estabilidad. Se dice que el sistema de ecuaciones algebraicas generadas en el proceso de discretización es consistente con el sistema original si, cuando el espaciado del mallado tiende a cero, el sistema de ecuaciones es equivalente al sistema en derivadas parciales en cada punto. La comprobación de la consistencia requiere la sustitución de la solución exacta en las ecuaciones algebraicas resultantes de la discretización, y la expansión de todos los términos como series de Taylor en torno a un punto. Para obtener consistencia, la expresión resultante debe estar formada por la ecuación en derivadas parciales original más un resto, el cual debe anularse si el mallado se refina.

Se define la convergencia como la capacidad que tiene un conjunto de ecuaciones algebraicas para representar la solución analítica de un conjunto de ecuaciones diferenciales, si ésta existiese. Las ecuaciones se dice que convergen si la solución numérica tiende a la solución analítica cuando el espaciado del mallado o el tamaño del elemento tiende a cero. Una solución de un sistema de ecuaciones algebraicas que aproxima un sistema de ecuaciones en derivadas parciales es convergente si la solución aproximada es igual a la solución exacta para cada valor de la variable independiente cuando el espaciado en el mallado tiende a cero (numéricamente esto se expresa diciendo que ∆x, ∆t → 0).

Un conjunto de ecuaciones resulta estable si los valores de las variables implicadas tienden hacia una solución correcta sin que los errores de cálculo en la solución discreta deformen los resultados mientras se realiza el proceso numérico. El concepto de estabilidad está relacionado con el crecimiento o la atenuación de errores introducidos en la fase de cálculo, pues el ordenador introduce un error de redondeo en cada cálculo que realiza. Se utilizan distintos métodos numéricos para obtener una valoración de dicha estabilidad. Destaca por su mayor flexibilidad el método de las perturbaciones discretas, aunque existe otros muchos, como el de Von Neumann. - Método de las perturbaciones discretas: En este método se introduce una perturbación en un punto y se observa su efecto en los puntos vecinos. Si la perturbación se atenúa a medida que la solución procede, el esquema numérico es estable. Pero si la perturbación crece con la solución, el esquema es inestable. - Método de Von Neumann: Permite establecer la condición necesaria y suficiente para la estabilidad de problemas lineales. En el resto de casos, el método se aplica localmente, congelando los términos no lineales, por lo que solo proporciona condiciones necesarias. En el método de Von Neumann, la solución de la ecuación en diferencias finitas se desarrolla en series de Fourier; la atenuación o el crecimiento de las amplitudes de los modos indican si el algoritmo numérico es o no estable. En la práctica se dice que un proceso numérico converge si los valores de las variables en los puntos del dominio tienden hacia unos valores fijos mientras la solución progresa. Esto es así porque en muchos casos no se puede demostrar matemáticamente la convergencia “estricta”. En el caso de un cálculo no estacionario en una turbomáquina, la convergencia no


se entiende como la obtención de un valor fijo para las distintas variables dependientes sino como la obtención de una variación periódica de los valores de cada una de estas variables. Teorema de equivalencia de Lax: Dado un problema lineal correctamente planteado y una aproximación por diferencias finitas que satisface la condición de consistencia, la estabilidad es condición necesaria y suficiente para que sea convergente. En la figura 7 se muestra un resumen de los conceptos desarrollados en este apartado.

Figura 7.- Requisitos que han de cumplir las discretizaciones en los métodos numéricos.

4.2.2.- Dificultades asociadas a la naturaleza de las ecuaciones de gobierno. En este apartado, se van a mostrar algunas limitaciones prácticas de la estabilidad de los métodos numéricos y se va a introducir el concepto de problema rígido. Considérese la ecuación:

d u q u u(0)=1 con q: número complejod t

= (29)

Si se discretiza según un método de diferencias finitas centrado en el tiempo, se

obtiene:

n1n1n

uqt2uu

=∆− −+

(30)

Esta discretización particular se denomina método explícito del punto medio (en inglés “leap frog”). En el apartado 4.5 se amplía el estudio a otros tipos de métodos utilizados en la práctica. Si se expresa ahora 1nu + en función de nu y de 1nu − , se puede obtener que el factor de amplicación (ω) debe cumplir la ecuación:


01tq22 =−ω∆−ω (31) que tiene dos raíces:

( )22,1 tq1tq ∆+±∆=ω (32)

y debería satisfacer la condición ya mencionada de ω≤ 1 + O(∆t). Si ahora se aplica el método para q = −1 y ∆t = 0.1, se requiere de dos valores iniciales para iterar. El primero viene dado por la condición de contorno, es decir: 0.1u0 = (33) y el segundo puede calcularse utilizando alguna fórmula aproximada, por ejemplo la simplificación de una fórmula de dos puntos. En la figura 8 se muestra la solución para los valores u1 = 0.9 (línea continua) y u1 = 0.85 (círculos). Aparecen oscilaciones que no son permisibles. Se puede observar como el concepto de estabilidad no es suficiente, porque el límite ∆ t → 0 no aporta suficiente información del método de discretización. Se introduce entonces el concepto de estabilidad absoluta, que indica que una solución debe mantenerse limitada (sin oscilar) para n → ∞ para un valor finito de ∆t.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t [s]

u [m/s]

Figura 8.- Evolución de la solución usando el método del punto medio.

Para una solución iterativa del problema propuesto, la solución con estabilidad

absoluta se define como un conjunto z = q ∆t tales que la secuencia de valores un permanezca limitada (sin oscilaciones). Matemáticamente, esto implica: 1≤ω (34) Para el método del punto medio, el factor de amplificación se obtiene según la ecuación 32, por lo que ω1 = ω2 = − 1, por lo que la única opción de estabilidad es


121 =ω=ω , es decir, ω = eiα. Sustituyendo este resultado en la ecuación 32 y resolviendo para z, se obtiene: α= seniz (35) Es decir, la región de estabilidad es el segmento del eje imaginario entre –i y +i. Por lo que para q = −1 no es posible obtener un valor de ∆t que proporcione un método con estabilidad absoluta, lo cual explica el comportamiento observado en la figura 8. Sin embargo, el caso del método del punto medio constituye una situación límite. Si se considera el método de Euler hacia adelante (“forward Euler”) y se discretiza la misma ecuación 29, se obtiene:

nn1n

uqt

uu=

∆−+

(36)

de donde se obtiene ω = 1 + q ∆t. La región de estabilidad será ahora el conjunto de los z tales que 1z1 ≤+ , es decir, una circunferencia de radio unidad centrada en z = -1, tal y como se muestra en la figura 9. Para q = -1, la solución numérica del problema permanece limitada (sin oscilaciones) siempre que –2 ≤ - ∆t ≤ 0 o bien ∆t ≤ 2. Esta condición no es demasiado rígida y limitará el valor de ∆t, pero no a valores demasiado pequeños. Para obtener una precisión suficiente el salto temporal debe estar siempre en torno a una fracción de la escala de tiempos del problema en cuestión. En este caso, la escala de tiempos máxima admisible resulta ser la unidad (1/ q ).

Figura 9.- Región de estabilidad para el método de Euler hacia adelante.

Por ejemplo, si se considera la ecuación diferencial ordinaria dada por el sistema:

−−

=

2

1

2

1

uu

100013

uu

tdd (37)


en el que los coeficientes de la diagonal principal tienen valores tan dispares, y se observa su solución (combinación lineal de dos soluciones particulares):

1 3t 100t1 2

2

u 1 1C e C e

u 0 97− −

= + − (38)

El segundo término decae muy rápido y no se pierde generalidad si en la práctica se desprecia. Sin embargo, el segundo término, que corresponde al valor propio q2 = -100 impone un límite ∆t ≤ 0.02. Este ejemplo muestra como siempre resulta ser la menor escala de tiempo la que impone un límite al salto temporal. Para problemas con grandes rangos de escalas de tiempo, el problema se vuelve rígido y las restricciones pueden hacer muy difícil su solución utilizando técnicas CFD. Desafortunadamente, los problemas con escalas de tiempo muy amplias son comunes en la Mecánica de Fluidos. Con el fin de abordar la mencionada limitación, se deben buscar soluciones que se encuentren limitadas. Para ello sería necesario que la región de estabilidad incluyera el semiplano izquierdo por completo. Entonces se tendría condición de estabilidad absoluta o A-estabilidad. Por ejemplo, si se considera la discretización de la ecuación 29 según un esquema de Euler hacia atrás (“backward Euler”), se obtiene:

1nn1n

uqt

uu ++

=∆

− (39)

En este caso, el factor de amplificación es 1/(1 – q ∆t) y la región de estabilidad viene dada por 1 z 1− ≤ , que se corresponde con el círculo de radio 1 y centrado en z = 1 (figura 10).

Figura 10.- Región de estabilidad para el método de Euler hacia atrás.


Existe una diferencia clara entre los dos esquemas “hacia adelante” y “hacia atrás”. En el primero, la solución en un instante “n+1” se obtiene explícitamente de la solución en el instante “n”, realizando operaciones aritméticas. Sin embargo, en el segundo caso, los valores en el nuevo instante aparecen de forma implícita en la solución de una ecuación algebraica. Aparece la diferenciación entre métodos explícitos y métodos implícitos. Se puede extraer la conclusión general de que los métodos explícitos resultan más económicos para cada paso temporal. Desafortunadamente, se ha demostrado que los métodos explícitos nunca pueden ser A-estables. Por lo tanto, la elección entre un método explícito o implícito requiere siempre buscar un equilibrio entre la sencillez a la hora de programar y la estabilidad del método. Para problemas en los que no exista demasiada rigidez tales como los de flujos no viscosos, los métodos explícitos resultan competitivos, principalmente para problemas tridimensionales, por requerir una menor cantidad de información almacenada. Por el contrario, para problemas muy rígidos, tales como los flujos con viscosidad predominante o con reacciones químicas, los métodos implícitos son generalmente los más utilizados, a pesar del incremento de necesidades de almacenamiento de las variables que imponen. 4.3.- Métodos de discretización empleados. El objetivo de la discretización es sustituir el problema continuo con infinitos grados de libertad en espacio y tiempo por un problema discreto con finitos grados de libertad. En función de que la discretización se realice en el dominio temporal o en el dominio espacial, se presentan diferentes métodos de discretización: - Discretización temporal: Diferencias finitas - Discretización espacial: Diferencias finitas Elementos finitos Volúmenes finitos Residuos ponderados Se agrupan estos en tres métodos básicos en la discretización de las ecuaciones de gobierno: diferencias finitas, volúmenes finitos y residuos. A continuación se describen brevemente las tres posibilidades. 4.3.1.- Método de las diferencias finitas. Está basado en la representación de una derivada mediante una aproximación por diferencias entre los puntos vecinos. Utilizando los desarrollos en series de Taylor se describen las derivadas como diferencias entre los valores de una variable en varios puntos del espacio o del tiempo. Mediante la aplicación de tales aproximaciones, el sistema original de ecuaciones diferenciales se reduce a un sistema de ecuaciones algebraicas, que es resuelto mediante técnicas convencionales.


La discretización en diferencias finitas está especialmente ideada para una malla cartesiana. Su extensión a geometrías curvilíneas más complejas requiere la transformación de las ecuaciones de gobierno por medio del correspondiente cambio de base a un sistema de coordenadas que siga la dirección de dichas geometrías curvilíneas. Una vez realizado el cambio de variable, el método de diferencias finitas es aplicable a resolución de problemas en dichas geometrías (Hoffman, 1988). Considérese una ecuación en derivadas parciales sobre un dominio rectangular (ver figura 11). Se sustituye el espacio continuo por un mallado (regular): xi, j , yi, j con i = 1...iN j = 1...jM (40) de tal forma que se cumple: xi, j = ∆x i yi, j = ∆y j (41)

Figura 11.- Dominio cartesiano para definir un problema bidimensional dado.

Se define una función en los puntos del mallado (i, j): ui, j = u (xi , yj ) (42) A continuación, se estiman las derivadas en un punto (i, j) por cocientes de diferencias, basados en la definición de derivada, es decir:

x

y)u(x,-y)x,+u(x=xu

lim0x ∆

∆∂∂

→∆ (43)

Si ∆x es lo suficientemente pequeño, el cociente de diferencias es una buena aproximación de la derivada. Existen varias posibilidades a la hora de elegir el cociente de diferencias:


Diferencia hacia delante.

i+1, j i, j

i, j

-u u u=x x

∂ ∂ ∆

(44)

Diferencia centrada.

i+1, j i-1, j

i, j

-u u u=x 2 x

∂ ∂ ∆

(45)

Diferencia hacia atrás.

i, j i-1, j

i, j

-u u u=x x

∂ ∂ ∆

(46)

El error de truncado es la diferencia entre la derivada real y el cociente de diferencias. Se obtiene mediante desarrollo en serie de Taylor alrededor del punto (i, j). Por ejemplo en el caso de la diferencia hacia adelante:

2 32 3

i+1, j i, j 2 3i, j i, j i, j

u u ux x= + x + + +...u u x 2 3!x x∂ ∆ ∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂ ∂

(47)

2 32

i+1, j i, j2 3

i, j i, j i, j

-u x u uu u x= - - + ...x x 2 3!x x

∂ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ∆ ∂ ∂

(48)

o en el caso de la diferencia centrada:

2 32 3

i+1, j i, j 2 3i, j i, j i, j

u u ux x= + x + + +...u u x 2 3!x x∂ ∆ ∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂ ∂

(49)

2 32 3

i-1, j i, j 2 3i, j i, j i, j

u u ux x= - x + - +...u u x 2 3!x x∂ ∆ ∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂ ∂

(50)

32

i+1, j i-1, j3

i, j i, j

-u uu u x= - +...x 2 x 6 x

∂ ∆ ∂ ∂ ∆ ∂

(51)

El orden de la discretización es la menor potencia del incremento (∆x en este caso) que aparece en el error de truncado. En la diferencia hacia delante es de primer orden:

x)O(=...+u2x-=E.T. xx ∆

∆ (52)

y en la diferencia centrada resulta de segundo orden:

)xO(=...+u6x-=E.T. 2

xxx2

∆∆ (53)


Una expresión puede ser de primer orden en un punto y de segundo en otro; así la expresión siguiente sería de primer orden para el punto (i, j) y de segundo orden para el punto (1+1/2, j):

) i+1, j i, jx i, j

-u u= + O( x)u x∆

∆ (54)

) i+1, j i, j 21x i+ , j2

-u u= + O( x )ux

∆∆

(55)

La discretización en un mallado no uniforme puede reducir el orden del error de truncado (ver figura 12).

∆x i ∆x i+1

i-1 i i+1

x

Figura 12.- Mallado no uniforme unidimensional.

) E.T.+

2x-xxu-u-

xu-u

=

2x-xxu-

xu

=ui1+i

i

1-ii

1+i

i1+i

i1+i

i1+ixx i ∆∆

∆∆∆∆

∂∂

∂∂

(56)

En general, el error de truncado se mantendrá de segundo orden si )xO(+x=x 2

i1+i ∆∆∆ (57) es decir, si los mallados son regulares. Otro aspecto que influye en el error de la discretización es la distorsión del mallado, es decir, que sus direcciones no sean ortogonales. Considérese el mallado de la figura 13.

θ

i j

i+1 j

i j-1

i j+1

i-1 j

x

yS

Figura 13.- Mallado bidimensional no ortogonal (direcciones “x” y “S”).


Supóngase que se desea evaluar las derivadas siguientes:

i, j i, j

u uyx y

∂ ∂∂ ∂

(58)

Entonces:

i, j+1 i, j-1

i, j

-u u u=y y

∂∂ ∆

(59)

i+1, j i-1, j

i, j

-u u u=S S

∂ ∂ ∆

(60)

Como, por otro lado, se puede deducir a partir de la figura 14 la relación:

θ∂∂

θ∂∂

∂∂ cos

y+sen

x=

S (61)

entonces, se deduce:

i+1, j i-1, j i, j+1 i, j-1

i, j

- -u 1u u u u= - cotgx S sen y

∂ θ∂ ∆ θ ∆ (62)

Se observa que cuando θ es pequeño la derivada respecto a x se convierte en la diferencia de dos términos de gran magnitud, reduciéndose la exactitud del cálculo. Así pues se tenderá a utilizar mallados lo más ortogonales posible para evitar estos errores. Otro aspecto a destacar de este método es que precisa la utilización de mallados cartesianos, aunque las ecuaciones diferenciales originales se pueden expresar en un sistema de coordenadas curvilineas arbitrario. 4.3.2.- Método de los volúmenes finitos. Considérese una ecuación genérica en derivadas parciales que proviene de una ley de conservación integral:

u + F = Qt

∂∇

∂ (63)

Integrando para un cierto volumen

Ω∀ΩΓΩ∂∂

∫∫∫ΩΩ∂Ω

,dQ=dF+dut

(64)

Por ejemplo, para la ecuación de continuidad se tiene:


0=Q;u=F;=u ρρ (65) La ley integral utiliza flujos en el contorno de Ω en la figura 14. Por tanto, esta formulación posee la siguiente propiedad:

1ABCt Ω

∂+ =

∂ ∫ ∫ (66)

2BDEt Ω

∂+ =

∂ ∫ ∫ (67)

3ADEt Ω

∂+ =

∂ ∫ ∫ (68)

Ω = Ω + Ω +Ω1 2 3

Ω1

Ω2

Ω3

A

B

C

E

Figura 14.- Dominio bidimensional Ω.

Sumando la contribución de los tres términos anteriormente descritos, los correspondientes a los flujos sobre los contornos internos se anulan, y se obtiene conservación global en Ω. Siempre que la discretización satisface esta propiedad se llama conservativa. Además, si se cometen errores en la evaluación de los flujos en fronteras interiores, la conservación global no se ve afectada. Ejemplo: Sea la ecuación:

q=x

f(u)+tu

∂∂

∂∂ (69)

la correspondiente formulación cuasi-lineal es

uf=a siendo q=

xua+

tu

∂∂

∂∂

∂∂ (70)

Considérese un mallado regular y una discretización centrada, como la de la figura 15.


∆x

i-1 i i+1

xi-3/2 i-1/2 i+1/2 i+3/2

Figura 15.- Discretización unidimensional centrada.

Se tienen las siguientes aproximaciones:

Punto i: q=x

ff+

tu

i21i

21+i

i

∆

−

∂∂ −

(71)

Punto i+1: q=x

ff+

tu

1+i21+i

23+i

1+i

∆

−

∂∂ (72)

Punto i-1: q=x

ff+

tu

1i23i

21i

1i−

−−−

∆

−

∂∂ (73)

Sumando las expresiones 71 a 73 y dividiendo y dividiendo por 3, se obtiene:

3

q+q+q=

x3

f-f+

3u+u+u

t1+ii1i2

3i23+i

1+ii1i −−

−

∆

∂∂ (74)

Esta expresión representa una discretización aplicada al elemento comprendido entre los puntos i-3/2 e i+3/2. Si se considera la formulación cuasi-lineal:

Punto i: q=x

u-ua+

tu

i21i

21+i

ii

∆∂∂ −

(75)

Punto i+1: q=x

u-ua+

tu

1+i21+i

23+i

1+i1+i

∆∂∂ (76)

Punto i-1: q=x

u-ua+

tu

1-i23i

21i

1-i1i

∆∂∂ −−

− (77)

Sumando, reordenando y llamando:2

a-a=a 2

1i21+i

i

−, se obtiene:

∂∂ −

3u + u + u

t1+ii1i +

2

a-a23-i

23+i

x3

u-u23i

23+i

∆

− -

−

3q + q + q 1+ii1i =


x3

u-u

2

a-a

x3

u-u

2

a-a23i

21+i

21i

23+i

21i

23+i

23i

21+i

∆+

∆=

+−−− (78)

Una discretización directa de la ecuación cuasi-lineal sobre el elemento comprendido entre i-3/2 y i+3/2 habría proporcionado la parte izquierda de la ecuación. Se aprecia que la discretización de la formulación no conservativa produce “términos extra”. Dichos términos se pueden considerar una discretización de segundo orden de un término proporcional a: 2

x x x xxxx [( - ])a u a u∆ (79) en el punto i. Para flujos continuos, estos términos son del mismo orden que el error de truncado, y pueden ser despreciados; pero pueden producir grandes errores cuando hay discontinuidades, como en el caso de existir ondas de choque. o0o

Las discretizaciones conservativas son la base del método de los volúmenes finitos. Este método constituye la técnica más comúnmente empleada en la discretización de las ecuaciones de constitución. Se desarrolló para resolver específicamente problemas de transferencia de calor y de mecánica de fluidos (Patankar, 1980). Parte del hecho de que las leyes básicas de la mecánica de fluidos son leyes de conservación y pueden ser expresadas en forma de balances macroscópicos de las distintas variables. En primer lugar se define una división del dominio en celdas que no se superpongan unas con otras. Normalmente se usan figuras geométricas sencillas, que constituyen el mallado del dominio a estudiar. A continuación se aplican los balances de los flujos de las distintas variables en los volúmenes construidos a partir del mallado definido. En general éstos no tienen porque coincidir con las celdas del mallado, pudiendo ser conjuntos de celdas o encontrarse desplazados con respecto a dichas celdas. Para cada uno de los volúmenes el balance de los flujos de una determinada variable proporciona información sobre el valor medio de dicha variable en el interior del mismo. Desde un punto de vista práctico, el método consiste en ir sustituyendo las integrales de la ecuación general de conservación por sumatorios sobre las caras del volumen, que indicarán la forma de variación de dicha variable para cada volumen elemental, llegándose a la expresión:

( )n

1

Variable (Flujos∆ = +∑ Términos fuente t∆

ϑ (80)

donde ϑ es el volumen de cada volumen, n es el número de las caras del volumen y los términos de flujo se evalúan en la dirección normal de cada cara.

Los valores de las distintas variables en las caras (superficies o lados) de los distintos volúmenes no son conocidos y se requiere algún tipo de interpolación numérica para su cálculo. La elección de los volúmenes, así como la de las interpolaciones, dan lugar a una gran variedad de métodos (Hirsch, 1988; Degrez, 1994).


El método de los volúmenes finitos constituye el método más flexible, bajo el punto de vista geométrico, para la discretización de las ecuaciones de gobierno. A continuación se exponen los distintos pasos (Versteeg, 1995) que este tipo de métodos emplea en la discretización de las ecuaciones de gobierno para flujo incompresible no estacionario: a) Discretización de los términos difusivos en la ecuación de la energía. Cuando se presenta un problema en el que no existen términos convectivos, debidos a la velocidad del flujo, la resolución de las ecuaciones es inmediata. Este paso es previo en la utilización de este tipo de métodos. b) Discretización de los problemas con términos convectivos y difusivos. El principal problema para la aplicación de este método consiste en la definición del valor de la variable considerada en la frontera del volumen de cálculo. Mientras que en el caso de los términos difusivos la influencia de las celdas próximas es idéntica (sin direcciones predominantes), los términos convectivos se ven afectados por el flujo (mayor influencia de las celdas aguas arriba que el de las situadas aguas abajo). El tipo de interpolación usada condiciona la estabilidad y convergencia del método. Se utilizan métodos centrados, métodos que consideran el predominio de las posiciones aguas arriba y métodos de orden superior (QUICK). c) En el caso de los flujos incompresibles hay que añadir un algoritmo adicional para poder obtener los campos de presión y velocidad. Este consiste en un proceso iterativo basado en la solución de los campos de presión y velocidad para un determinado instante, de forma que se asegure la verificación de la ecuación de continuidad. Normalmente se usan algoritmos del tipo SIMPLE (Patankar, 1980), MAC (Ikohagi, 1991) o PISO (recomendado para cálculos no estacionarios en mallados altamente distorsionados, Versteeg et al., 1995). Este esquema se puede aplicar también a flujos compresibles. d) Cuando el flujo considerado es no estacionario, se precisa una discretización temporal y la solución de las ecuaciones con una determinada precisión temporal condicionará la validez de la solución. Algunas técnicas utilizadas en la práctica se comentan en el apartado dedicado a las discretizaciones temporales. Siguiendo los pasos descritos se llega a la definición de un sistema de ecuaciones lineales, cuya solución definirá los valores de las distintas variables consideradas. Algunos ejemplos de aplicación de este tipo de técnicas pueden encontrarse en Jameson (1981), Walker (1990) o Rosenfeld (1991). A continuación se define mediante un ejemplo lo que se entiende por discretización conservativa para pasar después a exponer la técnica de volúmenes finitos. Las ventajas de este método son: - Aplicable a leyes de conservación - Admite dominios arbitrarios - La discretización es conservativa Existen dos formas de aplicar el método, dependiendo de donde se definen las variables: centrado en las celdas (“cell centered”) o centrado en los vértices (“cell vertex”).


1) Centrado en las celdas. Las variables son representativas del elemento. i) Se divide el dominio en volúmenes finitos Ωi con contornos ∂ Ωi (figura 16). Se deben cumplir las siguientes reglas básicas:

- La unión de todos los elementos debe cubrir el dominio completo - Cada contorno de cada volumen finito debe ser común a dos volúmenes - Las incógnitas se definen en el centro del volumen finito

ii) Se discretiza la ley de conservación integral para cada volumen.

u dΩ F d Q dΩt

i i i

+ =∂Ω Ω Ω

∂Γ

∂ ∫ ∫ ∫ (81)

Ωi

Figura 16.- Dominio discretizado para la resolución

según la técnica de volúmenes finitos. Discretizando:

ii ii

u F QΩ Ωt lados+ =∂

Γ∂ Σ (82)

El flujo a través de un contorno debe ser calculado mediante una fórmula independiente del volumen a que pertenezca (figura 17): ABAB AB= ( , )gfF (83)

2

g+g=g,

2f+f

=fji

ABji

AB (84)


O también:

2

u+ug=g,

2u+u

f=fji

ABji

AB (85)

Qyx=x)g-g(+y)f-f(+t

uyx jiADBCCDAB

ji ∆∆∆∆∂

∂∆∆ (86)

Ejemplo: Mallado rectangular de la figura 18, donde Ω = ∆x ∆y y F = f nX + g nY.

Ωi

Ωj

A

B

Figura 17.- Dominios adyacentes.

Figura 18.- Mallado bidimensional rectangular.

Como se cumple: fAB = fi + ½, j fCD = fi - ½, j gBC = gi, j +½ gAD = gi, j - ½ (87) fAB = fi + ½, j fCD = fi - ½, j Dividiendo por ∆x ∆y:


1 1 1 1i+ , j i- , j i, j+ i, j-i, j 2 2 2 2

i, j

-g g-f fu + + = Qt x y

∂∂ ∆ ∆

(88)

Es equivalente a una discretización en diferencias finitas de segundo orden. Si se elige como fórmula para calcular los flujos:

i, j i 1, j i, j i, j+11 1i+ , j i, j+2 2

+g g+f f= , =gf 2 2+ (89)

se obtiene:

i, j i+1, j i-1, j i, j+1 i, j-1i, j

-g g-u f f+ + = Qt 2 x 2 y

∂∂ ∆ ∆

(90)

o0o 2) Centrado en los vértices. Las variables se definen en los vértices del elemento (ver figura 19).

Figura 19.- Dominio discretizado con la técnica de nodos centrados en las celdas.

i) Se define un mallado como en el caso anterior. ii) Se definen los volúmenes finitos; existen dos posibilidades:

a) Construir un mallado dual conectando los centros de los elementos originales (volumen finito ABCDE alrededor del punto I). b) Considerar el contorno alrededor de un punto como volumen finito (volumen finito JKLMNOP alrededor del punto I). En este caso los volúmenes finitos se solapan pero cada contorno sólo pertenece a dos volúmenes finitos diferente. Esto hace que los flujos correspondientes se anulen al realizar el balance global.


4.3.3.- Método de los residuos. Se basa en una representación funcional de la solución numérica. Hasta ahora, en los otros dos métodos vistos, se hacía una representación discreta de la solución (conjunto de puntos). Aquí, en cambio, la solución se escribe como combinación lineal de varias funciones continuas denominadas base (vi), de forma que se cumplirá: ∑= ).x(vuu ii Al tratarse de un proceso numérico, la solución no será exacta sino que dará lugar a un residuo, cuya minimización por medio de funciones peso caracterizará el método (método Galerkin, método de colocación o método Petrov-Galerkin). La definición de la base de funciones sobre la que se construye la solución da lugar a dos tipos básicos de métodos: los de elementos finitos y de los métodos espectrales, que son descritos a continuación. - Residuos ponderados. Se basa en una representación funcional de la solución numérica, tal y como se muestra en la siguiente ecuación: u* = Σ ui vi (x) (91) esta función no satisface el problema diferencial D(u) = 0, sino que D(u*) = r* ≠0, donde r* es el residuo. Se trata de minimizar el residuo. - Método de los mínimos cuadrados. Se minimiza el cuadrado del residuo sobre el dominio, es decir: 2(r*) d es minimo

ϑϑ∫ (92)

Esta integral es función de n variables: los parámetros ui de la aproximación numérica. Por tanto, una condición para que exista un mínimo es que las derivadas con respecto a ui sean nulas, es decir:

i

r * r* d = 0uϑ

∂ϑ

∂∫ (93)

Esta expresión representa una suma ponderada de los residuos sobre el dominio ϑ siendo

el coeficiente de ponderación i

i u *r w

∂∂

= .

Existen variantes del método dependiendo de la elección de las funciones de ponderación wi y de las funciones base:

Supóngase que se han elegido las funciones base. Entonces las posibilidades son cuatro:

1) Si se eligen como funciones de ponderación a las funciones base: Método de Galerkin. 2) Si se eligen como funciones de ponderación distribuciones de Dirac, es decir, imponer que el residuo se anule en puntos concretos del dominio: método de colocación.


3) Si se impone que el valor medio del residuo se anule en sub-dominios concretos, utilizando pesos constantes sobre los sub-dominios: método de los sub-dominios. 4) Si se elige otro tipo de funciones: método de Petrov-Galerkin.

El método a utilizar depende del problema a resolver. El método de los mínimos cuadrados da lugar a un problema algebraico simétrico. La función de ponderación es compleja y las funciones base son de orden alto. El método de Galerkin da buenos resultados si el problema diferencial es equivalente a un problema de minimización. Si se trata de problemas convectivos, en cambio, presenta problemas de estabilidad. En cuanto a los métodos de los sub-dominios y de Petrov-Galerkin, son simples y menos exactos y requieren funciones de ponderación de alto orden. Respecto a las funciones base, cuantas más existan, la solución numérica se acercará más a la solución exacta. - Método de elementos finitos. Aplica a una representación funcional los conceptos del método de las diferencias finitas. Los parámetros de la representación son puntos que dividen el dominio en una serie de elementos. Las funciones base se definen como interpolaciones polinómicas restringidas a los elementos contiguos (normalmente triángulos o cuadriláteros en dos dimensiones). Las interpolaciones pueden resultar en aproximaciones lineales, cuadráticas o de orden superior. Normalmente, para las aplicaciones de Mecánica de Fluidos se recomienda que sean al menos cuadráticas para poder aproximar las derivadas segundas con cierta precisión. Un ejemplo de aplicación del método de elementos finitos se muestra en Combes (1991). Al igual que en el método de diferencias finitas, los parámetros de la representación son valores puntuales asociados a los nodos de un mallado. En este caso, los puntos se sitúan en curvas que subdividen el dominio en zonas no superpuestas. Además, a cada nodo se le asociará una función de interpolación polinómica entre elementos contiguos. Así, se consigue un sistema de ecuaciones algebraicas compactas que relacionan pocos valores puntuales. Los diferentes pasos del método son: i) Cubrir el dominio con un conjunto de elementos no superpuestos, normalmente

triángulos o cuadriláteros (ver figura 20). En cada nodo definirán los valores discretos de las funciones incógnitas; en cada elemento pueden definirse puntos o nodos tanto en el interior o en los lados (ver figura 21).


Figura 20.- Dominio preparado para la utilización de elementos finitos.

i

i

Figura 21.- Nodos de partida para elementos bidimensionales y unidimensionales.

ii) El segundo paso es construir unas funciones Ni(x) asociadas a cada nodo i: funciones de interpolación o funciones de forma. Con estas funciones se pretende reconstruir una aproximación continua de una función a partir de los valores discretos en los nodos.

En función del número de nodos considerados para la construcción de estas funciones de forma, éstas funciones de interpolación podrán tener diferente grado; así, para el caso unidimensional, las más utilizadas son las lineales (elementos con dos nodos en sus extremos), y las cuadráticas (elementos con dos nodos en los extremos y uno en el interior). El esquema general se resume en el siguiente esquema:

Dado Requerido

u1 en x1,y1 u (x) en un punto arbitrario que se aproxime a u(x) . de forma que u (xi)=ui . ui en xi,yi . . uN en xN,yN


La función requerida se define u (x) = ∑ uj Nj(x). Las funciones Nj(x) se definen con las siguientes restricciones:

1) Deben ser simples, para evitar una expresión compleja que implique muchos puntos (ver figura 23).

Así, en xj < x < xj+1 u (x) = uj Nj(x) + uj+1 Nj+1(x)

2) Se requiere que u (xi) = ui; por tanto u (xi) = Σ uj Nj(xi) = ui. Esto implica:

Ni(xi) = 1 Nj(xi) = 0 si i ≠ j, o sea Ni(xj) = δij

i

Νi (x)

x

4

x

1 2 3 5

Figura 22.- Dominio unidimensional con las funciones en cada nodo.

3) Se requiere que una función constante sea reconstruida exactamente; esto quiere decir que si uj = U0 = cte ∀ j, se debe verificar u (x) = U0 en todos los puntos. Esto implica:

u (x) = Σ uj Nj(x) = U0 Nj(x) = U0, o sea, Σ Nj(x) = 1 ∀x (94)

iii) El tercer paso es discretizar una formulación integral de la ecuación en derivadas parciales.


Ejemplo: Considérese la ecuación de Poisson en el dominio de la figura 23.

Ω

ΓΝ

u = u*

ΓD

gnu

=∂∂

Figura 23.- Dominio bidimensional para aplicación del método de los elementos finitos.

Donde la ecuación a resolver es ∆u = q (95) con las condiciones de contorno: u = u* en ΓD (96)

gn u

=∂∂ en ΓN (97)

Una formulación equivalente es la siguiente (aplicación del teorema de Green): wwqdV,=udVw ∀∆ ∫∫

ΩΩ (98)

Integrando el primer miembro por partes:

w,dqw=dnuw+duw- ∀ϑΓ

∂∂

∫ϑ∆∆ ∫∫ΩΩ

(99)

En el método de Galerkin, las funciones w elegidas son las funciones de forma Ni(x): y);(x,NαΣ=y)w(x, ji siendo αi coeficientes arbitrarios (100) Sustituyendo:

0- dV qN-dnu

N+duN ii

iii

ii

=

∫∫ΣΩΩ

Γ∂∂

∫ϑ∆∆α (101)

Como esta expresión es válida para todos los coeficientes αi, se tendrá:


0= d qN-dnu

N+duN- ii

iii

ϑΓ∂∂

∫ϑ∆∆ ∫∫ΩΩ

(102)

Se obtiene así una expresión para cada nodo. Ahora sustituyendo u a partir de las funciones de forma: Nu=uyNu=u jj

jjj

j∆ΣΣ ∆ (103)

se obtiene:

0= d qN-dnu

N+dNNu- ii

iiji

jj

ϑΓ∂∂

∫ϑ∆∆ ∫∫ΣΩΩ

(104)

Si “i” no pertenece al contorno: Ni = 0 a lo largo de G, y la integral de línea será nula.

Si “i” pertenece a GN: ϑ∂∂

∫Γ

d gNg;=nu

i , que es fácilmente evaluable.

Si “i” pertenece a GD: ui es conocido. En definitiva, se obtiene un sistema de ecuaciones en el que las incógnitas son los valores uj, es decir: ∑ =

jjijij Fku (105)

o0o - Métodos espectrales. Se trata de métodos basados en la descomposición de una función en series de Fourier (combinación de funciones seno y coseno que, en realidad, se pueden considerar como una base ortogonal de funciones). En particular las funciones senoidales sólo son aplicables a problemas con condiciones de contorno periódicas y normalmente se usan funciones polinómicas del tipo de Chebyshev o Legendre. Los métodos espectrales han demostrado su eficiencia en problemas unidimensionales, pero para problemas en dos o tres dimensiones su aplicación resulta muy complicada. Por otra parte, la gran precisión de los cálculos permite reducir mucho el número de puntos de la discretización y les hace apropiados en el tratamiento de fenómenos como la turbulencia. Así, estos métodos son los usados en los métodos de simulación directa de las ecuaciones de Navier-Stokes (Peyret et al., 1983).


4.3.4.- Comparación entre las técnicas de discretización.

Algunos aspectos relacionados con los métodos numéricos que pueden aparecer de forma común en las tres técnicas son:

- Obtención de un sistema de ecuaciones algebraicas para los valores de las variables en un número finito de puntos del dominio.

- Las condiciones iniciales para comenzar el cálculo de la solución. - Las condiciones de contorno del problema. - La forma explícita o implícita de las ecuaciones.

Las diferencias básicas entre las diferentes técnicas son: - Las diferencias finitas y los volúmenes finitos producen ecuaciones numéricas referidas a un punto pero dependientes de los valores de los puntos vecinos. Los elementos finitos producen ecuaciones para cada punto independientes entre sí, y solamente cuando se combinan los valores de los puntos interactúan entre ellos. - Los elementos finitos toman la derivada de las condiciones de contorno cuando las ecuaciones se forman aplicando los valores fijos de las variables a las matrices globales. Los otros dos métodos aplican fácilmente los valores fijos de las condiciones de contorno modificando las ecuaciones si se quiere introducir alguna derivada de una condición de contorno. - En el método de diferencias finitas se debe usar siempre un mallado regular y uniforme (gran inconveniente) aunque la cantidad de datos a almacenar relacionados con la conectividad del mallado es muy pequeña (gran ventaja). Estas dos características implican unos programas de resolución muy simples y rápidos. - En el método de los residuos, los elementos pueden no estar uniformemente distribuidos pero se necesita almacenar más datos siendo bueno para casos en los que intervengan geometrías complicadas, aunque tiene el inconveniente de que los programas son lentos y muy complejos. Una ventaja de estos métodos es que fueron orientados hacia las técnicas CFD y por lo tanto tiene una programación muy estructurada. - Para el caso de geometrías complejas, que además incluyan distintas partes con movimiento relativo unas respecto a otras, como es el caso de turbomáquinas radiales, el método de volúmenes finitos es prácticamente la única posibilidad con valor práctico, debido a la gran dificultad para solucionar el flujo en geometrías alejadas de cualquier división cartesiana por parte de los métodos de diferencias finitas y dada la gran complejidad en la programación de los métodos de los residuos. 4.4.- Discretización temporal. En los casos anteriores las aproximaciones se han realizado en los términos espaciales, pero no se ha mencionado el tratamiento posible de los términos temporales. En este punto conviene distinguir entre modelos estacionarios y modelos no estacionarios. En los modelos estacionarios, las derivadas temporales sólo se necesitan en resoluciones transitorias siendo nulas al llegar al régimen estacionario. Algunos métodos han incluido el término transitorio


para resolver las ecuaciones de un flujo estacionario comprobando que se ha llegado a la convergencia numérica cuando este término se vuelve nulo. Por su parte, en los métodos no estacionarios se debe resolver de forma exacta el sistema de ecuaciones para cada paso temporal. Para cada instante temporal, una vez discretizadas las ecuaciones de gobierno, el problema se reduce a un sistema de ecuaciones algebraicas que se puede resolver mediante una gran variedad de métodos. Una forma general de las ecuaciones, para una variable U genérica, es la siguiente: ( ),,UU,,U,U,UfU n

2in

1ini

n1i

n2i

1ni ++−−

+ = (106) donde el superíndice n indica la iteración o coordenada espacial. En forma matricial el conjunto completo de los puntos del mallado será: n1n AUU =+ (107) donde “A” es la matriz de los coeficientes derivados de la discretización. Los métodos de resolución dependen de las características de la matriz “A”. En particular, tal y como se ha mencionado, se distinguen dos tipos de algoritmos: los explícitos y los implícitos. En los primeros, la matriz “A” depende únicamente de los valores de las variables en el instante n, mientras que en los implícitos, la matriz “A” depende de las variables en los instantes n y n+1. Los métodos implícitos son más estables que los explícitos aunque el coste numérico en la resolución del sistema de ecuaciones es también mayor. A menudo es necesario introducir un factor de relajación dentro del procedimiento de iteración resolviendo, en este caso, la ecuación para un valor intermedio 1n

iU~ + (que se puede calcular como extrapolación lineal de los dos últimos valores temporales ya calculados), y luego relajando mediante el valor anterior n

iU con un factor λ, donde 0 < λ < 1, para obtener el nuevo valor: ( ) n

i1n

i1n

i U1U~U λ−+λ= ++ (108) Como ejemplo de discretización unidimensional, se puede aplicar este método a una ecuación sencilla como es la ecuación de difusión no estacionaria, que consta de una derivada temporal de primer orden y de una derivada espacial de segundo orden:

2

2

xU

tU

∂

∂α=

∂∂ (109)

Sea un dominio espacial uniforme con puntos separados una longitud constante ∆x. Una vez se haya definido el mallado, se discretiza la ecuación:

2

n1i

ni

n1i

ni

1ni

xUU2U

tUU

∆

+−α=

∆− +−

+ (110)

Usando un factor de relajación λ, se llega a la expresión:


( )

∆

+−λ−α+

∆

+−λα=

∆− +−

++

++−

+

2

n1i

ni

n1i

2

1n1i

1ni

1n1i

ni

1ni

xUU2U1

xU~U~2U~

tUU

(111)

En esta nueva ecuación se observa que hay una relación entre la velocidad en la iteración n+1 y la velocidad en la iteración n, pudiendo cambiar los nodos que deben ser consultados, lo que da lugar a dos tipos de esquemas:

ii-1 i+1

n n +1 n

n +1 n +1 n +1

ii-1 i+1

Figura 24.- Diferencias entre esquemas explícitos (izquierda) e implícitos (derecha).

i) En el esquema explícito (figura 24) se deben resolver todas las ecuaciones para

conocer todas las variables. Las ecuaciones explícitas necesitan pasos temporales muy pequeños de tiempo t∆ . En este caso se ha de verificar la

relación 2/1x/t 2 ≤∆∆ para asegurar la estabilidad. ii) En cambio, las ecuaciones implícitas no tienen este problema si se toma como

factor de relajación 1/2 (conocido como esquema de Crank-Nicholson, ver apartado siguiente).

Una clasificación más detallada de las distintas posibilidades puede verse en Hirsch (1988, volumen I). 4.5.- Tipos de aproximación numérica utilizadas en la práctica. Aunque hasta ahora ya se han mencionado distintas discretizaciones y más adelante en los ejemplos prácticos se profundizará en algunas otras, conviene presentar aquí las aproximaciones numéricas que se utilizan en la práctica con el fin de permitir una visión global de las mismas. Se parte de una ecuación diferencial con una única variable dependiente (la extensión a dos o tres dimensiones es inmediata) en la forma:

( )d d d φρ u φ =d x d x d x

Γ

(112)

donde φ es una función dada y σ un parámetro conocido.

Si ahora se llama F al producto ρ u y D al cociente x

Γ∆

, se tienen las siguientes

opciones para un mallado unidimensional, similar al mostrado en la figura 25:


∆x

ii-1 i+1

Figura 25.- Mallado unidimensional para discretizar la ecuación 129.

Discretización central. Si se utiliza una discretización central, se llega a una fórmula del tipo:

( ) ( )i i 1 i 1 ii 1 i 1 i 1 i 1 i i 1 i i 1F F D D

2 2+ −

+ − + + − −

φ + φ φ + φ − = φ − φ + φ − φ

(113)

Discretización aguas arriba (“upwind”). Para este tipo de discretización, se utiliza una fórmula del tipo: ( ) ( )i 1 i i 1 i 1 i 1 i 1 i i 1 i i 1F F D D+ − − + + − −φ − φ = φ − φ + φ − φ (114) cuando uW > 0 y uE > 0, mientras que adopta la forma: ( ) ( )i 1 i 1 i 1 i i 1 i 1 i i 1 i i 1F F D D+ + − + + − −φ − φ = φ − φ + φ − φ (115) cuando uW < 0 y uE < 0. El mayor problema de esta discretización es el de su precisión cuando existan importantes componentes de la velocidad en una dirección que no coincida con las líneas del mallado. El esquema aguas arriba produce entonces un “masajeado” artificial de las variaciones de las variables. El error resultante presenta la apariencia de una difusión y, por tanto, normalmente se le conoce como “falsa difusión”. Discretización híbrida. Se trata de una discretización que intenta solventar el problema de la discretización aguas

arriba utilizando ésta cuando el cociente FD

es mayor de 2 y una discretización central si FD

< 2.


Discretización según una ley polinómica. Desarrollada por Patankar en 1980. Constituye una metodología más precisa que la

híbrida. No se crea falsa difusión si el cociente FD

es superior a 10. En realidad sus propiedades

son muy similares a las del algoritmo híbrido. Discretización QUICK. Se trata de una discretización de segundo orden que emplea una interpolación cuadrática de tres puntos “aguas arriba” y ponderada para los valores de las funciones en las caras de cada celda. En particular, la fórmula utilizada es:

i i 1 i i 26 3 18 8 8− −φ = φ + φ − φ (116)

Tiene precisión de tercer orden para mallados uniformes y se trata de un algoritmo estable solo condicionalmente. Es decir, pueden aparecer problemas de pequeñas oscilaciones en la evolución de la solución. En cuanto a las técnicas para la evolución en el tiempo, es decir, técnicas explícitas o implícitas (a veces aparece también el término pseudo-implícitas para describir una situación intermedia), se puede hablar también distintos métodos generales. Para una ecuación diferencial genérica donde la única variable sea la evolución temporal (variable “t”), es decir, del tipo:

)t,U(HQUStdUd

=+= (117)

donde S, Q y, por tanto, H son funciones conocidas y U es la variable dependiente. Las discretizaciones o métodos más utilizados son los siguientes: diferenciación hacia atrás, Euler hacia atrás, trapezoidal de un paso y Euler explícito. De una forma genérica, las discretizaciones temporales se pueden expresar en función de tres coeficientes base ξ, θ y ϕ para un instante “n” conocido, según la expresión: ( ) ( ) ( )[ ]1n2nn1n2n H1HtUU21U1 ++++ θ−ϕ−+θ∆=ξ+ξ+−ξ+ (118) Si se desea tener precisión de segundo orden en este tipo de discretizaciones, se debe cumplir la relación específica:

21

+θ−ξ=ϕ (119)

A continuación se plantean las discretizaciones utilizadas según los distintos métodos mencionados.


Método hacia atrás (“backward”). Utiliza los valores ξ = 1/2, θ = 1 y ϕ = 0. Es decir, se cumple la ecuación 119. Su esquema general es, por lo tanto:

[ ]2nn1n2n HtU21U2U

23 +++ ∆=+− (120)

Método Euler hacia atrás (“backward Euler”). En este caso, ξ = 0, θ = 1 y ϕ = 0. Es decir, no se cumple la ecuación 119. Su esquema general resulta con precisión de primer orden y es: ( ) [ ]2n1n2n HtUU +++ ∆=− (121) Método trapezoidal de un solo paso (también llamado de Crank-Nicolson). En este caso, ξ = 0, θ = 1/2 y ϕ = 0. Es decir, se cumple la ecuación 119 y es un esquema con precisión de segundo orden. Su esquema general es:

( ) [ ]n1nn1n HH2tUU +

∆=− ++ (122)

Método Euler explícito. En este caso, ξ = 0, θ = 0 y ϕ = 0. Es decir, no se cumple la ecuación 119. Su esquema general resulta con precisión de primer orden y es: ( ) [ ]nn1n HtUU ∆=−+ (123) Ejemplo. Si se parte de la ecuación parabólica de difusión en dos dimensiones, es decir:

∂

∂+

∂

∂α=

∂∂

2

2

2

2

yu

xu

tu (124)

Si se discretiza en un mallado regular con ∆x = ∆y y utilizando un método centrado de segundo orden, para el término espacial, se llega a:

( )i, ji 1, j i, j 1 i 1, j i, j 1 i, j2

uu u u u 4u

t x + + − −

∂ α= + + + −

∂ ∆ (125)


Ahora si se considera el método Euler hacia atrás para la discretización de la derivada temporal, se obtiene:

( )n 1 n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1i, j i, j i 1, j i, j 1 i 1, j i, j 1 i, j2

tu u u u u u 4ux

+ + + + + ++ + − −

α ∆= + + + + −

∆ (126)

Es decir, aparece un sistema penta-diagonal de ecuaciones lineales para cada nodo. Si fuera en coordenadas generalizadas (no ortogonales) sería un sistema con más de 5 elementos en la diagonal. o0o

En realidad, si se aplica cualquiera de los métodos de evolución temporal y se distingue entre las direcciones “x” e “y” (y si existe “z”) aparece un sistema tri-diagonal en cada una de las direcciones, que se debe resolver por alguno de los métodos siguientes:

• Métodos predictor-corrector. • Linealización local. • Métodos implícitos (ADI). • Métodos Runge-Kutta.

4.6.- Resolución numérica de problemas sencillos. En este apartado se describen varias soluciones unidimensionales y bidimensionales de cálculos realizados en problemas tipo, tales como la transmisión de calor en barras o el flujo en conductos. 4.6.1.- Transferencia de calor en una barra alargada. Sea un problema de transferencia de calor, en el que se requiere hallar la distribución de temperatura en una barra de sección transversal rectangular y longitud mucho mayor que cualquier dimensión transversal, en la que se conocen las temperaturas en los dos extremos. El problema es unidimensional y la ecuación a resolver mediante el método de las diferencias finitas es:

0x

T 2

2=

∂

∂ (127)

Para resolver el problema, la ecuación debe ser complementada con un conjunto de condiciones de contorno. Supóngase que se conoce una solución y que se introduce una perturbación en un punto determinado (p.e. un foco de calor). Parece evidente que esa perturbación va a ser percibida en todos los demás puntos de la barra. Por tanto, las temperaturas en todos los puntos del dominio están relacionados entre sí y con las condiciones de contorno. Habrá que especificar la temperatura (o el flujo de calor) en todos los puntos del contorno para determinar la solución. Se trata de un problema de contorno. El ejemplo que se resolverá se muestra en la figura 26.


Figura 26.- Geometría de la barra unidimensional (21L >> L).

Se lleva a cabo una discretización espacial considerando la barra como sólido

unidimensional (tal y como se muestra en la figura 27).

Figura 27.- Discretización para el problema unidireccional de transmisión de calor.

Se toma como ejemplo práctico un caso con ∆x = 5 m y barra de aluminio (conductividad térmica k = 202.4 W/(mK)). Para el nodo i-ésimo se tendrá, utilizando una diferencia centrada para discretizar la ecuación:

i+1 i i-1T 2T + T = 02 ∆x

− (128)

Ecuación que puede ser expresada en forma matricial:

=

−−−−

−−

2120

32

1

2120

32

1

2120

21

bb

bbb

TT

TTT

·

aa01210

01210

00

00

...01210012100aa

(129)


donde b2 = b3 = b4 = ... = b20 = 0 y los valores de a1, a2, a20, a21, b1 y b21 se deducen de las condiciones de contorno (temperaturas en los extremos de la barra). Para los dos extremos se puede tomar una aproximación lineal o de segundo orden no centrada (similar a la de la ecuación 128). Si se toma la aproximación lineal, se tiene (ver figura 28):

2 1 1 AT T T Tk kx x / 2

− −= ∆ ∆

(130)

Figura 28.- Detalle de la discretización en la zona inicial de la barra.

de donde se deduce: 0TT3T2 21A =+− (131) De forma paralela, se tendrá: 0TT3T2 2021B =+− (132) Por lo que el sistema de ecuaciones completo será:

=

−−−

−−

−−

−

B

A

21

20

3

2

1

T200

00T2

TT

TTT

·

3101210

01210

00

00

...0121001210013

(133)

Conocidas las temperaturas en los extremos de la barra, se puede resolver el sistema de ecuaciones lineales descrito. En este caso, se obtiene una distribución lineal de temperatura


entre A y B (independiente del material). Sean, por ejemplo, TA = 300 K y TB = 400 K, se obtiene:

=

24.39548.390

90.31114.30738.302

TT

TTT

2120

32

1

(134)

Esta distribución se representa gráficamente en la figura 29.

300

350

400

450

500

0 20 40 60 80 100 120

x [m]

T [K]

Figura 29.- Distribución de temperatura para la conducción unidimensional.

Si ahora, en vez de conocer TA y la temperatura en los dos extremos, se conoce una temperatura y un flujo de calor, qB por ejemplo, la ecuación a resolver es la siguiente:

B2

2q

xTk =

∂

∂ . Dicha ecuación discretizada en el extremo B da lugar a:

B 21B

T Tk qx / 2

−= ∆

(135)

es decir:

xk

qTT B21B ∆−= (136)


que introduciéndolo en la expresión de la ecuación para el último punto, da lugar al término:

B21B

21B2120 q00494.0T2xk

qT2T2T3T −=

∆−==+− (137)

Si qB = 250 W/m2, se tendrá: 23.1TT 2120 −=+− (138) Ahora se puede plantear de nuevo el sistema completo

1

2

3

20

21

T 6003 1 0 0

T 01 2 1 0

T 00 1 2 1 0

0 ... 0·

0 00 1 2 1 0

00 1 2 1

T 00 1 1

1.23T

−

− − = − − − − − −

(139)

que resuelto proporciona la solución mostrada en la figura 30. Se obtiene de nuevo una solución lineal, pero con un mayor gradiente de temperaturas (TB = 430 K).

300

350

400

450

500

0 20 40 60 80 100 120

x [m]

T [K]

Figura 30.- Distribución de temperatura para barra unidimensional

con flujo de calor en uno de sus extremos. Si existieran fuentes puntuales de calor, se pueden repetir los dos casos anteriores (temperatura en los dos extremo o temperatura en un extremo y condición de flujo de calor en el otro). La ecuación diferencial, para este nuevo problema, sería:


Tk S 0x x

∂ ∂ + = ∂ ∂ (140)

expresión en la que los coeficientes “S” serían los posibles valores de fuentes puntuales (términos independientes de las matrices).

En concreto, se introduce una fuente puntual de calor en el nodo 11. Las ecuaciones para ambos casos no cambiarían y únicamente habría que introducir un valor distinto de 0 en el término independiente de la ecuación correspondiente al tramo número 11. Por ejemplo, para el caso de conocer las temperaturas en los dos extremos, se tendrá:

=

−−−

−−

−−

−

B

11

A

2120

32

1

T200

b

00T2

TT

TTT

·

3101210

01210

00

00

...0121001210013

(141)

Si se particulariza para una fuente calorífica de valor S = 150 W/m3, el término independiente de la ecuación será:

( ) ( )211

∆x 5 mb = S∆x = 750 W/m = 18.53 Kk 202.4 W/(mK)

(142)

con lo que el sistema a resolver es:

1 A

2

3

20

B21

T 2T3 -1 0 0

T 0-1 2 1 0

T 00 -1 2 1 0

0 ... 0· = 18.53

0 00 -1 2 -1 0

00 -1 2 -1

T 00 -1 3

2TT

(143)

Resolviendo para TA = 300 K y TB = 400 K, se obtiene la gráfica de evolución de la

temperatura de la figura 31.


Y 120100806040200

4.60e+02

4.40e+02

4.20e+02

4.00e+02

3.80e+02

3.60e+02

3.40e+02

3.20e+02

3.00e+02

T [K]

x [m]

Figura 31.- Evolución de la temperatura en una barra con fuente de calor puntual.

Esta distribución se puede mostrar también en forma de campo de temperatura a lo largo de la barra (figura 32), en la que se representa por medio de escala graduada la temperatura en la barra (escala de 300 K a 450 K).

4.50e+02

4.35e+02

4.20e+02

4.05e+02

3.90e+02

3.75e+02

3.60e+02

3.45e+02

3.30e+02

3.15e+02

3.00e+02Z

Y

X

Figura 32.- Campo de temperaturas en una barra unidimensional con fuente puntual de calor.

De forma totalmente paralela, el sistema para el caso de tener un flujo calorífico de 150 W/m2 en el extremo B, resulta ser:


−

=

−−−

−−

−−

−

23.100

53.18

00T2

TT

TTT

·

1101210

01210

00

00

...0121001210013 A

21

20

3

2

1

(144)

que para TA = 300 K, da lugar a la distribución de temperaturas mostrada en la figura 33, ahora con la escala de 300 K a 650 K.

6.50e+02

6.15e+02

5.80e+02

5.45e+02

5.10e+02

4.75e+02

4.40e+02

4.05e+02

3.70e+02

3.35e+02

3.00e+02Z

Y

X

Figura 33.- Distribución de temperatura con flujo de calor en un extremo. Si existieran fuentes de calor no puntuales, no ocurriría como el caso anterior en el que sólo se altera la linealidad en un solo punto. Al introducir fuentes en más de un punto, la distribución de temperaturas deja de ser lineal. Para los dos casos estudiados, se tendrán ecuaciones distintas. Si, por ejemplo, se introducen fuentes puntuales en las 10 primeras celdas, se cambiarían esos diez primeros coeficientes del término independiente (b1 a b10). De éstos, es distinto el correspondiente al primer término, que se calcula según la figura 28, siguiendo la expresión:

A 1 1 21

T T T Tk k q x 0x / 2 x

− −− + ∆ = ∆ ∆

(145)

es decir:


( ) ( ) 0xqTTx

kT2T2x

k1211A =∆+−

∆−−

∆ (146)

O, lo que es lo mismo:

1211211 bTx

kTx

k2xqTx

kTx

k2Tx

k3 +∆

+∆

=∆+∆

+∆

=∆

(147)

Para el resto, se tiene, si se toma S1 = S2 =... = S10 = 150 W/m3:

( ) ( )21 2 3 10

∆x 5 mb = b = b = ... = b = S∆x = 750 W/m = 18.53 Kk 202.4 W/(mK)

(148)

En el caso de que las temperaturas sean TA = 300 K y TB = 400 K, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones, cuya solución se muestra gráficamente en la figura 34:

+

=

−−−

−−

−−

−

B

A

21

20

3

2

1

T20...053.18

...53.1853.18

53.18T2

TT

TTT

·

3101210

01210

00

00

...0121001210013

(149)

Y 120100806040200

9.00e+02

8.00e+02

7.00e+02

6.00e+02

5.00e+02

4.00e+02

3.00e+02

x [m]

T [K]

Figura 34.- Evolución de la temperatura en una barra con fuente de calor puntual.

Esta distribución se puede mostrar también en forma de campo de temperatura a lo largo de la barra (figura 35), en la que se representa por medio de escala graduada la temperatura en la barra (escala de 300 K a 900 K).


9.00e+02

8.40e+02

7.80e+02

7.20e+02

6.60e+02

6.00e+02

5.40e+02

4.80e+02

4.20e+02

3.60e+02

3.00e+02Z

Y

X

Figura 35.- Campo de temperatura en una barra unidimensional con fuentes no puntuales de calor.

En el caso que la temperatura sea TA = 300 K y el flujo de calor en B de 250 W/m2, el sistema a resolver es:

−

+

=

−−−

−−

−−

−

23.10...053.18

...53.1853.18

53.18T2

TT

TTT

·

1101210

01210

00

00

...0121001210013 A

21

20

3

2

1

(150)

La solución se muestra en forma de campo de temperatura a lo largo de la barra (figura 36), en la que se representa por medio de escala graduada la temperatura en la barra (en este caso, escala de 300 K a 1300 K). Al igual que en ejemplos anteriores, también se puede representar en gráfica unidimensional (figura 37).


1.30e+03

1.20e+03

1.10e+03

1.00e+03

9.00e+02

8.00e+02

7.00e+02

6.00e+02

5.00e+02

4.00e+02

3.00e+02Z

Y

X

Figura 36.- Campo de temperatura en una barra unidimensional

con fuentes no puntuales de calor y flujo calorífico en un extremo.

Y 120100806040200

1.30e+03

1.20e+03

1.10e+03

1.00e+03

9.00e+02

8.00e+02

7.00e+02

6.00e+02

5.00e+02

4.00e+02

3.00e+02

T [K]

x [m]

Figura 37.- Evolución de la temperatura en una barra unidimensional

con fuentes no puntuales de calor y flujo calorífico en un extremo. 4.6.2.- Transferencia de calor en una placa plana bidimensional. En este caso, la ecuación a resolver es la de conducción de calor bidimensional en una placa plana, es decir:

0y T

xT

2

2

2

2=

∂

∂+

∂

∂ (151)

sobre la geometría de la figura 38 (se ha tomado una geometría rectangular con la base el doble de la altura).


Figura 38.- Placa plana rectangular con relación de lados 0.5.

Para el caso más elemental (sin fuentes de calor puntuales), haciendo un balance de los flujos que intervienen, se llega a:

( ) ( )i, j i 1, j i 1, j i, j

i 1, j i 1, j i 1, j i 1, ji, j i 1, j i 1, j i, j

T T T T k k

x x x x− +

− − + +− +

− − ∆ − ∆ +

− −

( ) ( )i, j i, j 1 i, j 1 i, ji, j 1 i, j 1 i, j 1 i, j 1

i, j i, j 1 i, j 1 i, j

T T T T k k 0

y y y y− +

− − + +− +

− − + ∆ − ∆ =

− − (152)

donde los puntos (i-1, j), (i, j+1), (i, j-1) y (i+1, j) son los correspondientes a la nomenclatura de la figura 39.

Figura 39.- Celda unitaria para la discretización bidimensional de un dominio.


Si k es constante y se toma un mallado uniforme, es decir: ∆i-1, j = ∆i+1, j = ∆i, j-1 = ∆i, j+1 = ∆x = ∆y = ∆, se obtiene: i, j i 1, j i 1, j i, j 1 i, j 1k 4T T T T T 0+ − + − − − − − = (153) de donde: i, j i 1, j i 1, j i, j 1 i, j 14 T T T T T+ − + − = + + + (154) Fórmula que generalizada para cualquier punto “i, j”, proporciona la expresión:

[ ]1ji1jij1ij1iji TTTT41T +−+− +++= (155)

Como condición de contorno, se impondrá la temperatura en los laterales de la placa plana. En particular se supondrá que la temperatura es uniforme en todo el contorno excepto en una zona central situada en la base de la placa, tal y como se muestra en la figura 40.

Figura 40.- Condición de contorno para el problema de la conducción en una placa plana.

En concreto, se resuelve el problema para obtener la distribución de temperaturas en una placa de (6×3 m2, es decir, L = 3 m) y considerando una discretización de 24×12 celdas. Se impone una zona central formada por 8 celdas (2 m) en la base con una mayor temperatura que el resto. Las condiciones de contorno elegidas son:


16...8iparaK800T

24...17ie7...0iparaK300T

jK300T

iK300T

jK300T

0i

0i

j24

12i

j0

==

===

∀=

∀=

∀=

(156)

Se ha resuelto el problema por dos procedimientos distintos: resolución directa del sistema de ecuaciones lineales y utilizando un código numérico comercial. Las dos soluciones obtenidas para este problema se muestra en las figuras 41 y 42 para distintas posiciones “i”. En la figura 41 se muestra la solución directa del sistema lineal de ecuaciones.

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

y=2.75

y=2.5 m

Y=2.25 m

Y=2 m

y=1.75 m

y=1.5 m

y=1.25 m

y=1 m

y=0.75 m

y=0.5 m

y=0.25 m

Figura 41.- Conducción de calor en una placa plana. Distribución de temperaturas.

En la figura 42 se muestra la solución obtenida mediante un código numérico

comercial. Además, con este código se puede obtener una distribución bidimensional del campo de temperaturas en la placa. Para las condiciones de contorno de la ecuación 156, se obtiene el resultado mostrado en la figura 43.

T [K]

Posiciones “i”


Figura 42.- Conducción de calor en una placa plana. Distribución de temperaturas.

Figura 43.- Campo de temperaturas en el problema de conducción en placa plana.

Para la solución obtenida mediante el código numérico se obtiene (comparar figuras 41 y 42) una distribución con un mayor gradiente de temperaturas en la zona de calentamiento en la base, debido a que en este caso en la discretización espacial se han utilizado más celdas. Una segunda condición de contorno probada es la de imponer un flujo de calor en las paredes verticales y en la pared superior. En concreto se elige la condición de flujo nulo, que equivale a un aislamiento externo adiabático. Para esta nueva condición, una vez discretizado y considerando la ecuación que resultaría para la pared derecha (lado “i-1” en la figura 39), se obtiene:

i 1, j i, j 1i, j

T T2T3 2 2

− − = +

(157)

T [K]

x [m]


Impuesta esta nueva relación en el sistema a resolver, se llega a la distribución de temperaturas mostrada en la figura 44.

300350400450500550600650700750800

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

y=2.75

y=2.5 m

Y=2.25 m

Y=2 m

y=1.75 m

y=1.5 m

y=1.25 m

y=1 m

y=0.75 m

y=0.5 m

y=0.25 m

Figura 44.- Conducción de calor en una placa plana con

flujo neto nulo en tres paredes. Distribución de temperaturas.

Los resultados que se obtienen con el código numérico se muestran (ver figura 45) en forma similares distribuciones a las mostradas en la figura 44 y en forma de campo de temperaturas en la figura 46.

Figura 45.- Conducción de calor en una placa plana con flujo neto nulo en las paredes.

Distribución de temperaturas obtenida utilizando el código numérico.

T [K]

Posiciones “i”

T [K]

x [m]


Figura 46.- Campo de temperaturas en una placa plana

con condiciones de flujo nulo en tres caras. La solución a partir del sistema de ecuaciones se ha implementado en una hoja de cálculo en forma de algoritmo que resuelve el caso de la transmisión de calor en una placa bidimensional tanto imponiendo condiciones de temperatura, como imponiendo condiciones de flujo de calor. En la figura 47 se muestra la salida que proporciona dicho algoritmo en el último caso.

12 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300

11 300 302 304 306 309 311 313 315 317 319 321 322 322 322 321 319 317 315 313 311 309 306 304 302 300

10 300 304 308 312 317 322 326 331 335 339 342 344 344 344 342 339 335 331 326 322 317 312 308 304 300

9 300 306 312 318 325 332 340 347 354 360 364 367 368 367 364 360 354 347 340 332 325 318 312 306 300

8 300 308 316 324 333 343 353 363 373 381 388 392 393 392 388 381 373 363 353 343 333 324 316 308 300

7 300 309 319 329 341 353 366 380 394 405 414 420 422 420 414 405 394 380 366 353 341 329 319 309 300

6 300 310 321 333 347 362 379 398 416 432 444 451 454 451 444 432 416 398 379 362 347 333 321 310 300

5 300 311 322 336 351 370 391 415 440 462 478 488 491 488 478 462 440 415 391 370 351 336 322 311 300

4 300 311 322 336 352 374 401 433 467 497 519 531 535 531 519 497 467 433 401 374 352 336 322 311 300

3 300 309 320 333 349 372 405 448 499 541 568 583 588 583 568 541 499 448 405 372 349 333 320 309 300

2 300 307 315 325 340 362 397 455 542 598 629 645 650 645 629 598 542 455 397 362 340 325 315 307 300

1 300 304 308 314 323 338 367 434 614 680 707 718 722 718 707 680 614 434 367 338 323 314 308 304 300

0 300 300 300 300 300 300 300 300 800 800 800 800 800 800 800 800 800 300 300 300 300 300 300 300 300

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Figura 47.- Solución del sistema de ecuaciones en una discretización 23×11.


4.6.3.- Flujo entre placas planas. Se trata aquí de resolver el problema del flujo de un fluido entre dos placas planas, siendo la separación entre ambas mucho menor que la longitud de los lados de dichas placas (figura 48).

y

xh

L Figura 48.- Geometría para el problema del flujo entre placas planas paralelas.

Se parte de las ecuaciones de Navier-Stokes (ecuación 2) y se introducen las siguientes

hipótesis simplificativas:

i) Flujo incompresible: 0u· =∇ .

ii) Flujo estacionario, variaciones temporales nulas.

iii) Movimiento bidimensional (separación entre placas mucho menor que longitud de las mismas, h << L):

2 n

2 n... 0x x x

∂ ∂ ∂= = = =

∂ ∂ ∂ (158)

iv) Flujo unidireccional:

iukwjviuu =++= (159)

v) Fuerzas volumétricas nulas, a excepción de la gravedad que se supone que actúa en la dirección “y” negativa.

vi) Flujo laminar.

Con lo que se llega a:

gyp

yu

xp

2

2

ρ−=∂∂

∂

∂µ=

∂∂

(160)

Si además el efecto de la gravedad es despreciable, se llega a:


2

2

yu

xp

∂

∂µ=

∂∂ (161)

A) Si no existe gradiente de presión, se tiene un movimiento denominado flujo de

Couette, en el que la placa superior se mueve con velocidad U y para el que se obtiene:

0yu2

2=

∂

∂ (162)

Es decir: 21 cyc)y(u += (163) que con las condiciones de contorno:

U)y(uhy0)y(u0y

=→==→=

(164)

Conduce a la ecuación de un perfil lineal de velocidades (figura 49):

yhU)y(u = (165)

y

xh

L

U

Figura 49.- Perfil lineal de velocidades entre dos placas.

B) En el caso de que exista un gradiente de presión en la dirección x, p* = ∆p/L, que habitualmente se denomina gradiente de presión reducido (porque puede ser considerado como un gradiente que incluya también los efectos de la gravedad), se obtiene:

0yu*p 2

2=

∂

∂µ+− (166)

Si ahora se imponen las condiciones de contorno de velocidad nula de las dos placas, se tiene:

0)y(uhy0)y(u0y

=→==→=

(167)


expresión que da lugar a un perfil parabólico (ver figura 50), habitualmente denominado flujo de Poiseuille:

[ ]yhy2

*p)y(u 2 −µ

= (168)

y

xh

L

UMÁX

Figura 50.- Perfil parabólico de velocidades entre dos placas.

C) Si se tiene la superposición de los dos casos anteriores, se obtiene:

[ ]yhy2

*pyhU)y(u 2 −

µ+= (169)

ecuación en la que el efecto de p* puede ser el mismo (p* > 0 o bien en la figura 51) o contrario (p* < 0 o bien en la figura 52) que el movimiento de la placa.

y

xh

L

UU

+ =

Figura 51.- Perfil parabólico más perfil lineal para el flujo entre dos placas con p* > 0.

y

xh

L

UU

+ =

Figura 52.- Perfil parabólico más perfil lineal para el flujo entre dos placas con p* < 0.


Se puede obtener el caudal circulante integrando la velocidad entre las dos placas:

3h

0

Q U h p* hq = = u(y) dy = -b 2 12 µ∫ (170)

que se anula (q = 0) para la condición de p* negativo e igual a:

2hU6*p µ

−= (171)

A continuación, se particulariza para la geometría mostrada en la figura 53 (h = 0.005

m y L = 5 m) con ancho b constante (perpendicular al plano de dicha figura) y para un fluido con las propiedades siguientes: 3 6889.2 kg / m y 1·10 Pa s−ρ = µ = .

5 metros

5 mm

Figura 53.- Solución numérica particular para el flujo entre placas paralelas.

Además de haber obtenido las expresiones teóricas exactas, se puede resolver el flujo

utilizando un método numérico (código comercial Fluent). Para el caso de flujo de Couette y velocidad uniforme de 5 m/s y se obtiene el resultado mostrado en la figura 54.

Figura 54.- Flujo con perfil lineal entre dos placas planas.

Para el caso de flujo de Pouseuille con ∆p = 8.5 MPa (p* = ∆p/L = 1.7 MPa/m), se

obtiene el perfil parabólico de la figura 55. Se ha escogido este valor porque según la ecuación 168 produce una velocidad máxima de 5 m/s.


Figura 55.- Flujo parabólico entre dos placas planas paralelas.

Si se resuelve la situación mostrada en la figura 51, es decir, gradiente de presión

superpuesto al perfil lineal y produciendo flujo el mismo sentido, se obtiene la solución mostrada en la figura 56. Resolviendo la ecuación 169 se obtiene una velocidad máxima de 7.82 m/s, que es prácticamente la misma que la que proporciona el método numérico.

Figura 56.- Perfil parabólico superpuesto al lineal con efectos en el mismo sentido.

En la figura 57 se muestra la distribución de velocidad para las distintas alturas y entre las placas (0 < y < 0.005 m), observándose claramente la posición y valor del máximo.


Figura 57.- Distribución de velocidad entre las dos

placas planas con superposición de efectos.

Si, por el contrario, el efecto del gradiente de presión es opuesto al del movimiento de la placa superior (ecuación 169 con p* < 0), se obtiene el resultado de la figura 58. Se utilizan los mismos valores numéricos: velocidad uniforme de 5 m/s y ∆p = 8.5 MPa.

Figura 58.- Perfil parabólico superpuesto al lineal con efectos en sentido opuesto.

En la figura 59 se muestra la evolución de la velocidad para una posición “x” dada en función de la altura.

u (y) [m/s]

y [m]


Figura 59.- Distribución de velocidad entre las dos

placas planas con superposición de efectos opuestos.

Se puede resolver este caso para la condición de caudal nulo (Q = 0), en cuyo caso el gradiente de presión reducida ha de ser:

2

6 Up* 1.272 MPahµ

= − = (172)

Imponiendo un ∆p = 6.36 MPa, se obtiene la distribución de velocidad y el perfil en una posición “x” mostrados en las figuras 60 y 61.

Figura 60.- Distribución de velocidad para el caso de Q = 0.

u (y) [m/s]

y [m]


Figura 61.- Perfil de velocidad en una posición “x” en función de la altura “y”.

Numéricamente, a partir de la solución obtenida, se comprueba que Q = 0 para el caso así definido. 4.6.4.- Flujo en un conducto cilíndrico. Se resuelve ahora el flujo laminar en un conducto cilíndrico. A partir de las hipótesis ya señaladas para el flujo entre placas planas (flujo estacionario, incompresible) y añadiendo la condición de axi-simetría impuesta por la geometría cilíndrica, se puede obtener, para la tensión cortante:

*p2r

−=τ (173)

donde, al igual que en el apartado anterior, p* es el gradiente de presión reducido, que no depende del radio considerado y que se puede expresar en función de la nomenclatura de la figura 62 como:

θρ+∆∆

= cosgLp*p (174)

Expresión que tiene en cuenta el efecto gravitatorio y la diferencia de presiones en el conducto entre las dos secciones “1” y “2” separadas una distancia ∆L. Se obtiene la siguiente distribución de velocidad:

( )22 Rr4

*pu −µ

= (175)

u (y) [m/s]

y [m]


D ∆L

r

θ

p1

p2

Figura 62.- Geometría básica para el flujo laminar en conductos cilíndricos.

que constituye un perfil parabólico y que, habitualmente, se expresa en función de la velocidad máxima, según la expresión:

µ

−=

−=

4R*pucon

rR1uu

2

MÁX

2

MÁX (176)

El caudal circulante será entonces:

4R8

*pQµ

π−= (177)

A continuación se va a resolver este problema mediante un código comercial. Se resuelve el caso particular de tener un fluido con unas propiedades dadas por:

3 -6ρ = 889.2 kg/m y µ = 1·10 Pa s . y un conducto horizontal, tal y como se muestra en la figura 63.

5 metros

Ø 5 cm

Figura 63.- Geometría para el problema del flujo en conductos cilíndricos.

Para ello se discretiza el dominio usando un mallado no estructurado en la sección transversal y proyectándolo en la dirección del flujo, tal y como se muestra en la figura 64.


Figura 64.- Geometría discretizada para resolución del caso de conducto horizontal.

El movimiento del flujo será debido únicamente a la diferencia de presión entre la entrada y la salida. Se fija un caudal que asegure el flujo laminar, por ejemplo, 3.92 l/s. El gradiente de presión reducida necesario será:

m/Pa1693R

Q8*p 4 =π

µ= (178)

La velocidad máxima, que se alcanza en el eje del conducto, será:

2

MÁX

p*Ru = = 1 m/s4 µ

− (179)

La resolución del flujo en el interior del conducto permite visualizar la velocidad en distintas secciones (figura 65). En dicha figura se muestran los vectores velocidad en seis secciones distintas del conducto.

Figura 65.- Distribución de velocidad en un conducto circular con flujo laminar.


Tal y como se había previsto con la ecuación teórica, se obtiene un perfil parabolico de velocidad. En la figura 66 se muestra dicho perfil en la sección de salida, donde cada punto representa el valor de la velocidad en cada celda de la sección transversal del conducto.

Figura 66.- Distribución de velocidad en la salida (perfil parabólico).

También se puede visualizar la presión en distintas secciones, observándose su carácter lineal con la distancia (figura 67).

Figura 67.- Distribución lineal del salto de presión. ∆P= 8690 Pa.

En caso de utilizar un conducto con inclinación, la diferencia de presión varía al introducirse el término ρg cosθ en la ecuación 174, pero el caudal, que es el que impone una velocidad máxima del flujo, y el perfil parabólico se mantienen. Con los datos de partida se obtiene un número de Reynolds de 84. En caso de tener un número de Reynolds mayor de 4000, el flujo deja de ser laminar y se hace necesaria la utilización de un modelo de la turbulencia para la resolución del flujo.

u (r) [m/s]

r [m]


4.6.5.- Flujo incompresible no estacionario: apertura de válvula en conducto. Los flujos incompresibles han sido mencionados como una aplicación particular de las ecuaciones de Navier-Stokes en apartados anteriores. Se profundiza un poco más en su estudio y se presenta un ejemplo de cálculo basado en el algoritmo del paso fraccional. A continuación se describe la resolución de uno de los problemas clásicos en la Mecánica de Fluidos: la descarga de un depósito a través de un conducto con una válvula que tiene una apertura dependiente del tiempo. Inicialmente se describe la problemática general de los flujos incompresibles para pasar luego a la resolución del problema concreto. Introducción: Estudios sobre flujo incompresible mediante métodos numéricos. En el artículo de Gresho (1991), publicado en el Annual Review of Fluid Mechanics, se realiza una exposición muy detallada sobre las posibles formas de abordar numéricamente un problema de flujo incompresible.

Primero expone la formulación matemática genérica de este tipo de problemas para pasar luego a señalar las opciones en cuanto al planteamiento de los distintos términos presentes en las ecuaciones de Navier-Stokes. Distingue así las siguientes formulaciones: la de divergencia de las tensiones, la clásica, la mixta divergencia-rotacional, la rotacional, la convectiva difusiva y la simétrica, entre otras. Añade a estas formulaciones básicas dos más, derivadas de las anteriores, con gran aplicación práctica, como son la formulación de la ecuación de Poisson para la presión (PPE) y la de la ecuación de transporte para la vorticidad (VTE). Después discute las distintas posibilidades que conducen al establecimiento de un problema “bien definido” en lo que se refiere a las condiciones de contorno y las condiciones iniciales. Particulariza todas las posibilidades para los tipos de formulación de las ecuaciones discutidas anteriormente. Finalmente, realiza algún estudio más a fondo sobre distintos problemas tipo, particularizando para problemas en los que hay saltos bruscos en las condiciones de contorno. Se trata de un artículo básico en el estudio numérico de los flujos incompresibles y, si bien, su orientación es hacia los flujos no estacionarios, la mayor parte de las conclusiones es totalmente aplicable a flujos estacionarios, considerando a estos como una evolución no estacionaria que se estabiliza en un valor constante.

Kwak en sus múltiples artículos (Kwak et al., 1986; Kwak et al., 1992; Rogers et al., 1989 o Rosenfeld et al., 1991) y, sobre todo, en el monográfico sobre métodos numéricos usados en el cálculo de flujos incompresibles (Kwak, 1989) analiza un amplio rango de posibles aplicaciones para el estudio de flujos bi y tridimensionales.

Ha desarrollado numerosos algoritmos basados en formulaciones que emplean las variables primitivas (presión y velocidad). Destacan la aplicación práctica de algoritmos de pseudocompresibilidad (Kwak et al., 1986) y de paso fraccional (Rosenfeld et al., 1991). En su trabajo, ha presentado numerosas validaciones con problemas tipo (entre otros, flujo en un escalón, flujo en una cavidad cuadrada y flujo en la estela de un cilindro), así como multitud


de soluciones numéricas a problemas prácticos tan dispares como el flujo en el motor de una lanzadera espacial o el flujo en un implante de un corazón. Constituye un referente ineludible en cualquier estudio relacionado con la aplicación de técnicas numéricas al estudio de flujos incompresibles.

Posibilidades de resolución de las ecuaciones para flujos incompresibles no estacionarios. El desarrollo de las técnicas numéricas ha permitido un análisis cada vez más riguroso de los flujos, mejorando principalmente lo que se refiere a flujos compresibles. Los flujos incompresibles han seguido esta evolución con cierto retraso, aún cuando muchas de las realizaciones industriales son aplicación de flujo incompresible. Dos dificultades básicas han frenado el desarrollo de los métodos numéricos aplicados a flujos incompresibles respecto a los equivalentes para flujo compresible. Por un lado la excesiva y ya descrita “rigidez” de las ecuaciones y, por otro, el menor interés de estos flujos en el campo de la aeronáutica militar. Así, la mayor parte del esfuerzo investigador se ha dedicado a modelizar el estado estacionario de la evolución del fluido en los distintos equipos, mientras que muchos flujos reales son esencialmente no estacionarios (desprendimiento de vórtices, turbulencia, flujo en turbomáquinas o en sistemas biológicos, entre otros). Tal y como señalan Peyret y Taylor (1983) o Hirsch (1988), existen dos grandes grupos de métodos según se plantee la resolución de las ecuaciones del flujo incompresible: las basadas en el empleo de variables primitivas y las que emplean la ecuación de la vorticidad. Estas últimas surgieron debido a la inexistencia de condiciones de contorno físicas de contacto con sólidos para la presión. Sin embargo, la búsqueda de una condición de contorno para la vorticidad, salvo en casos puntuales, resulta más complicado. A pesar del gran abanico de variantes que presentan ambas formas de solución (ver Quarteroni, 1996), son básicamente las que usan variables primitivas las únicas usadas para el caso de flujo no estacionario. Entre éstas destacan los algoritmos que operan con la ecuación de Poisson para resolver el campo de presiones, y el método de pseudocompresibilidad. Ambos tratan de solventar la “rigidez” de las ecuaciones para flujo compresible a bajos números de Mach. La diferencia básica entre los dos métodos reside en el carácter de las ecuaciones a resolver. En el caso de la compresibilidad artificial o pseudocompresibilidad se trata de adaptar al cálculo de flujos incompresibles las soluciones que se tienen para el caso de fluidos compresibles. El método introduce un parámetro de compresibilidad artificial para lograr la adaptación de las ecuaciones (Kwak, 1992). El sistema resultante se resuelve utilizando un algoritmo de “evolución en el tiempo” (time-marching). Su principal aplicación ha sido la modelización de casos estacionarios, debido a que sólo mediante modificaciones en el salto temporal, introduciendo tiempos artificiales (pseudotime) o “inclinación temporal” (time-inclining), se ha podido llegar a soluciones no estacionarias. La inclusión en el modelo de un parámetro artificial, y la crucial dependencia de algunas características del algoritmo numérico como son la convergencia o la estabilidad con dicho parámetro, hacen que el método se pueda considerar poco adaptable a problemas no estacionarios.


Respecto a las soluciones que emplea la ecuación de Poisson para la presión, se pueden distinguir dos aproximaciones diferentes, de características similares, pero de muy distinta implementación: i) Método de presión corregida. Introducido por Patankar (1980), consiste en una manipulación de la presión que da lugar a un proceso de solución iterativo para los campos de presiones y velocidad. La aplicación de este razonamiento, ha dado lugar a un conjunto de soluciones para el caso de flujos estacionarios usado en muchos programas comerciales. Para el caso no estacionario su mayor desventaja es la necesidad de condiciones de contorno para el campo de presiones ficticio y la de requerir una iteración adicional para cada paso temporal. A este tipo de métodos se les denomina SIMPLE, debido a que son estas las iniciales del algoritmo más importante desarrollado por Patankar (1980). ii) Método de paso fraccional. Desarrollado a partir de los algoritmos MAC (Mark and Cell), su aplicación para el estudio de flujos incompresibles y no estacionarios fue establecida por Peyret y Taylor (1983). Se parte de la formulación de ecuación de Poisson para la presión y se trata de discretizar las ecuaciones de gobierno para luego diferenciar la ecuación de cantidad de movimiento aplicando la condición de divergencia nula para la velocidad. El método de paso fraccional es una de las posibilidades más aconsejadas en la bibliografía consultada (Rosenfeld et al., 1991 o Gresho, 1991) para el tratamiento de flujos no estacionarios. Además, a través de estrategias computacionales como el multimallado, puede conducir a soluciones con un tiempo de cálculo muy reducido, lo cual le daría una gran ventaja respecto al método de la pseudocompresibilidad. Ejemplo de algoritmo de resolución. Se considera primeramente la simplificación de fluido ideal (µ = 0) y se plantea una resolución de las ecuaciones de gobierno para flujo incompresible siguiendo un modelo de paso fraccional. Las ecuaciones de Euler de continuidad y de cantidad de movimiento para flujo incompresible son: 0 = u · ∇ (180)

g Fr1 + p - =

tDu D

∇ (181)

Ecuación en la que se han usado variables adimensionales y p representa la presión cinemática, es decir, presión dividida por densidad. El desarrollo del método se va a realizar considerando que las fuerzas gravitatorias son despreciables. Discretizando la ecuación de cantidad de movimiento entre dos pasos temporales consecutivos, “n” y “n+1”, y usando algoritmo explícito con primer orden de aproximación temporal se obtiene:

( ) 0 = u · u + p + t

u - u n n 1+nn 1+n

∇∇∆

(182)

Se introduce ahora una velocidad auxiliar intermedia, denominada ficticia ( uf ), de forma que se cumple la relación siguiente:


( ) 0 = u · u + tu - u n n

n f

∇∆

(183)

Según la ecuación de cantidad de movimiento 182, esta última relación obtenida implica:

0 = p + t

u - u 1+nf 1+n

∇∆

(184)

La condición que se busca para el paso temporal “n+1” es la adivergencia del campo de velocidades. Expresada matemáticamente, dicha condición se escribe: 0 = u · 1+n ∇ (185) La forma de operar del método de paso fraccional se puede resumir en los siguientes cuatro pasos básicos: i) Resolución de la ecuación 183, obteniéndose de forma explícita el campo de

velocidades intermedio ( uf ), por ser la única incógnita en el paso temporal n. ii) Se toma la divergencia de la ecuación 184 e imponiendo la condición dada por 185,

se obtiene la ecuación de Poisson para la presión:

u · t

1 = p f 1+n ∇∆

∆ (186)

iii) Una vez resuelta esta última, se puede obtener la solución para el campo de

presiones.

iv) Resolviendo 184, con pn+1 ya conocido, se llegaría al campo de velocidades adivergente buscado para paso temporal n+1.

Algoritmo unidimensional. Problema de la descarga no estacionaria de un depósito. La descarga de un depósito constituye un problema clásico en Mecánica de Fluidos y ha sido tratada ampliamente en la bibliografía técnica (Liñán, 1991 o Pentaris et al. 1996). A pesar de la aparente sencillez, se trata de un problema con escalas, tanto espaciales como temporales muy diferentes, lo que posibilita distintas aproximaciones y a la vez imposibilita una solución exacta. Aquí se resolverá para una condición de contorno no estacionaria consistente en un cierre periódico de la válvula de salida. Usando una discretización según diferencias finitas para el problema unidimensional, se puede llegar a una discretización para la ecuación 186. Se trata de un sistema de ecuaciones tridiagonal con incógnitas las presiones en tres puntos (a indica los valores de las áreas del canal en los distintos puntos). Dicho sistema tridiagonal (ecuación 137) se resuelve numéricamente, obteniéndose el campo de presiones para cada paso temporal considerado (paso “n + 1”).


n+1 n+1 n+1 f fi-1/2 i-1/2 i+1/2 i+1/2 i+1/2 i-1/2i+1/2 i-1/2i-1 i i+1

∆ x p - ( + ) p + p = - u uA A A A A A∆ t (187)

Con el campo de presiones calculado, se obtiene la velocidad en cada punto y en

concreto para el punto de salida del depósito. El problema así planteado posee una solución analítica que se expresa en función de la frecuencia de cierre de la válvula ω y de la velocidad adimensional en la sección de salida del depósito hacia el conducto (u), que se obtiene resolviendo la ecuación diferencial:

( ) [ ] ) t ( cos 1 41 = u

AR 21 +

tdu d

1AR AR ln 2

2 ω−

− (188)

Donde “AR” es la relación de anchos entre la secciones de entrada y de salida del tubo de descarga. Se observa como detalle importante que la ecuación diferencial del fenómeno no se ve afectada por la longitud total del canal. Este hecho es coherente con haber considerado la solución de las ecuaciones de Euler. En la figura 68 se puede comprobar la comparación entre la solución analítica y la solución usando el modelo y discretización explicados. Ambas evoluciones se muestran por medio de la variable u*, que sería equivalente a la variable u en la ecuación 187, en función del tiempo adimensionalizado (t*), también equivalente a la variable t en 187. Tal y como puede verse, la concordancia de ambos resultados es muy grande.

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

0 5 10 15 20

Modelo Unidimensional

Ecuación Diferencial

u*

t*

Figura 68.- Comparación de resultados entre la resolución teórica (ecuación 140) y el modelo unidimensional (González et al., 1997).


Algoritmo bidimensional. Según lo dicho al comienzo de este apartado, es posible resolver un flujo incompresible usando únicamente las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento. Como modelo físico, en este apartado se plantean las ecuaciones de gobierno para flujo bidimensional, incompresible no estacionario, de un fluido ideal, expresadas en un sistema de referencia curvilíneo ortogonal (ξ,η). A través del cambio de variable se posibilita resolver el problema utilizando una técnica de diferencias finitas. De forma adimensional y para el caso de fuerzas másicas nulas, se tiene:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

=

η∂

∂+

η∂

∂−

ξ∂

∂+

η∂∂

+ξ∂

∂+

∂

∂

=

ξ∂

∂+

ξ∂

∂−

η∂

∂+

η∂∂

+ξ∂

∂+

∂

∂

=η∂

∂+

ξ∂∂

0p

hh

uh

vuvhvuhhh

1tv

0p

hh

vh

vuvuhuhhh

1tu

0vhuh

11222

1121

2221

12

221

12

(189) Ecuaciones en las que u y v son las componentes de la velocidad ( u ) en función del tiempo (t), expresadas en la referencia del sistema ortogonal y los hi son los coeficientes métricos correspondientes al cambio de base del sistema de coordenadas, necesario para poder continuar usando la discretización en diferencias finitas. En este caso, se realiza una discretización espacial según diferencias finitas que asegure una aproximación de segundo orden al sistema de ecuaciones diferenciales. Se construye un mallado bidimensional escalonado (staggered grid), que se representa en la figura 69. Los términos espaciales se discretizan mediante diferencias centradas, excepto en los puntos del contorno.

Figura 69.- Esquema del mallado escalonado utilizado.


Según la nomenclatura de la figura 69, la discretización de la ecuación general para la primera componente de la velocidad resulta ser:

( )[ ] ( )

( )

ξ∂

∂−

η∂

∂+

η∂∂

+ξ∂

∂∆−=

++

++

+++++

++

+

++

j,2/1i22n

j,2/1ij,2/1i1n

j,2/1in

nj,2/1i

nj,2/1i1

2nj,2/1i2

j,2/1i2j,2/1i1

nj,2/1i

fj,2/1i

hv

hvu

vuhuhhht

uu

j,2/1i

j,2/1ij,2/1i

(190) Tras resolver esta ecuación y la equivalente para la segunda componente de la velocidad (vf), se plantea la ecuación de Poisson para la presión, que será en este caso:

η∂∂

+

ξ∂∂

∆=

η∂∂

η∂∂

+

ξ∂∂

ξ∂∂

++ ++

f2/1j,i1

fj,2/1i2

j,i

2

1j,i

1

2 uhuht

1ph

hph

h2/1j,ij,2/1i

j,i

j,i

j,i

j,i

(191) Tras discretizar las derivadas planteadas, se llega a un sistema penta-diagonal de ecuaciones lineales. Dicho sistema se resuelve usando un método aproximado, a diferencia del sistema tridiagonal que se obtuvo en el caso unidimensional, mostrado anteriormente. Se elige un método implícito según direcciones alternativas con aceleración de la convergencia (Accelerated Alternating Direction Implicit, conocido por AADI). La aceleración en la convergencia se hace por medio de un parámetro λ de sobrerrelajación, que reduce notablemente el número de iteraciones en cada paso temporal. En la figura 70 se presenta la disminución tanto en tiempo de cálculo como en número de iteraciones para uno de los casos probados y la forma de obtener el parámetro λ óptimo, que resulta ser función de la discretización espacial, y más en concreto del parámetro β (β=∆ξ/∆η).

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

0 50 100 150 200 250 300

Iteraciones

Tiempo de CPU [s]

λ

λopt=1.271

Figura 70.- Evolución del número de iteraciones y del tiempo de cálculo

en función del parámetro de sobrerrelajación (λ).


Una vez resuelto el campo de presiones en cada instante temporal, se pasa a actualizar el campo de velocidades como segundo paso del método de proyección (se proyecta la velocidad hasta conseguir su adivergencia). La discretización para la obtención de la primera componente de la velocidad resulta:

( )1nj,1i

1nj,1i

j,2/1i1

fj,2/1i

1nj,2/1i pp

h2tuu +

−+

+++

++ −

ξ∆∆

−= (192)

Con esta última operación concluye el cálculo para cada instante. La precisión del método descrito es de primer orden para la discretización temporal y de segundo orden en la discretización espacial, es decir, los residuos son del orden de O(∆ξ2, ∆η2, ∆t).

Se obtienen también los correspondientes campos de presión y velocidades en cada instante para la geometría considerada (difusor recto). La solución para distintas relaciones de área del difusor puede verse en la figura 71. Dada la independencia del modelo del ángulo del difusor (modelo no viscoso), se han representado los campos de velocidades para una geometría del difusor con ángulo θ = 30o, aunque para las relaciones de área estudiadas el límite práctico en el ángulo del difusor es mucho menor (2θ ≈ 15o).

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

0 5 10 15 20 25

Ec. Dif.

Modelo 2D

AR = 2.0 (∆t=2·10E-4)

AR = 1.5 (∆t=2·10E-3)

AR = 1.0 (∆t=1·10E-2)

t*

u*

Figura 71.- Comparación de resultados entre la resolución teórica

y el modelo bidimensional (González et al., 1998).



5.- Discretización del dominio: generación de mallados.

Las técnicas numéricas para la generación de un mallado sobre el que resolver las ecuaciones de gobierno se definen (Thomson et al., 1982; Thomson et al., 1983; Thomson, 1984 o Niederdrenk, 1987) como procedimientos para la distribución ordenada de observadores o estaciones de toma de datos en un dominio físico, de forma que exista la posibilidad de comunicación eficiente entre los distintos observadores y que los distintos fenómenos físicos que ocurran en dicho dominio físico continuo estén representados con la suficiente exactitud por medio de dichos observadores (discretización espacial). Los mallados se pueden clasificar atendiendo a dos criterios: la forma de definir las fronteras del dominio y la conectividad entre los distintos observadores o puntos del mallado.

En cuanto a la forma de definir las fronteras, están los mallados conformes (no interpolan en la definición de la frontera) y los no conformes (que no definen la frontera real sino una aproximación numérica de la misma).

Atendiendo al criterio de conectividad o estructura de los datos del mallado, existen dos métodos de generación de mallados que darían lugar a los dos tipos de mallados básicos: los estructurados y los no estructurados. En los mallados estructurados, los observadores se colocan siguiendo una red de familias de líneas coordenadas que permiten visualizar la relación entre unos y otros de forma directa. Este hecho simplifica mucho los algoritmos respecto a lo que sería una mallado no estructurado. En cualquiera de los casos (estructurado o no estructurado), el mallado debería cumplir una serie de requisitos genéricos:

- Ajuste a las fronteras de la región a estudiar de forma que las condiciones de contorno queden representadas con la mayor exactitud posible.

- El mallado debe distribuirse localmente de la forma más regular posible, con variaciones suaves de densidad. La densidad de un mallado se define como el número de puntos por unidad de superficie o volumen.

- La mayor densidad del mallado se debe localizar donde se espere que las variaciones espaciales de la solución sean mayores.

- El mallado debería ajustarse dinámicamente a las variaciones de las variables en la solución del flujo.

Los métodos de generación de mallados utilizados en la práctica se pueden agrupar en las siguientes categorías (Deconinck, 1994): a) Mallados estructurados. Pueden ser curvilíneos generalizados u ortogonales. Los primeros son más fáciles de construir pero tienen el inconveniente de generar términos adicionales a la hora de resolver las ecuaciones de gobierno. Existen dos grandes grupos de técnicas de construcción de mallados curvilíneos generalizados, la interpolación algebraica y


la resolución de ecuaciones diferenciales. En cuanto a los ortogonales, estos pueden ser conformes (resolución de ecuación diferencial elíptica) o generados resolviendo una ecuación diferencial hiperbólica (técnica de avance en el espacio, es decir, válida para flujos externos donde una frontera es libre). A priori, se desearía la ortogonalidad del mallado, no sólo por la simplicidad a la hora de resolver las ecuaciones sino porque cualquier desviación del mallado respecto a la ortogonalidad introduce errores de truncatura en cualquier modelo de solución de las ecuaciones de gobierno. b) Mallados no estructurados. Existen dos técnicas básicas: el avance frontal y la triangularización de Delaney. La primera consiste en la construcción de triángulos o tetraedros partiendo de la definición de la frontera del dominio hasta completar el mismo. La triangularización de Delaney parte de una serie de puntos o nodos y los triángulos o tetraedros se construyen de forma que dichos puntos son los correspondientes centros de masas. c) Técnicas de multibloque. Combinan mallados estructurados y no estructurados. Se crean bloques cuya estructura general sigue una disposición estructurada de mallados elementales que pueden tener una disposición interna en mallados estructurados o no estructurados. No se trata de otro tipo de mallado, sino una mezcla de los dos tipos básicos. 5.1.- Clasificación de los mallados basada en la conectividad y estructura de datos. A continuación, se muestran ejemplos de los distintos tipos de mallados utilizados en la práctica, señalándose las ventajas e inconvenientes de cada uno. Dada la dificultad para mostrar mallados tridimensionales, todos los ejemplos son de aplicaciones bidimensionales. Como grandes grupos de mallados existen los estructurados y los no estructurados, en función de las relaciones existentes entre las variables en los distintos puntos. En el tipo de mallados estructurados se subdivide la región a estudiar en rectángulos o cubos (según se trate de problemas bidimensionales o tridimensionales). Se muestra un ejemplo en la figura 72. Sus características más relevantes son las siguientes:

• No es necesario dar la conectividad explícitamente en la formación del mallado ya que los nodos vecinos son conocidos. • En general, esto significa que el dominio es tranformado sobre un rectángulo o un cubo subdividido uniformemente en celdas. Por lo tanto, cada nodo es identificado por los índices (i, j) en el caso de dos dimensiones y con (i, j, k) para el caso de tres dimensiones. En dos dimensiones, los nodos vecinos serían (i-1, j ), (i+1, j), (i, j-1), etc. • Puede ser necesaria una transformación del dominio, tal y como se muestra en la figura 72.


Figura 72.- Ejemplo de mallado bidimensional estructurado.

Ventajas:

- La conectividad ordenada, conduce a resoluciones más simples y, es ideal para computadores vectoriales.

- Se requiere de menos memoria para el almacenamiento de las variables. - Los métodos implícitos utilizan la estructura del mallado: ADI, métodos de relajación

lineal, relajación en el plano. - La suavización y ortogonalidad pueden ser controlados fácilmente.

Desventajas:

- El manejo de geometrías complicadas no es flexible. - La adaptibilidad solo es posible añadiendo o moviendo líneas de mallado (2D) o

superficies de mallado (3D), lo cual no lo hace flexible. - El movimiento de contornos es difícil de manejar.

Como aplicación práctica, se puede recordar el ejemplo de la transmisión de calor en

una placa rectangular, ya estudiado en el apartado anterior. Como ilustración de la malla utilizada, se muestra ésta en la figura 73.


Figura 73.- Mallado bidimensional estructurado.

En el tipo de mallados no estructurados se subdivide la región a estudiar en elementos irregulares bi o tridimensionales. En los siguientes apartados se muestran distintos ejemplos prácticos de este tipo de mallados. 5.2.- Métodos de generación de mallados no estructurados. Se muestra un ejemplo en la figura 74 Sus características más relevantes son las siguientes:

• La conectividad tiene que ser expresada explícitamente. Por ejemplo, en la figura 74, se tiene que la celda 10 está constituida por los nodos 7, 14 y 37. • Las celdas pueden ser polígonos cuadriláteros, triángulos, etc.


Figura 74.- Mallado bidimensional no estructurado.

Ventajas:

- Flexibilidad para manejar geometrías complicadas, adaptabilidad, movimiento de contornos.

- La generación de mallado automática es más fácil, incluso para geometrías de tres dimensiones muy complicadas como el generador de mallado ‘mínima entrada utilizada’.

Desventajas:

- Requiere mayor almacenamiento de variables y precisa un direccionamiento indirecto. - Las resoluciones son más complicadas en general. - La exactitud es más baja, en general, debido a la falta de suavidad del mallado.

Como aplicación práctica, se puede mostrar el mallado para la resolución del flujo en

una bomba centrífuga (figura 75).


Figura 75.- Mallado bidimensional no estructurado para una bomba centrífuga.

5.3.- Mallados “Multiblock”.

Consiste en una combinación de mallados estructurados y no estructurados: en la macro-escala, el mallado está compuesto de bloques no estructurados (macro-elementos). Con cada uno de los “macro-elementos” o “bloque”, el mallado es estructurado. Se muestra un ejemplo de geometría difícil de mallar con celdas estructuradas en la figura 76 y la solución multiblock en la figura 77.

Figura 76.- Geometría altamente irregular difícil de mallar con celdas estructuradas.


En este tipo de mallados, las coordenadas de cada nodo llevan una componente adicional que indica el bloque al que pertenecen. Así, para un punto (i,j), se tendría (i,j,l), indicándose que pertenece al bloque “l” y para un punto en una geometría tridimensional (i,j,k), se pasaría a (i,j,k,l).

Figura 77.- Mallado multiblock para la geometría de la figura 76.

Se trata de solventar algunas de los puntos débiles del trabajo con los mallados

estructurados de bloque único. Ventajas:

- Se pueden manejar geometrías más complicadas, lo que aumenta la flexibilidad en general.

- Permite maneras fáciles de paralelizar en un multiprocesador. - Ahorra memoria en máquinas de secuencias, permitiendo bloques de Jacobi.

(Tratamiento secuencial de cada bloque). Desventajas:

- La generación de mallados es difícil: La forma de especificar los contornos entre bloques de forma adecuada exige alto grado de experiencia.

- Es todavía menos flexible que los mallados sin estructurar, cuando existe movimiento de contornos.


5.4.- Mallados ajustados a los contornos (“Body Fitted Coordinates” o BFC).

Respeta los contornos de la geometría que va a ser discretizada, tal y como se muestra en las figuras 78 y 79.

Figura 78.- Mallado estructurado que se ajusta al contorno de un álabe.

Figura 79.- Mallado no estructurado que se ajusta al contorno de un álabe.

5.1.5.- Mallados no ajustados a los contornos.

El contorno del dominio no es parte del mallado (ver figura 80). Las características más importantes de este tipo de mallado son las siguientes:

• El no ajuste a la geometría del problema conlleva en general a una resolución particular para la gran cantidad de discretizaciones de contornos. • Es muy eficiente para campos internos. • Permite fácil adaptabilidad.


Figura 80.- Mallado estructurado que no se ajusta al contorno superficial (de un álabe).

En la práctica se han utilizado muchos tipos de mallados, que resultan de la

combinación de las dos clasificaciones propuestas. Además existen tipos intermedios y soluciones “imaginativas” que han permitido resolver situaciones geométricas complejas, que requieren la aplicación de técnicas altamente sofisticadas. Dado el enfoque que se pretende aquí, no se puede profundizar en todo este tipo de técnicas, que corresponderían a un curso mucho más avanzado que el aquí propuesto.



6.- Bibliografía. Existe una multitud de publicaciones relacionadas con los métodos numéricos. Entre ellas, destacan el libro escrito por Peyret et al. (1983), los de Hirsch (1988), los de Fletcher (1988), el de Hoffman (1989) y, más recientemente, el editado por Gunzburger (1993), que se centra en métodos apropiados para estudio de flujos incompresibles, el de Anderson (1995) y el de Versteeg et al. (1995), sobre el método de volúmenes finitos. Cada uno de los mencionados presenta sus propias peculiaridades, pero entre todos completan una panorámica bastante amplia de un campo continuamente cambiante. A continuación se detallan los libros, artículos y otras publicaciones que han servido de apoyo para la elaboración de este texto: [1] Abdallah, S., Smith, C.F.,“Three-dimensional solutions for inviscid incompressible flow in turbomachines”, Journal of Turbomachinery. Vol. 112, págs. 391-398. July 1990. [2] Anderson, H.H., “Computational fluid dynamics: the basics with applications”. Mc Graw Hill, 1995. [3] Aris, R., “Vectors, tensors and the basic equations of fluid mechanics”, Dover publications. New York, 1962. [4] Arnone, A., Stecco, S.S., “Multigrid calculation of incompressible flows for turbomachinery applications”, XIV IAHR Congress. ISBN 84-7790-101-5. Págs. c-361 a c-368. Madrid. 1991. [5] Arnone, A., Swanson, R.C., “A Navier-Stokes solver for turbomachinery applications” Journal of Turbomachinery. Vol. 115, págs. 305-313. April 1993. [6] Ballesteros, R., “Métodos numéricos aplicados a la mecánica de fluidos y la transmisión de calor”. Curso de doctorado de la Universidad de Oviedo (publicación interna). 1995. [7] Combes, J.F., “Calcul par elements finis de l'eculement 3D turbulent dans une pompe centrifuge”, AGARD Conference Proceedings 510. CFD Thechniques for Propulsion Applications. San Antonio, USA. 1991. [8] Deconinck, H., “Overview of grid generation methods”, Lecture Series del von Karman Institute for Fluid Dynamics. Bélgica, 1994. [9] Degrez, G., “Introduction to computational fluid dynamics”, Lecture Series del von Karman Institute for Fluid Dynamics. Bélgica, 1994. [10] Fletcher, C.A.J., “Computational techniques for fluid dynamics” (vols. I y II). Springer-Verlag, USA. 1988.


[11] Fox, R.W., McDonald, A.T. “Introducción a la mecánica de fluidos”. McGraw-Hill1, Méjico 1995 (cuarta edición). [12] Gresho, P.M., “Incompressible fluid dynamics: some fundamental formulation issues”, Annual Review of Fluid Mechanics. Vol. 23, págs. 413 a 453. 1991. [13] González, J., Santolaria, C., Ballesteros, R., Robles del Peso, A., “Modelización numérica de flujos incompresibles no estacionarios mediante un método de paso fraccional”, Anales de Ingeniería Mecánica. Año 11, vol. I, págs. 35-42, 1997. [14] González, J., Santolaria, C., Ballesteros, R., “Desarrollo de un algoritmo para la resolución de flujos no estacionarios bidimensionales usando un método de paso fraccional”, Anales de Ingeniería Mecánica. Año 12, vol. I, págs. 553-558, 1998. [15] González, J., “Modelización numérica del flujo no estacionario en una bomba centrífuga. Efectos dinámicos de la interacción entre rodete y voluta”, Tesis Doctoral, Universidad de Oviedo, 2000 (publicada en CD ROM). [16] Gunzburger, M.D., Nicolaides, R.A., “Incompressible computational fluid dynamics. Trends and advances”, Cambridge University Press. 1993. [17] Hirsch, C., “Numerical computation of internal and external flows. Vols. I y II: fundamentals of numerical discretization & computational methods for inviscid and viscous flows”, John Wiley & Sons. Bélgica, 1988. [18] Hirsch, C., “State of the art of computational fluid dynamics in industry”, Industrial Computational Fluid Dynamics. Lecture Series 1995-03. Von Karman Institute, Bélgica. 1995. [19] Hoffman, K.A., “Computational fluid dynamics for engineers”, Engineering Education System. Austin, USA. 1989. [20] Jameson, A., Schmidt, W., Turkel, E., “Numerical solutions of the Euler equations by finite volume methods using Runge - Kutta time - stepping”, AIAA Paper No. 81-1259. 1981. [21] Jameson, A., “The role of CFD in preliminary aerospace design”, ASME FEDSM2003-45812, Honolulu, (2003). [22] Kwak, D., Chakravarthy, S.R., “A three-dimensional incompressible Navier-Stokes flow solver using primitive variables”, AIAA Journal. Vol. 24, No. 3, pags. 390-396. March 1986. [23] Kwak, D., Kiris, C., Wiltberger, N., Rogers, S, Rosenfeld, M., "Numerical methods for simulating unsteady incompressible flows", Lecture Notes in Phisics, Vol. 414, págs. 448-452. Numerical Methods in F.D., 13th Conference. Rome, 1992. [24] Lakshminarayana, B., “An assesment of computational fluid dynamic techniques in the analysis and design of turbomachinery – The 1990 Freeman Scholar Lecture”, Journal of Fluid Engineering, vol. 113, pp. 315-352. Septiembre 1991. [25] Launder B.E., Spalding D.B., “Mathematical models of turbulence”, Academic Press. New York, 1972.


[26] P.L. Lions, “Mathematical topics in fluid mechanics. Incompressible models”. Clarendon Press, Oxford, 1996. [27] Moin, P., Kim, J., “Tackling turbulence with supercomputers”, Scientific American, 276. 1997. [28] Niederdrenk, P., “A short introduction to numerical grid generation”, Course Note (IB 221-87 A 14) at DFVLR-AVA, Göttingen. 1987. [29] Pan, D, Chackravarthy, S.R., “Unified formulation for incompressible flow”, AIAA Paper, No. 89-01222. 27th Aerospace Science Meeting. Reno, Nevada. 1989. [30] Panton, R.L., “Incompressible flow”, John Wiley & Sons, USA, 2nd Edition. 1996. [31] Patankar, T.C., “Numerical heat transfer and fluid flow”, Mc. Graw-Hill. 1980. [32] Pentaris, A., Tsangaris, S., “A proyection methodology for the simulation of unsteady incompressible viscous flows using the approximate factorization technique”, NATO-AGARD CP-578. Progress and Challenges in CFD Methods and Algorithms, págs. 35-1 a 35-14. Abril, 1996. [33] Peyret, R., Taylor, T.D., “Computational methods for fluid flow”, Springer-Verlag. New York, 1983. [34] Quarteroni, A., “Domain decomposition methods: algebraic aaspects and application to compressible and incompressible flows”, 27th Computational Fluid Dynamics. Lecture Series. Von Karman Institute. Bélgica. 1996. [35] Rasmussen, E.B., “A finite diference scheme for three-dimensional modelling of fluid dynamics”, XIV IAHR Congress. ISBN 84-7790-101-5. Págs. c -341 a c - 348. Madrid. 1991. [36] Shaw, C.T., “Using computational fluid dynamics”, Prentice Hall. 1992. [37] Strazisar, A.J., “The changing roles of experimental and computational fluid mechanics”, Global Gas Turbines News, IGTI, pp. 16-18. Agosto 1994. [38] Streeter, V.L., Wylie, E.D., “Mecánica de los Fluidos”, Mc. Graw-Hill, Méjico. 1987. [39] Thomson, J.F., Warsi, Z.U.A., Mastin, C.W., “Numerical grid generation: foundations and applications”, Ed. Joe F. Thomson. North-Holland, 1982. [40] Thomson, J.F., “Grid generation techniques in computational fluid dynamics”, AIAA Journal, Vol. 22, No. 11, pp. 1505-1523. 1984. [41] Versteeg, H.K., Malalasekera, W., “An introduction to computational fluid dynamics”, Longman Scientific&Technical. 1995. [42] White, F.M. “Mecánica de fluidos”. McGraw-Hill, Madrid 1983.


[43] White, F.M., “Viscous fluid flow”. Mc. Graw-Hill Editions. 1991. [44] Wilcox, D.C., “Turbulence modeling for CFD”, DCW Industries. 1993.


Anexo I. El metodo Von Neumann para analisis de estabilidad.

Los análisis de estabilidad para problemas lineales con coeficientes constantes son bien conocidos si las condiciones de contorno pueden ser despreciadas. Este es el caso para un dominio infinito, o para condiciones periódicas en un dominio finito. En este ultimo caso se considera que la longitud L en el eje x se repite periódicamente, por tanto, todas las cantidades, la solución, así como también los errores, pueden ser desarrollados en una serie de Fourier finita sobre el dominio 2L. Este desarrollo forma las bases para el análisis de estabilidad de Von Neumann.

Este método es el más utilizado para los análisis de estabilidad en los que intervienen ecuaciones lineales con coeficientes constantes y condiciones periódicas de contorno. Sin embargo, siempre que se tenga que tratar con coeficientes no constantes, y términos no lineales en las ecuaciones básicas, la información sobre la estabilidad se vuelve muy limitada. Consideraciones iniciales.

Considerando uno de los modelos representativos de la convección, se considera la siguiente ecuación hiperbólica:

0xuat

u=

∂∂

+∂∂ (AI.1)

donde “u” función de ( x,t ); “a” la velocidad de convección, o la velocidad de onda, de acuerdo a la interpretación dada a la expresión AI.1 y se supone que a > 0. Se suele utilizar una notación más corta de la misma, donde la derivada esta indicada como subíndice: 0uau xt =+ (AI.2)

Se consideran las siguientes condiciones iniciales:

0x0t

==

)x(g)t,0(u)x(f)t,x(u

==

0t

Lx0≥

≤≤ (AI.3)

Para aplicar un método de elementos finitos a la ecuación, se podría establecer un

centro en “i”. Haciendo la subdivisión del espacio del dominio en celdas de longitud x∆ , la formula de discretización de xu para el punto “i” del mallado es la siguiente:

)uu(x2

a)u( 1i1iit −+ −∆

−= (AI.4)

El lado izquierdo representa la derivada respecto al tiempo en el punto “i”.


El siguiente paso es la discretización del tiempo. Esto implica el remplazo de it )u(

por la forma discreta, teniendo en cuenta el nivel del tiempo para el cual el lado derecho del la ecuación será evaluado. Un esquema simple sería la evaluación del lado derecho en intervalos de tiempo “n”. Tal método es conocido como el método de Euler para la integración respecto al tiempo de una ecuación diferencial ordinaria, que es un esquema explícito.

)uu(x2

at

uu n1i

n1i

ni

1ni

−+

+

−∆

−=∆

− (AI.5)

Evaluando el lado derecho de la ecuación en el nivel (n+1) conduce al esquema

implícito, conocido como aguas abajo, o método de Euler implícito

)uu(x2

at

uu 1n1i

1n1i

ni

1ni +

−+

+

+

−∆

−=∆

− (AI.6)

donde tres valores aparecen simultáneamente en el nivel (n+1)

De las definiciones de orden de precisión de las fórmulas de diferencias finitas se espera que las ecuaciones AI.5 y AI.6 sean de primer orden en tiempo, y de segundo orden en espacio en los puntos (“i”) y en el nivel de tiempo “n”. Por otro lado, mediante una diferenciación en espacio aguas abajo, con una aproximación de primer orden, se llega a la forma semidiscreta:

)uu(x

a)u( 1iiit −−∆

−= (AI.7)

Con una diferenciación hacia delante en tiempo se obtendría el siguiente esquema

explícito, conocido como el esquema de primer orden aguas arriba (“upwind”), es decir:

)uu(x

at

uu n1i

ni

ni

1ni

−

+

−∆

−=∆

− (AI.8)

La correspondiente versión implícita, evaluando el lado derecho (n+1) es:

)uu(x

at

uu 1n1i

1ni

ni

1ni +

−+

+

−∆

−=∆

− (AI.9)

donde se define el cociente x∆ta ∆

=σ , que constituye el denominado habitualmente como

“número de Courant”.


Descomposición del error (Fourier)

Sea niu la solución exacta de una ecuación, y n

iu la solución numérica aproximada. La diferencia podría ser debida a los errores de redondeo introducidos por el algoritmo de cálculo, o bien a los errores en los datos iniciales. De esta forma, se debe cumplir:

ni

ni

ni uu ε+= o bien, Klim n

in

≤ε∞→

(AI.10)

donde n

iε indica el error respecto al tiempo en el punto “i” del mallado. K es independiente de

n. Cualquier esquema numérico lineal es satisfecho exactamente por niu , y por tanto los

errores niε son también soluciones para la ecuación.

Con el fin de presentar los fundamentos del método, primero se hará referencia a los

ejemplos previos. Considerando la ecuación AI.5, e insertando en ella el resultado de AI.10 se tiene:

)uu(x2

a)(x2

att

uu n1i

n1i

ni

n1i

1ni

ni

1ni

−++

++

−∆

−ε−ε∆

−=∆

ε+

∆− (AI.11)

Como n

iu satisface la ecuación AI.5, se obtiene la ecuación para los errores niε :

)(x2

at

n1i

n1i

ni

1ni

−+

+

ε−ε∆

−=∆

ε−ε (AI.12)

que es idéntica al esquema básico. Así pues, los errores n

iε varían a través del tiempo de la

misma forma que la solución numérica niu .

Los errores no deberían crecer indefinidamente de un intervalo de tiempo a otro. Un

análisis basado en el desarrollo del tiempo en si mismo en lugar de la conducta del error, establece que cualquier componente de la solución inicial no debería ser amplificado sin limite. Expresada esta condición en forma matemática se tiene una matriz en la cual todos las incógnitas de cada punto del mallado, en un tiempo dado, están agrupadas en un vector “U”, definido como sigue un tiempo tn ∆ .

=

+

−

...u

u

u...u

U

n1i

ni

n1i

n1

n (AI.13)

El esquema se puede escribir con un operador como función de Un según la expresión:


UCU n1n =+ (AI.14)

donde el operador “C” es función del tiempo t∆ , y del tamaño del mallado x∆ .

Si se considera al operador “C”, lineal, si nε designa el vector columna de los errores en un nivel de tiempo “n”:

ni 1

n nini 1

−

+

ε ε = ε ε

(AI.15)

La ecuación AI.10 se puede escribir con nU indicando la solución exacta,

nnn eUU += (AI.16)

Insertando esta ecuación en el esquema básico se conduce a la expresión: nn1n1n eCUCeU +=+ ++ (AI.17) o bien: n1n Cee =+ (AI.18) por definición de nU como una solución de la expresión: n1n UCU =+ (AI.19)

Así, la evolución en el tiempo del error esta determinado por el mismo operador C como solución numérica del problema. Si las condiciones de contorno están consideradas como periódicas, el error n

iε puede ser descompuesto en series de Fourier en el espacio para cada nivel de tiempo “n”. Como el dominio es de una longitud finita, se tendrá una representación de Fourier sobre un número finito de oscilaciones. En el dominio L la serie de Fourier representa la región (0, L) y la negativa (-L, 0),la frecuencia fundamental corresponde a la máxima longitud de onda λmax = 2L. La longitud de onda asociada k = 2π/λ alcanza un mínimo valor en kmin = π/L. Además, el máximo valor de kmax en el intervalo (-L, L) está asociado con la menor longitud de onda con un espaciamiento ∆x. Esta menor longitud de onda es igual a 2∆x (ver figura AI.1) y por tanto, kmax = π/∆x.

Así, con un mallado de índice “i”, de 0 a N, con xi = i. ∆x, se tendrá:


∆x = L/N (AI.20)

Todas las oscilaciones representadas en un tiempo finito están dadas por:

xN

jL

jkjk minj ∆π

=π

== con j = 0,1,2,...,N (AI.21)

con el máximo valor de j asociado a la máxima frecuencia. Así, con kmax = π/∆x el mayor valor de “j” es igual al número de intervalos N del mallado (ver figura AI.1).

Figura AI.1.- Representación del error en el intervalo (-L, L).

Cualquier función finita del mallado se puede descomponer en series de Fourier

como:

∑∑−=

π

−=

∆ ==εN

Nj

N/jiInj

N

Nj

xikInj

ni eEeE j

(AI.22)

donde I = 1− y niE es la amplitud de la oscilación “j-ésima”.

Por otro lado, j = 0 representa una función constante. El producto kj ∆x es a menudo

representado como un ángulo de fase.

N

jx·k jπ

=∆=Φ (AI.23)


Y cubre el dominio (-π, π) en intervalos π/N.

Factor de amplificación. El tiempo de evolución de una oscilación simple n

jE ΦIie es determinado de la misma forma

que niu . Así utilizando estos términos en la ecuación AI.12, se obtiene:

0)eEeE(x2

at

)EE(e )1i(In)1i(Inn1n

Ii =−∆

+∆

+ Φ−Φ++

Φ (AI.24)

Dividiendo entre ΦIie , se llega a:

0e)ee(E2

)EE( IiIInn1n =−σ

++ ΦΦ−Φ+ (AI.25)

donde el parámetro σ es

xta

∆∆

=σ (AI.26)

La condición de estabilidad dada por AI.10 será satisfecha si la amplitud de cualquier

error En no crece en el tiempo, es decir, si la relación:

1E

EG n

1n

≤≡+

para todo Φ (AI.27)

La cantidad G, definida por

n

1n

EEG

+= (AI.28)

es el denominado factor de amplificación, y es función del factor del intervalo de tiempo ∆t, a frecuencia y el valor de ∆x.

De la ecuación AI.25 se puede llegar a:

0sinI221G =Φσ

+− (AI.29)

o bien, una expresión equivalente sería: Φσ−= sinI1G (AI.30)

La condición de estabilidad requiere que G sea menor o igual a uno:


Φσ+= 222 sin1G (AI.31) y esto claramente no es satisfecho. Ejemplo del esquema dado por la discretización AI.8: estabilidad condicional.

Insertando la oscilación simple njE ΦIie en el esquema dado por la ecuación AI.8, se

obtiene: 0)ee(E)EE( )1i(IIinn1n =−σ+− Φ−−Φ+ (AI.32)

O bien, después de dividir por njE ΦIie

Φ−σ+σ−= Ie1G (AI.33) es decir: Φσ−Φσ−= sinI2/sin21G 2 (AI.34)

Con el fin de analizar la estabilidad de la ecuación AI.8, que es la región donde el modulo del factor de amplificación G es menor a uno, una conveniente aproximación es una representación de G en el plano complejo. Escribiendo ξ y η, respectivamente para las partes real e imaginaria de G se tendrá:

Φσ−=η

Φσ+σ−=Φσ−=ξsin

cos)1(2/sin21 2 (AI.35)

lo cual puede ser considerado como una ecuación paramétrica para G con Φ como parámetro.

En el plano complejo de G la condición de estabilidad dada por AI.27 fija que la curva representativa de G para todos los valores de Φ = k·∆x debería permanecer dentro del círculo (ver la Figura AI.2). El esquema es estable para: 10 ≤σ< (AI.36)


Figura AI.2.- Región de estabilidad para el esquema dado por la expresión AI.8.

Así la ecuación AI.8 es condicionalmente estable, y la condición AI.36 es conocida

como la Courant-Friedrich-Lewy o condición CFL. El parametro σ es llamado el número de Courant. Comentarios sobre la condición CFL.

Esta condición de estabilidad de la mayoría de los esquemas explícitos para ondas y ecuaciones de la convección expresa que la distancia cubierta durante el intervalo de tiempo “∆t”, por los disturbios de propagación a velocidad “a”, deben ser más bajos que la distancia mínima entre dos puntos del mallado. Teniendo en cuenta la figura AI.3, la línea PQ es la caracteristica dx/dt = a (a través de P) y define el dominio de dependencia de la ecuación diferencial en P. Por otro lado la ecuación define el dominio de dependencia de P entre PAC. La condición 1≤σ expresa que ∆t/∆x debe ser elegido de tal forma que el dominio de dependencia de la ecuación diferencial debería estar contenido en el dominio de dependencia de la ecuación discretizada. Es decir, el esquema numérico 1n

iu + en el punto i debe ser capaz de incluir toda la información física que influye en ese punto.


Figura AI.3.- Interpretación geométrica de la condición CFL, 1≤σ .

Ejemplo del esquema dado por AI.6: condición de inestabilidad.

El esquema implícito de Euler, con una discretización central del espacio de la ecuación de convección ofrece una tercera situación con respecto a las condiciones de estabilidad. Con el mismo análisis de estabilidad que AI.6, la amplitud del error En+1 se vuelve, después de la introducción de una oscilación de la forma En eΙiΦ

0e)ee(E2)EE(e IiII1nn1nIi =−σ

++ ΦΦ−Φ++Φ (AI.37)

o bien:

0)ee(G21G II =−σ

+− Φ−Φ (AI.38)

y se tiene

Φσ+

= sinI11G (AI.39)

El modulo G siempre es menor que uno para todos los valores de σ

Φσ+

== 22*2

sin11G.GG (AI.40)

Por tanto la ecuación implícita es incondicionalmente estable. Así, esta visto que el

sistema puede tener estabilidad condicional, estabilidad incondicional, o inestabilidad incondicional. El método Von Neumann ofrece una forma fácil y simple de hallar las propiedades de estabilidad de los esquemas lineales con coeficientes constantes cuando las condiciones de frontera son asumidas como periódicas.


Formulación general del metodo Von Neumann: sistema de ecuaciones.

Se muestra aquí la formulación en forma de matriz y operador. Se considera que el esquema numérico es obtenido en dos pasos: un espacio de discretización, seguido por el tiempo de integración. 1) Cuando se aplica el espacio de discretización (método de diferencias finitas) el espacio

diferencial del operador es aproximado por un espacio discretizado del operador S, conduciendo al método de formulación de línea para valores discretos

ini xdondetnxuu ……),( ∆= es el punto "i" del mallado.

iii quS

dtdu

+= (AI.41)

donde qi: contiene términos fuentes eventuales y la contribución desde las condiciones de frontera. La representación matricial es descrita con el vector Un del sistema dado por AI.15.

qUSdtdU

+= (AI.42)

2) Cuando se aplica el esquema de tiempo de integración, correspondiendo a un nivel dos del

esquema conectando niveles de tiempo (n+1) y n, el esquema numérico asociado con la ecuación diferencial genérica, es decir:

n1n UCU =+, se tiene:

i

ni

1n quCu +=+ (AI.43) o en forma matricial: QUCU n1n +=+ (AI.44) donde C puede ser considerado como un operador de discretización del esquema.

Para el nivel dos del esquema implícito de la forma: n0

1n1 UBUB =+ el operador C es

definido por 01

1 BBC −= .


Anexo II. Ecuaciones en sistemas generalizados. Partiendo de una ecuación diferencial en la forma

0yG

xF

tq

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

(AII.1) que se puede escribir en notación simplificada:

0GFq yxt =++ (AII.2)

Si se realiza el cambio de variables independiente del tiempo, pasando a un nuevo sistema de coordenadas ξ, η:

)t(f)y,x(f),( ≠=ηξ (AII.3)

Para modificar las derivadas parciales se debe hacer siguiendo la regla de la cadena, es decir:

η∂

∂η+

ξ∂

∂ξ=

∂

∂xxx

(AII.4)

η∂

∂η+

ξ∂

∂ξ=

∂

∂yyy

Según este cambio de variables, el Jacobiano de la transformación resulta ser:

xyyxyx

yx

yx

yxJ ηξ−ηξ=ηη

ξξ=

∂

η∂

∂

η∂∂

ξ∂

∂

ξ∂

=

(AII.5)

Y, entonces, la ecuación diferencial de partida se transforma en:


0GGFF

tq

yyxx =η∂

∂η+

ξ∂

∂ξ+

η∂

∂η+

ξ∂

∂ξ+

∂

∂

(AII.6)

Ecuación que en notación simplificada resulta:

0GFGFq yxyxt =η+η+ξ+ξ+ ηηξξ

(AII.7)

Dividiendo por el Jacobiano, que es independiente de la variable tiempo, se obtiene:

0J

G

JF

J

G

JF

Jq

tyxyx =

η+

η+

ξ+

ξ+

∂

∂ ηηξξ

(AII.8) A partir de operaciones para transformar las parciales con respecto a (x,y) a parciales respecto a las nuevas variables (ξ, η), se obtiene finalmente:

0GFt

q ***

=++∂

∂ηξ

(AII.9)

donde las variables con asterisco representan:

JGF

F yx* ξ+ξ= ,

JGF

G yx* η+η=

(AII.10)

y q* representa la variable q dividida por el Jacobiano de la transformación. Ecuaciones para flujo incompresible ideal bidimensional. Ecuación de continuidad:

0yv

xu

=∂

∂+

∂

∂

(AII.11) Ecuación de cantidad de movimiento:

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

0y

vx

)vu(yp

tv

0y

)vu(x

uxp

tu

2

2

(AII.12)


Adimensionalizando según las variables características del problema de descarga del depósito, se tiene:

gH2vv

gH2uu

Lyy

Lxx

*

*

*

*

=

=

=

=

(AII.13)

Las ecuaciones no sufren variación y serían las mismas pero con las variables adimensionales. Cambio de sistema de coordenadas (plano físico-plano computacional). Se define el cambio de coordenadas siguiente:

−+=η

=ξ

**1

*2

*1

*

*

x)hh(h

y2

x (AII.14)

Es decir, prescindiendo de los asteriscos, se tendrán las siguientes métricas:

[ ] [ ]

[ ] [ ]ξ−+−

=−+

−=

∂

η∂

ξ−+

η−=

−+

−−=

∂

η∂

=∂

ξ∂

=∂

ξ∂

)hh(h2

x)hh(h2

y

)hh(h)hh(

x)hh(h

y)hh(2x

0y

1x

121121

121

122

121

12

(AII.15)

Y el Jacobiano, por tanto, resulta ser:


[ ]ξ−+=ηξ−ηξ=ηη

ξξ=

)hh(h2J

121xyyx

yx

yx (AII.16)

La ecuación de continuidad quedará en este caso, según la ecuación (AII.9):

( ) ( ) 0v

x)hh(h2u

x)hh(h

y)hh(2u2

1212

121

12 =η∂

∂

−++

η∂

∂

−+

−−

ξ∂

∂

(AII.17) Es decir:

0v

Bu

Au

=η∂

∂+

η∂

∂+

ξ∂

∂ (AII.18)

Con las constantes A y B iguales a:

( )

JB

x)hh(h

y)hh(2A 2

121

12

=

−+

−−=

(AII.19)

Las ecuaciones de cantidad de movimiento (AII.12) se transforman según la expresión general (AII.9), es decir:

=

+

∂

η∂+

∂

η∂

η∂∂

+

+

∂

ξ∂+

∂

ξ∂

ξ∂∂

+∂

∂

=

∂

η∂++

∂

η∂

η∂∂

+

∂

ξ∂++

∂

ξ∂

ξ∂∂

+∂

∂

0J

)vp(y

)vu(x

J

)vp(y

)vu(x

tv

0J

)vu(y

)up(x

J

)vu(y

)up(x

tu

22

22

(AII.20)

Operando, para el caso particular del cambio de variables definido, se llega a las expresiones:


( ) ( )

( ) ( )

=

+

−++

−+

−−

η∂∂

+

ξ∂∂

+∂

∂

=

−++

+−+

−−

η∂∂

+

+ξ∂

∂+

∂

∂

0J

)vp(

x)hh(h2

Jvu

x)hh(h

y)hh(2Jvu

tv

0Jvu

x)hh(h2

Jup

x)hh(h

y)hh(2Jup

tu

2

1212

121

12

121

2

2121

122

(AII.21)

Ecuaciones que se simplifican bastante si se sustituye el valor del Jacobiano según el cálculo realizado en la ecuación (AII.16). Así, se llega a:

( )

( )

=

++

−η−

η∂∂

+

ξ∂∂

+∂

∂

=

++

−η−

η∂∂

+

+ξ∂

∂+

∂

∂

0)vp(vu2

)hh(Jvu

tv

0vuup2

)hh(Jup

tu

212

2122

(AII.22)

Si ahora se usa la ecuación de continuidad (AII.17), se puede simplificar esta última expresión, obteniéndose:

( )

=η∂

∂+

η∂

∂+

−−

η∂

∂−η−

ξ∂∂

+ξ∂

∂+

∂

∂

=η∂

∂−

η∂

∂++

−−

η∂

∂−η−

ξ∂

∂

−

ξ∂∂

+∂

∂

0v

vp

vu2

)hh(vu

2)hh(

J1)vu(

vJu

tv

0v

uu

vup2

)hh(p2

)hh(JJu

Jp

tu

1212

212122

(AII.23)



Anexo III. Glosario de términos empleados en técnicas numéricas. Las técnicas numéricas aplicadas a la Mecánica de Fluidos se prestan en la mayoría de los textos a la aparición de multitud de acrónimos o siglas, tanto de distintas técnicas utilizadas, como de instituciones que se dedican a la investigación en este campo. Esto puede sorprender inicialmente e incluso crear gran confusión. Este anexo surgió con el fin de poder servir de ayuda en la interpretación de alguno de los mencionados términos. No se pretende aclarar todos los matices de dichos términos (algunos de los cuales darían para escribir libros enteros) sino que se trata de indicar el brevemente su significado y su contexto de aplicación.

Se incluye a continuación un glosario de términos empleados habitualmente en textos y artículos relacionados con las técnicas numéricas. Algunos de los términos están relacionados con la aplicación de dichas técnicas numéricas al campo más específico de las turbomáquinas dentro de la Mecánica de Fluidos y algunas son más generales. También se incluyen los acrónimos de algunas instituciones u organismos que aparecen comúnmente en los textos. La organización de la información se hace dividiendo la lista completa en tres subgrupos, uno con los acrónimos de técnicas, algoritmos o estrategias numéricas, otro con las siglas de instituciones u organismos y un último con los acrónimos no clasificables en los dos grupos anteriores. Dentro de cada grupo, se ordenan las palabras por orden alfabético de sus iniciales y se explica su significado siguiendo el esquema tipo que se indica a continuación: ACRÓNIMO EN MAYÚSCULAS (significado en inglés de las iniciales). Breve explicación del origen o significado del término. AIII.1.- Acrónimos usuales en los textos de Mecánica de Fluidos Computacional. A

AC (Aditive Corrections). Correcciones en los valores de las variables en técnicas de multimallados. De forma más general se usan para indicar corriente alterna.

ADI (Alternating Direction Implicit). Método de resolución de ecuaciones lineales. Como indica su nombre se trata de un método implícito según direcciones alternativas. También se aplica este término para la solución de distintos algoritmos que siguen el mencinado procedimiento.

AF (Approximate Factorization Scheme). Técnica numérica de descomposición de derivadas por términos equivalentes hasta un determinado orden.

AFLBI (Approximate Factorization Linear Block Implicit Scheme). Esquema implícito basado en la factorización aproximada (AF) de las ecuaciones.

AMG (Algebraic Multi Grid). Estrategia multimallado algebraica. Constituye uno de los métodos más rápidos para solución de sistemas lineales de ecuaciones.


ARSM (Algebraic Reynolds Stresses Model). Modelo de turbulencia algebraico de las tensiones de Reynolds.

B BL (Baldwin-Lomax). Modelo de turbulencia algebraico. BC (Boundary conditions). Condiciones de contorno de un determinado problema. BFC (Body Fitted Coordinates). Coordenadas que siguen líneas de los contornos.

C CAD (Computer Aided Design). Diseño asistido por ordenador. Conjunto de técnicas de

dibujo en ingeniería apoyadas en el uso de ordenadores. CAE (Computer Aided Engineering). Ingeniería asistida por ordenador. Similar al término

anterior pero más amplio. CAM (Computer Aided Manufacturing). Fabricación asistida por ordenador. Término

también utilizado en contextos muy similares a los dos anteriores. CFD (Computational Fluid Dynamics). Técnicas numéricas aplicadas a la Mecánica de

Fluidos. CGC (Coarse Grid Correction). Modificación de la solución en técnicas multimallado a partir

del valor de las variables en la malla menos fina. CGM (Congugate Gradients Method). Método de los gradientes conjugados. CPPE (Consistent Pressure Poisson Equation). Método consistente utilizado en la ecuación de

Poisson para la presión. El método de la ecuación de Poisson para la presión se explica en el capítulo cuatro de esta tesis.

CPU (Central Proccess Unit). Unidad de procesado de datos de un ordenador. Constituye el núcleo básico de cualquier sistema informático.

CUPW (Convected Upwind Scheme). Algoritmo de solución de las ecuaciones aguas arriba. Desarrollado por Lacor en 1986.

D

DAES (Differential Algebraic Equations). Ecuaciones diferenciales resueltas por métodos algebraicos.

DO (Discrete Ordinates Radiation Model). Modelo de radiación discreto. DOC (Direct Operating Costs). Costes de operación directos. Término usado habitualmente

en aeronáutica. DRW (Discrete Random Walk). Movimientos discretos y aleatorios. DS (Direct Simulation). Método de simulación directa de las ecuaciones de gobierno. DTRM (Discrete Transfer Radiation Model). Modelo de radiación de la transferencia

discreta.

F FAS (Full Aproximated Storage). Método de almacenamiento de datos. FAVOR (Fractional Area/Volume Representation). Algoritmo que utiliza una malla

cartesiana como base para el dominio de la solución, calculando fracciones de volumen o área para cada cara de la discretización.

FCBR (Fully Coupled Blade Row). Tipo de cálculo del flujo en una turbomáquina que considera los efectos de varias coronas de álabes.


FCT (Flux Corrected Transport). Se trata del método precesor del TVD y fue introducido por Boris y Brook en 1973.

FDM (Finite Difference Method). El método de elementos finitos consiste en una discretización numérica de las ecuaciones de gobierno basada en la aproximación de derivadas por diferencias entre las variables.

FEM (Finite Element Method). El método de elementos finitos consiste en una discretización numérica de las ecuaciones de gobierno basada en la utilización de funciones de interpolación para las distintas variables.

FVM (Finite Volume Method). El método de elementos finitos consiste en una de discretización numérica de las ecuaciones de gobierno basada en la propiedad de conservación de dichas ecuaciones.

G

GCGTVD (Generalized Conjugate Gradient Total Variation Diminishing). Técnica numérica derivada de los métodos TVD.

GGDH (Generalized Gradient Diffusion Hypothesis). Hipótesis del gradient generalizado de difusión. Introducida por Daly y Harlow en 1970.

H

HOT (Higher Order Terms). Términos de orden superior. HP (High Pressure Stages). Escalones (Stages) de turbomáquinas de alta relación de

presiones.

I IBVP (Initial Boundary Value Problem). Tipo de problema cuya solución viene

condicionada por una determinada situación inicial o valor inicial de las variables. IC (Initial Conditions). Condiciones iniciales de un problema que evoluciona en el tiempo. IGV (Inlet Guide Vanes). Corona de álabes a la entrada de una turbomáquina.

L LED (Local Extremum Diminsishing). Técnica de solución de las ecuaciones desarrollada

por Jameson en 1993. Se trata de un esquema no oscilatorio de segundo orden de precisión.

LES (Large Eddy Simulation). Aproximación a las ecuaciones de Navier-Stokes usando las hipótesis de intercambio energético entre los vórtices de gran y pequeño tamaño. Discutido más en profundidad en el capítulo cuatro del texto.

LHS (Left Hand Side). Lado izquierdo de una igualdad matemática. LP (Low Pressure Stages). Escalones de baja presión en turbomáquinas. LSOR (Line Succesive Overrelaxation). Técnica de resolución de sistemas de ecuaciones

lineales basada en la utilización de un parámetro de sobrerrelajación. LU (Lower and Upper Diagonal). Método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

basado en los elementos por encima y por debajo de la diagonal. LU-SGS (Lower-Upper Symmetric-Gauss-Seidel Scheme). Similar al anterior pero

utilizando una estrategia Gauss-Seidel simétrica.

M MAC (Marker and Cell). Modelos de resolución de las ecuaciones diferenciales basados en

la utilización de mallados escalonados.


MARS (Monotone Advection and Reconstruction Scheme) Esquema de segundo orden con menor sensibilidad o precisión con la estructura de la malla y el “skewness”.

MHD (Magneto Hidrodynamics). Magnetohidrodinámica de Fluidos. MRF (Multiple Reference Frame). Métodos de resolución de las ecuaciones que se basan en

la utilización de varios sistemas de referencia. MUSCL (Monotone Upstream-Centered Schemes for Conservation Laws). Leyes de

conservación resueltas según algoritmos monótonos aguas arriba.

N NBC (Natural Boundary Conditions). Condiciones de contorno naturales. NS (Navier-Stokes). Ecuaciones de gobierno en Mecánica de Fluidos.

O OBC (Outflow Boundary Conditions). Condiciones de contorno de cualquier tipo, excepto

del tipo Dirichlet. También a veces se usa para hablar de Open Boundary Conditions, con el mismo significado.

ODE (Ordinary Differential Equations). Ecuaciones diferenciales simples, en contraposición con las PDE.

P

PDE (Partial Differential Equations). Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. PISO (Pressure Implicit with Spliting of Operators). Método de solución de las ecuaciones

para flujo incompresible. PNS (Parabolized Navier-Stokes). Modelo de las ecuaciones de Navier-Stokes

“parabolizadas”. Modelo intermedio entre el TSL y las ecuaciones reales. PPE (Pressure Poisson Equation). Método de resolución de las ecuaciones de gobierno para

flujo incompresible consistente en operar haciendo la divergencia de las ecuaciones de cantidad de movimiento y luego aplicar la condición de incompresibilidad.

PPNS (Partially Parabolized Navier Stokes). Idéntico al PNS pero haciendo la “parabolización” de forma parcial.

PSOR (Point Succesive Overrelaxation). Método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales basadas en la utilización de un parámetro de sobrerrelajación para acelerar la convergencia del método iterativo.

Q

QUICK (Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinetics). Algoritmos de interpolación cuadrática usados en la discretización de las ecuaciones en los métodos de volúmenes finitos.

R

RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes Equations). Ecuaciones de Navier-Stokes promediadas según esfuerzos de Reynolds. Técnicas de solución de las ecuaciones de gobierno discutidas en el capítulo cuatro de este documento.

RHS (Right Hand Side). Términos al lado derecho de una igualdad matemática. RIT (Rotor Inlet Temperature). Temperatura de entrada en el rotor. No se trata de un

término exclusivo de las técnicas numéricas, sino que es un término general usado en turbomáquinas.


RNG (Renormalization Group Theory). Teoría del grupo renormalizado. Técnica matemática utilizada como modelo de turbulencia.

RSM (Reynolds Stresses Model). Modelo de las tensiones de Reynolds. También llamado modelo de cierre de segundo orden para las ecuaciones de conservación.

RSE (Reynolds Stresses Equations). Ecuaciones que utiliza el método definido anteriormente (RSM).

RTE (Radiactive Transfer Equation). Ecuación de transferencia de calor por reacción radioactiva.

S

SCBR (Steady Coupled Blade Row). Resolución de las ecuaciones de la Mecánica de Fluidos en turbomáquinas considerando la interacción entre varias coronas de álabes. Modelos estacionarios.

SGS (Subgrid Scale). Escala de la malla inferior en un sistema de resolución por medio de varios mallados (multimallado).

SIMPLE (Semi Implicit Method for Pressure Linked Equations). Método de resolución de las ecuaciones de gobierno establecido por Patankar (1976).

SIMPLEC (Semi Implicit Method for Pressure Linked Equations Consistent). Una variación del método anteriormente descrito.

SIP (Strongly Implicit Method). Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales basados en algoritmos altamente implícitos.

SLIP (Symmetric Limited Possitive Schemes). Algoritmos definidos que conducen a sistemas de ecuaciones simétricos y con coeficientes positivos.

SPD (Symmetric Positive Definite Matrix). Matriz simétrica y definida positiva. SSBR (Steady Single Blade Row). Resolución de las ecuaciones en turbomáquinas

considerando únicamente el canal entre álabes de una única corona. SUDS (Skew Upwind Differencing Scheme). Método de resolución de las ecuaciones

basado en la diferenciación aguas arriba. Establecido por Raithby en 1976. SU/PG (Streamline Upwind Petrov Galerkin). Método espectral basado en la variación de la

función peso en elementos finitos para considerar la dirección del flujo. Desarrollado por Brook y Huges en 1982.

T

TDMA (Tri-Diagonal Matrix Algorithm). Algoritmo de resolución basado en la utilización de sistemas lineales tridiagonales.

TVD (Total Variation Diminishing). Algoritmo de resolución utilizado en modelos de flujos compresibles que controla la variación de la solución de forma no lineal. Introducido por Harten en 1983.

TSL (Modelo Thin shear Layer). Uno de los modelos de aproximación de las ecuaciones de Navier-Stokes. Se explica más en profundidad en el texto (capítulo cuatro).

TKE (Turbulent Kinetic Energy). Energía cinética turbulenta, normalmente nombrada con la letra k.

TSTE (Taylor Series Truncation Error). Error de truncatura de los distintos modelos que se basan en los desarrollos en series de Taylor.

U

UDS (User Defined Scalar). Escalar definido por el usuario. Término usado en los códigos numéricos comerciales.


U-P (Velocity – Pressure). Modelos que usan en su desarrollo las variables primitivas, es decir, la presión y la velocidad.

USLIP (Upwind Symmetric Limited Possitive Schemes). Esquemas aguas arriba y simétricos con valores positivos.

V

VOF (Volume Of Fluid). Algoritmo que intenta capturar el movimiento de las partículas siguiendo la fracción de flujo que atraviesa cada cara del mallado.

VTE (Vorticity Transport Equations). Ecuaciones de transporte de la turbulencia. Suele darse este nombre a las técnicas numéricas que utilizan la vorticidad.

W

WSGGM (Weighted Sum of Gray Gases Model). Modelo de la suma de los gases grises. Es un modelo usado en combustión.

AIII.2.- Instituciones y organismos que aparecen habitualmente en textos numéricos.

AGARD (Advisory Group for Aerospace Research & Development). Consejo para la

investigación y desarrollo aeroespacial. Perteneciente a la OTAN. AIAA (American Institute of Aeronautics and Astronautics). Instituto Americano par la

aeronáutica y la astronáutica. API (American Petroleum Institute). Instituto Americano del petróleo. Estados Unidos. ASME (American Society of Mechanical Engineers). Asociación Americana de Ingenieros

Mecánicos. Entre otras muchas actividades, publican los PTC (Performanes Test Code) o códigos para ensayos experimentales.

ASPE (American Society of Plumbing Engineers). Sociedad Americana de Ingenieros dedicados al diseño e instalación de conductos. Estados Unidos.

ASRHAE (American Society of Heating, Refrigeration, and Air Conditioning Engineers). Sociedad Americana de Ingenieros dedicados a instalaciones de calefacción, refrigeración y aire acondicionado.

BHRA (British Hidromechanics Research Association). Asociación Británica para la investigación hidromecánica. Inglaterra.

BRITE (Basic Research In Technology for Europe). Programa Europeo para el desarrollo de investigación tecnológica básica.

CALTECH (California Institute of Technology). Instituto de Tecnologías en California (Estados Unidos).

CETIM (Centre Technique d’Industries Mécaniques). Centro Tecnológico de Industrias Mecánicas. Situado en Nantes, Francia.

CGPM (Conférence Général des Poids et Mesures). Comité Internacional de Pesas y medidas. Creado en Francia, estableció en 1960 el SI (Sistema Internacional) de medidas.

CREMHYG (Centre de Recherche et d’Essais de Machines Hydrauliques de Grenoble). Centro de Investigación y ensayo de máquinas hidráulicas de Grenoble, Francia.

DFVLR (Deutsche Forschungs-und Versuchsanstalt für Luft- und Raumfahrt). Laboratorio para la investigación en Alemania.

EUROMECH (European Mechanics Society). Sociedad Europea para la Ingeniería Mecánica.


GALCIT (Graduate Aeronautical Laboratories at California Institute of Technology). Laboratorios de aeronáutica en el CALTECH.

HENSA (Higher Education National Software Archive). Archivo Nacional de Software dedicado a la Educación. Institución de Inglaterra.

HVAC (Automotive Heating, Ventilation and Air Conditioning engineers). Asociación de los Ingenieros dedicados a la calefacción, ventilación y aire acondicionado en automóviles. Estados Unidos.

IGTI (International Gas Turbine Institute). Instituto Internacional dedicado a las Turbinas de Gas. Organismo dependiente del ASME.

ISABE (International Society for Air Breathing Engines). Sociedad Internacional para los Motores de Combustión que utilizan el aire.

JPL (Jet Propulsion Laboratory). Es una de la instituciones o laboratorios que funcionan dentro del CALTECH.

JSME (Japanese Society of Mechanical Engineers). Sociedad Japonesa de Ingenieros Mecánicos.

LLNL (Lawrence Livermore National Laboratory). Laboratorio Americano dedicado a la Mecánica de Fluidos. Estados Unidos.

MIT (Massachussets Institute of Technology). Instituto Tecnológico de Massachussets. Uno de los grandes centros de Investigación a nivel mundial.

MTU (Motoroen-und Turbinen-Union Munchen). Instituto para la investigación en Motores y Turbinas. Munich (Alemania).

NACA (National Advisory Committee for Aeronautics). Comité Nacional para la Aeronáutica. Es el organismo predecesor de la NASA. Estados Unidos.

NASA (National Aeronautics and Space Administration). Administración Nacional para la Aeronáutica y el Espacio. Estados Unidos.

NGTE (National Gas Turbine Establisment). Instituto para las Turbinas de Gas. Estados Unidos.

NIST National Institute of Standards and Technology). Instituto Nacional para la Normativa y las Tecnologías. Estados Unidos.

NRC (Nuclear Regulatory Commission). Comisión Reguladora de actividades Nucleares. Estados Unidos.

ONERA (Office National d’Etudes et de Recherche Aéroespatiales). Oficina Nacional para la Investigación. Paris, Francia.

RAE (Royal Aircraft Establishment). Academia Real para la Aviación. Inglaterra. ROMAC (Rotating Machinery and Controls). Máquinaria rotativa y controles. Centro de

investigación de la Universidad de Virginia (Estados Unidos). SHF (Société Hydrothermique de France). Sociedad para estudios Hidráulicos y Térmicos

de Francia. UMIST (University of Manchester Institute of Science and Technology). Instituto de

Ciencia y Tecnología de la Universidad de Manchester (Inglaterra). UTRC (United Technologies Research Center). Centro de investigación en varias áreas de la

ingeniería. Connecticut (Estados Unidos). VKI (von Karman Institute). Instituto de Investigación von Karman. Dedicado a

investigación sobre Mecánica de Fluidos. Situado en Bélgica.


ISBN 84-607-9546-2

Documents

Area de mecanica de fluidos universidad de oviedo