Universidad Tecnica Federico Santa MaraDepartamento de Matematica

Coordinacion de MAT022

Gua de ejercicios de Area de superficies de revolucion, centroide y Teorema de Pappus.

AREA DE SUPERFICIE DE REVOLUCION

1. Dada la parte de la parabola C : x = t2, y = 2t, t [0, 3]. Encuentre el area que se obtiene al rotar la curvaC alrededor del eje X. Rpta:

8pi

3(10

10 1)

2. Dada la CICLOIDE C : x = a(t sen t, y = a(1 cos t), t [0, 2pi]. Hallar el area generada al rotar la curvaC alrededor de su eje simetra, o sea x = pia. Rpta: 8pia2(pi 4

3)

3. Calcule el area de la superficie generada al rotar la astroide C : x = a cos3 t, y = a sen3 t, 0 t 2pialrededor del eje X.

4. Calcular el area S de la superficie de revolucion generada por la grafica y = 2x, 0 x 8 al rotar alrededor

del eje X. Rpta:208pi

3

5. El arco de la curva y = ex, para x 0 gira alrededor del eje X. Hallar el area de la superficie generada.Rpta: pi[

2 + ln(1 +

2)]

6. Hallar el area de la superficie generada al girar alrededor del eje X la curva C : x(t) = et sen t, y(t) =

et cos t, t [0, pi/2]. Rpta: 2pi

2(epi 2)/5.7. Hallar el area de la superficie generada por la rotacion del arco y =

a2 x2, x [3.3]

(a) Alrededor de la recta y = a. Rpta: 2pia2(2 pi)(b) Alrededor de la recta y = a. Rpta: 2pia2(pi 2)

8. En el instante t una partcula se encuentra en la posicion x = t+ 1, y =1

2t2 + t, t [0, 4]. Si esta curva es

rotada alrededor del eje Y , encuentre el area superficiel generada. Rpta:2pi

3(26

26 2

2)

9. Hallar el area de la superficie generada al rotar la parabola y2 = 4ax alrededor del eje X, desde el verticehasta el punto cuya abscisa es x = 3a. Rpta: 56pia2/3

10. Se hace rotar alrededor del eje X la region limitada por y = 1/x, el eje X y la recta x = 1, que esta a laderecha de esta recta. Demostrar que el volumen del solido generado es finito, pero que el area de la superficiees infinita.

11. Hallar el area S de la superficie del Elipsoide obtenido al girar la elipse:x2

a2+y2

b2= 1, 0 < b < a.

(a) Alrededor del eje X. Rpta: 2pib2 +2piab

darcsen d, donde d =

a2 b2/a

(b) Alrededor del eje Y . Rpta: 2pia2 + (pib2

dln

1 + d

1 d ), donde d =a2 b2/a

12. Hallar el area de la superficie generada al rotar la curva r = 2a cos

(a) Alrededor del eje X. Rpta: 4pia2

(b) Alrededor del eje Y . Rpta: 4pi2a2

13. Calcular elarea superficiel S generado al rotar la cardioide r : a(1 + cos , a > 0, 0 pi, alrededor deleje polar. Rpta: 32pia2/5

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CENTROIDE

14. Hallar el centroide de la semicircunferencia y =a2 x2, x [a, a], a > 0. Rpta: (0, 2a/pi)

15. Hallar el controide del segmento parabolico C : y2 = 4x, x [0, 1]. Rpta: 4pi2a2 Rpta: (0.366, 0)16. Hallar el centroide de la cardioide r : 1 + cos , [0, pi] Rpta: (0.8, 0.8)17. Hallar el centroide de la cardioide r : 1 + cos Rpta: (0.8, 0)

18. Hallar el centroide de la curva 9y2 = 4x3 entre los puntos (1,2/3) y (1, 2/3)Rpta: ((2

2 + 2)/(10

2 5), 0)

19. Hallar el centroide de la astroide C : x = a cos3 t, y = a sen3 t, a > 0 en el primer cuadrante. Rpta:(2a/5, 2a/5)

20. Hallar el centroide de la region R definida porx2

a2+y2

b2 1, x 0, y 0. Rpta: ( 4a

3pi,

4b

3pi)

21. Sea R el triangulo en el plano XY de vertices (0, 0), (9, 0) y (9, 6). Encuentre su centroide. Rpta: (6, 2)

22. Hallar el centroide de la region R encerrada por las graficas de y = x2 y la recta y = 4. Rpta: (0, 12/5)

23. Hallar el centroide de la region acotada por las graficas y =

1 + x2, x = 1, x = 2 y el eje Y .

Rpta: (2

3

5

5 1[2

5 + ln(2 +

5)],

14

3[2

5 + ln(2 +

5)])

24. Hallar el centroide de la region en el primer cuadrante acotada por la curva y = cosx y la recta x = pi/2.

Rpta: (pi

2 1, pi

8)

25. Hallar el centroide de la region R limitada por las graficas de y = 4x2, y = x4. Rpta: (5/4, 16/3)

26. Hallar el centroide de la region limitada por las curvas:

(a) y = x3, y =x, x [0, 1] Rpta: (12/25, 3/7)

(b) x2 = 16y, x = y2 2y Rpta: (44/15, 28/15)(c) y = lnx, 1 x e y eje X. Rpta: (e

2 + 1

4,e 2

2)

TEOREMA DE PAPPUS

27. Un triangulo de lado a rota alrededor de una recta L que se encuentra en su mismo plano; esta recta esparalela a la base y se encuentra a b unidades de ella. mediante Teoremas de Pappus encontrar el Area de la

superficie y el volumen del solido generado. Rpta: A = pi a(

3a+ 6b), V =pi

12a2

3(

3a+ 6b)

28. Mediante el teorema de Pappus hallar el volumen de un cono circular recto cuyo radio de la base es r y cuyaaltura es h.

29. Sea R la region acotada por la semicircunferencia y =a2 x2 y el eje X Calcule el volumen V del solido

de revolucion generado por la rotacion de R alrededor de la recta L : y = x a. Rpta: V = pia3(4+3pi)3pi2

30. Determinar el area de la superficie de revolucion generada por la rotacion del primer arco de la cicloideC : x = t sen t, y = 1 cos t, t [0, 2pi] y la recta L : y = x+ 4/3 Rpta: A = 82pi2

31. Mediante el Teorema de Pappus hallar el volumen del solido generado por la revolucion de un triangulo cuyoslados miden a, b, a > b > 0, alrededor de un eje que pasa por su vertice perpendicularmente a la diagonal.Rpta: piab

a2 + b2

32. Calcule el area y el volumen del Toro que se obtiene al girar un disco de radio a alrededor de una recta quedista b de su centro, b > a > 0. Rpta: V = 2pi2a2b

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