-
Departamento de Ciencias MatemticasMatemticas 2
rea entre curvas
Profesor: Gustavo Castaeda R.
1. rea entre curvas
En esta seccin se indica cmo calcular el rea comprendida entre
las grficas de dos funciones.
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6
y = f(x)
y = g(x)
Figura 1: rea entre las curvas y = g(x) y = f(x), 1 x 6.
En la figura se indica el dibujo de una regin comprendida entre
la grficas de dos funciones y = g(x),y = f(x) y las grficas de dos
rectas verticales x = 1, e x = 6. Esta regin est limitada
inferiormente por lagrfica de y = g(x), superiormente por la grfica
de y = f(x), y lateralmente por las rectas verticales x = 1,x = 6.
Por consiguiente el rea de la regin corresponde al rea debajo de la
funcin y = f(x) menos el readebajo de la funcin y = g(x), para 1 x
6, es decir,
A =
61
f(x) dx 61
g(x) dx
=
61[f(x) g(x)] dx
Observe que la regin anterior est en el primer cuadrante. En
general, el rea de una regin que no estenecesariamente en el primer
cuadrante, y comprendida entre dos funciones, digamos y = f(x) y y
= g(x),donde g(x) f(x) y a x b, est dada por la expresin
A = [rea debajo de y= f(x)] menos [rea debajo de y= g(x)]
=
b
a
f(x) dx
b
a
g(x) dx
=
b
a
[f(x) g(x)] dx.
A continuacin se consideran algunos ejemplos.
Ejemplos.
1. Determinar el rea de la regin comprendida entre las grficas
de las funciones y = x2 2x 3,y = 2x+ 1.Solucin. Para determinar la
regin comprendida entre las grfica de las dos funciones se
debendeterminar primero los puntos de interseccin, para lo cual se
igualan la dos funciones y se resuelve laecuacin,
-
f(x) = g(x)
x2 2x 3 = 2x+ 1x2 4 = 0
(x 2)(x+ 2) = 0.
luego x = 2 x = 2; y al remplazar el valor de x en cualquiera de
las funciones f(x) g(x) seencuentran las ordenadas de los puntos de
interseccin.
Si x = 2, g(2) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 3, un punto es (2,3),Si x =
2, g(2) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5, otro punto es (2, 5).
Ahora, la grfica de y = x22x3 corresponde a una parbola, por ser
de la forma y = ax2+bx+c, quese abre hacia arriba (a=1 >0), y
tiene vrtice en x = b2a =
22(1)1, y = (1)
2 2(1) 3 = 1 2 3 = 4,as el vrtice es V 1,4). La grfica de y =
2x+1 corresponde a una linea recta. Como (2,3),(2, 5)son puntos
comunes, las grficas de las dos funciones pasan por cada uno de
estos puntos. En la figuraadjunta se indica la regin
correspondiente.
1
2
3
4
5
12345
1 2 3123
Figura 2: rea entre las curvas y = x2 2x 3, y = 2x+ 1.
Ahora, como la grfica de la funcin y = 2x+ 1 est encima la
grfica de la funcin y = x2 2x 3en el intervalo 2 x 2, el rea de la
regin es
A =
22
(2x+ 1) dx 22
(x2 2x 3) dx
=
22
(2x+ 1 x2 + 2x+ 3) dx
=
22
(x2 + 4) dx
=
(x33
+ 4x
2
2
= (83
+ 8) (83 8) = 16
3+ 16 =
32
3
.= 10,6666
-
2. Determinar el rea de la regin comprendida entre las grfica de
las funciones f(x) = x3 x2 6x,g(x) = 0.
Solucin. Para determinar la regin comprendida entre las grfica
de las dos funciones se debendeterminar primero los puntos de
interseccin, para lo cual se igualan la dos funciones y se resuelve
laecuacin.
f(x) = g(x)
x3 x2 6x = 0x(x2 x 6) = 0
x(x 3)(x+ 2) = 0.
luego x = 0 x = 3 x = 2; y al remplazar el valor de x en
cualquiera de las funciones f(x) g(x)se encuentran las ordenadas de
los puntos de interseccin.Si x = 0, g(0) = 0, un punto es (0, 0);
si x = 3, g(3) = 0, otro punto es (3, 0); si x = 2, g(2) = 0,
elotro punto es (2, 0).Ahora, la grfica del g(x) = 0, es decir, y =
0 corresponde al eje x; y como las grficas se cruzan enlos puntos
(2, 0), (0, 0), (3, 0), para reconocer si la grfica de f est por
encima o por debajo de g seanalizan los valores de f y g en los
intervalos [2, 0], [0, 3].Si se elige cualquier valor al interior
del intervalo [2, 0], digamos x = 1 se tiene f(1) = (1)3 (1)2 6(1)
= 4; g(1) = 0. Como f(1) > g(1), entonces la grfica de f est por
encima de lagrfica de g en el intervalo [2, 0].Ahora, si se elige
cualquier valor al interior del intervalo [0, 3], digamos x = 1 se
tiene f(1) = (1)3 (1)2 6(1) = 6; g(1) = 0. como f(1) < g(1),
entonces la grfica de f est por debajo de la grfica deg en el
intervalo [0, 3].
1
2
3
4
5
12345
1 2 3123
Figura 3: rea entre las curvas y = x3 x2 6x, y = 0
En la figura adjunta se indica la grfica de la regin sombreada.
Esta regin est compuesta por dossubregiones. R = R1 R2. En la regin
R1 se cumple f(x) g(x), y en la regin se cumple R2f(x) g(x);
entonces,El rea de la regin R1 est dada por
02
[f(x) g(x)] dx = 02
[(x3 x2 6x) (0)] dx
=
(x4
4 x
3
3 3x2
0
2
= (0) (4 + 83 12)
=16
3
.= 5,3333
-
El rea de la regin R2 est dada por
30[g(x) f(x)] dx =
30[(0) (x3 x2 6x)] dx
=
30(x3 + x2 + 6x)) dx
=
(x44
+x3
3+ 3x2
3
0
= (814
+ 9 + 27) (0)
= (814
+ 9 + 27) (0)
=63
4
.= 15,75
Entonces el rea de la regin sombreada es igual a la suma de las
reas de las dos subregiones, o sea ,163 +
634 =
25312
.= 21,0833
3. Determinar el rea de la regin comprendida entre las grficas
de las funciones f(x) = x36x2+9x
4 ,g(x) = 0, en el intervalo [1, 5].Solucin. Para determinar la
regin comprendida entre las grfica de las dos funciones se
debendeterminar primero los puntos de interseccin, para lo cual se
igualan la dos funciones y se resuelve laecuacin.
f(x) = g(x)
x3 6x2 + 9x4
= 0
x3 6x2 + 9x = 0x(x2 9x+ 9) = 0
x(x 3)2 = 0.
luego x = 0 x = 3; y al remplazar el valor de x en cualquiera de
las funciones f(x) g(x) seencuentran las ordenadas de los puntos de
interseccin.Si x = 0, g(0) = 0, un punto es (0, 0); si x = 3, g(3)
= 0, otro punto es (3, 0).Ahora 1 x 5, la grfica de g(x) = 0
corresponde al eje x, y las grficas se cruzan en lospuntos (0, 0),
(3, 0); para reconocer si la grfica de f est por encima o por
debajo de g en el intervalo1 x 5, se analizan los valores de f y g
en los intervalos [1, 0], [0, 3], [3, 5] .Si se elige cualquier
valor al interior del intervalo [1, 0], digamos x = 12 se tienef(12
) =
(12)36(1
2)2+9(1
2)
4 =4932 < 0, g(
12 ) = 0, entonces f(1) < g(1) y as la grfica de f est
por debajo de la grfica de g en el intervalo [1, 0].Si se elige
cualquier valor al interior del intervalo [0, 3], digamos x = 1 se
tiene
f(1) = (1)36(1)2+9(1)
4 = 1; g(1) = 0; como f(1) > g(1), entonces la grfica de f
est por encima de lagrfica de g en el intervalo [0, 3].
Ahora, si se elige cualquier valor al interior del intervalo [3,
5], digamos x = 4 se tiene
f(4) = (4)36(4)2+9(4)
4 = 1; g(1) = 0; como f(1) > g(1), entonces la grfica de f
est por encima de lagrfica de g en el intervalo [0, 3].
En la figura adjunta se indica la grfica de la regin sombreada.
Esta regin est compuesta por tressubregiones. R = R1 R2 R3. En la
regin R1 se cumple f(x) g(x), en la regin R2 se cumplef(x) g(x), y
en la regin R3 se cumple f(x) g(x); entonces
-
12
3
4
5
12345
1 2 3 4 512
Figura 4: rea entre las curvasx(x 3)2
4y y = 0 en [1, 5]
El rea de la regin R1 est dada por
01
[g(x) f(x)] dx = 01
[(0)
(x3 6x2 + 9x
4
)]dx
=1
4
01
(x3 + 6x2 9x) dx
=27
16
.= 1,6875
El rea de la regin R2 est dada por
30[f(x) g(x)] dx =
30
[(x3 6x2 + 9x
4
) (0)
]dx
=1
4
30(x3 6x2 + 9x) dx
=27
16
.= 1,6875
El rea de la regin R3 est dada por
43[f(x) g(x)] dx =
43
[(x3 6x2 + 9x
4
) (0)
]dx
=1
4
43(x3 6x2 + 9x) dx
=5
16
.= 0,3125
Entonces el rea de la regin sombreada es igual al la suma de las
reas de las tres subregiones, o sea,
27
16+
27
16+
5
16=
59
16
.= 3,6875
-
Ejercicios. Encontrar el rea de la regin comprendida entre las
grficas de las funciones y = f(x), y = g(x).Dibujar la regin.
1. f(x) = x2 x+ 2, g(x) = 2x+ 2.
2. f(x) = x2 + 1, g(x) = 2x4.
3. f(x) = x4 x2, g(x) = 3x2.
4. f(x) = x2 + 2x, g(x) = 4 x2.
5. f(x) = 3x, g(x) =
x.
6. f(x) = x3 3x2, g(x) = 0.
7. f(x) = xx+ 2, g(x) = x+ 2.
8. f(x) = x3 4x2 + 4x, g(x) = x2 2x.
Ejercicios.
9. Encontrar el rea de la regin comprendida entre la grfica de
la funcin y = x2 + x+ 2, y por
a) el eje x.
b) el eje y, y la recta x = 1.
c) el eje x, y la recta x = 3.
10. Encontrar el rea de la regin comprendida entre la grfica de
la funcin y = x4 + 3x3, y por
a) la recta y = 0
b) las rectas x = 2, x = 1.
11. Encontrar el rea de la regin comprendida entre la grfica de
la funcin y = xx2+1 , y las rectas x = 1,
x = 1, y = 0.
12. Encontrar el rea de la regin comprendida entre la grfica de
la funcin y = x2, y las rectas y = 2x,y = 0.
13. Encontrar el rea de la regin comprendida entre la grfica de
la funcin y = x3 x2 6x, y por
a) el intervalo [1, 3] en el eje x.
b) el intervalo [2, 3] en el eje x.c) el intervalo [1, 4] en el
eje x.
14. Encontrar el rea de la regin comprendida entre la grfica de
la funcin y = x(x 3)2, y por
a) el intervalo [0, 3] en el eje x.
b) el intervalo [0, 4] en el eje x.
c) el intervalo [1, 3] en el eje x.
15. Encontrar el rea de la regin comprendida entre la grfica de
la funcin y = x2(x 2), y por
a) el intervalo [0, 2] en el eje x.
b) el intervalo [0, 3] en el eje x.
c) el intervalo [1, 1] en el eje x.
-
Respuestas.
1. 4,5
2. 1,8666
3. 8,5333
4. 9,0
5. 0,08333
6. 6,75
7. 5,86657
8. 3,08326
9. a) 4,5
b) 2,1666
c) 6,3333
10. a) 12,15
b) 6,55
11. 0,6931
12. 4,5
13. a) 12,6666
b) 21,0832
c) 23,0831
14. a) 6,75.
b) 8,0
c) 13,5
15. a) 1,3333
b) 4,9166
c) 1,3333
