REAS DE SUPERFICIES DE REVOLUCIN1. Superficies de Revolucin: Una
superficie de revolucin es aquella que se genera mediante la
rotacin de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta
directriz, llamada eje de rotacin, la cual se halla en el mismo
plano que la curva.
Ejemplos comunes de una superficie de revolucin son:Una
superficie de revolucin cilndrica es generada por la rotacin de una
lnea recta, paralela al eje de rotacin, alrededor del mismo; esta
superficie determina un volumen denominado cilindro, que se
denomina slido de revolucin; la distancia entre el eje y la recta
se denomina radio.Una superficie de revolucin cnica es generada por
la rotacin de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un
punto, llamado vrtice o pice, de forma que el ngulo bajo el que la
generatriz corta al eje es constante; la superficie cnica delimita
al volumen denominado cono.Una superficie de revolucin esfrica est
generada por la rotacin de una semicircunferencia alrededor de su
dimetro; sta encierra al slido de revolucin llamado esfera.Una
superficie de revolucin toroidal est generada por la rotacin de una
circunferencia alrededor de un eje que no la interseca en ningn
punto; esta superficie se denomina toro.2. AplicacionesLa
utilizacin de superficies de revolucin es esencial en diversos
campos de la fsica y la ingeniera, as como en el diseo, cuando se
dibujan objetos digitalmente, sus superficies pueden ser calculadas
de este modo sin necesidad de medir la longitud o el radio del
objeto.La alfarera, y el torneado industrial, moldean y modelan
volmenes con variadas superficies de revolucin de gran utilidad y
uso cotidiano.3. rea de una superficie de revolucin
Supongamos una funcin f(x) continua en . Asumiendo que f(x) es
en ese intervalo. Cuando su grfica gira en torno al eje ox, barre
una superficie, como se muestra en la figura.
Consideremos una seccin muy corta del grfico y=f(x). es casi
recta. Aproximemos por un pequeo segmento muy corto de longitud ds,
un nmero muy pequeo. Cuando este pequeo segmento gira en torno al
eje x barre una franja angosta.
Se puede estimar el rea de esta franja, entonces se obtiene una
aproximacin local del rea de la superficie. A partir de la
aproximacin local se puede establecer una integral indefinida para
el rea de la superficie entera.
Supongamos que la franja se corta y se estira. Parece razonable
que le rea de esta franja extendida, sea cercana al rea de un
rectngulo extendido de longitud y ancho ds, como se indica.
La aproximacin local del rea entonces est dada por:
Aproximacin local = Que condice a la frmula:
rea de la superficie de revolucin:
Para la curva que gira en torno al eje ox, en el intervalo . Est
dada por:
, como:
Esto da la frmula: Que aqu podemos concluir que el rea
superficial para rotacin alrededor del eje x est dada por:
4. REA SUPERFICIAL PARA ROTACIONES ALREDEDOR DEL EJE Y
Si es continuamente diferenciable en , el rea de la superficie
generada al hacer girar la curva alrededor del eje y es:
BIBLIOGRAFA1. Calculo 1 De una Variable: Novena EdicinRon Larson
Bruce H. EdwardsNovena Edicin2010Mc Graw Hill Editores S.A.Mexico
D.F.
2. Thomas Calculo de Una VariableGeorge B. Thomas, Jr.Editorial
Pearson Educacin
