Areas y Solidos de Revolucion

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CÁLCULO INTEGRAL GUIA UNIDAD 4

1. PREREQUISITOS:

Los temas necesarios para esta unidad son:

� Funciones. � Fórmulas de Volúmenes y áreas de figuras geométricas. � Saber encontrar los puntos de intersección entre curvas. � Límites. � Derivadas. � Integral Definida.

2. MATERIAL DE APOYO :

� Libro de texto: STEWART, J.: “Cálculo de una variable”, (Sexta edición). Cengage Learning. 2008. � Tabla de integrales y fórmulas extraídas del texto. � Software matemático � Calculadora con CAS

GUIA DE APRENDIZAJE

Nombre de la asignatura : CÁLCULO INTEGRAL Código : 5758

Unidad 4 : APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Guía : 4/5 Tiempo estimado para desarrollo :

Autores de la Guía : ICFM Revisado por: ICFM

OBJETIVOS ESPECIFICOS

� Calcular el área de una región plana. � Calcular el volumen de un sólido de revolución. � Calcular el volumen de un sólido por cortes transversales. � Resolver problemas prácticos los cuales requieren las evaluación de integrales definidas (ramas de

ingeniería). � Calculo de trabajo de una fuerza variable. � Determinar fuerza total hidrostática ejercida por un fluido. � Obtener el valor medio y la raíz media cuadrática (RMS) de una función en un intervalo cerrado.

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3. ACTIVIDADES ESPECÍFICAS � Una lectura compresiva de las definiciones, enunciados, y ejemplos desarrollados en clase. � Elaboración grupal de las respuestas del cuestionario, justificación de cada etapa del desarrollo de

ejercicios. Discusión grupal sobre procedimientos, resultados. � Análisis crítico de los ejercicios desarrollados.

4. METODOLOGÍA DE TRABAJO

� El docente durante la clase definirá los conceptos necesarios para el desarrollo de la guía. Para lo cual es imprescindible que el estudiante analice la teoría con anterioridad para facilitar el proceso enseñanza-aprendizaje.

� En clase los estudiantes organizan equipos de hasta 2 estudiantes (dependiendo del número de estudiantes por curso) para desarrollar las actividades de la guía propuesta

� El docente realiza el control de desarrollo de guías y califica en clase según la rúbrica de evaluación y si no termina el grupo de desarrollar completamente la guía, entonces entregará la parte faltante al final de la clase o en la siguiente sesión.

5. ACTIVIDADES PREVIAS( EXTRACLASE)

5.1. Grafique las siguientes funciones a) f(x) = �� + � b) f(x) = √� + � 5.2. Encontrar los puntos de intersección de las siguientes funciones. a) y=2-x2 , y=x b) y= x2-4x+3 ; x – y - 1=0 5.3. Indique la ecuación de la siguiente figura.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

3


5.4. Sin la utilización de tablas de integración realizar las siguientes: a) � �� b) � ��

c) � �� 6. TEORIA

6.1 AREAS DE REGIONES PLANAS 6.1.1 ÁREA BAJO UNA CURVA

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6.1.2 ÁREA ENTRE CURVAS

Ejemplo 1:

5


6


6.1.3 ÁREA DE REGIONES SIMPLE- y

7


EJEMPLO 2:

8


9


6.2. VOLUMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION

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12


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Ejemplo 3:

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Ejemplo 4:

16


Ejemplo 5:

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6.3. Areas de Superficies de Revolución.

18


Entonces la fórmula es :

19


Ejemplo 7:

Ejemplo 8:

20


6.4 Valor Promedio de una Función

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Teorema de Valor medio para Integrales

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7. ACTIVIDADES

AREAS ENTRE CURVAS AC1. Determinar el área de la región, limitada por las curvas: � = "# − " = 3" &�'. )*�+ = ,-�

AC2. Calcular el área de la región acotada por las tres curvas:

./0/1 = 1" = 1"3" = 2

&�'. )*�+ = �� − �� -�

AC3. Dada la siguiente gráfica

Halle :

a) Las ecuaciones de las curvas. Respuesta: x2; (x-2)2; x=3 b) Gráfique con software matemático solamente la región indicada c) El área de las curvas R=8 u2

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VOLUMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION AC4.Encuentre el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región delimitada por las curvas dadas alrededor de la recta especificada. Grafique la región, el sólido y un disco o arandela representativos.

a) 5 = "3 = √8"789:;:;<9 ;:8 :=: " = −1 &�'>. )*�+ = �?��? @ -A

b) B = "# = "" ≥ 0789:;:;<9 ;:8 :=: " &�'>. )*�+ = E@�� -A

c) 5 3 = "" = 2 789:;:;<9 ;:8 :=: &�'>. )*�+ = �E@�? -A

d)

./0/1 = :�FG = 0" = 0" = 1789:;:;<9 ;:8 :=:

&�'>. )*�+ = @�� − �� -A

SUPERFICIE DE REVOLUCION

AC5. Determine el área de la superficie obtenida al hacer girar la curva respecto al eje x.

a) y = x3 , 0 ≤ x ≤2

b) � = �A �H� + ��A� 1 ≤ y ≤2

AC6. Determine el área de la superficie obtenida al hacer girar la curva respecto al eje y.

a) � = I+� − H� ¸ 1 ≤ y ≤a/2

VALOR PROMEDIO DE UNA FUNCION

AC7. La densidad lineal, de una varilla de 8 mts. de longuitud es J3√F�J (kg/m) , donde x se mide en metros

desde un extremo de la varilla. Determine la densidad promedio de la varilla. R: 6 kg/m

AC8. Una taza de café tiene una temperatura de 95°C y le toma 30 minutos enfriarse a 61°C en una habitación con una temperatura de 20°C. Utilice la ley del enfriamiento de Newton, para demostrar que la temperatura del café después de t minutos es:

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K�L� = 20 + 75:�OP Donde k≈0.02

b) ¿Cuál es la temperatura promedio del café durante la primera hora?. R: 76.4°C

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REFUERZO

LIBRO GUIA: CALCULO DE UNA VARIABLE AUTOR: JAMES ST EWART SEXTA Pagina Ejercicio Literales 420 6.1 9, 13 430 6.2 13,17, 51, 52 445 6.5 7, 9, 13, 18 530 8.1 3, 9, 13, 21 531 8.1 40 537 8.2 1, 5, 11, 25

REVISIÓN DE CONCEPTOS REVISIÓN DE CONCEPTOS REVISIÓN DE CONCEPTOS REVISIÓN DE CONCEPTOS LIBRO: CALCULO ; AUTOR: PURCELL; EDICIÓN : NOVENA Pagina Sección Literales 258 Revisión de Conceptos 1, 2, 3, 4 279 Revisión de Conceptos 1, 3, 4 286 Revisión de Conceptos 1, 2, 3, 4 293 Revisión de Conceptos 1, 2, 3, 4 300 Revisión de Conceptos 1, 2, 3, 4

7. OBSERVACIONES ESPECIALES

� Revise los conceptos vistos en clase, que están relacionados con esta guía. � Desarrollar todos los ejercicios propuestos en esta guía y los recomendados por el docente. � Utilice software matemático para ayuda con las gráficas de algunos ejercicios. � Ante cualquier duda, pregunte a su profesor.

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