Ari iiib 5° sec

ARITMÉTICA

ARITMÉT

Prof: ANTHONY VILLACORTA PANDURO 1

CONTENIDO TEMÁTICO

SISTEMA DE NUMERACIÓNCambios de BasePropiedades de la Numeración

CUATRO OPERACIONESAdiciónSustracciónMultiplicaciónDivisión

TEORÍA DE LA DIVISIBILDAD Divisibilidad en el Binomio de Newton

Restos Potenciales

ARITMÉTICA

SISTEMA DE NUMERACIÓN

Antiguamente los egipcios, griegos y romanos tenían formas distintas de representar los números, la base de su numeración era decimal. Otros pueblos elaboraron distintos sistemas. Por ejemplo, los babilónicos tenían como base el sesenta; los mayas en América, desarrollaron un sistema de base veinte. En cambio los Hindúes habían desarrollado un práctico sistema de numeración numeral, al descubrir el cero y el valor posicional de las cifras. Loa árabes dieron a conocer el sistema de Europa a partir del siglo VII por eso nuestras cifras se llaman indoarábicos. En el siglo XVIII Leibnits descubrió la numeración de base binaria y la posibilidad de infinitos sistemas de numeración.En la actualidad el lenguaje de los números en forma hablada y escrita tiene su alfabeto, que hoy en día se utiliza en todas las naciones y se denomina Sistema Decimal de Numeración que utiliza las diez cifras del 0 al 9 Además, el uso de los sistemas binarios y hexadecimal que son los que utilizan las computadoras para realizar sus cálculos.

NUMERO:Idea o abstracción de una cantidad observada en la realidad concreta.

NUMERAL:Símbolo empleado para representar un número. Es como un vehículo para comunicar ideas de números. Por ejemplo, algunos numerales para representar al número cinco son: 5 ; V ; cinco ; 22 + 1 ; 32-22 ; …, etc

ORDEN Lugar o posición, contado de derecha a izquierda, que ocupan una cifra dentro de un numeral. Por ejemplo:

7 6 2 5 8

1er orden u orden 02do orden u orden 13er orden u orden 24to orden u orden 35to orden u orden 4

SISTEMA DE NUMERACIÓN

Conjunto de símbolos, reglas y nomenclaturas que rigen la expresión de los cardinales de un conjunto.

CONSIDERACIONES IMPORTANTES

La base de un sistema de numeración debe ser un numeral entero y mayor que 1; en consecuencia, existen infinitos sistemas de numeración, siendo los principales:

Base

Sistema de Numeración

Cifras que utiliza

23456789

101112

Binario o DualTernario

CuaternarioQuinarioSenario o HexanarioHeptanarioOctanarioNonario

Decimal o Décuplo

UndecimalDuodecimal

0;10;1;20;1;2;30;1;2;3;40;1;2;3;4;50;1;2;3;4;5;60;1;2;3;4;5;6;70;1;2;3;4;5;6;7;80;1;2;3;4;5;6;7;8;90;1;2;3;4;5;6;7;8;9;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;;

Otros sistemas utilizados son el hexadecimal (Base16) y el vigesimal (Base 20).

REPRESENTACIÓN LITERAL DE NUMERALES

* Numeral de 3 cifras de base “n”:

abcn=a . n2+b . n+c* Numeral de 4 cifras del sistema

decimal:

mcdu=m . 103+c . 102+d .10+u* Numeral de 3 cifras del sistema

heptanario:

mnp7=m . 72+n .7+ p* Numeral capicúa: Es aquel cuyas

cifras equidistantes del centro son iguales, y se les reconoce porque su escritura y lectura de izquierda a derecha es igual que de derecha a izquierda.

Capicúa de 2 cifras:aa

Capicúa de 3 cifras:aba

Capicúa de 4 cifras:abba

Capicúa de 5 cifras:abcba

Capicúa de 6 cifras:abccba

CAMBIOS DE BASE


INTRODUCCIÓN:

NOCIONES PREVIAS

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Caso I: DE BASE DIFERENTE DE 10 A BASE 1

Ejemplo 2674 del sistema de numeración octanario al sistema de numeración decimal.

Por el método de la descomposición canónica:

2 6 7 48 = 2.83 + 6.82 + 7.8+4= 2 (512) + 6 (64) + 7(8) + 4 = 1 024 + 384 + 56 + 4= 1 468

2 6 7 48 = 1 468

Por el método de Ruffini:

2 6 7 4 (+) (+) (+)

8 16 176 1 464(x8) (x8) (x8)

2 22 183 1468

26748 = 1 468

Caso II : DE BASE 10 A BASE DIFERENTE DE 10

Ejemplo: Convertir 7 426 al sistema de numeración nonario.

Por el método de las divisiones Sucesivas:

7426 9

925 9

102 9

11 9

7426 = 1 2 3 7 19

Caso III : DE BASE DIFERENTE DE 10 A BASE DIFERENTE DE 10

Ejemplo: Convertir 3 5 2 67 al sistema de numeración undecimal.

Paso1: Convertir 3 5 2 67 al sistema decimal (Caso I)

3 5 2 67 = 3 . 73 + 5 . 72 + 2 . 7 + 6 = 3 (348) + 5 (49) + 2 (7) + 6 = 1 029 + 245 + 14 + 6 = 1 294

Paso2: Convertir 1 294 al sistema de numeración undecimal (Caso II)

1294 11

117 11

7 10

35267 = 7711 (: Diez)

CASOS ABREVIADOS DE CONVERSIÓN

Caso I: DE BASE “n” A BASE “nR” (RZ+)

Se divide al numeral de base “n” en grupos de “R” cifras (comenzando por la derecha) y luego a cada grupo se le convierte directamente (mediante descomposición polinómica) al sistema de base “nR”.

Ejemplo: Convertir: 101001101011111000112 al sistema octanario.

De base 2 a base 8 = 23 (n = 2 R = 3) Por descomposiciónpolinómica

1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 12

2 4 6 5 7 4 3 101001101011111000112 = 24657438

Caso II : DE BASE “nR” A BASE “n” (nz+).

A cada una de las cifras del numeral de base “nR” se les convierte directamente (mediante divisiones sucesivas) al sistema de base “n” teniendo cuidado de obtener grupos de “R” cifras por cada cifra convertida (los grupos incompletos se llenan con ceros a la izquierda)Ejemplo: Convertir 6 4 2 6 7 38 al sistema de numeración binario.

De base 23 a base 2 (n = 2 R = 3)

6 4 2 6 7 3

110 100 010 110 111 011

6426738 = 1101000101101110112

PROPIEDADES DE LA NUMERACIÓN


1

7

3

2 1

7

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1. Toda base es mayor que cualquiera de sus cifras.

BASE > CIFRA

* CIFRA MAYOR = BASE – 1

2. Si un número se expresa en dos sistema de numeración, se cumple que:

“A mayor representación aparente le corresponde menor base y viceversa”

Por ejemplo, en la igualdad:

Por tener una mayor número de cifras, se

prevee que: abcd>mnp x< y

CONSIDERACIONES FINALES

1. Para convertir al mayor numeral de “R” cifras de base “n” al sistema decimal se puede utilizar la siguiente relación:

(n−1)(n−1)(n−1) .. .(n−1)n⏟R cifras

=nR−1

Ejemplos: * 6 6 67 = 73.1 = 343.1 = 342

* 5 5 5 56 = 64.1 = 1296.1 = 1 295

* 3 3 3 3 34 = 45.1 = 1 024.1 = 1 023

2. Para bases sucesivas, o bases de bases, puede usarse:

1 a

1 b

1 c

1 x n

Convertir 235(6) a base 10


Convertir 423 a base 4

Convertir 524 a base 3

Convertir 231(4) a base 7Convertir 411(5) a base 3



1. Hallar: a + b + c

aabc(7 )=babb

( 5)

a) 4 b) 5 c) 8d) 9 e) 10

2. Hallar: a2 + b2 + c2. Si:

abc(8 )=cba

( 17 )

a) 33 b) 34 c) 35d) 36 e) 32

3. Hallar “n” en :nnn 4210n

a)3 b)4 c)5 d)6 e)7

4. Hallar(a+b), si:

aab5=bbb(b+1 )a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

5. Al responder una encuesta, un ganadero escribe en la ficha lo siguiente: n.ºde toros:24n.º de vacas:32total de cabezas:100El sistema de numeración que utiliza el ganadera es :

a)3 b)4 c)5 d)6 e)7

6. A es el conjunto de los números de 2 cifras en base 7;B es el conjunto de los números de 3 cifras en base 4. El numero de elemento que tiene la intersección de A y B es:

a)23 b)25 c)31 d)33 e)35

7. Si a un número de tres cifras que empieza por 9, se le suprime esta cifra, el número resultante es 1/21 del número original. La suma de las tres cifras de dicho número es:a) 12 b)18 c)15 d)24 e)218. Se tiene un número de dos cifras, si se agrega un 2 a la izquierda del número se convierte en un número igual a 5 veces el número original. Hallar la suma de las cifras de dicho númeroa) 1 b) 2 c)3 d)4 e)5


PROBLEMAS APLICATIVOS

= n (a + b + c + … + x)

yx mnpabcd

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9. Si los siguientes numerales están correctamente escritos:

n 32qm ; p 21n ;n 3 m6 ;1211pCalcular el máximo valor de (m+n+p+q)a)13 b)14 c)15 d)16 e)17

10. Hallar el valor numérico de a+b, si

se cumple que: 10 ab6=ab 78

a) 5 b) 8 c)9 d)10 e)12

1. Hallar: a + b. Si: aba=23(b+a )a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

2. Hallar: a + b. Si: baab=99(1+ba )a) 8 b) 10 c) 11d) 12 e) 9

3. Si: abc

(n+1 )=146( n)

de=d( d+e )Hallar: a + b + c + e – da) 9 b) 11 c) 12d) 10 e) 13

4.AMPER

( S )=5059

(6 )

Hallar: A + M + P + E + R + Sa) 10 b) 16 c) 15d) 17 e) 18

5. ¿en cuantos sistemas de numeración el numero 1234 se escribe con 3 cifras

a)10 b)15 c)30 d)25 e)20

6. Si los siguientes números son diferentes de cero:

10 α 4 ,2bcα , bbc 10∝4 :

Determinar:a)6 b)5 c)4 d)3 e)7

7. El menor número de 4 cifras de la base “n” se escribe en la base diez como

5ab . Hallar a + b + n y expresar el resultado en base 2.

a) 1 0112 b) 1012 c) 1 1112

d) 3542 e) N.A.

8. Un ciclista viaja por una carretera a

velocidad constante parte en el km a0b y

una hora después esta en el km aab . Si

en la primera media hora llego al km ab0 . Hallar: (a + b)

a) 3 b) 14 c) 15d) 16 e) N.A.

9. El cuádruplo de un número es de la

forma ab , pero si al número se le multiplica por 3 y luego se le divide entre

2 se obtiene ba .Hallar: (a - b)

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 8

10. Sabiendo que:

23 a9=27 bn=36 a pDeterminar el valor de: b-a+n+pa)17 b)18 c)19 d)20 e)21

CUATRO OPERACIONES

En este capítulo se va a estudiar las cuatro operaciones fundamentales (adición, sustracción, multiplicación y división)Daremos énfasis al análisis de los problemas tipo; los cuales serán resueltos empleando sólo operaciones básicas, lo que no descarta que se den como notas adicionales algunos métodos de solución prácticos.

SUMAS IMPORTANTES

A) Suma de los “n” primeros números enteros positivos.

Sn = 1+2+3+…+n=

B) Suma de los “n” primeros pares positivosSp = 2+4+6+…+(2n) = n (n+1)

C) Suma de los “n” primero números impares positivosS1 = 1+3+5+…+(2n-1) = n2


PROBLEMAS PROPUESTOS

INTRODUCCIÓN:

NOCIONES PREVIAS

2

)1( nn

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D) Suma de los “n” primeros números cuadrados perfectos (0)

Sn

2 = 12+22+32+…+n2=

n(n+1 )(2n+1)6

E) Suma de los “n” primeros números cubos perfectos (0)

S

nB = 13+23+33+…+n3=

[ n (n+1)2 ]2

F) Suma de los “n” primeros productos de dos números consecutivos.

S = 1+2+2+3+3+…+n2=

n(n+1 )(2n+1)3

G) Suma de los “n” primeros potencias naturales de un número A.

S = A0+A1+A2+A3+…+An-1=

An−1A−1

H) Suma triangulares

a) Dadas las siguientes sumas:

S1 = 1+2+3+4+…+ nS2 = 2+3+4+…+ nS3 = 3+4+…+ n

Se cumple que:

⇒S1+S2+S3+…+Sn=n(n+1 )(2n+1)

6b) Dadas las siguientes sumas:

S1= 12+22+32+42+…+n2

S2= 22+32+42+…+n2

S3= 32+42+…+n2

⋮Se cumple que:

⇒S1+S2+S3+…+Sn=[ n (n+1)2 ]

2

SUSTRACCIÓN

M – S = D ; M MinuendoS SustraendoD Diferencia

PROPIEDAD (A):

M = S + D

PROPIEDAD (B):M + S + D = 2M

PROPIEDAD (C):“Si a un número de 3 cifras (con su cifra de centenas mayor que su cifra de unidades) se le resta el número que resulta de invertir el orden de sus cifras, entonces en la diferencia, la cifra de decenas siempre es 9 y la suma de sus cifras de unidades y centenas es 9”

Sea el número donde a>c;

si:abc−cba=mnp , se cumple:n = 9

m + p = 9a – c = m + 1

MÉTODO DE SUMAS Y DIFERENCIAS“Se cumple cuando el problema a resolver tiene como datos tanto la suma como la diferencia de las cantidades desconocidas. Por lo general el cálculo de estas cantidades se hace operando mecánicamente con los datos (suma y diferencia) de la manera como se indica en el siguiente cuadro:

Cantidad mayor =

Suma+Diferencia2

Cantidad menor =

Suma−Diferencia2

ESQUEMA ILUSTRATIVO:1) Suma – Diferencia = dos veces menor2) Diferencia + Menor = Mayor

MULTIPLICACIÓN

M×m=P⇔M+M+M . . .+M⏟m veces

=P

Donde: M Multiplicandom MultiplicadorP Producto

FORMA GENERAL DE LA MULTIPLICACIÓN

Multiplicando N Multiplicador a b c

NcProductos

Nbparciales

Na


⋮

abc

D d qr

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ProductoDIVISIÓN EN Z (DIVISIÓN ENTERA)

Es aquel caso particular de la división, en el cual todos sus términos números enteros.

Z= …; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …Esquema:

Dividendo Divisor (dZ+)(DZ)

Cociente (qZ)Resto o Residuo

(rZ+) (0≤r<d )

EXPRESIÓN GENERAL: D = d q + r

CLASES DE DIVISIÓN:

(I) División Exacta (r = 0)

D d

0 q

II) División Inexacta (r0)(A) Por Defecto

D d q

r (0<r<d)

(B) Por Exceso

D d q+1

r (0<r<d)

PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN INEXACTA EN Z

1.En todo división inexacta la suma del resto por

r + r’ = d

Demostración: De (): D = d (q) + rDe (): D = (q+1) – r’

Igualando:d x q + r = d (q+1) – r’d x q + r = d x q + d – r’

r = d – r’

1. Entre dos personas tienen S/.785, si una de ellas diese S/.21 a la otra, la diferencia que hay entre las dos partes aumentaría hasta S/.135.¿ cuánto tiene cada una?

a)439 y 346 b) 429 y 346 c) 439 y 326 d) 430 y 346

e) 339 y 346

2. Naty compra 6 manzanas por S/.4 y vende 4 manzanas por S/.6 ¿Cuantas manzanas tendrá que vender para ganar S/.180?

a)215 b)216 c)217 d)218 e)219

3. Patty divide la cantidad de dinero que tiene en su cartera entre 100, resultando un numero entero ”a”. Si da “a” monedas de S/.10 a un mendigo, aún le quedan S/.2160.¿Cuanto tenia en su cartera?

a)2300 b)2400 c)2500 d)2600 e)2700

4. Para ganar S/.500 en la rifa de un T.V se hicieron 150 boletos; se vendieron solo 120 boletos originándose una perdida de S/.400.¿cuanto valía el T.V?

a)2000 b)3000 c)4000 d)5000 e)6000

5. ¿Cuántos son los números naturales que divididos entre 210 arrojan un residuo que es igual al cubo del cociente?

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

6. El producto de un numero por “a” es 448 y por “b” es 336.Hallar el producto de este numero por el mayor numero capicúa de 3 cifras que se puede formar con “a” y “ b”. a)48608 b)54302 c)51608

d)38416 e)27548

7. Encontrar un numero de 5 cifras que al ser multiplicado por 4, de un producto formado por las mismas cifras del original, pero dispuestas en orden invertido. Dar la suma de cifras de dicho numero

a)21 b)22 c)25 d)27 e)29

8. La suma de los 4 términos de una división entera inexacta es igual a


D = d x q

D = d x q + r … ()

D = d (q + 1) - r … ()

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544.Hallar el dividendo si el cociente es 12 y el resto, la mitad del divisor

a)564 b)470 c)462 d)480 e)475

9. El cociente y el resto de una división inexacta son 17 y 9 respectivamente. Pero si al dividendo se le aumenta 49 unidades, el cociente seria 21 y el resto 6. Hallar la suma de dividendo y divisor primitivos

a)238 b)240 c)244 d)241 e)243

10. En una división entera inexacta, el divisor es 23 y el resto 4.¿cual es la máxima cantidad que se le puede agregar al divisor de manera que el cociente aumente en 3?

a)65 b)42 c)66 d)88 e)87

1. Un vaso lleno de aceite pesa 1,69kg y lleno de alcohol 1,609kg.Sabiendo que la densidad del aceite es 0,9g/l y la del alcohol 0,84g/l, ¿Cuál es el peso del vaso vacio?

a)0,456 b)0,475 c)0,450 d)0,356 e)0,357

2. El producto de dos factores, es 2184, si el multiplicando aumenta en 5, el producto resulta 2444.Hallar la suma de los dos factores.

a)92 b)93 c)94 d)95 e)96

3. Para ganar S/.2800 en una rifa de un cuadro, se hicieron 90 boletos, pero no se vendieron mas que 75 y origino una perdida de S/.1700¿Cuánto valía el cuadro?

a)24200 b)23400 c)22300 d)24310 e)25300

4. Encuentre un número de 4 cifras cuyo complemento aritmético sea igual a la suma de sus cifras. Dar como respuestas su menor cifra

a)4 b)5 c)6 d)7 e)8

5. Se tiene un numero de 4 cifras significativas, cuya suma de cifras es 21 ¿Cuál es la suma de las cifras de su complemento aritmético?

a)13 b)14 c)15 d)16 e)17

6. Se ha pagado una deuda d 265 soles, con monedas de 5 soles y de 2 soles. El número de monedas de 2 soles es mayor que el de 5 soles en 17 monedas. ¿Cuanto suman las monedas de 2 soles y de 5 soles?

a)73 b)83 c)93 d)103 e)105

7. Un obrero trabajo durante 2 meses con su hijo en una misma fábrica. El primer mes, por 14 días del padre y 24 del hijo recibieron S/.118, el segundo mes por 21 días el padre y 19 del hijo recibieron S/.143.¿ Cual es la diferencia de jornales diarios del padre y del hijo?

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

8. La suma de 4 números diferentes es 24; la suma delos 2 mayores es el doble de la suma de los 2 menores; la suma del menor con el mayor es igual a la suma de los otros 2 números. Hallar la suma de las diferencias del mayor con el menor y de los intermedios del mayor con menor( suponer que M es el numero mayor)

a)5 b)6 c)7 d)8 e)9

9. El producto de dos números impares es 925, si se divide el numero mayor entre el menor se obtiene un cociente 1 y residuo 12. Hallar dichos números.

a)37 y 25 b) 27 y 35 c) 17 y 25 d) 47 y 25 e) 37 y 55

10. La suma de los términos de una sustracción es 700. Hallar el sustraendo si es la quinta parte del minuendo. a)60 b)70 c)81

d)72 e)69

DIVISIBILDAD

Las operaciones aritméticas son imprescindibles y en algunos casos, se debe conocer con profundidad dichas operaciones para personas cuyos trabajos estén ligados con los cálculos. Por ejemplo, quienes diseñan tuercas y pernos en forma artesanal; el cálculo es preciso y su distribución también, dada una escala, allí se aplica la divisibilidad, para realizar dicha distribución aprovechando al


PROBLEMAS PROPUESTOS

INTRODUCCIÓN:

ARITMÉTICA

máximo el material y obteniendo tamaños iguales en cada pieza

DIVISIBILIDAD:Se dice que un número entero A es divisible entre otro número entero positivo B llamado módulo, cuando la división entera de A entre B es exacta.

A es divisible A B entre B K

Ejemplo 1: ¿Será 91 divisible entre 13?

Veamos: 91 13 7 91 es divisible

entre 13 Ejemplo 2: ¿Es -24 divisible entre 8?

Veamos: -24 8 -3 -24 es divisible

entre 8 MULTIPLICIDAD:Un número entero A es múltiplo de otro número entero B, si se verifica que:

A = B nDonde “n” es un número entero cualquiera,

es decir:n…; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …

Notación: A es múltiplo de B <> A = Bo

Bo

es múltiplo de B

Ejemplos:

1. 85=17o

, pues :85=17 y 5Z

2. −36=9o

, pues :−36=9(−4 ) y (-4)Z

3. 0=11o

, pues :0=11 y (0) Z

4. Los múltiplos de 8 son de la forma 8.n, donde “n” es un número entero cualquiera. Esto permite afirmar que los múltiplos de 8 serán: …; 24; -16; -8; 0; 8; 16; 24; …

5. Los múltiplos de 17 son de la forma 17.n, donde “n” es un número entero cualquiera. Esto permite afirmar que los múltiplos de 17 serán:

…; 51; -34; -17; 0; 17; 34; 51; …

CONCEPTOS EQUIVALENTES:

Que un número A sea divisible por otro B puede tener las siguientes interpretaciones:

A=Bo

⇒¿ { A es divisible por B ¿ {A es divisible de B ¿ {B es divisor de A ¿ {B divide a A ¿ ¿¿DEFINICIONES BÁSICAS:

1. El cero (0) es divisible por todo número entero positivo

2. Todo número entero positivo es divisible por sí mismo.

3. La unidad es divisor de todo número entero.

PRINCIPIOS

Sea “n” un número y no

un múltiplo de él, entonces se cumplirá que:

Para una adición: no

+no

=no

Para una sustracción: no

−no

=no

Para la multiplicación: no

×R=no

, donde:

RZ

Para una potencia:(no )

R

=no

, donde:

RZ+TEORÍA DE EUCLIDES.Si un cierto módulo divide al producto de dos números enteros y no tiene divisores comunes (aparte de la unidad) con uno de dichos números, entonces divide al otro número.

Si A×Bo

=no

, y : A con “n” tienen un solo

divisor común (la unidad) Bo

=no


NOCIONES PREVIAS

ARITMÉTICA

Ejemplos:

1. Si 9.P=13o

, entonces P=13o

, pues 9 y 13 solo tienen como divisor común a la unidad.

2. Si 18.Q=7o

, entonces Q=7o

, pues 18 y 7 tienen como único divisor común a la unidad.

PROPIEDADES:

1ro.- Si un número entero “A2 no es divisible por otro número entero positivo B, entonces puede expresarse de dos maneras:

A=Bo

+r∨A=Bo

−r '

Donde r y r’ son los restos por defecto y por exceso respectivamente, de la división entera de A entre B.

2do.- Si un número entero posee “n-ésima” parte entera y exacta, entonces es múltiplo de “n”, siendo “n” un número entero y positivo.

An=¿entero⇒ A=n

o

3ra.- Todo número entero es múltiplo de los factores positivos que lo forman y de toda combinación que con ellos se pueda efectuar.

Sea :N=a×b×c

Luego : N=1o

; ao

; bo

; co

; a×bo

; b×co

; a×co

; No

Donde a, b y c son números enteros positivos y se les llama FACTORES de N.

4ta.- Si un número entero es divisible por dos módulos, que no poseen divisores comunes (aparte de la unidad), entonces será divisible por el producto de dichos módulos.

N=ao

=a×b×c ¿}¿¿⇒ N=a×bo

¿Donde a y b no tienen divisores comunes (aparte de la unidad)

DIVISIBILIDAD EN EL BINOMIO DE NEWTON

Dado que el binomio de Newton es una potencia, podemos aplicar en él los principios de Divisibilidad expuestos con lo cual se logra establecer que:

(no

+r )k=no

+r k , donde : R∈Z+

(no

−r )k=¿ {no +rk si R es par (+)¿ ¿¿¿Ejemplos:

(1) (9o

+2 )52=9o

+252

(2) (11o

−4 )36=11o

+436

(3)(13

o

+5 )19=13o

+519

(4)(17o

−5)21=17o

−521

RESTOS POTENCIALES Son los residuos que se obtienen al dividir las potencias de exponentes entero y positivo de un cierto número entre un módulo determinado.

Por ejemplo los restos potenciales de 5 respecto al módulo 13 serán:

51=13o

+5 ¿}52=13o

+12 ¿}53=13o

+8 ¿}¿¿g=4 ¿ 55=13o

+5 ¿}56=13o

+12¿ }57=13o

+8 ¿}¿¿¿ 5

9=130

+5

Restos potenciales

Se denomina gaussiano (g) al número de restos potenciales diferentes entre sí y distintos de cero que se repiten en forma ordenada y periódica. Por ejemplo, en el caso descrito en el ejemplo el gaussiano es 4, pues hay 4 restos que se repiten: 5; 12; 8 y 1

Utilizando todo lo expuesto hasta aquí, podemos predecir el resto que se obtendría al dividir cualquier potencia de 5 entre 13. Veamos:

54o

=54 k =(54 )k =(13o

+1)k =13o

+1k


ARITMÉTICA

⇒54o

=13o

+1∧54o+2=13

o

+12

54+1o

=13o

+5∧54o+3=13

o

+8

CRITERIO DE DIVISIVILIDAD

Llamamos criterios de Divisibilidad a ciertas prácticas o procedimientos que aplicados a las cifras de un numeral permiten determinar su divisibilidad respecto a cierto módulo.

CRITERIO DE DIVISIBILIDAD ENTRE 3 Ó 9Un numeral es divisible entre 3 (o entre 9) si y sólo si la suma de sus cifras es divisible entre 3 (o entre 9)

abcd=3o

⇔ a+b+c+d=3o

abcd=9o

⇔ a+b+c+d=9o

Ejercicio: Calcular el valor de “x” sabiendo

que 67×414 es divisible entre 9.

Resolución:

67×414=9o

⇒6+7+x+4+1+4=9o

22+x=9o

∴ x=5

CRITERIO DE DIVISIBILIDAD ENTRE 11Un numeral es divisible entre 11 si y sólo si la diferencia entre la suma de sus cifras de orden impar y la suma de sus cifras de orden par es divisible entre 11.

abcde+−+−+

←

=11o

⇔ a−b+c−d+e=11o

Ejemplo: ¿Cuál es el valor que debe tomar

“y” para que el numeral 14 y 17sea divisible entre 11?Resolución:

14 y 17+−+−+

=11o

Luego: 1−4+ y−1+7=11o

⇒ 3+ y=11o

∴ y=8

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE POTENCIAS DE 2

Un numeral es divisible entre 2 (=21) si y sólo si su última cifra es par (0; 2; 4; 6 u 8).Un numeral es divisible entre 4 (=22) si y sólo si el numeral formado por sus 2 últimas cifras es divisible entre 4.Un numeral es divisible entre 8 (=23) si y sólo si el numeral formado por sus 3 últimas cifras es divisible entre 8.

abcde=2o

⇔ e=2o

abcde=4o

⇔ de2 1

=4o

abcde=8o

⇔ cde3 2 1

=8o

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE POTENCIAS DE 5

Un numeral es divisible entre 5 si y sólo si su última cifra es múltiplo de 5 (0 ó 5).Un numeral es divisible entre 25 si y sólo si el numeral formado por sus últimas cifras es divisible entre 25.Un numeral es divisible entre 125 si y sólo si el numeral formado por sus 3 últimas cifras es divisible entre 125.

abcd=5o

⇔ e=0 ó 5

abcde=25o

⇔ de=25o

abcde=125o

⇔ cde=125o

CRITERIO DE DIVISIBILIDAD ENTRE 7

Un numeral es divisible entre 7 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por: 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; … y luego efectuar la suma algebraica resultante ésta resulta ser divisible entre 7.

abcdefg1 2 3 1 2 3 1

=7o

⇔

a−2 b−3 c−d+2e+3 f +g=7o

CRITERIO DE DIVISIBILIDAD ENTRE 13

Un numeral es divisible entre 13 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por: 1; -3; -4; -1; 3; 4; 1; -3; -4; … y luego de efectuar la suma algebraica, resulta que ésta es divisible entre 13.

abcdefg1 4 3 1 4 3 1

=13o

⇔

a+4 b+3 c−d−4 e−3 f +g=13o


ARITMÉTICA

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE 33 Ó 99Un numeral es divisible entre 33 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por: 1; 10; 1; 10; 1 … y luego efectuar, la suma algebraica obtenida resulta ser divisible entre 33.

Un numeral es divisible entre 99 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por: 1; 10; 1; 10; 1 … y luego efectuar, la suma algebraica obtenida resulta ser divisible entre 99.

a b c d e1 10 1 10 1

=33o

⇔

a+10 b+c+10 d+e=33o

a b c d e1 10 1 10 1

=99o

⇔

a+10b+c+10d+e=99o

ECUACIONES DIOFANTICA O DIOFANTINA

Es aquella ecuación donde tanto los términos constantes como las variables son números enteros y además es un sistema insuficiente, asimismo puede ser una sola ecuación con dos o más incógnitas y de cualquier grado. El término “Diofántica” se utiliza en honor a DIOFANTO, matemático alejandrino que vivió alrededor de 250 A.C.

La ecuación diofántica lineal con dos incógnitas tiene la siguiente forma:

ax + by = c … (1)

donde a y b tienen como único divisor a la unidad.

Siendo x0, y0 una solución particular de la ecuación (1), su solución general será:

x=x0+bt ∧ y= y0−at t∈Z

1. Del 1 al 2000. ¿Cuántos números son divisibles entre 13 pero no entre 7?

a) 153 b) 150 c) 130d) 131 e) 132

2. Del número 2000 al 3000.

¿Cuántos números son 7∘

pero no de 13∘

?a) 132 b) 134 c) 139d) 143 e) 151

3. ¿Cuántos múltiplos de 3 hay en:1, 2, 3, 4, 5, ……. 284?

a) 90 b) 91 c) 92

d) 93 e) 94

4. Si se cumple que:a 898 (m) =

81 m(n) =6 mp(12)¿Cuál es el valor de a+m+n+p?

a)31 b)33 c)35 d)27 e)8

5. Un número de 4 cifras empieza en 9, y si se le suprime esta cifra, el número resultante es 1/21 del original. Entonces la suma de las cifras del numero original es:

a)17 b)18 c)19 d)20 e)21

6. Si se cumple : 458(m)=284(n) y 460(m)=288(n); calcular el valor de : m+n

a)24 b)26 c)28 d)23 e)25

7. Si:a 45(m) =bb 43(n) y 450 ( m) = bb 44(n) ; calcular el valor de :

a+b+m+na)15 b)16 c)17 d)18 e)19

8. ¿Cuántos numerales de tres cifras son múltiplos de 2 pero no de 3, ni de 5?

a)450 b)200 c)240 d)325 e)400

9. Hallar el resto de dividir 2200 entre 7 a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

10. Determinar el mayor valor del producto a x b tal que a y b cumplan con la

siguiente relación: 7 .9ab+8ba=56+a+b a)81 b)63 c)72

d)54 e)56

1. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 14 y terminan en 8?

a) 18 b) 12 c) 24d) 13 e) 27


PROBLEMAS

APLICATIVOSPROBLEMAS PROPUESTOS

ARITMÉTICA

2. Los números de la forma: ab (2 a)(2 b ) siempre son divisibles entre:

a) 8 b) 12 c) 9d) 51 e) 68

3. ¿Cuántos múltiplos de 3 y 4 hay en:1, 2, 3, 4, 5, 6, ….. 87?

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

4. Por qué número es siempre divisible un

número de la forma:a (2b )baa) 2 b) 3 c) 5d) 7 e) 11

5. En el sistema de base 7 la cifra de las unidades del numero:(1459)25 es:

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

6. Cuando el numero 673 se eleva a la potencia 5642, el resultado termina en la cifra.

a)…8 b)…9 c)…5 d)…7 e)…2

7. Se tiene cierto numero N, del cual se sabe que al dividirlo entre 3,4,5,6 y 9 deja residuo1.Pero al dividirlo entre7deja residuo 0.Hallar la suma de cifras del menor numero que cumple con tal condición a)7 b)8 c)9 d)6 e)10

8. ¿Cuántos números de la forma

1 a 1 bab son divisibles entre 63?a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

9. Calcular la suma de todos los valores

que toma el número ab si 12 a 03 b es divisible entre 33

a)164 b)183 c)181 d)171 e)167

10. ¿Cuántos números de tres cifras, divisibles entre 11, tienen como suma de cifras a 15?

a)2 b)3 c)4 d)5 e)6


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