9Ariketen eta problemen soluzioak

ORRIALDEA 200

orputz geometr iko motak

1 Esan zer poliedro mota den hauetako bakoitza, eta justifikatu zergatik:

Badago tartean poliedro erregularrik?

A 8 Prisma pentagonal recto. Su base es un pentágono.

B 8 Pirámide pentagonal. Su base es un pentágono.

C 8 Cubo. Sus caras son cuadrados.

D 8 Tetraedro. Su caras son triángulos.

E 8 Paralelepípedo. Su caras son paralelogramos.

F 8 Tronco de pirámide regular. Sus bases son cuadrados.

El cubo y el tetraedro son poliedros regulares.

2 Honako poliedro hauetako batzuk ezin ditugu dakizkigunen artean sailkatu(prisma, piramidea, piramide-enborra, erregularra). Esan zein diren, eta sailkatu gai-nerakoak.

A 8 Prisma cuadrangular con una pirámide cuadrangular encima. No catalogable.

B 8 Pirámide.

C 8 Prisma triangular recto.

D 8 No catalogable.

BA C

D

A

B

C

E

DF

G

Or. 1

9Ariketen eta problemen soluzioak

3 Piramide lauangeluar erregularra poliedro erregularra da? Azaldu zergatik.

No, porque no todas sus caras son polígonos regulares iguales.

4 Irudi hau sei erronbo berdinek osatzen dute:

Aurpegiak berdinak baditu ere, eta erpin bakoitzean hiruk bat egiten badute ere, ez da poliedro erregula-rra. Azaldu zergatik.

Porque sus caras no son polígonos regulares.

5 Poliedro hau sei triangelu aldekide berdinek osatzen dute.Hala ere, ez da poliedro erregularra. Azaldu zergatik.

Porque en algunos vértices concurren tres caras y en otros, cuatro.Para que fuera regular deberían concurrir el mismo número de ca-ras en todos los vértices.

6 Badago prisma den poliedro erregularrik? Badago piramidea den polie-dro erregularrik?

Sí, el cubo.

Sí, el tetraedro.

7 Honako irudi hauetako zein dira biraketa-gorputzak? Sailkatu ahal ditu-zunak: zilindroa, konoa, esfera, enborra…

a) b) c)

d) e) f )

a) Es cuerpo de revolución. Tronco de cono.

b) No es cuerpo de revolución.

c) Es cuerpo de revolución.

d) Es cuerpo de revolución.

e) Es cuerpo de revolución. Cilindro.

f ) Es cuerpo de revolución. Tronco de cono.

Or. 2

9Ariketen eta problemen soluzioak

8 Honako irudi lau hauetako bakoitza adierazitako ardatzaren inguruanbiraraztean, biraketa-gorputz bat sortuko dugu. Marraztu koadernoan.

a) b) c)

Erlazionatu irudietako bakoitza aurreko ariketako batekin.

a) 8 apartado c) del anterior.

b) 8 apartado f ) del anterior.

c) 8 apartado e) del anterior.

9 Marraztu zer irudi lau birarazi behar dugun, eta zer ardatzen inguruan,baldin eta lanpara (7. ariketako a) puntua), katilua (b), heldulekurik gabe, etaboloa (d) sortu nahi baditugu.

Lámpara Taza Bolo

10 Marraztu kasu hauetako bakoitzean sortzen den biraketa-gorputza:

a) b) c) d)

eje eje eje

a) b) c)

Or. 3

9Ariketen eta problemen soluzioak

ORRIALDEA 201

orputz geometr ikoen garapena

11 Honako garapen hauetako zeinekin osa dezakegu poliedro bat? Erantzun,arrazoituz.

A 8 Es un ortoedro.

B 8 Es un prisma cuadrangular.

C 8 No se puede construir un poliedro. La altura del poliedro no tiene la mismalongitud que el lado lateral del rectángulo de la izquierda.

D 8 Es una pirámide cuadrangular regular.

E 8 Es una pirámide cuadrangular con base rectangular.

F 8 No se puede. Las caras laterales deberían ser iguales.

A B

CD

E F

G

a) b) c) d)

Or. 4

9Ariketen eta problemen soluzioak

12 Honako garapen hauetatik, zein dagokio biraketa-gorputz bati?Marraztu.

A: No, la circunferencia es muy pequeña.

B: Es un cilindro.

C: No. Las dos circunferencias deberían ser iguales.

D: Es un tronco de cono.

E: Es un cono.

F: No, el lado en el que se apoya la circunferencia debería estar curvado.

B D E

13 Marraztu alboko ertzak 6 cm-koak eta oinarrikoak 4 cm-koak dituen pi-ramide hexagonal erregular baten garapena.

4 cm

6 cm

A B

C D

E F

Or. 5

9Ariketen eta problemen soluzioak

za lera errazak

Kalkulatu honako gorputz geometriko hauen azalera osoa

14 a) b)

a) 122 cm2 b) 48 + 30 + 18 + 24 = 120 cm2

15 a) b)

a) 45 dm2 b) 121,5 dm2

16 a) b)

a) 424 cm2 b) 189 cm2

17 a) b)3 cm

3 cm

4 cm4 cm

11 cm

4 cm

10 cm

2,1

cm

3 c

m

3 dm

3 dm

6 dm

3 d

m

6 d

m

2,1 d

m

3 cm

7 cm 8 cm

4 cm

3 cm

6 cm

A

Or. 6

9Ariketen eta problemen soluzioak

c) d)

a) 75,36 + 56,52 = 131,88 cm2 b) 47,1 + 28,26 = 75,36 cm2

c) 169,56 cm2 d) 50,24 cm2

ORRIALDEA 202

za lerak tar teko ka lkuluekin

18 Kalkulatu alboko ertzak 13 cm-koak eta oinarriko ertzak 10 cm-koak di-tuen piramide hexagonal erregular baten azalera osoa.

h = 12 cm

a = › 8,66 cm

ABASE

= 259,8 cm2

ALAT

= 360 cm2 AT = 619,8 cm2

19 Kalkulatu 10 cm-ko ertzak dituen tetraedro erregularbaten azalera.

h = › 8,66 cm

AT = 173,2 cm2

20 Kalkulatu 15 cm-ko altuera duen eta oinarritzat 16 cm eta12 cm-ko diagonaleko erronboak dituen prisma zuzen batenazalera osoa.

AROMBO

= 96 cm2

ALAT

= 600 cm2 AT = 792 cm2

21 Piramide erregular baten oinarria 6 dm-ko aldeaduen karratua da. Altuera 4 dm-koa da. Kalkulatu azaleraosoa.

ABASE

= 36 dm2 h = 5

ALAT

= 60 dm2 AT = 96 dm2

6 dm

4 d

m

10 cm

√75

10 cm13 c

m√75

A

4 cm

6 cm2 cm

1,5 cm

Or. 7

9Ariketen eta problemen soluzioak

22 Piramide-enbor erregular baten oinarriak, hurrenez hurren, 10 cm eta 20cm-ko aldeak dituzten karratuak dira. Alboko ertzak 13 cm-koak dira. Kalkulatuazalera osoa.

h = 12

ABASES

= 500 cm2 ALAT

= 720 cm2 AT = 1 220 cm2

23 Kalkulatu alboko ertza 4 cm-koa eta oinarriko ertzak 2 cm-koak dituenprisma hexagonal erregular baten azalera osoa.

ap = › 1,73 cm

ABASE

= 20,78 cm2

ALAT

= 48 cm2

AT = 68,78 cm2

24 Piramide erregular baten oinarria aldea 2,5 m-koa duen pentagono erre-gular bat da. Piramidearen apotemak 4,2 m ditu. Zenbatekoa da alboko azalera?

ALAT

= 26,25 m2

25 Marraztu piramide-enbor karratu erregular baten garapena, ertzen neu-rriak hauek izanda: oinarri handiarenak, 4 cm-koak; txikiarenak, 2 cm-koak,eta albokoak, 5 cm-koak. Kalkulatu horren azalera osoa. (Alboko aurpegiaktrapezioak dira. Egiaztatu altuera 4,9 cm-koa dela).

h = = 4,9 cm

AT = 22 + 42 + 4 · · 4,9 = 78,8 cm2

26 Kono baten alboko garapena 12 cm-ko erradioa duen zirkuluerdi bat da.Kalkulatu oinarriaren erradioa eta altuera.

r = 6 cm

122 = 62 + h2 8 h = = 10,39 cm√108

4 cm

5 cm

2 cm

)2 + 42(

√52 – 12

√3

10 cm

20 cm

13 c

m

Or. 8

9Ariketen eta problemen soluzioak

27 Piramide erregular baten oinarria 10cm-ko aldea duen hexagono bat da. Altuera24 cm-koa da.

Oinarritik 18 cm-ra igarotzen den plano ba-tetik ebaki dugu. Kalkulatu sortu den pira-mide-enborraren azalera osoa.

an = › 8,66 cm

= 8 am = 2,165 cm

h = 19,13 cm

lHEXÁGONO MENOR

= 2,5 cm

ABASES

= 259,8 + 16,238 = 276,038 cm2

AT = 276,038 + 717,375 = 993,413 cm2

28 a) Egiaztatu triangelu zuzen honen altuera 4,8 cm-koa dela. Horretarako,kontuan hartu bi katetoen arteko biderkadura azalerarekin bikoitza dela.

b) Kalkulatu honako triangelu hauek euren aldeetako bakoitzaren inguruanbiraraztean sortzen dituzten irudien azalera osoa.

a) = 8 h = 4,8 cm

b) π · 6 · 10 + π · 62 = 301,44

π · 8 · 10 + π · 82 = 452,16

π · 4,8 · 8 + π · 4,8 · 6 = 211III

II

I

8 · 62

10 · h2

I II

6

6

6

8

8

8

III

6 cm8 cm

10 cm

an

24

am

6

√75

Or. 9

18 cm

10 cm

9Ariketen eta problemen soluzioak

29 Kalkulatu honako gorputz hauetako bakoitzaren azalera osoa:

a) AT = π(4,5 + 2) · 6,5 + π · 22 + π · 4,52 = 208,81 cm2

b) AT = π · 8 · 17 + 82 · π = 628 cm2

ORRIALDEA 203

roblemak

30 Zenbat balio du 0,6 m Ò 0,5 m Ò 0,4 m neurriak dituen zurezko kaxa ba-tek, zurak 18 €/m2 balio baditu?

A = 2(0,6 · 0,5 + 0,5 · 0,4 + 0,6 · 0,4) = 1,48 m2

1,48 · 18 = 26,64 €

El precio es de 26,64 €.

31 Zenbat da aurreko ariketan agertu zaigun kaxa horren (0,6 m Ò 0,5 m Ò0,4 m) ertz guztien luzeren arteko batura?

La suma de longitudes de todas las aristas es 6 m.

32 Alanbrea erabiliz, poliedro erregular guztien eskeletoa egin nahi dugu,ertz bakoitza 1 dm-ekoa eginez. Zenbat alanbre beharko dugu poliedroetakobakoitza egiteko?

33 Erantzun honako galdera hauei:

a) Kalkulatu 4 cm-ko ertza duen kubo baten azalera osoa.

b)Erditik I irudiak adierazi bezala zatituz gero, zenbatekoa da erdi bakoitzarenazalera?

c) Erditik II irudiak adierazi bezala zatituz gero, zenbatekoa da erdi bakoitza-ren azalera?

P

4,5 cm16 cm

17 cm

a) b)

6 cm

2 cm

Or. 10

T E T R A E D R O A K U B O A O K TA E D R O A D O D E K A E D R O A I K O S A E D R O A

E RT Z K O P U R U A 6 12 12 30 30L U Z E R A G U Z T I R A 6 dm 12 dm 12 dm 30 dm 30 dm

9Ariketen eta problemen soluzioak

a) 6 · 42 = 96 cm2

b) 48 + 4 · 4 = 70,63 cm2

c) 48 + 42 = 64 cm2

34 Kalkulatu 3 cm, 4 cm eta 12 cm-ko neurriak dituen ortoedro baten aza-lera osoa. Kalkulatu baita horren diagonalaren luzera ere.

AT = 192 cm2 d = 13 cm

35 Kalkulatu, 10 dm-ko diametrodun esfera bat izanda, 2 dm-ko altuerakotxapel esferikoaren azalera eta 4 dm-ko altuerako eremu esferikoarena.

Área del casquete 8 62,8 dm2 Área de la zona esférica 8 125,6 dm2

36 Sakoneran 12 m dituen eta diametroa 1,6 m-koa duen putzu bateko hor-mak zementuz finkatu ditugu. Metro karratu bat zementuk 40 € balio ditu.Zenbat kostatu zaigu guztira putzua finkatzea?

2πrh = 60,288 m2 8 El coste ha sido de 2 411,52 €, aproximadamente.

37 Pintore batek 1 000 € kobratu ditu 4 m-ko altuera eta 4 m-ko diametroadituen depositu zilindriko baten alboa pintatzeagatik. Zenbat kobratuko du 2m-ko erradioa duen depositu esferikoa pintatzeagatik?

1 000 €, ya que es el cilindro que inscribe a esa esfera y el área lateral del cilindro esla misma que la de la esfera.

4 m

2 m

2 m

10 dm

2 dm

4 dm

√2

I II

Or. 11

9Ariketen eta problemen soluzioak

38 Hesi batek 2,5 m-ko altuera eta 1,5 m-ko diametroa duten burdinazko 20barra ditu. Ugertuta daude, eta minioa eman behar zaie. Minioa 24 €/m2-kokostatzen bada, zenbat kostatuko zaigu hesi osoa pintatzea?

Barrote = 0,11775 m2 8 Total = 2,355 m2

El coste es de 56,52 €.

39 Ortoedro itxurako kaxa batek 9 dm-ko luzera eta 6 dm-ko zabalera ditu.Azalera osoa 228 dm2-koa da. Kalkulatu altuera eta diagonala.

h = 4 dm

d = = › 11,53 dm

40 Kubo baten azalera osoa 150 dm2-koa da. Kalkulatu diagonala.

l = 5 dm

d = 5 › 8,66 dm

41 Kalkulatu zenbat balio duen etxe bat konpontzeak, honako hauek jakin-da:

— Lau hormei, barrukoei eta kanpokoei, igeltsua ematea, 2€/m2 kostatzen da.

— Teilatua konpontzea, 4,5 €/m2.

— Lurra jartzea, 22 €/m2.

APARED

= 2 · 2 · 12 + 3 · 2 + = 63,96 m2

Precio 8 63,96 · 2 = 127,92 €

Por dentro, 127,92 €.

ATEJADO

= 48 m2 8 Precio 296 €

ASUELO

= 36 m2 8 Precio 792 €

El precio total es: PTOTAL

= 1 263,84 €

42 Kalkulatu ondoz ondokoak ez diren erpinen artekodistantzia 20 cm-koa duen oktaedro baten azalera osoa.

Ikusten duzunez, oktaedroaren ertza 20 cm-ko diago-nala duen karratu baten aldea da.

x = › 14,14 cm

h = 12,25 cm

AT = 692,86 cm2

7,07 cm

h14,14 cm

√200

20 cm

1,5 m

2 mx

)1,32 · 32(

3 m

12 m

2 m

2 m

√3

√133√42 + 62 + 92

Or. 12