aritmetica

Dpto. De matemtica secundaria Prof. Fred Montalvo Amanca

NUMERACIN

NUMERACINEs la parte de la aritmtica que estudia elnmero en su formacin, representacin,propiedades y aplicaciones que con ellas sepuede efectuar.

NMEROEs un ente abstracto, carente de definicin, sinembargo nos da la idea de cantidad.

NUMERALEs la figura o smbolo.

REPRESENTACIN LITERALEs la que se utiliza cuando se desconoce losnumerales y para que la representacin seacorrecta se coloca una barra a lo largo de todo elnumeral.

SISTEMA DE NUMERACINEs el conjunto de reglas y principios que rigen laformacin, escritura y lectura de los nmerosmediante la adecuada combinacin de un grupode smbolos y palabras.

SISTEMA DECIMAL DE NUMERACIN

Es empleado actualmente, este sistema fueinventado por los hindes y difundido despuspor los rabes, razn por la cual se llama sistemaindo-arabico. Se utiliza los dgitos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

La mayor diferencia entre nuestro sistema y elde los romanos radica en que estos no incluan

al cero como dgito, lo cual les obligaba a tenerun smbolo diferente para cada nmero quequisieran expresar (por ejemplo de existir elcero, 10 podra expresarse como 10 en lugar dex)

BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACINEs aquel nmero que nos indica la cantidad deunidades de un orden cualquiera para formaruna unidad de orden superior.

CARACTERSTICAS DE UN SISTEMA DE NUMERACIN En cualquier sistema de numeracin existen

tantas cifras como el valor de la base y con lascombinaciones de ellas se pueden formar todoslos nmeros posibles de dicho sistema.

El mnimo valor que puede tomar una cifra encualquier sistema de numeracin es el cero (0) yel mximo valor es la unidad menos que el valorde la base.

La base de un sistema de numeracin siempre esun entero positivo mayor que 1.

Si la primera cifra de un numeral es una letra,necesariamente esta debe ser de 0.

Todo lo que se encuentra en parntesis en unnumeral representa una sola cifra.Sea: )3c()4b(b)a5(a a 0, el nmero tiene 5 cifras.

Se denomina numerales capicas a aquellos queledos de izquierda a derecha o de derecha aizquierda se leen iguales.88; 959; 5335, aba , cbbc

ORIGEN DEL CEROLos Babilonios en su ltimaetapa usaron un smbolo ( ) ytambin un primitivo sentidodel valor de posicin.

El matemtico griego Eratostenesideo un mtodo con el cual pudomedir la longitud de lacircunferencia de la tierra 276 a.C. /


Toda cifra en el numeral tiene un orden porconvencin, se enumera de derecha a izquierda.

2 4 7 31er. orden (unidades)2do. orden (decenas)3er. orden (centenas)4to. orden (millares)

OBSERVACINCifra de 1er. orden = 3Primera cifra = 2

Valor relativo de una cifra es aquel querepresenta la cifra por la posicin que ocupadentro del nmero.

Valor absoluto es lo que representa por laforma que tiene.4 7 2 9

VA = 9VR = 9VA = 7VR = 70VA = 2VR = 200VA = 4VR = 4000

Tener en cuenta

BaseNombredel

sistemaCifras utilizadas

23456789101112.

.

.

n

BinarioTerciarioCuaternarioQuinarioSenarioHeptarioOctavarioNonalDecimalUndecimalDuodecimal.

.

.

enesimal

0, 10, 1, 20, 1, 2, 30, 1, 2, 3, 40, 1, 2, 3, 4, 50, 1, 2, 3, 4, 5, 60, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 70, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 80, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.....

NOTAPara base mayor que 10, se usan smbolos , , etc. que representan las cifras 10, 11, 12,

DESCOMPOSICIN POLINMICAConsiste en expresar al numeral como la adicin delos nmeros que resultan a multiplicar cada una delas cifras por la base elevada a la cantidad de cifrasque tiene a la derecha la cifra en estudio.

* 4295 = 4 x 103 + 9 x 102 + 2 x 101 + 5* 2357= 2 x 72 + 3 x 71 + 5* nabcde = a . n4 + b . n3 + c . n2 + d . n + e

DESCOMPOSICIN EN BLOQUE

ISAAC NEWTON en un libro:LaAritmtica Universal intenta dar unconcepto de nmero (S. XVII)

Los egipcios usaron jeroglficos parapresentar a los nmeros, es decirimgenes de objetos que de algunamanera se relacionaban con elnmero que se deseaba representar

El origen exacto por lo cual losromanos emplearon rayasverticales para indicar 1,2, 3, 4, nose conocen, pero la opinin msgeneralizada es que provienen delos dedos de la mano. (100 a.C.)


Es un caso particular de la descomposicinpolinmica en que se toman grupos de cifras(bloques como si fueran una sola cifra).* 4242 = 42 x 102 + 42* 35357 = 357 x 72 + 357* 6016018 = 6018 x 83 + 6018* nababab = nab . n4 + nab . n2 + nab

1. Si a un nmero de 3 cifras se le altera el orden delas unidades con las decenas, este aumenta en 45unidades. Si se invierten las decenas con lascentenas, disminuir en 270. Hallar en cunto sealtera si se invierte el orden de las centenas yunidades.

a) Disminuye en 130 d) Disminuye en 99b) Disminuye en 198 e) Aumenta en 99c) Aumenta en 198

2. Si los numerales estn correctamente escritos:)n()m()7()p( 1p3;213;n54;3m2

Hallar: m + n + pa) 12 b) 13 c) 15d) 16 e) 14

3. Si a un numeral decimal de cuatro cifras se leagrega la suma de los valores absolutos de suscifras se obtiene 7368. Hallar la cifra de segundoorden ms la cifra de cuarto orden.

a) 10 b) 11 c) 12d) 15 e) 164. Si: P = 4 x 93 + 7 x 92 + 24.Cmo se escribe el nmero P en base 9?a) 4724(9) b) 4726(9) c) 4725(9)

d) 4824(9) e) 4826(9)5. Un nmero que est comprendido entre 100 y300, es tal que ledo al revs excede en 50 al dobledel nmero que le sigue al original. Hallar la sumade cifras del nmero original.a) 11 b) 10 c) 12d) 15 e) 9

6. Si: bxccbbaa 432 Donde a, b, c, x son diferentes entre s.Hallar xa) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 77. Un nmero de 3 cifras que comienza en 8 es talque al suprimirla esta cifra se obtiene un nmeroigual a 1/33 del nmero original. Cul es la sumade sus cifras?

a) 12 b) 13 c) 18d) 15 e) 208. Sabiendo que: )13()11( a0bb0a Hallar a + ba) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 149. Una persona naci en el ao aa19 y en el ao

bb19 cumpli (3a + 5b) aos de edad. Cul fue elao en que cumpli (b - a)2 aos de edad?

a) 1938 b) 1945 c) 1999d) 1952 e) N.A.10. Hallar (x . y)Si: 66yyxxyxxy )7()6()5()4( a) 6 b) 7 c) 8d) 4 e) N.A.11. Cuntos nmeros de dos cifras son talesque al restarle el nmero que resulta de invertir elorden de sus cifras se obtiene 45?

a) 2 b) 3 c) 4d) 6 e) 512. Si: )9()6( 1156abba Hallar a + ba) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

Los hindes tuvieron ya un conjuntode numerales, que recibieron elnombre de nmero de Bamami porentonces carecan del numeral ceroy hacia escaso uso del valor deposicin aunque la base fue 10 (300d.C.)


13. El cudruple de un nmero de 3 cifras esigual a 7 veces al nmero que resulta de invertir elorden de sus cifras. Determinar el mayor valor dela suma de las 3 cifras de dicho nmeros.

a) 18 b) 17 c) 16d) 15 e) 2014. Si: )4(n n1123a2aaa1 Calcular a + na) 3 b) 7 c) 5d) 4 e) N.A.15. Si a un nmero de 3 cifras se le agrega un 5al comienzo y otro 5 al final, el nmero obtenido es147 veces el nmero original. Dar como respuestala suma de las cifras del nmero original.

a) 10 b) 14 c) 12d) 13 e) 11

1. Cuntos nmeros de dos cifras son iguales alcudruple de la suma de sus cifras?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 52. Calcular el valor de n si: 234n = 63ana) 6 b) 7 c) 8d) 5 e) 93. Hallar la cifra de mayor orden de un nmeromenor que 900, tal que la cifra de las unidades seala mitad que la de las decenas y que esta sea lacuarta parte de la de las centenas.

a) 1 b) 2 c) 4d) 8 e) 94. Si: N = 2 x 83 + 4 x 82 + 3 x 8 + 5

Cmo se escribe el nmero N en base 8?a) 2135(8) b) 2243(8) c) 2435(8)d) 2433(8) e) 3342(8)5. Un nmero consta de dos dgitos cuya suma es11. Si se intercambian sus cifras resulta un nmeroque excede en 5 al triple del nmero primitivo,hallar dicho nmero.

a) 47 b) 38 c) 29d) 36 e) 286. Si los numerales estn correctamente escritoshallar m + n + p

)p()6()n()m( 1211;m3n;21p;23n

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 147. Si a un nmero de dos cifras se le agrega la sumade sus cifras, se invierte el orden de sus cifras.Hallar el producto de las cifras de dicho nmero.

a) 9 b) 12 c) 20d) 18 e) 168. Sabiendo que: 1bcaaa )7( Hallar a + b + ca) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

El sistema de numeracin Maya fuefundamentalmente vigesimal (400 d.C.)


DIVISIBILIDADCONCEPTOS BSICOS

1. DIVISIBILIDADSe dice que un nmero entero A es divisible entreotro nmero entero positivo B (mdulo) cuando ladivisin entera de A entre B es exacta.

A Bo k

2. MULTIPLICIDADUn nmero entero A es mltiplo de otro entero B,si: A = B x n donde n es un nmero enterocualquieran {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, }

Conceptos equivalentes:A es divisible entre BA es mltiplo de B

A = B B es divisor de AB divide a AB es factor de A

NOTACIN:- Si A es mltiplo de B. entonces A = B o A = BK- Si A no es mltiplo de B. entonces A B A = BK r

CONSIDERACIONES IMPORTANTES

- El cero (0) es mltiplo de todo nmero enteropositivo.- Todo nmero entero positivo es mltiplo de simismo.- La unidad es divisor de todo nmero entero.- El divisor es un nmero entero positivo (mdulo)

PRINCIPIOS OPERATIVOS- Sobre la suma y la resta de mltiplos.

nnn nnn

- Sobre la multiplicacin de un nmero cualquieracon un mltiplo cualquiera.

nkxn k Z- Sobre la potencia de un mltiplo cualquiera

nk)n( k Z

- Sobre la divisin de mltiplos

AA = no se puede anticipar al resultado.

BINOMIO DE NEWTONEs el desarrollo de binomio, aplicndose los criteriosde divisibilidad y permite hallar el residuo de manerainmediata.

nn BABA

n BA

=

1. Del 1 al 2000. Cuntos nmeros son divisiblesentre 13 pero no entre 7?a) 153 b) 150 c) 130d) 131 e) 132

2. Del nmero 2000 al 3000. Cuntos nmerosson 7 pero no de 13?a) 132 b) 134 c) 139d) 143 e) 151

3. Cuntos nmeros de 3 cifras son mltiplos de14 y terminan en 8?a) 18 b) 12 c) 24d) 13 e) 27

4. Los nmeros de la forma: )b2)(a2(ab siempreson divisibles entre:a) 8 b) 12 c) 9d) 51 e) 68

5. Por qu nmero es siempre divisible unnmero de la forma: ba)b2(aa) 2 b) 3 c) 5d) 7 e) 11

A + Bn (si n es par)A - Bn (si n es impar)


6. Entre 3000 y 7000. Cuntos nmeros terminanen 8 y son divisibles entre 23?a) 16 b) 17 c) 18d) 12 e) 13

7. Cuntos trminos, como mnimo, bastartomar de la secuencia dada, para que la sumade todos ellos sea divisible entre 38?

8, 16, 24, 32 a) 15 b) 18 c) 19d) 34 e) 38

8. Cuntos nmeros de la siguiente serie son311 ?

35, 39, 43, 47, 247a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

9. Al dividir mn entre 13 se obtiene 4 de resto y aldividir pq entre 13, el resto es 5. Cul ser elresto de dividir mnpq entre 13?

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

10. Cuntos nmeros de 2 cifras cumplen que alser divididos entre 5 y 9 dejan como residuo 4 y6 respectivamente?a) 2 b) 4 c) 6d) 3 e) 5

11. En un barco haba 180 personas, ocurre unnaufragio y de los sobrevivientes 2/5 fuman,3/7 son casados y los 2/3 son ingenieros.Determinar cuntas personas murieron endicho accidente.a) 60 b) 65 c) 70d) 75 e) 80

12. En un saln de 50 alumnos se observa que lasptima parte de las mujeres son rubias y la11va. Parte de los hombres usan lentes.Cuntos hombres no usan lentes?a) 22 b) 28 c) 2d) 20 e) 4

13. A una fiesta de carnaval asistieron 105 personasentre nios, mujeres y hombres. La cantidad de

nios era la stima parte de las mujeres queasistieron y los hombres que no bailaban era laoctava parte de las mujeres que asistieron.Cuntas mujeres no bailaban?a) 34 b) 56 c) 22d) 12 e) 28

14. Si: 1796ab...6ab3abab

Cul es la suma de todos los valores de ab ?a) 330 b) 270 c) 140d) 180 e) 210

15. Hallar un nmero de 3 cifras que sea igual a 5veces el producto de sus cifras. Dar comorespuesta el producto de sus cifras.a) 45 b) 35 c) 25d) 30 e) 40

1. Cuntos mltiplos de 3 hay en:1, 2, 3, 4, 5, . 284?a) 90 b) 91 c) 92d) 93 e) 94

2. Cuntos mltiplos de 3 y 4 hay en:1, 2, 3, 4, 5, 6, .. 87?a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

3. Si: A = 8 + 2 B = 8 + 5Cul es el residuo de dividir (A + 3)B entre 8?a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

4. Si: A = 9 + 1 B = 9 + 2Cul es el residuo de dividir A . B entre 9?a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Un nmero de la forma ab)b3)(a3( es siempremltiplo de:a) 41 b) 43 c) 11d) 17 e) 9


NMEROS RACIONALES Concepto

Es la relacin entre dos trminos en donde unode ellos llamado denominador nos indica laspartes en que se ha dividido una determinadaunidad y la otra llamada numeracin nos indicalas partes que tomamos de esta divisin.

Notacin.

F = qp

=

Clasificacin.I. Por comparacin de sus trminos

IA. Propia.- Cuando el denominador es mayorque el numerador D > N.

IB. Impropia.-Cuando el denominador esmenor que el numerador D < N.Ejemplo: b

a < 1 a < b

72;3

1;95;7

a

ba > 1 a > b

29;4

7;310

II. Por su denominador

IIA. Ordinaria.- Es aquella cuyo denominadores diferente de una potencia de 10.

IIB. Decimal.- Es aquella cuyo denominador esuna potencia de 10.Ejemplo: 2

1,113,4

9

...,100019,100

13,107

III. Por comparacin de los denominadores

IIIA. Homognea.- Son aquellas cuyosdenominadores son iguales.

IIIB. Heterognea.- Son aquellas condenominadores diferentes.

Ejemplo:

42,4

3 / 75,7

2 ____________________

97,5

3 / 94,11

3 ____________________

Fraccin Reductible o EquivalenteEs aquella cuyo numerador y denominadortienen un divisor comn diferente de la unidad,es decir se puede simplificar.Ejemplo:

2114 Simplificando 3

2 32

2114

248 Simplificando 3

1 31

248

Fraccin IrreductibleEs aquella cuyos trminos son primos entre s.Ejemplo:

37,9

4,119,7

5

MCD MCM DE NMEROS FRACCIONARIOS

Mximo Comn DivisorEl MCD de varias fracciones irreductibles es igualal MCD de los numeradores entre el MCM de losdenominadores. Mnimo Comn MltiploEl MCM de varias fracciones irreductibles es iguala MCM de los numeradores entre el MCD de losdenominadores.

Ejemplo 1: Hallar el MCD y MCMDe: 6

5y169,8

21 MCD: 481

)6,16,8(MCM)5,9,21(MCD

MCM: 2315

)6,16,8(MCD)5,9,21(MCM

Ejemplo 2: Calcular el MCM de:

15032,15

12

NMERO DECIMALEs aquel que consta de una parte entera y de unaparte decimal.

enteraparte4932 ,

decimalparte03216

Numerador partes tomadas Denominador divisin total


ClasificacinI. Exactos o limitados

0,75 = 10075

0,8 = 108

II. Inexactos o IlimitadosIIA. Peridicos Puro

0, aaa = 0,a = 9a

0,2121 =IIB. Peridicos Mixtos

0,abbb = 0,a b = 90aab

0,3222... =

0,48383 =

0,02333 =

1,333 =

3,24222 =

0,1 5 =

0,9 2 =

0,251 =

4,2525 =

10,3 2 =

0,3 42 =

6,2 7 =

Ejemplo:Si se cumple que:

)a,0a0,0(2a00,0 = 0,73Hallar: aSolucin:

1. a) Encontrar un quebrado de denominador 84que sea mayor que 1/7 pero menor que 1/6.

Rpta.: b) Si se aade 5 unidades al denominador de 7/15.

La fraccin aumenta o disminuye en cuanto?

a) aumenta en 7/60b) aumenta en 9/60c) disminuye en 1/60d) disminuye en 7/60e) se mantiene igual

2. a) Restar 1/3 de 1/2; 1/4 de 1/3 y 1/5 de 1/4;sumar dichas diferencias, multiplicar las mismas,dividir la suma por el producto, hallar la terceraparte del cociente y extraer la raz cuadrada delresultado. Entonces se obtiene.

Rpta.:


b) Simplificar:

31

432.

127

94

32

51

61

156

61

92

103

54.8

3

a) 5/6 b) 21 c) 13/12d) 45 e) N.A.

3. a) Calcular un nmero sabiendo que si a lacuarta parte de sus 2/5 se agrega los 2/5 de su3/8 y se restan los 3/8 de su quinta parte, seobtiene 21.

Rpta.: b) Cunto le falta a 2/3 para ser igual al cociente

de 2/3 entre 3/4?

a) 1/3 b) 1/6 c) 2/9d) No le falta nadae) es mayor que el cociente

4. a) Hallar una fraccin tal que si se le agrega sucuadrado, la suma que resulta es igual a la mismafraccin multiplicada por 110/19.

Rpta.: b) Si a los trminos de 2/5 le aumentamos 2

nmeros que suman 700, resulta una fraccinequivalente a la original. Cules son losnmeros?

a) 200 y 500 d) 100 y 600b) 200 y 600 e) 250 y 450c) 150 y 550

5. a) La distancia entre Lima y Trujillo es de540 km. a los 2/3 de la carretera, a partir deLima, esta situada la ciudad de Casma, a laquinta parte de la distancia entre Lima yCasma, a partir de Lima, se encuentra laciudad de Chancay. Cul es la distanciaentre Chancay y Casma?

Rpta.: b) A un alambre de 91 m. de longitud se le da 3

cortes de manera que la longitud de cadatrozo es igual a la del inmediato anterioraumentado en su mitad. Cul es la longituddel trozo ms grande?

a) 43,10 m b) 25,20 m c) 37,80 md) 38,00 m e) 40,30 m

6. a) Los 3/8 de un poste estn pintados deblanco, los 3/5 del resto de azul y el restoque mide 1,25 de rojo. Cul es la altura delposte y la medida de la parte pintada deblanco?

Rpta.:

b) Un cartero dejo 1/5 de las cartas que llevaen una oficina, los 3/8 en un banco, si an lequedan 34 cartas para distribuir. Cuntascartas tena para distribuir?

a) 60 b) 70 c) 80d) 90 e) N.A.

7. a) Sabiendo que perd 2/3 de lo que no perd,luego recupero 1/3 de lo que no recupero yentonces tengo S/. 42. Cunto me quedaraluego de perder 1/6 de lo que no logrrecuperar?

Rpta.: b) Un padre le pregunta a su hijo, Cunto

gast de los S/. 1800 de propina que le di?El hijo le responde: Gaste los 3/5 de lo queno gaste Cunto no gasto?

a) S/. 1115 b) 1125 c) 1130d) 675 e) 775

8. a) Despus de haber perdido sucesivamentelos 3/8 de su fortuna, 1/9 del resto y los 5/12del nuevo resto, una persona hereda 60 800soles y de este modo la prdida se reduce enla mitad de la fortuna primitiva. Cul esdicha fortuna?

Rpta.:

b) Un granjero reparte sus gallinas entre sus 4hijos. El primero recibe la mitad de lasgallinas, el segundo la cuarta parte, eltercero la quinta parte y el cuarto las 7restantes. Las gallinas repartidas fueron:

a) 80 b) 100 c) 140d) 130 e) 240


9. a) De un tonel que contiene 320 litros de vinose sacan 80 litros que son reemplazados poragua. Se hace lo mismo con la mezcla porsegunda y tercera vez. Qu cantidad devino queda en el tonel despus de la terceraoperacin?

Rpta.:

b) De un tonel que contiene 320 litros de vinose sacan 1/8 y son reemplazados por agua.Se hace lo mismo con la mezcla por segunday tercera vez. Qu cantidad de vino quedaen el tonel despus de la tercera operacin?

a) 200 b) 214 c) 236d) 284 e) N.A.

10. a) Los 3/4 de un tonel ms 7 litros, son depetrleo y 1/3 menos 20 litros, son de agua.Cuntos litros son de petrleo?

Rpta.:

b) Despus de sacar de un tanque 1600 litrosde agua, el nivel de la misma descendi de2/5 a 1/3. Cuntos litros haba que aadirpara llenar el tanque?

a) 32 000 b) 48 000 c) 24 000d) 16 000 e) N.A.

1. Colocar >, < = segn el caso:I. 2

1 31

II. 32 6

4

III. 95 11

6

IV. 118 2

1

V. 86 16

12

VI. 114 5

2

VII. 1311 2

1

VIII. 134 3

1

IX. 27 7

2

2. Un puente cruza un ro de 760 pies de ancho, enuna orilla se sostiene 1/5 del puente y en la otraorilla 1/6. Cul es la longitud del puente?

a) 1000 pies b) 1200 c) 1100d) 1300 e) N.A.

3. Se tiene 15 botellas de 4/3 de litro cada uno. Sise vacan los 3/5 de las 15 botellas. Cuntoslitros quedan?

a) 8 b) 10 c) 12d) 9 e) 11

4. Una persona recibe viticos por 4 das, el primerda gast la quinta parte; el segundo da gast1/8 del resto; el tercer da los 5/3 del primer da;el cuarto da el doble del segundo da y an lequedo 15000 soles. Cul fue la cantidadentregada?

a) S/. 50 000 b) 75 000 c) 150 000d) 90 000 e) 45 000

5. Cul es la fraccin ordinaria que resultatriplicada si se agrega a sus dos trminos sudenominador?

a) 1/4 b) 2/13 c) 1/5d) 5/13 e) 2/9

6. Una propiedad es de dos hermanos, la parte del1ero. es 7/16 y el valor de la parte


correspondiente a otro hermano es S/. 63 000.Qu valor tiene la propiedad?

a) S/. 120 000 b) 150 000 c) 140 000d) 112 000 e) 108 000

7. Si a los trminos de una fraccin irreductible, sele suma el triple del denominador y al resultadose le resta la fraccin resulta la misma fraccin.Cunto suman los trminos de la fraccinoriginal?

a) 11 b) 8 c) 3d) 13 e) 10

8. Yo poseo los 3/5 de una hacienda llamadaParamo, si vendo 5/8 de mi parte. Culesson correctas?

I. Me quedan 9/40 de la hacienda.II. Me quedan los 5/8 de mi parte.III. Vend menos de 1/4 del total de la

hacienda.

a) Solo I b) Solo II c) Solo IIId) I y II e) II y III

9. En un saln de 50 alumnos se observa que lasptima parte de las mujeres son rubias y laonceava parte de los hombres usan lentes.Cuntos hombres no usan lentes?

a) 22 b) 28 c) 2d) 20 e) 4

10. Si 11b

5a

= 0,781Hallar: a + b

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) N.A.

11. Dado:0,m1 + 0,m2 + 0,m3 = 11

14

Hallar m

a) 5 b) 2 c) 1d) 4 e) 3

12. Dado:0,n3 + 0,n4 + 0,n7 = 9

4

Hallar: n

a) 5 b) 2 c) 3d) 1 e) 4

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