ARITMTICA BINARIAOperaciones elementales con nmerosbinariosSuma de nmeros binariosResta de nmeros binarios Complemento a dos Complemento a uno Restar con el complemento a dosMultiplicar nmeros binariosDividir nmeros binariosLa Unidad Aritmtico Lgica, en la CPU del procesador, es capaz de realizar operaciones aritmticas, con datos numricos expresados en el sistema binario. Naturalmente, esas operaciones incluyen la adicin, la sustraccin, el producto y la divisin. Las operaciones se hacen del mismo modo que en el sistema decimal, pero debido a la sencillez del sistema de numeracin, pueden hacerse algunas simplifcaciones que facilitan mucho la realizacin de las operaciones.Suma en binarioPara aprender a sumar, con cinco o seis aos de edad, tuviste que memorizar las 100 combinaciones posibles que pueden darse al sumar dosdgitos decimales. La tabla de sumar, en binario, es mucho ms sencilla que en decimal. Slo hay que recordar cuatro combinaciones posibles:+ 0 10 0 11 1 0 + 1Las sumas 0 + 0, 0 + 1 y 1 + 0 son evidentes:0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 1Pero la suma de 1+1, que sabemos que es 2 en el sistema decimal, debe escribirse en binario con dos cifras (10) y, por tanto 1+1 es 0 y se arrastra una unidad, que se suma a la posicin siguiente a la izquierda. Veamos algunos ejemplos:010 + 101 = 111 210 + 510 = 710001101 + 100101 = 110010 1310 + 3710 = 50101011011 + 1011010 = 10110101 9110 + 9010 = 18110110111011 + 100111011 = 1011110110 44310 + 31510 = 75810Ejercicio 1:Realiza las siguientes sumas de nmeros binarios:111011 + 110111110111 + 11100110111 + 11011 + 10111Sustraccin en binarioLa tcnica de la resta en binario es, nuevamente, igual que la misma operacin en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operacin de restar en decimal para comprender la operacin binaria, que es ms sencilla. Los trminos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.- 0 10 0 11 1 + 1 0Las restas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:0 0 = 01 0 = 11 1 = 0La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posicin siguiente: 10 - 1, es decir, 210 110 = 1.Esaunidad prestada debe devolverse, sumndola, a la posicin siguiente. Veamos algunos ejemplos:111 101 = 010 710 510 = 21010001 01010 = 00111 1710 1010 = 71011011001 10101011 = 00101110 21710 17110 = 4610111101001 101101101 = 001111100 48910 36510 = 12410Ejercicio 2:Realiza las siguientes restas de nmeros binarios y comprueba los resultados convirtindolos al sistema decimal:111011 - 110111110111 - 1110011010111 - 11011 10011A pesar de lo sencillo que es el procedimiento de restar, es fcil confundirse. Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecnicamente, sin detenernos a pensar en el signifcado del arrastre. Para simplifcar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones: Dividir los nmeros largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cmo se divide una resta larga en tres restas cortas:100110011101 100110011101010101110010 0101 0111 0010010000101011 010000101011 Calculando el complemento a dos del sustraendoi. Complemento a dosEl complemento a dos de un nmero N, compuesto por n bits, se defne como:C2N = 2n NVeamos un ejemplo: tomemos el nmero N = 1011012, que tiene 6 bits, y calculemos su complemento a dos:N = 4510n = 626 = 64y, por tanto: C2N = 64 45 = 19 =0100112Ejercicio 3:Calcula el complemento a dos de los siguientes nmeros:11001, 10001011, 110011010ii. Complemento a unoEl complemento a uno de un nmero N, compuesto por n bits es, por defnicin, una unidad menor que el complemento a dos, es decir:C1N = C2N - 1y, por la misma razn:C2N = C1N + 1Calculemos el complemento a uno del mismo nmero del ejemplo anterior:siendo N = 101101, y su complemento a dos C2N = 010011C1N = C2N 1 = 010011 000001 = 010010C1N = 010010Da la sensacin de que calcular el complemento a uno no es ms que una forma elegante de complicarse la vida, y que no va a ser ms sencillo restarutilizando el complemento a dos, porque el procedimiento para calcular el complemento a dos es ms difcil y laborioso que la propia resta. Pero es mucho ms sencillo de lo que parece.En realidad, el complemento a uno de un nmero binario es el nmero resultante de invertir los UNOS y CEROS de dicho nmero. Por ejemplo si:N = 110100101obtenemos su complemento a uno invirtiendo ceros y unos, con lo que resulta:C1N = 001011010y su complemento a dos es:C2N = C1N + 1 = 001011011es muy fcil!Veamos otro ejemplo de clculo de complementos. Sea:N = 0110110101El complemento a uno es:C1N = 1001001010y el complemento a dos es:C2N = 1001001011iii. Restar en binario usando el complemento a dosY, por fn, vamos a ver cmo facilita la resta el complemento. La resta binaria de dos nmeros puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo. Veamos algunos ejemplos:Primer ejemplo:Hagamos la siguiente resta, 91 46 = 45, en binario:1011011 0101110 = 0101101Tiene alguna difcultad, cuando se acumulan los arrastres a la resta siguiente. Pero esta misma resta puede hacerse como una suma, utilizando el complemento a dos del sustraendo:1011011 + 1010010 = 0101101En el resultado de la suma nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el nmero resultante no puede ser ms largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia.Segundo ejemplo:Hagamos esta otra resta, 219 23 = 196, utilizando el complemento a dos:21910 = 110110112, 2310 = 000101112C223 = 11101001El resultado de la resta ser: 11011011 + 11101001 = 111000100Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado correcto:110001002 = 19610Qu fcil!Ejercicio 4:Haz las siguientes restas binarias utilizando la tcnica del complemento a dos. Al terminar, comprueba los resultados haciendo la resta en el sistema decimal:11010001101 100011110110110011101 - 1110101Multiplicacin binariaLa multiplicacin en binario es ms fcil que en cualquier otro sistema de numeracin. Como los factores de la multiplicacin slo pueden ser CEROS o UNOS, el producto slo puede ser CERO o UNO. En otras palabras, las tablas de multiplicar del cero y del uno son muy fciles de aprender:x 0 10 0 01 0 1En un ordenador, sin embargo, la operacin de multiplicar se realiza mediante sumas repetidas. Eso crea algunos problemas en la programacin porque cada suma de dos UNOS origina un arrastre, que se resuelven contando el nmero de UNOS y de arrastres en cada columna. Si el nmero de UNOS es par, la suma es un CERO y si es impar, un UNO. Luego, para determinar los arrastres a la posicin superior, se cuentan las parejas de UNOS.Veamos, por ejemplo, una multiplicacin:Para comprobar que el resultado es correcto, convertimos los factores y el resultado al sistema decimal:3349 * 13 = 43537correcto!Ejercicio 5:Haz las siguientes multiplicaciones binarias. Al terminar, comprueba los resultados haciendo las multiplicaciones en el sistema decimal:10110101000101 x 101110100001111011 x 10011Divisin binariaIgual que en el producto, la divisin es muy fcil de realizar, porque no sonposibles en el cociente otras cifras que UNOS y CEROS.Consideremos el siguiente ejemplo, 42 : 6 = 7, en binario:Se intenta dividir el dividendo por el divisor, empezando por tomar en ambos el mismo nmero de cifras (100 entre 110, en el ejemplo). Si no puede dividirse, se intenta la divisin tomando un dgito ms (1001 entre 100).Si la divisin es posible, entonces, el divisor slo podr estar contenido una vez en el dividendo, es decir, la primera cifra del cociente esun UNO. En ese caso, el resultado de multiplicar el divisor por 1 es el propio divisor. Restamos las cifras del dividendo del divisor y bajamos la cifra siguiente.El procedimiento de divisin contina del mismo modo que en el sistema decimal.Ejercicio 5:Haz las siguientes divisiones binarias. Al terminar, comprueba los resultados haciendo las divisiones en el sistema decimal:10110101000101 : 101110100001111011 : 10011Luis GonzlezProfesor de Tecnologas de la InformacinI.E.S. Santa Eugenia (Madrid)EJERCICIOS adicionales1.Realiza las siguientes sumas de nmeros octales:365 + 232732 + 126565 + 17732.Suma los siguientes nmeros hexadecimales:17A + 3C20F5 + 31B2E70C + 1AA7F3.Resta los siguientes nmeros octales:365 - 232732 - 12651773 654.Realiza las siguientes restas de nmeros hexadecimales:17A - 3C20F5 - 31B2E70C 1AA7FAND Devuelve un valor verdadero, si las dos expresiones devuelven un valor verdadero. True And True = True (1 And 1 = 1)True And False = False (1 And 0 = 0)False And True = False (0 And 1 = 0)False And False = False (0 And 0 = 0) NOT Niega (o invierte) el valor devuelto por la expresin. Not True = False (Not 1 = 0)Not False = True (Not 0 = 1) OR Devuelve un valor verdadero si cualquiera de las dos expresiones es verdadera. True Or True = True (1 Or 1 = 1)True Or False = True (1 Or 0 = 1)False Or True = True (0 Or 1 = 1)False Or False = False (0 Or 0 = 0) XOR Devuelve un valor verdadero solamente si una de las expresiones es verdadera. True Xor True = False (1 Xor 1 = 0)True Xor False = True (1 Xor 0 = 1)False Xor True = True (0 Xor 1 = 1)False Xor False = False (0 Xor 0 = 0)