Aritmetica Elemental 123

Aritmética y Numeración

Yuri Rojas Ramírez

Catedrático de Matemáticas

RUM

Contenido

1. Definiciones

2. Trasfondo histórico

3. Fundamentos de la aritmética

4. Operaciones elementales

5. Números

6. Conjuntos numéricos

7. Sistemas numéricos

Contenido (cont.)

8. Sistema de numeración de base 10

9. Operaciones

10. Orden de las operaciones

11. La propiedad distributiva

12. Otras bases: 2 y 5

13. Problemas especiales

14. Resolución de problemas adicionales

Definición de “Aritmética”

Diccionario de la Real Academia Española:

Parte de las matemáticas que estudia losnúmeros y las operaciones hechas con ellos.

Definición de “Numeración”


Sistema para expresar de palabra o porescrito todos los números con una cantidadlimitada de vocablos y de caracteres o guarismos.

Definición de “Sistema de numeración”


Conjunto de reglas y signos para representarlos números.

Trasfondo histórico

Pitágoras y los pitagóricos: Ènfasis en losnúmeros naturales

Quadrivium: Aritmética, Geometría, Músicay Astronomía

Trivium: Gramática, Lógica y Retórica

Trasfondo histórico

Antigüedad hasta la Edad Media: Aritmética(propiedades abstractas) vs Logística (arte práctico de los cómputos)

Siglo XV: Aritmética

Hoy: Teoría de Números vs Aritmética

Fundamentos de la Aritmética

Operaciones elementales

Números

Conjuntos numéricos

Sistemas numéricos



Contar

1, 2, 3, 4, …


Contar 1, 2, 3, 4, … Sumar 1 + 2 = 3 Restar 3 – 1 = 2 Multiplicar 3 × 5 = 15 Dividir 15 ÷ 5 = 3

Números

Diccionario de la RAE:

Número: Expresión de la cantidadcomputada con relación a una unidad. Signoo conjunto de signos con que se representael número.

Números

Son abstracciones utilizadas para contar y medir.

Números


Representan cantidad y tamaño.

Números


Representan cantidad y tamaño.

Tienen diferentes representaciones.

Representaciones de Números

verbales: palabras DOS



concretas: dedos



concretas: dedos

simbólicas: numerales 2


Naturales1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …


Naturales1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …

Cardinales0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …


Naturales1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …

Cardinales0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …

Enteros0, ±1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 7, …

Conjuntos numéricos (cont.)

Racionales: Fracciones de enteros, decimales finitos y decimales infinitosperiódicos

Ejs: -½, 0.75, 18.33333…


Irracionales: No se pueden escribir como el cociente de dos enteros. Son decimalesinfinitos no periódicos.

Ejs: 2 1.41421356237…

3.14159265359…

e 2.71828182846…


Reales: Todos los racionales y losirracionales.

Conjuntos numéricos: Notación

Naturales: N

Enteros: Z

Racionales: Q

Reales: R

Nuestro sistema de numeración

Sistema decimal

Base 10

Números indoarábigos

Sistema posicional

Nuestro sistema de numeración

Notación expandida o desarrollada

Ejemplo:

875 = 8 centenas y 7 decenas y 5 unidades

= (8 x 100) + (7 x 10) + (5 x 1)

Orden de las operaciones

1. Paréntesis – de adentro hacia afuera

2. Exponentes – de izquierda a derecha

3. Multiplicaciones y divisiones – de izquierdaa derecha

4. Sumas y restas – de izquierda a derecha


Ejemplos:

2 x 4 + 5

(2 x 4) + 5

2 x (4 + 5)


Ejemplos:

16 ÷ 4 x 2

(16 ÷ 4) x 2

16 ÷ (4 x 2)


Ejemplos:

12 + 8 – 5

3 + 4 x 6

4 x 12 ÷ 3

23 – 5 + 8


Ejemplos:

2 x 6 – 2 x 2

20 – 4 x 3 + 2

20 ÷ 5 x 4

13 + 7 x 2

6 x 3 + 10 – 5

6 ÷ 3 x 10 + 5


Ejemplos:

6 - 3 + 10 x 5

6 x 3 - 10 ÷ 5

8 + 5 x (4 ÷ 2)

12 x 3 – 6 x 3

72 ÷ 9 + 56 ÷ 7


Ejemplo:

Un estudiante usa su calculadora para evaluarla expresión 2 + 12 ÷ 2 x 3 y obtiene 21.

¿Usó el orden correcto de las operaciones? Explique.


Ejemplo:

Evalúe la expresión numérica

5 x 9 – 3 + 12 ÷ 6


Ejemplo:

Añade paréntesis a la expresión numérica paraque sea cierta.

5 x 9 – 3 + 12 ÷ 6 = 32


Ejemplos:

100 ÷ 5 – 3 x 5

6 + 3² – 2³ ÷ 4

6 + 5 (3 + 7)

8 + 2 [3 + 4 (7 – 5)]

(2 + 14) ÷ 4

(3 + 5) ÷ (1 + 1)


Ejemplos:

(2 x 3)² ÷ (5 + 1)

(2 x 3)² ÷ 6 + 1

[18 + 2 (6 – 1)] ÷ (6 + 8)

(15 – 3 )² ÷ (9 – 3)

1. (10 - 2³ + 3) ÷ (4² ÷ 2)

2. {8 + 2 [5 – 2 ( 6 ÷ 3)]} ÷ (15 ÷ 3)


Vamos a determinar, usando cómputos y actividades matemáticas, el nombre de tuinstructor favorito de AFAMaC.

Primero, vamos a hallar tu número especial, haciendo lo siguiente:


Toma el número del mes de tu nacimiento. Súmale 24. Súmale la diferencia que obtienes cuando

restas el número del mes de tu nacimientode 12.

Divide por 3. Súmale 14.El resultado es tu número especial.


Ahora, asígnale a cada una de las 27 letras del alfabeto español el número que por ordenalfabético le corresponde: A = 1, B = 2, etc.

Halla la letra que le corresponde a tu nmeroespecial. El nombre del instructor de AFAMaC que empieza con esa letra es tufavorito.

La propiedad distributiva

Podemos evaluar una expresión aritmética sin ceñirnos al orden de las operaciones, siusamos algunas propiedades. La propiedaddistributiva de los números es

a (b + c) = a x b + a x c.


Ejemplo:

7 (11 + 4) = 7 x 11 + 7 x 4

= 77 + 28

= 105


Ejemplo: Haz un cálculo mental para evaluar

9 x 13.


Ejemplo: Haz un cálculo mental para hallar el area de un pasillo que mide 8 pies de ancho y 27 pies de largo.


Ejemplo: Una clase de 25 estudiantes va a unajira. Cada estudiante paga $4 por la entradaa un museo y $2 por una película.


Ejemplo: Una milla (mi) es equivalente a 1.6 kilómetros (km). Explique cómo puede usarcálculos mentales para hallar cuántos km hay en 42 millas.


La propiedad distributiva se puede generalizar:

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.


Ejercicio:

Demuestre con un dibujo que

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.


Ejemplo: Evalúe mentalmente

12 x 18.


Ejemplo: Evalúe mentalmente

101 x 99.


Ejercicio:

Demuestre con un dibujo que:

a (b – c) = ab – ac.

Otras bases: Base 5

La tribu de los Luo en Kenya usa una sistemaquinario de numeración.

Otras bases: Base 5

La tribu de los Luo en Kenya usa una sistemaquinario de numeración.

Los dígitos disponibles para contar son 0, 1, 2, 3 y 4.

Sistema de una mano.

Otras bases: Base 5

Sistema de una Símbolo

Mano (base 5)

0 dedos 05

1 dedo 15

2 dedos 25

3 dedos 35

4 dedos 45

Otras bases: Base 5


Mano (base 5)

1 mano y 0 dedos 105

1 mano y 1 dedo 115




Otras bases: Base 5


Mano (base 5)

2 manos y 0 dedos 205

2 manos y 1 dedo 215

2 manos y 2 dedos 225

… …………

Otras bases: Base 5

Ejemplo:

Sume 345 + 15.

Otras bases: Base 5

Ejemplo:

¿Qué número sigue a 445?

Otras bases: Base 5

Ejemplo: Halle la representación en base 10 de cada uno de los siguientes númerosquinarios:

a) 145

b) 1245

c) 10305

d) 112445

Otras bases: Base 5

Ejemplo: Halle la representación quinaria de cada uno de los siguientes númerosdecimales:

a) 824

b) 728

c) 100

Otras bases: Base 5

Discuta cómo podríamos usar monedas en el salón de clase para enseñar a usar la base quinaria.

Otras bases: Base 5

¿Cuál de los siguientes modelos representamejor el 67 en base 5?

1 peseta, 8 fichas, 2 chavitos prietos

1 peseta, 7 fichas, 7 chavitos prietos

2 pesetas, 3 fichas, 2 chavitos prietos

2 pesetas, 2 fichas, 7 chavitos prietos

Otras bases: Base 2

Sistema binario

Usado todavía por algunas tribus

Usado en computadoras

Otras bases: Base 2

Ejemplo: Halle la representación decimal de cada unode los siguientes números binarios:

a) 102

b) 112

c) 1002

d) 1112

e) 101121

Otras bases: Base 2

Ejemplo: Halle la representación binaria de cada unode los siguientes números decimales:

a) 27

b) 11

c) 100

d) 127

e) 1024

Otras bases: Base 2

En el sistema de base 6, ¿qué dígitos se pueden usar?

Explica por qué 161235 no es un número en base quinaria.

Tienes 1011012 canicas. Miguel tiene 1405

canicas. Lily tiene 45 canicas. ¿Quién tienemás canicas?

La resolución de problemas…

Es uno de los distintivos de la matemática

Fomenta el gusto por el trabajo mental

Deja huellas en la mente y el carácter

Requiere conocimiento, razonamiento lógicopero sobre todo disciplina

Desarrolla pasión por el aprendizaje

Problema 1

Adivinanza:

El zapatero y su hija,

el sastre con su mujer

comieron de nueve huevos

y les tocaron a tres.

Problema 2

Cuando yo iba hacia Santa Rosa, me encontrécon un hombre con siete esposas, cadaesposa con siete bolsas, cada bolsa con siete gatas, cada gata con siete crías. Crías, gatas, bolsas y esposas, ¿cuántos iban a Santa Rosa?

Problema 3

En una finca hay siete casas, en cada casa hay siete gatas, cada gata come siete ratas, cada rata come siete calabazas, y cadacalabaza da siete libras de masa. Casas, gatas, ratas, calabazas y libras de masa, ¿cuántas de todas éstas en total hay en la finca?

Problema 4

Un estudiante obtuvo 68 en el primer examen y 82 en el segundo examen. ¿Cuál fue el promedio?

Problema 5

Un estudiante obtuvo 68 en el primer examen y 82 en el segundo examen. ¿Cuánto necesitaobtener en el tercer examen para que el promedio sea 80? ¿Para que el promediosea 90?

Problema 6

Halle dos números enteros consecutivos cuyasuma sea 345.

Problema 7

Halle tres números enteros consecutivos cuyasuma sea 345.

Problema 8

Halle tres números pares consecutivos cuyasuma sea 345.

Problema 9

Un cuadrado tiene un área de 121 cm². Hallesu perímetro.

Problema 10

Un rectángulo es 1 cm más alto de lo que esancho. Si su perímetro es 14 cm, determine su área.

Problema 11

Un rectángulo es 7 cm más alto de lo que esancho. Si su área es 60 cm, determine la medida de ambas diagonales.

Problema 12

El viento partió un poste de 18 pies de alto. Su tope tocó el piso a 6 pies de su base. Encuentre las longitudes de los segmentosdel poste.

Problema 13

Dos ermitaños vivían en el tope de un acantilado de 100 pies de alto, cuya base estaba a 200 pies de distancia de una aldea. Uno de ellos bajó por el acantilado y caminóhasta la aldea. El otro, que era un mago, voló hacia arriba una distancia x, y despuésvoló en línea recta hasta la aldea. La distancia recorrida por ambos fue la misma. Halle x.

Problema 14

Un perro persigue a un conejo, que tiene unaventaja de 150 pies. Si el perro brinca 9 pies cada vez que el conejo brinca 7, ¿en cuántos saltos alcanzará el perro al conejo?

Problema 15

Arjuna, exasperado en el combate, disparó un paquete de flechas para matar a Carna. Con la mitad de las flechas se defendió de suenemigo, con 4 veces la raíz cuadrada del número de flechas mató a su caballo, con 6 flechas liquidó al ayudante de Carna, con 3 destruyó su bandera, su casco y su arco, y con 1 le cortó la cabeza. ¿Cuántas flechastenía el paquete de Arjuna?

Problema 16

La lápida en la tumba del geómetra griego Diofantorevela su edad utilizando un artificio matemático:

Los dioses le brindaron niñez por una sexta parte de su vida, y una duodécima para su adolescencia. Un matrimonio sin vástagos tuvo por una séptima parte de su vida. Cinco añospasaron y entonces le nació un hijo. Este hijo murió al momento en que cumplió la mitad de los años que vivió supadre. Diofanto vivió cuatro años más, ahogando su pena en el estudio de sus números y entonces murió.

¿A que edad murió Diofanto?

Problema 17

A un pedazo cuadrado de cartón de 30 cm de lado se le recortan cuadraditos de igualtamaño en las cuatro esquinas. ¿De quétamaño deben ser esos cuadraditos paraque el área restante sea 324 cm²?

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