Captulo

LGICA PROPOSICIONAL1INTRODUCCIN

La lgica estudia la forma de razonamiento. Es una discipli-na que se utiliza para determinar si un argumento es vlido,tiene aplicacin en todos los campos del saber; en la filoso-fa, para determinar si un razonamiento es vlido o no, yaque una frase puede tener diferentes interpretaciones; sinembargo la lgica permite saber el significado correcto. Losmatemticos usan la lgica, para demostrar teoremas e infe-rir resultados que puedan ser aplicados en investigaciones .En la computacin, para revisar programas y crear susalgoritmos, es utilizada en el diseo de computadoras. Exis-ten circuitos integrados que realizan operaciones lgicas conlos bits, gracias a estos se ha desarrollado las telecomunica-ciones (telefona mvil, internet, ...)

Es cualquier frase u oracin que expresauna idea.

Son oraciones aseverativas que se pue-den calificar como verdaderas o falsas. Se representan conlas letras minsculas del abecedario: p ; q ; r ; s.

Ejemplo:* Tpac Amaru muri decapitado.* 9 < 10* 45 = 3 2

Son enunciados que pueden

tomar cualquiera de los 2 valores de verdad.

Ejemplo:

Si : 6x:)x(PSe cumple que:

69:)9(P es verdadero

62:)2(P es falso

El valor de verdad de P(x) depende del valor de x, tambin,

se le conoce como funcin proposicional.

1 . Proposicin Simple: Son proposiciones que notienen conjunciones gramaticales ni adverbio denegacin.Ejemplo:* Cincuenta es mltiplo de diez.

2 . Proposicin Compuesta: Formada por dos o msproposiciones simples unidas por conectivos lgicos opor el adverbio de negacin.Ejemplo:* 29 es un nmero primo y 5 es impar.

Smbolos que enlazan dos oms proposiciones simples para formar una proposicincompuesta.Los conectores lgicos que usaremos son :

~ Negacin No pConjuncin p y qDisyuncin p o q

Condicional Si p, entonces q

Bicondicional p si y slo si qDisyuncinExclusiva "o ........ o ........"

OBS: La negacin es un conector mondico, afecta sola-mente a una proposicin.

La validez de una proposicin compuesta depende de losvalores de verdad de las proposiciones simples que la com-ponen y se determina mediante una tabla de verdad.

1 . Conjuncin: Vincula dos proposiciones mediante elconectivo lgico "y".

Tabla de Verdad

FFFFVFFFVVVV

qpqp

los bits, gracias a estos se ha desarrollado las telecomunica-los bits, gracias a estos se ha desarrollado las telecomunica-los bits, gracias a estos se ha desarrollado las telecomunica-los bits, gracias a estos se ha desarrollado las telecomunica-

Es cualquier frase u oracin que expresaEs cualquier frase u oracin que expresaEs cualquier frase u oracin que expresa

los bits, gracias a estos se ha desarrollado las telecomunica-los bits, gracias a estos se ha desarrollado las telecomunica-los bits, gracias a estos se ha desarrollado las telecomunica-los bits, gracias a estos se ha desarrollado las telecomunica-los bits, gracias a estos se ha desarrollado las telecomunica-

Es cualquier frase u oracin que expresaEs cualquier frase u oracin que expresaEs cualquier frase u oracin que expresaEs cualquier frase u oracin que expresaEs cualquier frase u oracin que expresaEs cualquier frase u oracin que expresaEs cualquier frase u oracin que expresaEs cualquier frase u oracin que expresaEs cualquier frase u oracin que expresaEs cualquier frase u oracin que expresaEs cualquier frase u oracin que expresa

2 . Disyuncin: Vincula dos proposiciones mediante elconectivo lgico "o".

Tabla de Verdad

FFFVVFVFVVVV

qpqp

3 . Disyuncin Exclusiva: Vincula dos proposicionesmediante el conectivo lgico: "o ..........., o ............."

Tabla de Verdad

FFFVVFVFVFVV

qpqp

4 . Condicional: Vincula dos proposiciones mediante elconectivo lgico :"Si ............, entonces .............."

Tabla de Verdad

FFFVVFFFVVVV

qpqp

V

5 . Bicondicional: Vincula dos proposiciones medianteel conectivo lgico:".............. si y slo si .............."

Tabla de Verdad

VFF

FVF

FFV

VVV

qpqp

6 . Negacin: Afecta a una sola proposicin. Es unoperador mondico que cambia el valor de verdad deuna proposicin:

Tabla de Verdad

V

F

p~

F

V

p

La cantidad de filas en una tabla es:

# filas = 2n

Donde n es la cantidad de proposiciones simples.

* Cuando los valores del operador principal son todosverdaderos se dice que el esquema molecular es

.

* Se dir que el esquema molecular essi los valores del operador principal son todos falsos.

* Si los valores del operador principal tiene por lo menosuna verdad y una falsedad se dice que es

.

LEYES DE LGEBRA PROPOSICIONAL

Son equivalencias lgicas que nos permiten reducir esque-mas moleculares complejos y expresarlos en forma ms sen-cilla. Las demostraciones de dichas leyes se hacen constru-yendo la tabla de verdad en cada caso.

a. Ley de Idempotencia:

ppp

ppp

b. Ley Conmutativa:

pqqp

pqqp

c . Ley Asociativa:

)rq(pr)qp()rq(pr)qp(

d. Ley Distributiva:

)rp()qp()rq(p)rp()qp()rq(p

e . Ley de la Doble Negacin:

p)p(~~

f . Leyes de Identidad:

FFp;pVp

pFp;VVp

g . Leyes del Complemento:

Fp~p

Vp~p

h. Ley del Condicional:qp~qp

sso

bb. L

AsAso

bbbbbbbb LLL

i . Ley de la Bicondicional:

)qp(~qp)q~p(~)qp(qp

)pq()qp(qp

j . Ley de Absorcin:

qp)qp(~p

qp)qp(~p

p)qp(p

p)qp(p

k . Leyes de "De Morgan":

q~p~)qp(~

q~p~)qp(~

1 . Cuant i fi cador Universa l: Sea la funcin

proposicional )x(f sobre un conjunto A, el cuantificador("para todo") indica que todos los valores del

conjunto A hacen que la funcin proposicional )x(f

sea verdadera.

se lee : "Para todo"

Ejemplo:

Sea : 52x:f 3)x( donde Nx

La proposicin cuantificada es :

52x;Nx 3 es falsa.

2 . Cuantificador existencial: Sea )x(f una funcin

proposicional sobre un conjunto A el cuantificador(existe algn) indica que para algn valor del conjunto

A, la funcin proposicional )x(f es verdadera.

se lee : "Existe algn"

Ejemplo:

Sea 85x:f 2)x( , donde : Zx , la proposicin:

85x/Zx 2 es verdadera:

Un circuito conmutador puede estar solamente en dos esta-dos estables : cerrado o abierto, as como una proposicinpuede ser verdadera o falsa, entonces podemos representaruna proposicin utilizando un circuito lgico:

1 . Circuito Serie: Dos interruptores conectados en serierepresentan una conjuncin.

p q qp

2 . Circuito Paralelo: Dos interruptores conectados enparalelo representan una disyuncin.

p

q

qp

LGICA BINARIA

La lgica binaria trata con variables que toman 2 valoresdiscretos y con operaciones que asumen significado lgico,para este propsito es conveniente asignar los valores de 1y 0.

PRINCIPALES COMPUERTAS LGICAS

* Compuerta AND de dos entradas.

pq qp

* Compuerta OR de dos entradas

pq qp

* Compuerta NOT

~pp

* Compuerta NAND de dos entradas

pq qp~ ( )

* Compuerta NOR de dos entradas

pq qp~ ( )

("para todo") indica que todos los valores del

conjunto A hacen que la funcin proposicional

Compuerta AND de dos entradas.

conjunto A hacen que la funcin proposicional

("para todo") indica que todos los valores del

conjunto A hacen que la funcin proposicionalconjunto A hacen que la funcin proposicional

PPR

Compuerta AND de dos entradas.

("para todo") indica que todos los valores del("para todo") indica que todos los valores del("para todo") indica que todos los valores del

conjunto A hacen que la funcin proposicional

Compuerta AND de dos entradas.

conjunto A hacen que la funcin proposicionalconjunto A hacen que la funcin proposicional

("para todo") indica que todos los valores del

conjunto A hacen que la funcin proposicionalconjunto A hacen que la funcin proposicionalconjunto A hacen que la funcin proposicionalconjunto A hacen que la funcin proposicionalconjunto A hacen que la funcin proposicionalconjunto A hacen que la funcin proposicionalconjunto A hacen que la funcin proposicional

("para todo") indica que todos los valores del("para todo") indica que todos los valores del

PPPRRPRRP

Compuerta AND de dos entradas.Compuerta AND de dos entradas.Compuerta AND de dos entradas.Compuerta AND de dos entradas.Compuerta AND de dos entradas.

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. De los siguientes enunciados:* Qu rico durazno.* 7 + 15 > 50

* 25yx 22

Qu alternativa es correcta?

a) Una es proposicin.b) Dos son enunciados abiertos.c) Dos son expresiones no proposicionales.d) Dos son proposiciones.e) Todas son proposiciones.

02. Cuntas de las siguientes expresiones sonproposiciones?* Dios mo .... se muri!* El calor es la energa en trnsito.* Baila a menos que ests triste.* Siempre que estudio, me siento feliz.* El delfn es un cetceo, ya que es un mamfero ma-

rino.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

03. Dadas las siguientes expresiones:* El tomo no se ve, pero existe.* Los tigres no son paquidermos, tampoco las nu-

trias.* Toma una decisin rpida.* Hay 900 nmeros naturales que se representan con

tres cifras.* La Matemtica es ciencia fctica.* Es imposible que el ao no tenga 12 meses.Cuntas no son proposiciones simples?

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

04. Hallar el valor de verdad de las siguientesproposiciones:

)1127()523(

)8102()314(

)512()1073(

23

211212

a) VVFV b) VFVV c) VVVVd) VVVF e) FVVV

05. Determinar el valor de verdad de cada una de lasiguientes proposiciones:I. Si : 3 + 1 = 7, entonces : 4 + 4 = 8II. No es verdad que :

2 + 2 = 5 si y solo si 4 + 4 = 10.III. Madrid est en Espaa o Londres est en Francia.

a) VFV b) VVV c) VFFd) FVF e) FFF

06. Si : r)q~p( ; es falsa, determinar los valores deverdad de "p", "q" y "r".

a) VVF b) VFF c) VVVd) VFV e) FFF

07. Simbolizar:

~p

q

~q

Si la proposicin que se obtiene es falsa.Cules son los valores de p y q respectivamente?

a) VV b) VF c) FVd) FF e) No se puede precisar

08. Si la proposicin: )sr(~)q~p( es falsa,deducir el valor de verdad de :

p~)q~p(~

a) V b) Fc) V o F. d) No se puede determinar.e) Es V si p es F.

09. Si la proposicin compuesta:

)tr()qp(Es falsa. Indicar las proposiciones que son verdaderas:

a) p ; r b) p ; q c) r ; td) q ; t e) p ; r ; t

10. Si "p" es una proposicin falsa, determina el valor deverdad de la expresin:

)qpr()]}pq(~r[)qp{(

a) Verdadero.b) Falso.c) Verdadero o falso.d) Verdadero slo si q es verdadero.e) Falso slo si r es falso.

11. Si la proposicin:)rq()qp(

es falsa, hallar el valor de verdad de las siguientesfrmulas:I. )qp()rp(~II. )qr(~)q~p(III. )r~p()]r~q()qp[(

a) VVF b) VFV c) VVVd) VFF e) FVV

Es falsa. Indicar las proposiciones que son verdaderas:

Si la proposicin compuesta:

Los tigres no son paquidermos, tampoco las nu-Los tigres no son paquidermos, tampoco las nu-

e) Es V si p es F.e) Es V si p es F.

Si la proposicin compuesta:

Es falsa. Indicar las proposiciones que son verdaderas:

Si la proposicin compuesta:

Los tigres no son paquidermos, tampoco las nu-Los tigres no son paquidermos, tampoco las nu-Los tigres no son paquidermos, tampoco las nu-Los tigres no son paquidermos, tampoco las nu-Los tigres no son paquidermos, tampoco las nu-Los tigres no son paquidermos, tampoco las nu-Los tigres no son paquidermos, tampoco las nu-Los tigres no son paquidermos, tampoco las nu-

e) Es V si p es F.e) Es V si p es F.e) Es V si p es F.e) Es V si p es F.

Si la proposicin compuesta:Si la proposicin compuesta:Si la proposicin compuesta:

12. Los valores de verdad de las proposiciones "p" , "q" , "r"y "s" son respectivamente V, F, F y V.Obtener los valores de verdad de:

I. s]r)qp[(

II. )ps(r

III. )s~r()rp(

a) VFF b) FVV c) VVVd) VVF e) FFF

13. Si la proposicin:

)sr(pEs falsa, cuntas de las siguientes proposiciones sonverdaderas?

I. p~)ts(~

II. pr

III. r~t

IV. )ts()pr(

a) Ninguna b) Una c) Dosd) Tres e) Cuatro

14. Si la proposicin compuesta:

]q)~r()r~p[(~no es falsa. Hallar el valor de verdad de lasproposiciones r, p y q respectivamente.

a) FVV b) VVF c) VFVd) FVF e) VFF

15. De la falsedad de la proposicin :

)sr(~)q~p( se deduce que el valor de verdadde los esquemas:

I. )q(~)q~p(~

II. ]s)rq[(~)qr(~

III. ]q~)qp[()qp(Son respectivamente :

a) VFV b) FFF c) VVVd) VVF e) FFV

16. Sean las proposiciones:

* 1x,Rx:p 0)x(

* 0y/Ny:q 2)y(

* )3z)(3z(9z,Rz:r 22)z(Indique el valor de verdad de:

qp , rp , qr

a) FFV b) FVV c) VFVd) VVV e) FFF

17. Sea : U = {1 , 2 , 3}, el conjunto universal.Hallar el valor de verdad de:

I. 1yx/y,x2

II. 12yx/y,x22

III. 12yx/y,x 22

IV. 12yx/y,x 22

a) VFVF b) VVFF c) VVVFd) VVVV e) VVFV

18. Si : U = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}Cul es el valor de verdad de las siguientesproposiciones?I. 4x3x:UxII. 6x82x:UxIII. 21-x52x:Ux

a) VVV b) FFV c) VFVd) FVF e) FFF

19. Hallar los valores de verdad de las siguientesproposiciones:I. x)1x,Rx(x)x,Rx(

II. 1)-x1x,Zx(x)x,Rx( 2

III. 0)x,Qx(0)x,Nx(

IV. x)1x,Rx(x)3x,Nx(

a) FVVF b) FVVV c) VVFFd) VFFF e) VVVF

20. Sea : A = {1 , 2 , 3}Determinar el valor de verdad de las siguientesexpresiones:

I. 1yx/Ay,Ax 2

II. 12yx/Ay,Ax 22

III. 222 z2yxA/z,Ay,Ax

IV. 222 z2yxA/z,Ay,Ax

a) VFVV b) VVFV c) VVVFd) FVVV e) VVVV

21. Sealar la expresin equivalente a la proposicin:

)p~q(~)p~p(

a) pq

b) qp

c) p~)qp(

d) )qp(p~

e) p~)pq(

Determinar el valor de verdad de las siguientesDeterminar el valor de verdad de las siguientesDeterminar el valor de verdad de las siguientesDeterminar el valor de verdad de las siguientesexpresiones:

]

Sea : A = {1 , 2 , 3}Determinar el valor de verdad de las siguientes

no es falsa. Hallar el valor de verdad de lasno es falsa. Hallar el valor de verdad de las]

Determinar el valor de verdad de las siguientesDeterminar el valor de verdad de las siguientesDeterminar el valor de verdad de las siguientesDeterminar el valor de verdad de las siguientesDeterminar el valor de verdad de las siguientesexpresiones:

Sea : A = {1 , 2 , 3}Determinar el valor de verdad de las siguientes

no es falsa. Hallar el valor de verdad de lasno es falsa. Hallar el valor de verdad de lasno es falsa. Hallar el valor de verdad de lasno es falsa. Hallar el valor de verdad de lasno es falsa. Hallar el valor de verdad de lasno es falsa. Hallar el valor de verdad de lasno es falsa. Hallar el valor de verdad de lasno es falsa. Hallar el valor de verdad de lasno es falsa. Hallar el valor de verdad de las

22. Indicar el valor de verdad de:

I. )qp(p

II. )qp()qp(

III. ]p)qp[(~

a) VVV b) VFV c) VVFd) FVF e) FVV

23. Indicar el valor de verdad de:I. ]p)qp[(~

II. p)qp(

III. )qp()qp(

IV. )qp(p

a) VFVF b) VVVF c) FVFVd) VFFV e) FVVV

24. Simplificar el siguiente circuito:

~pq

q

~p

~q

p

A B

a) qp b) qp~ c) qp

d) qp~ e) q~p~

25. Hallar la proposicin equivalente al circuito lgico:

pq

~q

~p

p q

a) p b) q~p c) qpd) qp~ e) q~p

26. Simplificar la proposicin que corresponde al circuito:

q

~p

pq~q

p

a) qp b) qp~ c) qp

d) qp~ e) q~p~

27. Simplificar a su mnima expresin:

)]qp()q~p[()qp(

a) p b) q c) qpd) qp e) qp

28. Simplificar:)qp(~)]pq(~)qp[(~M

a) q b) p c) ~pd) ~q e) qp~

29. Simplificar:

)]q~p(q[]p~)qp[(~~

a) q~p b) qp~

c) )qp(~ d) )qp(~

e) qp

30. De la veracidad de:

)]s~r(~)q~p[(~Deducir el valor de verdad de :

I. p~)s~q(~~

II. )q~p(~)sr(~~

III. )]rs(~q[~p

a) FVV b) VVF c) FFVd) VFF e) FFF

31. Indicar el valor de verdad de:

I. )qp()q~p(~es una contradiccin.

II. )rp()]rq()qp[(es una tautologa.

III. r)q()]qp(p[es una contingencia.

a) VVV b) VVF c) VFFd) VFV e) FVV

32. De los siguientes esquemas:

* )rp(~)rq(

* p)]qp(p[

* )]q~p(~r[~]r~)qp[(~Indicar en el orden dado cul es Tautologa (T),Contingencia (S) o Contradiccin (C):

a) T , C , S b) T , S , C c) C , T , Sd) S , T , C e) S , C , T

33. Dado el siguiente enunciado:

]q)}rq(~)p]qp([[{~~

Segn su tabla de verdad, podemos decir que dichaproposicin es una:

a) Tautologa. b) Contradiccin.c) Contingencia. d) Ley lgica.e) Equivalencia lgica.

a) VVVa) VVVa) VVV

pes una contingencia.

III.III.

a) VVVa) VVVa) VVVa) VVV

pes una contingencia.

III.III.III.III.III.

34. Si:

)]ba(~b[)ba(b*a

a~)]}ba(b[a{ba

Reducir :

q)}~(p*{qq)}*p(~*r]q)*{[(p

a) ~p b) V c) Fd) p e) q

35. Si se define:

p)~(qq)~(pqp

Simplificar: ]q~q)~p[(~

a) qp b) qp c) qp~d) ~p e) ~q

36. Se define el operador : (+), por la siguiente tabla:

VFFFVFVFVVVV

qpqp

Simplificar: (p + q) + p

a) F b) qp c) qq~d) qp e) V

37. Se definen los operadores # y por las siguientestablas:

VFFFVFFFVFVV

q#pqp

VFFVVFVFVFVV

qpqp

Simplificar:

p)~q(]p)q~#p[(

a) pq b) pq c) qp

d) qp e) p~q

38. Se definen los operadores " " y " " por las siguientestablas:

VFFF

VFVF

FVFV

VFVV

qpqpqp

Cul o cules de las siguientes proposiciones sonverdaderas?

I. )q~p(~q~p

II. qpq)p()qp(~

III. )qp~(~qp~

a) Slo I b) Slo II c) I y IId) I y III e) Todas

39. Si: q~pqp

p~)qp(q~#pSimplificar:

)]qp()#qp()qp[(

a) qp~ b) p c) ~qd) q~p~ e) ~p

40. Si: q~p~q*pExpresar ~p usando nicamente el operador (*)

a) (p * p) * pb) (p * ~p) * pc) ~(p * q)d) p * qe) p * (q * q)

41. La proposicin equivalente ms simple del siguientecircuito:

NM

p

q ~p

~q

p q

~q~p

r

r t

Es:

a) p b) q c) rd) p e) ~q

42. El circuito lgico:

A B~p

~p

p ~q

~q

q

r s t

r

ts

r

ts

r s t

Es equivalente a:

a) p b) q c) ~p

d) ~q e) qp

qq

43. El circuito lgico ms simple equivalente al siguientecircuito:

q

~p ~q

p q r

st

pq

~p~q

p

s t

~p~q

~r

A B

a) A Bp q

b) A Bq

c) A Bs

d) A Bt

e) A Bts

44. Si:

)]t~p()tp[()]rp()qp[(A

Bq ~q

~p q

~q

q

El circuito simplificado de BA es:

a)

~p

~q ~r

b)~q ~r

p

c)

~p

q r

d)

r~q

p

e)~r

p q

45. Si la proposicin yx es equivalente al circuito:

pq ~r~q

r

q ~p

~q r

p q~r

~s~t

p q

r s t

Simplificar el siguiente circuito:

p

yx

yxq

qp

yx

yxq

qp

yx

yxq

qp

p

q

q

yx

yx

q

a) qp

b) tsrqpc) srd) tse) tsrqp

46. Sabiendo que la instalacin de cada llave cuesta S/. 20.Cunto se ahorrara si hacemos una instalacin mnima;pero equivalente a:

p

~p r

~r~p r

~q p

p q

a) 80 b) 100 c) 140d) 160 e) 180

47. Para una proposicin cualquiera, "p" se define:

Falsoespsi0

Verdaderoespsi1F )p(

Si:

1F )m( donde s)rp(m

0F )n( donde )pr(pn

Halle:

)p(~F)sp(F)sr(F)rp(F

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0

)])]t

48. La siguiente funcin:

falsaespSi;0

verdaderaespSi;1F )p(

Si : 0F1F (y))x(Donde :

)ws()r~p(x

s~wyHallar:

)]rp(~)w~s[(FE

))]p~w(t()p~r(~[~F

a) 0 b) 1c) 2 d) No se puede determinare) Tautologa

49. Sean las proposiciones:p: Si ZN , entonces:

MCD (N ; 1N2 ) =1q: El conjunto vaco es subconjunto y elemento.

r: MCD 77);0ab( 7s: MCM (a ; b) = ba MCD (a ; b) = 1Adems sean las proposiciones x e y:

yxP )y;x(

yxQ )y;x(

falsoesxsi;0

overdaderesxsi;1F )x(

Calcule:

)P(F)Q(F)P(FF )s;r()r;q()q;p(

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

50. Sea la funcin:f :{p/p es proposicin} {0 , 1} definido

porfalsoespsi,0

verdaderoespsi,1f )p(

Indicar si es verdad la siguiente igualdad:

)q(f1)qp(f )p(~f

a) Verdaderob) Falsoc) Depende de qd) Es contradictorioe) Es un enunciado abierto

51. Si m y n son nmeros reales, adems se define:

falsanproposiciesxSi;1m3n

verdaderanproposiciesxSi;1nm3

f )x(

Hallar:

mn

nmM

Sabiendo que: 21ff )r()q(Siendo:

0134:q

0)1(01:r 2

a) 31

b) 3 c) 71

d) 1 e) 3

52. Sean r, s, t, ip , iq donde i = 1 ; 2 ; ..... ; n

proposiciones tales que tp es falsa para todo i = 1 ;2 ; ......... ; n

n321 p....ppps es verdadera.

)tp(....)tp()tp(r n21

tpq ii es falso para i par y es verdadera para i

impar.

Hallar el valor de verdad de:

t)}(p)q(q~{}pq()tp{( 321)125

a) Verdadero.b) Falso.c) Faltan datos.d) No se puede determinar.e) Depende del valor de verdad de r.

53. Sea "S" una proposicin que corresponde a la siguientetabla:

FFFVVFVFVFVVsqp

Y "r" la proposicin ms simplificada, equivalente a:

q~]q~)qp[(

Cul es el circuito ms sencillo, equivalente al queresulta de conectar en paralelo los circuitoscorrespondientes a "~r" y a "s"?

MCD (a ; b) = 1MCD (a ; b) = 1MCD (a ; b) = 1

Verdadero.

p{(

MCD (a ; b) = 1MCD (a ; b) = 1MCD (a ; b) = 1

Verdadero.

p{(

MCD (a ; b) = 1

a)p

~q

b) p q

c)

p

q

d) q~p

e) ~q~p

54. El equivalente de:

pq

a) p b) ~p c) qd) ~q e) qp

55. Dado el siguiente circuito:

pq

s

Si s es falsa.Cules son los valores de verdad de p y qrespectivamente?

a) VV b) VF c) FVd) FF e) Faltan datos

56. Los profesores de Aritmtica de la academia TRILCEhan diseado un circuito integrado que recibe ycomo entradas y como salida.

s

p

q

a) p b) q c) Vd) F e) qp

57. Disee el circuito que cumple con la siguiente tabla:

11110011010100010110001001001000Fzyx

Utilice compuertas lgicas:

a)

xyz

F

b)xyz F

c)xyz

F

d)

x

yz

F

e) x F

58. Expresar la operacin lgica F; segn la tabla:

01110011110100010110001011000000Fzyx

a) xyzzyx b) (x + y)zc) x + y + z d) zyxzyxe) xyz

Expresar la operacin lgica F; segn la tabla:Expresar la operacin lgica F; segn la tabla:Expresar la operacin lgica F; segn la tabla:Expresar la operacin lgica F; segn la tabla:

e)

Expresar la operacin lgica F; segn la tabla:Expresar la operacin lgica F; segn la tabla:Expresar la operacin lgica F; segn la tabla:Expresar la operacin lgica F; segn la tabla:Expresar la operacin lgica F; segn la tabla:

e)e)e)

59. Dada la siguiente tabla:

11111011110110010110001011000000Fzyx

Disear el circuito:

F

xyz

que cumple con dicha tabla utilizando las compuertas:INVERSOR, AND, OR.

a)

xyz

F

b)

x

yz

F

c)

x

yz

F

d)xyz

F

e) xyF

60. El circuito lgico permite detectar el estado de 3 avionesA, B, C de tal manera que la lmpara de alarma en labase se enciende cuando los tres aviones estnaveriados o cuando slo el avin A est averiado.Expresar F en funcin de las entradas A, B y C:Avin sin averas: 0Avin con averas: 1Lmpara apagada: 0Lmpara encendida: 1

ABC

FCircuitoLgico BASE

Lmparade alarma

A B C

a) BC)CB(AFb) F = A + BCc) F = ABCd) F = A (B + C)

e) CBAF

EL VAGO DE COZ

ClavesClaves

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

a

b

e

d

a

b

b

b

b

b

c

d

d

a

b

b

e

c

d

e

c

c

e

d

d

c

d

d

c

e

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

a

d

b

c

a

e

a

e

a

b

c

c

e

a

b

d

c

c

c

b

e

a

c

b

b

e

a

d

c

a

INTRODUCCINGeorge Ferdinand Cantor, el creador de la teora deconjuntos, naci en 1845 en Rusia. Vivi, estudi y enseen Alemania donde muri en 1918.Public trabajos sobre funciones de variable real y las seriesde Fourier, introdujo conceptos de potencia de un conjunto,conjuntos equivalentes, tipo ordinal, nmero transfinito; queaportaron para el inicio del estudio de los problemas delinfinito y la teora de conjuntos.

NOCIN DE CONJUNTO

Concepto primitivo que no tiene definicin, peroque nos da la idea de agrupacin de objetos a los cualesllamaremos elementos del conjunto.

RELACIN DE PERTENENCIASi un objeto es elemento del conjunto, se dir que pertenece( ) a su conjunto, en caso contrario se dir que no pertenece( ) a dicho conjunto..

A = {4; 9; 16; 25}

A21A16A10A4

CARDINAL DE UN CONJUNTOEs la cantidad de elementos de un conjunto y se denota :n(A), as en el ejemplo anterior n(A) = 4

DETERMINACIN DE UN CONJUNTO

Es cuando seindican los elementos del conjunto.

A = { * ; ; # ; ...... ; }

Escuando se indica alguna caracterstica particular ycomn a sus elementos.

A = {f(x)/ x cumple alguna condicin}

Figuras geomtricas planas cerradas que se utilizan pararepresentar a los conjuntos, grficamente.

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

)(Se dice que un conjunto A est incluido en B; si todos loselementos de A, estn en el conjunto B.Es decir :

BxAxBA

AB

x * A es subconjunto de B* B incluye a A )AB(

Diagrama linealB

A

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.Es decir :

ABBABA

PRINCIPALES CONJUNTOS

Aquel que no tiene elementos, tambinse le llama nulo y se denota o { }

Aquel que tiene un solo elemento,tambin se le llama singleton.

Conjunto referencial que se tomacomo base para el estudio de otros conjuntos contenidos enl y se denota por U.

Es el conjunto cuyos elementos sontodos los subconjuntos de otro conjunto A y se denota porP(A).Ejemplo : A = {2 ; 8}

P(A) = { ;{2} ; {8} ; {2 ; 8}}

La cantidad de subconjuntos de un conjunto

A es igual a )A(n2 .

A = {3 ; 5 ; 9} ; n(A) = 3

Entonces hay 823 subconjuntos que son :; {3} ; {5} ; {9} ; {3 ; 5} ; {3 ; 9} ; {5 ; 9} y {3 ; 5 ; 9}

Captulo

TEORA DE CONJUNTOS2

que nos da la idea de agrupacin de objetos a los cuales

RINCIP

Si un objeto es elemento del conjunto, se dir que perteneceSi un objeto es elemento del conjunto, se dir que perteneceSi un objeto es elemento del conjunto, se dir que pertenece) a su conjunto, en caso contrario se dir que no pertenece) a su conjunto, en caso contrario se dir que no pertenece

RI

que nos da la idea de agrupacin de objetos a los cuales

RINCIP

Si un objeto es elemento del conjunto, se dir que perteneceSi un objeto es elemento del conjunto, se dir que perteneceSi un objeto es elemento del conjunto, se dir que perteneceSi un objeto es elemento del conjunto, se dir que perteneceSi un objeto es elemento del conjunto, se dir que perteneceSi un objeto es elemento del conjunto, se dir que perteneceSi un objeto es elemento del conjunto, se dir que pertenece) a su conjunto, en caso contrario se dir que no pertenece) a su conjunto, en caso contrario se dir que no pertenece) a su conjunto, en caso contrario se dir que no pertenece

Si un objeto es elemento del conjunto, se dir que pertenece) a su conjunto, en caso contrario se dir que no pertenece) a su conjunto, en caso contrario se dir que no pertenece) a su conjunto, en caso contrario se dir que no pertenece

Si un objeto es elemento del conjunto, se dir que pertenece) a su conjunto, en caso contrario se dir que no pertenece

RRIIIRII

"A todos los subconjuntos de A, excepto A se les llamasubconjuntos propios"

CONJUNTOS NUMRICOS

N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; .......}

Z = {........ ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; .........}

0n,ZnZm/nmQ

Son aquellos que tienen una representacin decimal infinitano peridica y no pueden ser expresados como el cocientede 2 enteros.

Es la reunin de los racionales con los irracionales.

IQR

1-i,RbRa/biaC

OPERACIONES CON CONJUNTOS

)(}BxAx/x{BA

A BU

)(}BxAx/x{BA

A BU

)(

}BxAx/x{BA

A BU

A B tambin se denota : A \ B

)(

}B)A(x)BA(x/x{BA

A BU

)A',A( C

A}{x/xA'

AU

El complemento de A, se puede realizar

respecto a cualquier conjunto, tal que BA y se denota:

ABCABSe lee complemento de A respecto a B.

IMPORTANTE

Cuando no tienen elementoscomunes :

A

2

4

5

8

B

Cuando uno de ellos estincluido en el otro.

A

B

Cuando tienen la mismacantidad de elementos.

n(A) = n(B)

Tambin llamado producto cartesiano.

}BbAa/)b;a{(BA

Par ordenado

A = {1 ; 4 ; 5} B = {8 ; 11}

}(5;11);(5;8);(4;11);(4;8);(1;11);)8;1{(BA

ALGUNAS PROPIEDADES Y LEYES

)CA()BA()CB(A

)CA()BA()CB(A

'B'A)'BA(

'B'A)'BA(

B)(AB)(ABA

A)(BB)(ABA

)BA(n)B(n)A(n)BA(n

)B(n)A(n)BA(n

'BABA

AB'B'A

)]BA(P[n)]B(P)A(P[n

)]B(P[n)]A(P[n)]B(P)A(P[n

)]B(P)A(P[nO tambin:

)BA(n)B(n)A(n 222)]B(P)A(P[n

AA

A

UUAAUA

(A')' = A

U'AA'AA

)BA(n)C(n)B(n)A(n)CBA(n

)CBA(n)CB(n)CA(n

* A)BA(A

* A)BA(A

* BA)B'A(A

* BA)B'A(A

GRFICO ESPECIAL PARA CONJUNTOSDISJUNTOS

Aplicacin: En un saln de clases se observa a 60 alumnosentre varones y mujeres; con las siguientes caractersticas:* Algunos tienen 15 aos.* 18 tienen 16 aos.* 12 tienen 17 aos.* 40 postulan este ao a la Universidad.

A

B

C

D

P

V M

Leyenda:V : Conjunto de los varones.M : Conjunto de las mujeres.P : Conjunto de los que postulan.A : Conjunto de los alumnos con 15 aos.B : Conjunto de los alumnos con 16 aos.C : Conjunto de los alumnos con 17 aos.D : Conjunto de los alumnos con otra edad.

NOTA: Este tipo de diagramas especiales reciben el nombrede "Diagramas de CARROLL"

Par ordenadoPar ordenado

entre varones y mujeres; con las siguientes caractersticas:entre varones y mujeres; con las siguientes caractersticas:entre varones y mujeres; con las siguientes caractersticas:entre varones y mujeres; con las siguientes caractersticas:licac

GDGDI

Par ordenado

entre varones y mujeres; con las siguientes caractersticas:entre varones y mujeres; con las siguientes caractersticas:entre varones y mujeres; con las siguientes caractersticas:entre varones y mujeres; con las siguientes caractersticas:entre varones y mujeres; con las siguientes caractersticas:Algunos tienen 15 aos.

licac

GGGGGDDDGGGDDISD SI

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Dado el conjunto: A = {4; 3; {6}; 8} y las proposiciones:

* A}3{ * A}4{

* A}6{ * A}6{

* A8 * A

* A * A}8;3{Indique el nmero de proposiciones verdaderas:

a) 7 b) 6 c) 5d) 4 e) 3

02. Dados los conjuntos iguales:

1b;3aA 2 y 91;31BConsidere a y b enteros.Indique la suma de los valores que toma : a + b

a) 16 b) 24 c) 30d) 12 e) 27

03. Indique la suma de los elementos del conjunto:

4x4Zx/2x2

a) 44 b) 42 c) 22d) 18 e) 16

04. Cuntos subconjuntos propios tiene el conjunto?

{3};{2};2;3;{2};3;2C

a) 127 b) 63 c) 15d) 7 e) 31

05. Si:n(A) = 15 ; n(B) = 32 y n(A - B) = 8

Calcule :

)B'n(A'B)A(n

a) 36 b) 37 c) 51d) 58 e) 59

06. Cuntos subconjuntos tiene la potencia del conjuntoA, tal que: A = {2; {3}; 2}?

a) 4 b) 16 c) 162d) 8 e) 64

07. De un grupo de 30 personas, 20 van al teatro, 5 slovan al cine, 18 van al cine o al teatro; pero no a ambossitios.Cuntos van a ambos sitios?

a) 6 b) 7 c) 8d) 5 e) 4

08. Sabiendo que A tiene 128 subconjuntos en total, queel nmero de elementos de la interseccin de A y B es5 y que B A tiene 16 subconjuntos.Determinar el nmero de subconjuntos de BA .

a) 1024 b) 512 c) 256d) 2048 e) 4096

09. De un grupo de 62 atletas, 25 lanzan bala, 36 lanzanjabalina y 30 lanzan disco, 3 lanzan los tres; 10 lanzanjabalina y disco, 15 disco y bala, 7 lanzan bala y jabalina.Cuntos no lanzan jabalina ni disco?

a) 4 b) 6 c) 7d) 5 e) 3

10. La operacin que representa la regin sombreada es:

A B

a) )BA()'BA(b) )BA()]BA(A[c) )BA(Ad) )'BA(Ae) )BA()'B'A(

11. Si los conjuntos A y B son iguales, hallar ba si a y bson naturales.

}bb;a2a{A 32

B = {2a ; 15}

a) 8 b) 15 c) 9d) 12 e) 6

12. Dado el conjunto:P = {5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}

y los conjuntos:

9x50x/PxM 2

x6imparesx/PxNDeterminar : n(M) + n(N)

a) 3 b) 4 c) 2d) 1 e) 5

13. Jssica tom helados de fresa o coco durante todas lasmaanas en los meses de verano (enero, febrero ymarzo) del 2004.Si tom helados de fresa 53 maanas y tom heladosde coco durante 49 maanas.Cuntas maanas tom helado de los dos sabores?

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 15

Indique la suma de los elementos del conjunto:

4

2a2

Si los conjuntos A y B son iguales, hallarson naturales.

e)

Si los conjuntos A y B son iguales, hallar

Indique la suma de los elementos del conjunto:

4

22a2

Si los conjuntos A y B son iguales, hallarson naturales.

e)e)e)

Si los conjuntos A y B son iguales, hallarSi los conjuntos A y B son iguales, hallarSi los conjuntos A y B son iguales, hallarSi los conjuntos A y B son iguales, hallarSi los conjuntos A y B son iguales, hallar

14. En una ciudad se determin que el 46% de la poblacinno lee la revista A, 60% no lee la revista B y el 58% leeA B pero no ambas.Cuntas personas hay en la poblacin si 63000personas leen A y B?

a) 420000 b) 840000 c) 350000d) 700000 e) 630000

15. En una pea criolla trabajan 32 artistas. De stos, 16bailan, 25 cantan y 12 cantan y bailan. El nmero deartistas que no cantan ni bailan es:

a) 4 b) 5 c) 2d) 1 e) 3

16. Si:A = {1 ; 2 ; {1 ; 2} ; 3}B = {{2 ; 1} ; {1 ; 3} ; 3}

Halle usted : )AB(]B)BA[(

a) {1 ; 3} b) {{1 ; 2}}c) A d) {{1 ; 3}}e) B

17. Dado el conjunto:A = {1 ; {2} ; {1 ; 2}}

Cul de las siguientes proposiciones es verdadera?

a) A2 b) A}1{ c) A1d) A e) A}2{

18. Si:

5m2N,m,)1m4(x/xA 2

Entonces el conjunto A escrito por extensin es:

a) {7 ; 11 ; 15 ; 19}b) {2 ; 3 ; 4 ; 5}c) {4 ; 9 ; 16 ; 25}d) {49 ; 121 ; 225 ; 361}e) {3 ; 4 ; 7 ; 9}

19. Carlos debe almorzar pollo o pescado (o ambos) en sualmuerzo de cada da del mes de marzo. Si en sualmuerzo durante 20 das hubo pollo y durante 25das hubo pescado, entonces, el nmero de das quealmorz pollo y pescado es :

a) 18 b) 16 c) 15d) 14 e) 13

20. En un avin hay 100 personas, de las cuales 50 nofuman y 30 no beben.Cuntas personas hay que ni fuman ni beben o fumany beben, sabiendo que hay 20 personas que solamentefuman?

a) 30 b) 20 c) 10d) 40 e) 50

21. Si:A = {a , b , c , b} y

}2;)3(n;5;1;)1m{(B 2

Donde : Zmn y 3 < n < 8Adems A y B son equipotentes. Hallar la suma devalores de n + m

a) 6 b) 13 c) 10d) 14 e) 23

22. En una encuesta realizada a 190 personas sobre lapreferencia de leer las revistas A y B, el resultado fue elsiguiente : el nmero de personas que les gusta A y B

es 41

de los hombres que slo les gusta A y la mitad de

las mujeres que slo les gusta A. El nmero de hombres

que slo les gusta B es 32

del nmero de mujeres que

slo les gusta B. Los que leen A son 105, los que leenB son 70.Halle el nmero de personas que no leen ni A ni B.

a) 30 b) 32 c) 36d) 38 e) 40

23. Si A, B y C son tres subconjuntos de un conjuntouniversal de 98 elementos y adems:

50]'C)BA[(n , n(C) = 34

Hallar : ])'CBA[(n

a) 13 b) 14 c) 15d) 16 e) 17

24. El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugosde fruta de manzana, fresa y pia es el siguiente:60% gustan manzana.50% gustan fresa.40% gustan pia.30% gustan manzana y fresa.20% gustan fresa y pia.10% gustan manzana y pia.5% gustan de los tres.Que porcentaje de las personas encuestadas no gustanalguno de los jugos de frutas mencionados?

a) 5% b) 20% c) 50%d) 12% e) 10%

25. Dados los conjuntos:

20n0Nn/nA 2

005n4Zn/n2B 2

Cuntos elementos tiene BA ?

a) 380 b) 400 c) 342d) 800 e) 760

a) 13d) 16

Cul de las siguientes proposiciones es verdadera?Cul de las siguientes proposiciones es verdadera?Cul de las siguientes proposiciones es verdadera?

a) 13d) 16

Cul de las siguientes proposiciones es verdadera?Cul de las siguientes proposiciones es verdadera?Cul de las siguientes proposiciones es verdadera?Cul de las siguientes proposiciones es verdadera?Cul de las siguientes proposiciones es verdadera?Cul de las siguientes proposiciones es verdadera?Cul de las siguientes proposiciones es verdadera?Cul de las siguientes proposiciones es verdadera?Cul de las siguientes proposiciones es verdadera?Cul de las siguientes proposiciones es verdadera?Cul de las siguientes proposiciones es verdadera?Cul de las siguientes proposiciones es verdadera?

26. Cuntos elementos tiene el siguiente conjunto?(5 ; 7 ; 9 ; 11 ; .... ; 83)

a) 35 b) 40 c) 41d) 60 e) 45

27. Sea A un conjunto con dos elementos y B un conjuntocon tres elementos, el nmero de elementos de

)B(P)A(P es:

a) 12 b) 24 c) 48d) 64 e) 32

28. Sea A, B y C subconjuntos de un conjunto universal U.De las afirmaciones:

I. Si )CB(A y CA entonces BA

II. Si BA , entonces BA( B = complemento de B)

III. Si BA y CB ; entonces CA .

IV. Si UCBAEntonces CBA

a) Slo II es verdadera.b) Slo I, II y IV son verdaderas.c) Slo I es verdadera.d) Slo I y II son verdaderas.e) Todas son verdaderas.

29. Decir cul de los siguientes enunciados es falso:

a) BAABBAb) CACBBA

c) BxBAAxd) BxBAAxe) BAxBxAx

30. Decir cul de los siguientes enunciados es falso:

a) BAB,A

b) BAB,A

c) BABA

d) BABA

e) AAA

31. Si:

primoesx04N/xxA 2

02x3R/xxB 2

Entonces BA es:

a) b) { } c) {2}d) {1} e) {-2}

32. En un aula de 25 alumnos deportistas hay : 16 alumnosque practican bsquet 14 alumnos que practican ftbol,11 alumnos que practican tenis, 6 alumnos quepractican los tres deportes, 2 alumnos que practicanftbol y bsquet pero no tenis, 1 alumno que practicabsquet y tenis pero no ftbol, 3 alumnos que practicansolo tenis.Cuntos alumnos practican slo un deporte?

a) 7 b) 5 c) 15d) 3 e) 12

33. De un grupo de 45 cachimbos, se sabe que 14 alumnosno tienen 17 aos, 20 alumnos no tienen 16 aos, 8alumnos y 3 alumnas no tienen 16 ni 17 aos.Cuntas alumnas tienen 16 17 aos?

a) 6 b) 16 c) 27d) 12 e) 3

34. A un matrimonio asistieron 150 personas, el nmerode hombres es el doble del nmero de mujeres.De los hombres : 23 no usan reloj pero si tienen terno,y 42 tiene reloj.De las mujeres : las que no usan minifalda son tantascomo los hombres que no usan terno ni reloj y 8 tienenminifalda y reloj.Cuntas mujeres usan minifalda, pero no reloj?

a) 7 b) 6 c) 8d) 5 e) 9

35. Las fichas de datos personales llenados por 74estudiantes que ingresaron a San Marcos, arrojaronlos siguientes resultados:* 20 estudiantes son de Lima.* 49 se prepararon en academia.* 27 postularon por primera vez.* 13 de Lima se prepararon en academia.* 17 postularon por primera vez y se prepararon en

academia.* 7 de Lima postularon por primera vez.* 8 de provincias que no se prepararon en academia

postularon por primera vez.

Hallar respectivamente:I. Cuntos alumnos de Lima que se prepararon en

academia postularon por primera vez?II. Cuntos alumnos de provincias que no se prepa-

raron en academia postularon ms de una vez?

a) 5 y 12 b) 5 y 10 c) 3 y 10d) 4 y 10 e) 4 y 12

estudiantes que ingresaron a San Marcos, arrojaronestudiantes que ingresaron a San Marcos, arrojaronlos siguientes resultados:los siguientes resultados:

Las fichas de datos personales llenados por 74estudiantes que ingresaron a San Marcos, arrojaron

d) 5

Las fichas de datos personales llenados por 74estudiantes que ingresaron a San Marcos, arrojaronestudiantes que ingresaron a San Marcos, arrojaronlos siguientes resultados:los siguientes resultados:los siguientes resultados:

Las fichas de datos personales llenados por 74estudiantes que ingresaron a San Marcos, arrojaron

d) 5d) 5d) 5

Las fichas de datos personales llenados por 74Las fichas de datos personales llenados por 74

36. Dados los conjuntos:

3;2;1;21;1;2;3A

3x2/AxB y

02x3x2/AxC 2

El resultado de B)CA( es:

a) 3;2;1;1 b) 2;1;1

c) 3;1;1 d) 2;1;21;1

e) { 1 ; 1}

37. En una escuela de 135 alumnos, 90 practican ftbol,55 bsketbol y 75 natacin. Si 20 alumnos practicanlos tres deportes y 10 no practican ninguno, cuntosalumnos practican un deporte y slo uno?

a) 50 b) 55 c) 60d) 70 e) 65

38. De un grupo de 100 seoritas: 10 son solamenteflaquitas, 12 solamente morenas, 15 son solamentealtas, adems 8 tienen por lo menos 2 de estascaractersticas. Cuntas seoritas del grupo no tienenninguna de las tres caractersticas?

a) 50 b) 51 c) 55d) Ms de 60 e) Menos de 40

39. En un grupo de 100 estudiantes, 49 no llevan el cursode Sociologa y 53 no siguen el curso de Filosofa. Si27 alumnos no siguen Filosofa ni Sociologa, cuntosalumnos llevan exactamente uno de tales cursos?

a) 40 b) 44 c) 48d) 52 e) 56

40. De 500 postulantes que se presentaron a lasuniversidades Catlica o Lima, 300 postularon a laCatlica, igual nmero a la U de Lima, ingresando lamitad del total de postulantes; los no ingresantes sepresentaron a la universidad Ricardo Palma, de estos,90 no se presentaron a Catlica y 130 no se presentarona la U de Lima.Cuntos postulantes ingresaron a la Catlica y a la Ude Lima?

a) 20 b) 30 c) 80d) 70 e) 90

41. Sean los conjuntos no disjuntos A; B, C y D donde sesabe que el conjunto A tiene 241 elementos, el conjuntoB tiene 274 elementos, el conjunto C tiene 215elementos y el conjunto D tiene 282 elementos.Calcular el nmero de elementos que tiene lainterseccin de los 4 conjuntos si es lo mnimo posible,adems se sabe que la unin de los 4 conjuntos es300.

a) 68 b) 79 c) 87d) 119 e) 112

42. Dados los conjuntos:A = {3 ; 7 ; 8}B = {2 ; 3 ; 6 ; 9}Se define:

BbAb/aaBAy las proposiciones:I. En BA el elemento mayor es 17.II. 12)BA(nIII. La suma de los elementos de AA es 72.

Cules son verdaderas?

a) Slo I b) Slo II c) Slo IIId) Todas e) I y III

43. Sean los conjuntos:

50000x!N/30xA

0032N/5xB x

4000xN/20xC x

Y las proposiciones:I. CCAII. BCAIII. CCBIV. ABAV. CBAIndicar cuntas son correctas

a) 2 b) 3 c) 5d) 1 e) 4

44. Dado los conjuntos:

022x24x/RxM

02x4/QxN

Hallar : NM

a)21;1

b)21x1/Qx

c)21x/Qx

d)21

e) }2;1;1{

flaquitas, 12 solamente morenas, 15 son solamenteflaquitas, 12 solamente morenas, 15 son solamenteflaquitas, 12 solamente morenas, 15 son solamentealtas, adems 8 tienen por lo menos 2 de estas

d) 1

altas, adems 8 tienen por lo menos 2 de estas

a) 2d) 1

caractersticas. Cuntas seoritas del grupo no tienen

flaquitas, 12 solamente morenas, 15 son solamentealtas, adems 8 tienen por lo menos 2 de estascaractersticas. Cuntas seoritas del grupo no tienenaltas, adems 8 tienen por lo menos 2 de estasflaquitas, 12 solamente morenas, 15 son solamenteflaquitas, 12 solamente morenas, 15 son solamenteflaquitas, 12 solamente morenas, 15 son solamentealtas, adems 8 tienen por lo menos 2 de estasaltas, adems 8 tienen por lo menos 2 de estas

d) 1d) 1a) 2d) 1

caractersticas. Cuntas seoritas del grupo no tienencaractersticas. Cuntas seoritas del grupo no tienencaractersticas. Cuntas seoritas del grupo no tienen

flaquitas, 12 solamente morenas, 15 son solamentealtas, adems 8 tienen por lo menos 2 de estascaractersticas. Cuntas seoritas del grupo no tienencaractersticas. Cuntas seoritas del grupo no tienenaltas, adems 8 tienen por lo menos 2 de estascaractersticas. Cuntas seoritas del grupo no tienencaractersticas. Cuntas seoritas del grupo no tienencaractersticas. Cuntas seoritas del grupo no tienenaltas, adems 8 tienen por lo menos 2 de estasaltas, adems 8 tienen por lo menos 2 de estasaltas, adems 8 tienen por lo menos 2 de estasaltas, adems 8 tienen por lo menos 2 de estasaltas, adems 8 tienen por lo menos 2 de estasflaquitas, 12 solamente morenas, 15 son solamentealtas, adems 8 tienen por lo menos 2 de estasflaquitas, 12 solamente morenas, 15 son solamente

caractersticas. Cuntas seoritas del grupo no tienencaractersticas. Cuntas seoritas del grupo no tienen

45. La diagramacin correcta de la siguiente frmula es:)]BA(B[]B)'A()BA[(

a)A B

b)A B

c)A B

d)A B

e)A B

46. Una institucin educativa necesita contratar a 25profesores de Fsica y a 40 profesores de Matemtica.De estos contratados, se espera que 10 realicenfunciones tanto de profesor de Fsica como de profesorde Matemtica.Cuntos profesores deber contratar la institucineducativa?

a) 40 b) 50 c) 65d) 75 e) 55

47. En un concurso de belleza, participaron 44 seoritas,de las cuales 19 eran de cabello rubio, 19 eran morenasy 22 tenan ojos verdes. Tambin se observ que 5eran morenas con cabello rubio, 7 eran morenas conojos verdes y 6 tenan cabello rubio y ojos verdes.Tambin haban dos hermanas que tenan las trescaractersticas.Cuntas preguntas son necesarias realizar para conocera dichas hermanas?

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

48. Si en un mnibus viajan 30 pasajeros entre peruanosy extranjeros, donde hay 9 de sexo femenino extranjero,6 nios extranjeros, 8 extranjeros de sexo masculino,10 nios, 4 nias extranjeras, 8 seoras y 7 seores.Cuntas nias peruanas hay en el autobs?

a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) 5

49. 41 estudiantes de idiomas, que hablan ingls, francso alemn son sometidos a un examen de verificacin,en el cual se determin que:* 22 hablan ingls y 10 solamente ingls.* 23 hablan francs y 8 solamente francs.* 19 hablan alemn y 5 solamente alemn.Cuntos hablan alemn, pero no ingls?

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

50. De un grupo de msicos que tocan flauta, quena otuba se sabe que la octava parte toca slo flauta, lastima parte toca slo quena, la diferencia de los quetocan slo flauta y los que tocan slo quena es igual ala cantidad de msicos que tocan slo tuba.Si adems 80 tocan por lo menos 2 de los instrumentosmencionados.Cuntos tocan slo quena?

a) 13 b) 14 c) 15d) 16 e) 17

51. En un conjunto de 30 personas; 16 estudiaron en launiversidad A; 11 en la universidad B y 16 en launiversidad C.Si slo 2 personas estudiaron en las universidades A,B y C.Cuntos estudiaron exactamente en una de estasuniversidades, considerando que todas las personasestudiaron al menos en una de dichas universidades?

a) 16 b) 17 c) 18d) 19 e) 20

52. En una encuesta hecha en una urbanizacin a un grupode amas de casa sobre el uso de tres tipos de detergente(A, B y C) se obtuvieron los siguientes datos.Del total : Usan slo A el 15%; A pero no B el 22%; Ay C 11%; B y C 13%.La preferencia total de A era del 38%, la de C 26% yninguna de las marcas mencionadas, el 42%.Se pregunta :A. Qu tanto por ciento prefieren slo B?B. Qu porcentaje de amas de casa prefieren exacta-

mente dos tipos de detergente respecto de las queno prefieren ninguna marca?

a) 5 y 66,66...% b) 4 y 60%c) 8 y 26,66...% d) 5 y 73,33...%e) 6 y 65%

53. Dados los conjuntos A y B donde :

}x1/Rx{}1x/Rx{A

}3{}2y1/Ry{BEntonces el conjunto BA contiene:

a) Una semirecta disjunta en el tercer cuadrante.b) Dos semirectas disjuntas en el cuarto cuadrante.c) No contiene ninguna semirecta disjunta.d) Contiene dos semirectas disjuntas, una en el se-

gundo cuadrante y una en el primero.e) Dos semirectas disjuntas, una en el primer cuadran-

te y otra en el tercero.

c) 65

Qu porcentaje de amas de casa prefieren exacta-Qu porcentaje de amas de casa prefieren exacta-mente dos tipos de detergente respecto de las quemente dos tipos de detergente respecto de las que

c) 65

Se pregunta :Qu tanto por ciento prefieren slo B?Qu porcentaje de amas de casa prefieren exacta-

c) 65

En un concurso de belleza, participaron 44 seoritas,En un concurso de belleza, participaron 44 seoritas,de las cuales 19 eran de cabello rubio, 19 eran morenas

ninguna de las marcas mencionadas, el 42%.Se pregunta :Se pregunta :A.

c) 65c) 65

Qu porcentaje de amas de casa prefieren exacta-Qu porcentaje de amas de casa prefieren exacta-mente dos tipos de detergente respecto de las quemente dos tipos de detergente respecto de las quemente dos tipos de detergente respecto de las que

A.Se pregunta :

Qu tanto por ciento prefieren slo B?Qu porcentaje de amas de casa prefieren exacta-

c) 65c) 65c) 65

En un concurso de belleza, participaron 44 seoritas,En un concurso de belleza, participaron 44 seoritas,En un concurso de belleza, participaron 44 seoritas,de las cuales 19 eran de cabello rubio, 19 eran morenasde las cuales 19 eran de cabello rubio, 19 eran morenasEn un concurso de belleza, participaron 44 seoritas,En un concurso de belleza, participaron 44 seoritas,En un concurso de belleza, participaron 44 seoritas,En un concurso de belleza, participaron 44 seoritas,En un concurso de belleza, participaron 44 seoritas,de las cuales 19 eran de cabello rubio, 19 eran morenasde las cuales 19 eran de cabello rubio, 19 eran morenasde las cuales 19 eran de cabello rubio, 19 eran morenas

ninguna de las marcas mencionadas, el 42%.ninguna de las marcas mencionadas, el 42%.ninguna de las marcas mencionadas, el 42%.Se pregunta :Se pregunta :Se pregunta :Se pregunta :Se pregunta :A.A.A.A.A.Se pregunta :Se pregunta :Se pregunta :Se pregunta :

54. A, B y C son tres conjuntos tales que satisfacen lascondiciones siguientes:1. A est contenido en B y B est contenido en C.2. Si x es un elemento de C entonces x tambin es un

elemento de A.Decir cul de los siguientes enunciados es verdadero?

a) B no est contenido en A.b) C no est contenido en B.c) A = B pero C no es igual a B.d) La interseccin de A con B es el conjunto C.e) La reunin de A con B tiene elementos que no

pertenecen a C.

55. Se lanzan dos dados juntos.Cuntos pares ordenados se pueden formar con losnmeros de la cara superior?

a) 12 b) 6 c) 18d) 36 e) 72

56. Sean A y B dos conjuntos contenidos en un universo.Si : BA)AB()BA(Cul de las siguientes proposiciones es falsa?

a) BAA b) ABBc) BA d) 'ABe) BA)'BA(

57. Para estudiar la calidad de un producto se consideran3 defectos: A, B y C como los ms importantes.Se analizaron 100 productos con el siguiente resultado:33 productos tienen el defecto A.37 productos tienen el defecto B.44 productos tienen el defecto C.53 productos tienen exactamente un defecto.7 productos tienen exactamente tres defectos.Cuntos productos tienen exactamente dos defectos?

a) 53 b) 43 c) 22d) 20 e) 47

58. Cul de estas expresiones es incorrecta?

( CA indica el complemento de A, A y B estncontenidos en un mismo conjunto universal)

a) B)BA( C

b) )BA()BA( CCC

c) )BA()BA( CCC

d) A)BA()BA( C

e) )BA()BA()BA( CCC

59. El crculo A contiene a las letras a, b, c, d, e, f. El crculoB contiene a las letras b, d, f, g, h. Las letras delrectngulo C que no estn en A son h, j, k y las letras deC que no estn en B son a, j, k.Cules son las letras que estn en la figura sombreada?

A B

C

a) {b ; d ; f ; g ; h} b) {a ; b , d ; f ; h}c) {a ; b ; g ; h ; k} d) {a ; b ; g ; f ; k}e) {a ; b ; d ; f}

60. El conjunto sombreado, mostrado en la figura adjunta,representa una operacin entre los conjuntos:

L = cuadrado M = crculoN = tringulo

a) )ML()NLM(b) )MN()NLM(c) )NM()LM(d) )NML()ML()MN(e) )MN()]NL(M[)ML(

A

b) M(a)

Para estudiar la calidad de un producto se consideranPara estudiar la calidad de un producto se consideran

A

b) M(a)

Para estudiar la calidad de un producto se consideranPara estudiar la calidad de un producto se consideranPara estudiar la calidad de un producto se consideranPara estudiar la calidad de un producto se consideranPara estudiar la calidad de un producto se consideranPara estudiar la calidad de un producto se consideranPara estudiar la calidad de un producto se consideranPara estudiar la calidad de un producto se consideranPara estudiar la calidad de un producto se consideranPara estudiar la calidad de un producto se consideran

ClavesClaves

c

b

c

c

d

b

b

d

b

a

e

a

c

c

e

d

a

d

d

d

b

a

b

a

e

b

e

d

c

c

c

c

b

a

b

b

a

c

c

d

e

e

b

b

a

e

d

d

c

d

d

a

d

d

d

c

d

e

b

e

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

INTRODUCCIN

En nuestra vida diaria, aparecen con mucha frecuenciaalgunas afirmaciones como:* Las edades de Juana y Rosa son 18 aos y 16 aos

respectivamente.* Tengo 2 vinos : Uno de 800 ml y el otro de 640 ml.* El sueldo de Vctor el mes pasado fue S/. 1500 y este

mes ser S/. 1800Podemos observar que las edades, los volmenes y el dineropueden ser medidos o contados, a los cuales se les llamamagnitudes esca lares .

Obs: Hay magnitudes no medibles como la alegra, lamemoria; por lo tanto no pueden expresarse numricamente,por ello no las consideraremos en este texto.

CANTIDAD:Es el resultado de la medicin del estado de una magnitudescalar.

La altura del edificio Trilce Arequipa es 24 metros.

Magnitud : LongitudCantidad : 24 metros

Se llama magnitud a todo aquello que puede ser medido ocuantificado; adems, puede definirse la igualdad y la sumade sus diversos estados.

RAZN:Es la comparacin que existe entre dos cantidades de unamagnitud, mediante las operaciones de sustraccin ydivisin.

RAZN ARTIMTICA:

Dos toneles contienen 20 litros y 15 litros respectivamente,al comparar sus volmenes.

20 - 15 = 5l l l

Razn Aritmtica

AntecedenteConsecuente

Valor de la razn

RAZN GEOMTRICA:

Se comparan dos terrenos, cuyas superficies son: 2m80 y2m48 y as obtenemos:

35

m48

m802

2Antecedente

ConsecuenteValor de la razn

Razn Geomtrica

En conclusin:Sean a y b dos cantidades:

kbadb-aRazn

GeomtricaAritmtica

a : antecedenteb : consecuented y k : valores de las razones

PROPORCINEs la igualdad de dos razones de una misma especie.

PROPORCIN ARITMTICA

Las edades de 4 hermanos son : 24 aos, 20 aos, 15 aosy 11 aos; podemos decir :

24 aos 15 aos = 9 aos20 aos 11 aos = 9 aosSe puede establecer la siguiente igualdad:

24 - 15 = 20 - 11

Medios

Extremos

A la cual se le llama proporcin aritmtica.

Captulo

RAZONES Y PROPORCIONES3

Hay magnitudes no medibles como la alegra, laHay magnitudes no medibles como la alegra, lamemoria; por lo tanto no pueden expresarse numricamente,

d y k : valores de las razonesd y k : valores de las razonesd y k : valores de las razones

memoria; por lo tanto no pueden expresarse numricamente,

: antecedenteb : consecuented y k : valores de las razones

memoria; por lo tanto no pueden expresarse numricamente,memoria; por lo tanto no pueden expresarse numricamente,

Es el resultado de la medicin del estado de una magnitudEs el resultado de la medicin del estado de una magnitud

a : antecedente: antecedenteb : consecuente

Hay magnitudes no medibles como la alegra, laHay magnitudes no medibles como la alegra, lamemoria; por lo tanto no pueden expresarse numricamente,memoria; por lo tanto no pueden expresarse numricamente,

d y k : valores de las razonesd y k : valores de las razonesd y k : valores de las razonesd y k : valores de las razones

: antecedenteb : consecuented y k : valores de las razones

Hay magnitudes no medibles como la alegra, lamemoria; por lo tanto no pueden expresarse numricamente,memoria; por lo tanto no pueden expresarse numricamente,memoria; por lo tanto no pueden expresarse numricamente,memoria; por lo tanto no pueden expresarse numricamente,memoria; por lo tanto no pueden expresarse numricamente,memoria; por lo tanto no pueden expresarse numricamente,

Hay magnitudes no medibles como la alegra, la

Es el resultado de la medicin del estado de una magnitudEs el resultado de la medicin del estado de una magnitudEs el resultado de la medicin del estado de una magnitudEs el resultado de la medicin del estado de una magnitudEs el resultado de la medicin del estado de una magnitudEs el resultado de la medicin del estado de una magnitudEs el resultado de la medicin del estado de una magnitud

aaaaa : antecedente: antecedentea : antecedenteb : consecuenteb : consecuenteb : consecuente

: antecedente: antecedente: antecedente: antecedente

PROPORCIN GEOMTRICA:

Se tiene 4 terrenos cuyas superficies son 2m9 ; 2m12 ;2m15 y 2m20 al comprarlos se tiene:

43

m2015m

43

m12m9

2

2

2

2

Se puede establecer la siguiente igualdad:

2015

129

A la cual se le llama proporcin geomtrica"9 es a 12, como 15 es a 20"

De donde:

(9)(20) = (12)(15)

Extremos Medios

NOTA:"Cuando los medios son diferentes, la proporcin se llamadiscreta, pero cuando los medios son iguales se llamacontinua"

PROPORCIN ARITMTICA

a - b = c - d a - b = b - c

d : cuarta diferencial b : media diferencialc : tercera diferencial

PROPORCIN GEOMTRICA

d : cuarta proporcional b : media proporcionalc : tercera proporcional

cb

ba

dc

ba

PROPIEDADES DE PROPORCIONES

Seadc

ba se cumple:

I. cdc

aba,

ddc

bba

II. cdc

aba,

ddc

bba

III.dcdc

baba

SERIE DE RAZONES GEOMTRICASEQUIVALENTES

Sean:

kc

a......

c

a

c

a

c

a

n

n

3

3

2

2

1

1

De donde:

kca;.........;kca;kca nn2211Se cumple las siguientes propiedades:

I. kc

a...

c

a

c

a

c...cc

a...aa

n

n

2

2

1

1

n21

n21

II.n

n21

n21 kc...cc

a...aa

III.m

mn

m2

m1

mn

m2

m1 k

c...cc

a...aa

Donde "n" nos indica el nmero de razones.

Sea la siguiente serie:

k2718

1812

64 se cumple:

I.32

5134

2718618124k

II.2718618124k3 simplificando

32k

278k3

III.)962(3

)962(2

27186

18124k5555

5555

555

5555

32k

32k

5

55

"Cuando los medios son diferentes, la proporcin se llama"Cuando los medios son diferentes, la proporcin se llamadiscreta, pero cuando los medios son iguales se llamadiscreta, pero cuando los medios son iguales se llama

2c

"Cuando los medios son diferentes, la proporcin se llamadiscreta, pero cuando los medios son iguales se llamadiscreta, pero cuando los medios son iguales se llama

III. m1

c

"Cuando los medios son diferentes, la proporcin se llama"Cuando los medios son diferentes, la proporcin se llamadiscreta, pero cuando los medios son iguales se llamadiscreta, pero cuando los medios son iguales se llama

2c

"Cuando los medios son diferentes, la proporcin se llamadiscreta, pero cuando los medios son iguales se llamadiscreta, pero cuando los medios son iguales se llamadiscreta, pero cuando los medios son iguales se llamadiscreta, pero cuando los medios son iguales se llamadiscreta, pero cuando los medios son iguales se llama"Cuando los medios son diferentes, la proporcin se llama

III. m11

ccccmm

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Dos nmeros estn en la relacin de 2 a 5, si se aade175 a uno y 115 al otro se hacen iguales.Cul es la diferencia entre estos nmeros?

a) 24 b) 18 c) 30d) 84 e) 60

02. En una reunin, hay hombres y mujeres, siendo elnmero de mujeres al total de personas como 7 es a 11y la diferencia entre mujeres y hombres es 21.Cul es la razn de mujeres a hombres si se retiran 14mujeres?

a) 35

b) 45

c) 37

d) 34

e) 23

03. En un saln de clase el nmero de varones, es alnmero de mujeres como 3 es a 5. Si se considera alprofesor y una alumna menos, la nueva relacin ser

32

, hallar cuntas alumnas hay en el saln.

a) 25 b) 15 c) 20d) 30 e) 24

04. Dos mnibus tienen 120 pasajeros, si del mnibus

con ms pasajeros se trasladan los 52

de ellos al otro

mnibus, ambos tendran igual nmero de pasajeros.Cuntos pasajeros tiene cada mnibus?

a) 110 y 10 b) 90 y 30 c) 100 y 20d) 70 y 50 e) 80 y 40

05. Lo que cobra y gasta un profesor suman 600. Lo quegasta y lo que cobra estn en relacin de 2 a 3.En cunto tiene que disminuir el gasto para que dicharelacin sea de 3 a 5?

a) 16 b) 24 c) 32d) 15 e) 20

06. A B y B C estn en relacin de 1 a 5, C es sieteveces A y sumando A; B y C obtenemos 100.

Cunto es 2)CA( ?

a) 3600 b) 2500 c) 3025d) 2304 e) 3364

07. A una fiesta, asistieron 140 personas entre hombres ymujeres. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si seretiran 20 parejas, Cul es la razn entre el nmero demujeres y el nmero de hombres que se quedan en lafiesta?

a) 32

b) 54

c) 31

d) 43

e) 35

08. Si : 1120cba yc

10b7

a2

Hallar: a + b + c

a) 28 b) 32 c) 38d) 19 e) 26

09. Si: 10q

8p

5n

2m

Adems : nq mp = 306Entonces : p + q m nEs igual a :

a) 11 b) 22 c) 33d) 44 e) 55

10. Si: 15d

12c

8b

3a

Adems : a . b + c . d = 459Calcule: a + d

a) 27 b) 21 c) 35d) 8 e) 32

11. Sean:

96U

UR

RE

EP

P3

Calcular: E

a) 12 b) 6 c) 18d) 24 e) 36

12. Las edades de Javier; Csar y Miguel sonproporcionales a los nmeros 2 ; 3 y 4.Si dentro de 9 aos sus edades sern proporcionales a7 ; 9 y 11 respectivamente.Hallar la edad actual de Csar.

a) 15 aos b) 16 aos c) 17 aosd) 18 aos e) 19 aos

13. En una reunin social, se observ en un determinadomomento que el nmero de varones y el nmero demujeres estaban en la relacin de 7 a 8, mientras losque bailaban y no bailaban fueron unos tantos comootros. Si hubo en ese momento 51 mujeres que nobailaban.Cuntos varones no estaban bailando?

a) 45 b) 51 c) 39d) 26 e) 60

hallar cuntas alumnas hay en el saln.hallar cuntas alumnas hay en el saln.hallar cuntas alumnas hay en el saln.

Sean:

hallar cuntas alumnas hay en el saln.hallar cuntas alumnas hay en el saln.

c) 20

Dos mnibus tienen 120 pasajeros, si del mnibus

11.

hallar cuntas alumnas hay en el saln.hallar cuntas alumnas hay en el saln.hallar cuntas alumnas hay en el saln.

Sean:

hallar cuntas alumnas hay en el saln.hallar cuntas alumnas hay en el saln.hallar cuntas alumnas hay en el saln.hallar cuntas alumnas hay en el saln.hallar cuntas alumnas hay en el saln.

c) 20c) 20

Dos mnibus tienen 120 pasajeros, si del mnibusDos mnibus tienen 120 pasajeros, si del mnibusDos mnibus tienen 120 pasajeros, si del mnibusDos mnibus tienen 120 pasajeros, si del mnibus

11.11.

14. Se tiene una proporcin aritmtica continua, donde lasuma de sus cuatro trminos es 160, hallar el valor dela razn aritmtica, sabiendo que los extremos son entres como 11 es a 5.

a) 15 b) 6 c) 8d) 50 e) 24

15. Se tiene una proporcin aritmtica continua, donde lasuma de sus cuatro trminos es 360.Hallar el valor de la razn aritmtica, sabiendo que losextremos son entre s como 7 es a 2.

a) 4 b) 6 c) 8d) 50 e) 24

16. La diferencia entre el mayor y el menor trmino de unaproporcin geomtrica continua es 245. Si el otrotrmino es 42.Hallar la suma de los trminos extremos.

a) 259 b) 6 c) 8d) 50 e) 24

17. La diferencia entre el mayor y el menor trmino de unaproporcin geomtrica continua es 64, si el otro trminoes 24.Hallar la suma de los trminos extremos.

a) 80 b) 6 c) 8d) 50 e) 24

18. Si 45 es la cuarta diferencial de a, b y c, adems, 140 esla tercera diferencial de 2a y 160.Hallar la media aritmtica de b y c.

a) 14 b) 67,5 c) 15d) 12,5 e) 11,5

19. La suma de los cuatro trminos de una proporcingeomtrica es 65; cada uno de los tres ltimos trminos

es los 32

del precedente.

El ltimo trmino es:

a) 13 b) 8 c) 9d) 15 e) 12

20. Sabiendo que: cb

ba

Adems:

8ca

16ca

Hallar: "b"

a) 2 b) 24 c) 15d) 20 e) 64

21. La relacin de las edades de 2 personas es 53

. Si hace

"n" aos, la relacin de sus edades era como 1 es a 2 ydentro de "m" aos ser como 8 es a 13.Calcular en qu relacin se encuentran: n y m.

a) 32

b) 15

c) 37

d) 31

e) 98

22. Dos cirios de igual calidad y dimetro, difieren en 12cm de longitud. Se encienden al mismo tiempo y seobserva que en un momento determinado, la longitudde uno es el cudruplo de la del otro y media horadespus, se termina el ms pequeo. Si el mayor dura4 horas, su longitud era:

a) 24 b) 28 c) 32d) 30 e) 48

23. Se tiene dos cilindros y cada uno recibe 2 litros deaceite por minuto. Hace 3 minutos el triple del volumendel primero era el doble del segundo menos 11 litros.Cul es la diferencia entre los volmenes si la suma deellos en este instante es de 100 litros?

a) 23 litros b) 22 litros c) 25 litrosc) 21 litros e) 24 litros

24. En un corral, se observa que por cada 2 gallinas hay 3patos y por cada 5 gansos hay 2 patos. Si se aumentaran33 gallinas la cantidad de stas sera igual a la cantidadde gansos, calcular cuntos patos hay en el corral.

a) 15 b) 13 c) 12d) 16 e) 18

25. Si: kfe

dc

ba

Adems: 168)fe)(dc)(ba(

Hallar: 33 fdbeca

a) 122 b) 16 c) 162

d) 202 e) 42

26. Si:pc

nb

ma y 125

pnmcba

333

333

Calcule:333

222

pnm

pcnbmaE

a) 23 b) 24 c) 25d) 28 e) 32

La diferencia entre el mayor y el menor trmino de unaLa diferencia entre el mayor y el menor trmino de unaLa diferencia entre el mayor y el menor trmino de una

33 gallinas la cantidad de stas sera igual a la cantidadde gansos, calcular cuntos patos hay en el corral.de gansos, calcular cuntos patos hay en el corral.de gansos, calcular cuntos patos hay en el corral.

proporcin geomtrica continua es 64, si el otro trmino

En un corral, se observa que por cada 2 gallinas hay 3patos y por cada 5 gansos hay 2 patos. Si se aumentaran33 gallinas la cantidad de stas sera igual a la cantidad

proporcin geomtrica continua es 64, si el otro trminoLa diferencia entre el mayor y el menor trmino de unaproporcin geomtrica continua es 64, si el otro trminoLa diferencia entre el mayor y el menor trmino de unaproporcin geomtrica continua es 64, si el otro trmino

24. En un corral, se observa que por cada 2 gallinas hay 3En un corral, se observa que por cada 2 gallinas hay 3patos y por cada 5 gansos hay 2 patos. Si se aumentaran

La diferencia entre el mayor y el menor trmino de unaLa diferencia entre el mayor y el menor trmino de unaLa diferencia entre el mayor y el menor trmino de unaproporcin geomtrica continua es 64, si el otro trmino

33 gallinas la cantidad de stas sera igual a la cantidad33 gallinas la cantidad de stas sera igual a la cantidadde gansos, calcular cuntos patos hay en el corral.de gansos, calcular cuntos patos hay en el corral.de gansos, calcular cuntos patos hay en el corral.de gansos, calcular cuntos patos hay en el corral.

En un corral, se observa que por cada 2 gallinas hay 3patos y por cada 5 gansos hay 2 patos. Si se aumentaran33 gallinas la cantidad de stas sera igual a la cantidad

proporcin geomtrica continua es 64, si el otro trminoproporcin geomtrica continua es 64, si el otro trminoLa diferencia entre el mayor y el menor trmino de unaproporcin geomtrica continua es 64, si el otro trminoproporcin geomtrica continua es 64, si el otro trminoproporcin geomtrica continua es 64, si el otro trminoproporcin geomtrica continua es 64, si el otro trminoproporcin geomtrica continua es 64, si el otro trminoLa diferencia entre el mayor y el menor trmino de unaproporcin geomtrica continua es 64, si el otro trminoproporcin geomtrica continua es 64, si el otro trminoLa diferencia entre el mayor y el menor trmino de unaLa diferencia entre el mayor y el menor trmino de una

24.24.24.24.24.24. En un corral, se observa que por cada 2 gallinas hay 3En un corral, se observa que por cada 2 gallinas hay 3En un corral, se observa que por cada 2 gallinas hay 3En un corral, se observa que por cada 2 gallinas hay 3patos y por cada 5 gansos hay 2 patos. Si se aumentaranpatos y por cada 5 gansos hay 2 patos. Si se aumentaranpatos y por cada 5 gansos hay 2 patos. Si se aumentaranpatos y por cada 5 gansos hay 2 patos. Si se aumentaranEn un corral, se observa que por cada 2 gallinas hay 3

27. Si se sabe que: ns

mrq

hp

y

(p + q + r + s) ( h + + m + n) = 6724

Calcular el valor numrico de la expresin.

mrsnqph21I

a) 82 b) 164 c) 41d) 80 e) 40

28. Si : K1

dc

ba

Adems : 6d3c

2b1a

El valor de K es :

a) 2 b) 4 c) 6d) 3 e) 5

29. Un cilindro contiene 5 galones de aceite ms que otro.

La razn del nmero de galones del uno al otro es 78

.

Cuntos galones de aceite hay en cada uno?

a) 28 : 33 b) 42 : 47 c) 35 : 40d) 21 : 26 e) 56 : 61

30. Sea:

kzC

yB

xA

Si:

14zyxCBA

zC

yB

xA

222

222

2

2

2

2

2

2

Hallar "k"

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

31. Si: K10bc

15ac

8ab

Entonces, la suma de los menores valores naturales dea, b , c y K es:

a) 30 b) 35 c) 37d) 45 e) 47

32. La razn de una proporcin geomtrica es un enteropositivo, los trminos extremos son iguales y la sumade los trminos de la proporcin es 192.Hallar el menor trmino medio.

a) 9 b) 3 c) 147d) 21 e) 63

33. Hallar 3 nmeros enteros que suman 35, tales que elprimero es al segundo como el segundo es al tercero.Dar como respuesta el producto de los tres nmerosenteros.

a) 500 b) 1000 c) 1500d) 2000 e) 2500

34. Si: dc

ba

y (a b) (c d) = 36

Hallar: bdacE

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 12

35. El nmero de vagones que llevan un tren A es los 115

del que lleva un tren B; el que lleva un tren C, los 137

de otro D. Entre A y B llevan tantos vagones como los

otros dos. Si el nmero de vagones de cada tren nopuede pasar de 60, Cul es el nmero de vagonesque lleva el tren C?

a) 26 b) 14 c) 39d) 52 e) 28

36. El nmero de vagones que lleva un tren A es los 115

del que lleva un tren B; y, el que lleva un tren C, los 239

de otro D.Entre A y B llevan tantos vagones como los otros dos.Cul es el nmero de vagones de cada tren, sabiendoque no puede pasar de 25?

a) 10 ; 22 ; 9 ; 23b) 8 ; 21 ; 9 ; 20c) 11 ; 23 ; 9 ; 25d) 10 ; 21 ; 12 ; 19e) 13 ; 22 ; 10 ; 25

37. En una serie de razones geomtricas equivalentes setiene que : el primer y tercer antecedente son 18 y 33,y el segundo consecuente es 8.Si el producto de los 3 trminos restantes es 1584,hallar el segundo antecedente.

a) 30 b) 18 c) 24d) 36 e) 48

38. La suma de los cuatro trminos de una proporcingeomtrica continua es a la diferencia de sus extremoscomo 3 es a 1.Cul es la razn geomtrica del extremo mayor y elextremo menor?

a) 13

b) 23

c) 14

d) 12

e) 35

b)b)11

a) 10b)

c) 35 : 40

b)b)11

a)a) 10b)

c) 35 : 40c) 35 : 40c) 35 : 40c) 35 : 40

39. Un nio demora en subir una cuesta 1 hora y media. Aun adulto, le es la mitad menos dificultoso subir y bajar

que al nio. Si al adulto le tom 21

hora bajar,

mantenindose constante la relacin de tiempo desubida y bajada, Cul ser la suma de tiempo de bajadadel nio y subida del adulto?

a) h21

b) 1 h c) h47

d) h43

e) h23

40. En una proporcin geomtrica la suma de los extremoses 29 y la suma de los cubos de los 4 trminos de dichaproporcin es 23814.Hallar la suma del mayor extremo y el mayor medio deesta proporcin si la suma de sus trminos es 54.

a) 25 b) 30 c) 35d) 40 e) 45

41. Hallar el producto de los trminos de una razngeomtrica que cumpla: si sumamos "n" al antecedentey consecuente de dicha razn se forma otra razn cuyovalor es la raz cuadrada de la razn inicial.

a) n b) 2n c) nd) 3 n e) 1

42. La razn de 2 nmeros enteros queda elevada alcuadrado cuando a sus trminos se les disminuye 3unidades.Indique la diferencia de los trminos de dicha razn.

a) 4 b) 8 c) 12d) 9 e) 7

43. Dos mviles parten en el mismo instante. El primerodel punto A y el segundo del punto B y marchan el unohacia el otro con movimiento uniforme sobre la rectaAB. Cuando se encuentran en M, el primero ha recorrido30m ms que el segundo. Cada uno de ellos, prosiguesu camino. El primero tarda 4 minutos en recorrer laparte MB y el segundo tarda 9 minutos en recorrer MA.Hallar la distancia AB.

a) 100 m b) 150 m c) 200 md) 300 m e) 320 m

44. En una serie de cuatro razones geomtricas lasdiferencias de los trminos de cada razn son 6, 9, 15y 21 respectivamente y la suma de los cuadrados delos antecedentes es 1392.Hallar la suma de los dos primeros consecuentes si laconstante de proporcionalidad es menor que uno.

a) 30 b) 40 c) 35d) 70 e) 66

45. Se tiene una serie de razones continuas equivalentes,donde cada consecuente es el doble de su antecedente,adems la suma de sus extremos es 260.Indica el mayor trmino.

a) 246 b) 256 c) 140d) 128 e) 220

46. Pepe y Luchn son encuestadores y entablan la siguienteconversacin:Pepe: Por cada 5 personas adultas que encuestaba, 3eran varones; y por cada 5 nios, 3 eran mujeres adultas.

Luchn: Pero yo encuestaba 2 varones adultos por cada3 mujeres adultas; y 4 mujeres adultas por cada 5 nios.

Pepe: Aunque parece mentira, encuestamos igualnmero de personas. Adems, mi cantidad de mujereses a mi cantidad de varones como 87 es 88.

Luchn: Y en la relacin de 12 a 13 en mi caso.

Pepe: Oye!, te das cuenta que yo entrevist 90 mujeresadultas menos que t.

Segn esta charla, calcule:a =cantidad de nios varones.b = cantidad de varones adultos que entrevist Luchn.c = cantidad de personas adultas que entrevista Pepe.

D como respuesta: "a + b c"

a) 20 b) 55 c) 42d) 36 e) 10

47. Si:23

cbap

bacn

acbm

Determinar:cpbnam

)nm(p)pm(n)pn(mE

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

48. Al restar 4 unidades a cada uno de los trminos de unarazn geomtrica, se obtiene el doble del cuadrado dedicha razn. Indique la razn aritmtica de los trminosde la razn geomtrica inicial.

a) 18 b) 19 c) 20d) 21 e) 22

49. En una proporcin geomtrica continua cuyo productode sus trminos es 65536; se cumple que la media

aritmtica de los antecedentes es igual a 169

de la media

armnica de los consecuentes.Hallar la diferencia de los extremos.

geomtrica que cumpla: si sumamos "n" al antecedentey consecuente de dicha razn se forma otra razn cuyoy consecuente de dicha razn se forma otra razn cuyoy consecuente de dicha razn se forma otra razn cuyo

a) 20

valor es la raz cuadrada de la razn inicial.

D como respuesta: "a + b

a) 20

y consecuente de dicha razn se forma otra razn cuyoy consecuente de dicha razn se forma otra razn cuyovalor es la raz cuadrada de la razn inicial.

D como respuesta: "a + bD como respuesta: "a + b

geomtrica que cumpla: si sumamos "n" al antecedentey consecuente de dicha razn se forma otra razn cuyoy consecuente de dicha razn se forma otra razn cuyoy consecuente de dicha razn se forma otra razn cuyovalor es la raz cuadrada de la razn inicial.

a) 20

D como respuesta: "a + b

a) 20

y consecuente de dicha razn se forma otra razn cuyovalor es la raz cuadrada de la razn inicial.y consecuente de dicha razn se forma otra razn cuyoy consecuente de dicha razn se forma otra razn cuyoy consecuente de dicha razn se forma otra razn cuyo

D como respuesta: "a + bD como respuesta: "a + bD como respuesta: "a + bD como respuesta: "a + bD como respuesta: "a + b

a) 8 b) 12 c) 24d) 32 e) 40

50. En una proporcin geomtrica continua donde lostrminos extremos son 2 cuadrados perfectosconsecutivos, se cumple que la suma de las diferenciasde los trminos de cada razn est comprendida entre11 y 31. Calcular la suma de todos los valores quepuede tomar la media proporcional.

a) 1120 b) 5160 c) 9920d) 9348 e) 1050

51. En una proporcin, cuya constante es mayor que launidad, la suma de los antecedentes es 45 y la diferenciade los consecuentes es 20.Calcule el menor de los trminos considerando quetodos los trminos son enteros.

a) 5 b) 8 c) 3d) 6 e) 7

52. Cuatro recipientes cbicos, cuyas aristas sonproporcionales a los cuatro primeros nmeros primosestn ordenados en forma creciente. Contienen agua,de tal manera que las alturas de lo que les falta llenarson proporcionales a los primeros nmeros naturales,estando el primero hasta el 50% de su capacidad. Sivaciamos el contenido del cuarto recipiente, en los otros

3 sobrara aba litros menos de lo que faltara parallenarlo si vaciramos el contenido de los 3 en ste.Calcule el contenido del cuarto recipiente.

a) 1764 l b) 1323 l c) 1647 ld) 3067 l e) 1552 l

53. El producto de los trminos de una proporcin continuaes 38416. Si la diferencia de los antecedentes es lamitad de la diferencia de los consecuentes, determinarla diferencia entre la suma de las terceras proporcionalesy la media proporcional.

a) 13 b) 16 c) 31d) 21 e) 11

54. Si : dc

ba

y a+ b = 2(c + d), siendo el valor de la

constante de proporcionalidad igual a c1

; y la suma de

los cuatro trminos de la proporcin 60.

Hallar el valor de la media aritmtica de los extremos.

a) 9 b) 22 c) 12d) 32 e) 40

55. En una proporcin aritmtica continua, cuyos trminosson enteros y mayores que 2, se convierten engeomtrica del mismo tipo cuando a sus trminos

medios se les disminuye 2 unidades. Calcule el mayorde los trminos si todos son los menores posibles.

a) 12 b) 14 c) 16d) 18 e) 10

56. En un polgono regular de "n" vrtices numerados del1 al "n" hay tres personas "A"; "B" y "C" parados en elvrtice 1.En un momento dado, ellos comienzan a caminar porlos lados. "A" camina en el sentido de la numeracin

de los vrtices ...)321( , "B" y "C" lo hacen ensentido contrario, "A" se cruza con "B" por primera vezen un vrtice y con "C" dos vrtices ms adelante. Sesabe que "A" camina el doble de rpido que "B" y steel doble de rpido que "C".Cuntos vrtices tiene el polgono?

a) 10 b) 12 c) 14d) 15 e) 18

57. Tres nmeros enteros, cuya suma es 1587, sonproporcionales a los factoriales de sendos nmerosconsecutivos.Hallar el mayor de stos nmeros, si la constante deproporcionalidad es entera.

a) 506 b) 1012 c) 768d) 1518 e) 1536

58. En una serie continua de "p" razones geomtricas, elproducto de los trminos posee 33 divisores queposeen raz p - sima. Calcular la media proporcionalde los extremos, si todos los trminos y la constanteson enteros y mnimos.

a) 162 b) 1024 c) 243

d) 482 e) 96

59. Un cirio tiene doble dimetro del dimetro de otro.Estos cirios, que son de igual calidad y de igual longitudse encienden al mismo tiempo y al cabo de una horadifieren en 24 cm. Transcurrida media hora ms, lalongitud de uno es el triple de la longitud del otro.Qu tiempo dura el cirio ms grueso?

a) 8h 30' b) 8h 15' c) 8hd) 7h 30' e) 7h 15'

60. Se tiene la siguiente serie:

223

23

22

21

42!23

a......

4!3

a

3!2

a

2!1

a

Se sabe adems que:

)2!20(25a......aaa 18321Calcular el mayor antecedente:

a) 25!24 b) 24!25 c) 27!28d) 20!22 e) 21!23

proporcionales a los cuatro primeros nmeros primosproporcionales a los cuatro primeros nmeros primosproporcionales a los cuatro primeros nmeros primosestn ordenados en forma creciente. Contienen agua,

son enteros y mnimos.son enteros y mnimos.

estn ordenados en forma creciente. Contienen agua,

poseen raz p - sima. Calcular la media proporcionalde los extremos, si todos los trminos y la constanteson enteros y mnimos.

de tal manera que las alturas de lo que les falta llenar

proporcionales a los cuatro primeros nmeros primosestn ordenados en forma creciente. Contienen agua,estn ordenados en forma creciente. Contienen agua,de tal manera que las alturas de lo que les falta llenarson proporcionales a los primeros nmeros naturales,son proporcionales a los primeros nmeros naturales,son proporcionales a los primeros nmeros naturales,estando el primero hasta el 50% de su capacidad. Siestando el primero hasta el 50% de su capacidad. Sivaciamos el contenido del cuarto recipiente, en los otrosvaciamos el contenido del cuarto recipiente, en los otros

litros menos de lo que faltara para58.

proporcionales a los cuatro primeros nmeros primosproporcionales a los cuatro primeros nmeros primosproporcionales a los cuatro primeros nmeros primosestn ordenados en forma creciente. Contienen agua,estn ordenados en forma creciente. Contienen agua,

son enteros y mnimos.son enteros y mnimos.

poseen raz p - sima. Calcular la media proporcionalde los extremos, si todos los trminos y la constanteson enteros y mnimos.

estn ordenados en forma creciente. Contienen agua,de tal manera que las alturas de lo que les falta llenarde tal manera que las alturas de lo que les falta llenar

proporcionales a los cuatro primeros nmeros primosestn ordenados en forma creciente. Contienen agua,de tal manera que las alturas de lo que les falta llenarde tal manera que las alturas de lo que les falta llenarestn ordenados en forma creciente. Contienen agua,estn ordenados en forma creciente. Contienen agua,estn ordenados en forma creciente. Contienen agua,estn ordenados en forma creciente. Contienen agua,estn ordenados en forma creciente. Contienen agua,estn ordenados en forma creciente. Contienen agua,estn ordenados en forma creciente. Contienen agua,estn ordenados en forma creciente. Contienen agua,proporcionales a los cuatro primeros nmeros primos

son proporcionales a los primeros nmeros naturales,son proporcionales a los primeros nmeros naturales,de tal manera que las alturas de lo que les falta llenarson proporcionales a los primeros nmeros naturales,de tal manera que las alturas de lo que les falta llenarde tal manera que las alturas de lo que les falta llenarde tal manera que las alturas de lo que les falta llenarson proporcionales a los primeros nmeros naturales,son proporcionales a los primeros nmeros naturales,son proporcionales a los primeros nmeros naturales,son proporcionales a los primeros nmeros naturales,son proporcionales a los primeros nmeros naturales,son proporcionales a los primeros nmeros naturales,son proporcionales a los primeros nmeros naturales,estando el primero hasta el 50% de su capacidad. Siestando el primero hasta el 50% de su capacidad. Sison proporcionales a los primeros nmeros naturales,

vaciamos el contenido del cuarto recipiente, en los otrosestando el primero hasta el 50% de su capacidad. Sivaciamos el contenido del cuarto recipiente, en los otrosvaciamos el contenido del cuarto recipiente, en los otrosvaciamos el contenido del cuarto recipiente, en los otrosestando el primero hasta el 50% de su capacidad. Siestando el primero hasta el 50% de su capacidad. Siestando el primero hasta el 50% de su capacidad. Siestando el primero hasta el 50% de su capacidad. Siestando el primero hasta el 50% de su capacidad. Siestando el primero hasta el 50% de su capacidad. Si

litros menos de lo que faltara para

vaciamos el contenido del cuarto recipiente, en los otrosvaciamos el contenido del cuarto recipiente, en los otrosvaciamos el contenido del cuarto recipiente, en los otrosvaciamos el contenido del cuarto recipiente, en los otrosvaciamos el contenido del cuarto recipiente, en los otros 58.58.58.

ClavesClaves

e

b

a

c

b

a

a

c

c

a

a

d

c

a

d

a

a

b

b

c

b

c

b

e

c

c

c

a

c

b

e

b

b

c

e

a

c

c

c

e

b

b

b

c

b

b

c

d

c

e

b

b

d

c

c

d

d

e

b

a

01.

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57.

58.

59.

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INTRODUCCIN

El promedio aritmtico es una medida de tendenciacentral, que tiene importancia en el caso en que los datos sejunten aditivamente para obtener un total. De hecho, puedeinterpretarse como un valor que podra sustituir a cada unode los datos para obtener la misma suma total.

El promedio geomtrico por su parte, es relevante cuandolos datos se usan multiplicativamente para obtener unresultado. Es as que puede interpretarse como un valor, quepuede sustituir a cada dato, para producir el mismo productototal.

El promedio armnico tiene importancia cuando usamoslos datos sumando los recprocos de cada uno de los datosy se puede interpretar con un valor que puede sustituir acada dato para producir la misma suma de los recprocos.

PROMEDIO

Dado un conjunto de datos diferentes es frecuente calcularun valor representativo de ellos, que este comprendido entreel menor y el mayor de ellos; a dicha cantidad se le llama:promedio o valor medio o simplemente