aritmetica - raz.matematico 2012 final 3° Y 4° SEC

Domingo F. Sarmiento Aritmétic

a

CEP “SANTA MARÍA DE LA

PROVIDENCIA”

Verano

2012

3ero. – 4to de Sec.

Clase # 1 – RAZ. MATEMÁTICO

INDUCCIÓN

Ejemplo 1

Hallar la suma de las cifras del resultado de:

RESOLUCIÓN:

Analizando por partes, tenemos :

7 = 9 0 791 00)59 9...9 99(

7949 99 90 0 00 2559 99 9

7939 99 00 0 2559 99

7929 90 02 559 9

7919 02 559

2

cifras 10 0

2

2

2

2

R esultado S um a de c ifras

C antid ad d e cifras "9"

Ejemplo 2

¿Cuántos puntos de contacto habrá en la

figura 20?

F ig.1 F ig.2 F ig.3 F ig.20

RESOLUCIÓN

F ig. 1 2

21

)1(3

3 p un to s d e co n tacto = 3 1 =

F ig. 2 2

32

+ 2 )1(3

9 p un to s d e co n tacto = 3 3 =

F ig. 3 2

43

+ 2 + 3 )1(3

1 8 p u n to s de co ntacto = 3 6 =

F ig. 20

2

2120

+ 2 + 3 + ... ..+ 2 0) = 63 0 1(3

PROBLEMAS EN CLASE

1) Hallar la suma de las cifras del resultado de:

a) 3n b) 3n + 1 c) 3n - 1 d) 3(n + 2) e) 3(n 1)

2) Hallar la suma de las cifras del resultado de:

a) 81 b) 100 c) 64 d) 49 e) 121

3) Hallar la suma de las cifras del resultado de la siguiente expresión :

a) 11 b) 9 c) 10 d) 12 e) 8

4) ¿Cuántos triángulos habrá en la figura de posición 20?

F ig. 1 F ig. 2 F ig. 3

a) 190 b) 240 c) 420d) 200 e) 210

5) ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "INGRESO"?

O

SS

EEE

RRRR

GGG

NN

I

a) 16 b) 24 c) 14 d) 20 e) 30

6) Calcular la suma de las cifras del resultado de M :

1


a


PROVIDENCIA”

Verano

2012


1 2 3 28 29 30

a) 300 b) 100 c) 450 d) 900 e) 200

7) Calcular "M" y dar como respuesta la suma de sus cifras.

a) 18n b) 27n c) 36nd) 45n e) 54n

8) Calcular la suma de cifras del resultado de efectuar :

a) 127 b) 128 c) 129 d) 130 e) 125

9) De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "YESSICA"?

AAAAAAAAAAAAA

CCCCCCCCCCC

IIIIIIIII

SSSSSSS

SSSSS

EEE

Y

a) 696 b) 781 c) 821d) 729 e) 700

AHORA TÚ:

1. Hallar la suma de las cifras del resultado.

E = 333 … 33 x 12

200 cifras

a) 2100 b) 1820 c) 1760

d) 1560 e) 1800

2. Dar como respuesta la suma de las cifras de:

M = (666 … 66)2

600 cifras

a) 7200 b) 5400 c) 4800

d) 3600 e) 6400

3. Dar como respuesta la suma de las cifras de:

E = (999 … 995)2

40 cifras

a) 352 b) 328 c) 358

d) 348 e) 344

4. Calcular la suma de las cifras del resultado de:

M = 999 … 98 x 999 … 92

20 cifras 20 cifras

a) 172 b) 174 c) 176

d) 178 e) 180

5. Calcule la suma de cifras del resultado de:A = (333 … 333)2 + (999 … 99)2

52 cifras 52 cifras

a) 465 b) 466 c) 468

d) 469 e) 490

6. Calcular la suma de las cifras de:

Sabiendo que es el menor # de 6 cifras significativas diferentes.

a) 9 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

7. ¿De cuántas formas distintas se puede leer “SEBASTIAN” en el siguiente arreglo?.

NNNNNNNNN

AAAAAAAA

IIIIIII

TTTTTT

SSSSS

AAAA

BBB

EE

S

a) 259 b) 255 c) 256

d) 257 e) 258

8. Si : M = 9 x 888 … 88

1997 cifras

Hallar la suma de las cifras de: “M”

a) 1997 b) 8856 c) 17973

d) 4273 e) 888

9. ¿Cuántos puntos de contacto hay en la siguiente gráfica de circunferencia?.

a) 1305

2


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b) 5130c) 2610d) 4652e) N.A.

CLASE # 1 – aritmética

conjuntos

1. Dado el conjunto A = {7; 8; 10; 15}.

Indicar verdadero (V) o Falso (F), según

corresponda:

i) 7 A ( ) iii) {10} A ( )

ii) 9 A ( ) iv) {15} A ( )

a) VVFF b) VFFV c) VVFF

d) VFFF e) N.A.

2. Dado el conjunto A = {5; {7}; 9; 12}.

Indicar (V) o (F), según corresponda:

i) {7} A ( ) iv) {9} A ( )

ii) 9 A ( ) v) A ( )

iii) 7 A ( ) vi) 10 A ( )

a) VFVFVF b) VFFVVF c) VVVFFF

d) VVFFFV e) N.A.

3. Dado el conjunto M = {a, {b}, {m}, p}.

¿Cuántas proposiciones son falsas?

i) {b} M iv) {{b}, p} M

ii) b M v) {{b}, {m}} M

iii) {{m}} M vi) m M

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

4. Hallar la suma de elementos de cada

conjunto:

A = {x/x N; 6 < x < 12}

B = {x + 4/ x Z ; 5 < x < 10}

C = {x2 + 1/ x Z; 3 < x < 8}

a) 40; 41 y 50 d) 47; 45 y 129

b) 43; 49 y 100 e) N.A.

c) 45, 46 y 130

5. Si el conjunto “A” es unitario, hallar “a +

b”:

A = {7- a ; b + 4; 5}

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

6. ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto

que posee 5 elementos?

a) 30 b) 31 c) 32

d) 33 e) 34

7. Si los conjuntos “A” y “B” son unitarios,

hallar “a2 + b2”

A = {a + b; 12} ; B = {4; a -

b}

a) 79 b) 80 c) 81

d) 82 e) 83

8. Dado: A = {5; {7}; 9; {2}}. Indicar (V)

o (F) según corresponda:

i) {5} A ( ) iii) {9} A (

)

ii) {7} A ( ) iv) {5; {2}} A (

)

a) FVVF b) FVFV c) FVVV

d) VFFV e) VVFF

9. Dado: A = {x/x N; 5 < x < 12} .

Indicar (V) o (F) según corresponda:

i) {7; 8; 11} A ( ) iii) {8; 10} A (

)

3


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ii) 5 A ( ) iv) n(A) = 6 (

)

a) VFVF b) VFVV c)

VFFV

d) FVVF e) FFVV

10. ¿Cuán

tos subconjuntos tiene cada uno de los

siguientes conjuntos?

A = {c, o, l, e, g, i, o} ; B = {j, o, r, g, e,

l}

a) 64 y 32 b) 128 y 64 c) 64 y 64

d) 32 y 64 e) 128 y 32

AHORA TÚ :

1. Dado el conjunto A = {{3; 8}; {5; 7};

8}; ¿Cuántas de las siguientes

proposiciones son correctas?

i) {5; 7} A ( ) iv) {} A

( )

ii) {5; 7} A ( ) v) 3 A

( )

iii) {7} A ( ) vi) {8} A (

)

a) 3 b) 4 c) 5

d) 2 e) 1

2. Hallar la suma de elementos de “A”, si:

A = {x2 + 2 / x Z; -4 < x < 3}

a) 18 b) 29 c) 31

d) 45 e) 22

3. Si los conjuntos “A” y “B” son iguales,

hallar:

m + p (“m” y “p” N)

A = {10; m2 - 3} ; B = {13; p2 - 15}

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 12

4. Hallar Si un conjunto tiene 15

subconjuntos propios, ¿Cuántos elementos

tiene el conjunto?

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) N.A.

5. Calcular la suma de los elementos del

conjunto:

A = {x/x N; 7 < 2x + 1 < 15}

a) 12 b) 15 c) 17

d) 18 e) 20

6. Dado el conjunto A = {x2 + 1 / x Z; - 3

x 3}

a. ¿Cuántos subconjuntos tiene “A”?

b. Hallar la suma de elementos de “A”

a) 16 y 10 b) 16 y 18 c) 32 y 16

d) 32 y 18 e) 4 y 16

7. Dados los conjuntos “A” y “B”

subconjuntos del universo “U”

A = {x2 / x N; 1 < x < 6}

B = {x + 2 / x N; 4 < x < 10}

C = {x/x N ; 1 x 10}

Hallar: n(A) + n(B)

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

8. Dado el conjunto A = {k, a, r, i, n, a}

¿Cuántos subconjuntos de “A” tienen dos o

más elementos?

a) 25 b) 27 c) 32

d) 31 e) 26

4


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Clase # 2 – RAZ. MATEMÁTICO

JUEGOS DE INGENIO

TRANSMISIONES: H : Horario ; AH : Antihorario

A B

H

A H

C o m o A es m ás gran de q u e B , E n to n ces :

A d a m en o s vu eltas qu e B

A m bo s reco rren la m ism a can tid ad d e d ien tes

H H

A B

A B

H A H

H

H

H

L as rued as u b icad as en u n m ism o eje giran a la m ism a velo cida d y en el m ism o sen tido

Ejemplo:

Si la rueda A da 4 vueltas. ¿Cuántas vueltas

dará la rueda B?

4 0 d ien tes

2 0 d ien tes

AB

# d e d ien tes d e A : n A# d e d ien tes d e B : n# d e vu elta s d e A : V# d e vu elta s d e B : V

B

A

B

BBAAVnVn

Reemplazando:

CERILLOS:

Ejemplo:

¿Cuántos palitos hay que mover como

mínimo para obtener una verdadera

igualdad?

Resolución:

Respuesta: 1 palito

RELACIÓN DE TIEMPO:

Ejemplo:

Si el mañana del pasado mañana es Lunes.

¿Qué día será el anteayer del mañana del

pasado mañana de hace 2 días?

Resolución :

Considerando :

A : Ayer (-1)

AA : Anteayer (-2)

M : Mañana (1)

PM : Pasado Mañana (2)

H : Hoy (0)

Luego :

A A A A A A H M P M M P M

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

Entonces cuando decimos el mañana (1) del

pasado mañana (2) es Lunes, nos referimos

a que: 1 + 2 = 3 es Lunes.

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

H o y

V i S a D o L u

Nos preguntan: El anteayer (-2), del mañana

(1), del pasado mañana (2), de hace 2 días (-

2), nos referimos a que: -2 + 1 + 2 - 2 = - 1

es ...........

- 1 0

H o y

J u eves V iern es

A

5


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Respuesta: Jueves

PROBLEMAS EN CLASE

1) ¿Cuántas ruedas giran en sentido antihorario?

a) 2 b) 4 c) 3d) 5 e) 6

2) ¿Cuántas ruedas giran en sentido opuesto a la rueda A?

A

a) 4 b) 5 c) 3d) 2 e) 6

3) La figura muestra los engranajes : A, B, C, ..., Z de 8; 12; 16 ; .... ; 64 dientes respectivamente; si "A" da 72 vueltas por minuto.

¿Cuántas vueltas dará Z en media hora?

A B C Z

a) 9 b) 45 c) 270d) 10 e) 300

4) Si la rueda "A" da 48 vueltas. ¿Cuántas vueltas más que "D" da "C"?

4 0 d ien tes

6 0 d ien tes

3 0 d ien tes

8 0 d ien tes

A B CD

a) 16 b) 8 c) 12d) 10 e) 7

5) ¿Cuántas cerillas hay que mover como mínimo para obtener una verdadera igualdad?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6) ¿Cuántos palitos hay que quitar como

mínimo para obtener sólo 3 cuadrados del

mismo tamaño que los originales? (No dejar

cabo suelto)

a) 4 b) 3 c) 6d) 2 e) 5

7) El otro día en los jardines del parque

escuché a dos personas la siguiente

conversación: "Ten en cuenta que mi madre

es la suegra de tu padre".

¿Qué parentesco une a las 2 personas?

a) Padre - hijo. b) Tío - sobrino. c) Hermanos. d) Abuelo - nieto. e) Padrino - ahijado.

8) En una reunión se encuentran presentes

un abuelo, una abuela, 2 padres, 2 madres, 2

esposos, 2 esposas, una tía, 1 nuera, 1 nieto,

una nieta, un cuñado y una cuñada.

¿Cuántas personas como mínimo se

encuentran presentes en la reunión?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5

9) Si dentro de tres días ocurrirá que el mañana del antes de ayer del ayer del pasado mañana de ayer será jueves.

¿Qué día fue el pasado mañana del mañana del ayer de hace 3 días?

a) Martes b) Juevesc) Miércoles d) Domingoe) Lunes

6


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A B

A B

A B

10) La hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi padre es mi : a) Tía b) Hija c) Hermana d) Sobrina e) Madre

AHORA TÚ:

1) Si "A" gira en sentido antihorario, ¿en qué sentido giran "B" y "C" respectivamente?

A

B

C

a) Horario - Antihorario. b) Horario - Horario. c) Antihorario - Horario. d) Antihorario - Antihorario. e) No se mueven.

2) Si la rueda "A" da 20 vueltas.

¿Cuántas vueltas da la rueda "E"?

6 4 3 5 4

A B C D E

a) 25 b) 30 c) 28 d) 40 e) 35

3) ¿Cuántos palitos hay que mover como mínimo para que la igualdad incorrecta que se da a continuación, se convierta en una igualdad verdadera?

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

4) ¿Cuántos palitos debemos retirar como mínimo para dejar 6 en la figura?

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 17

5) Si el mañana del pasado mañana del ayer

de mañana de hace 3 días es miércoles.

¿Qué día será el ayer del pasado mañana del

mañana de pasado mañana?

a) Lunes b) Miércolesc) Sábado d) Domingoe) Martes

6) El señor Lazo tiene dos hijos únicamente, éstos a su vez son padres de Juan y Marco, respectivamente. ¿Quién es el único sobrino del padre del

primo hermano del hijo del padre de Marco?

a) Juan b) El Sr. Lazoc) Mario d) Marcoe) Iván


Representación gráfica

AUB

A B

A - B

7


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A B

A B

A B

AB

M Q

M Q

A B

PROBLEMAS EN CLASE

1. ¿Qué operación, representa cada una de

las regiones sombreadas?

a)

Rpta.: _____________

b)

Rpta.: _____________

c)

Rpta.: _____________

d)

Rpta.: _____________

e)

Rpta.: _____________

1. Dados los conjuntos:

A = {1; 2; 3; 4; 5}

B = {2; 4; 6; 8}

C = {1; 3; 4; 5; 6}

Indicar verdadero (V) o falso (F) según

corresponda:

a) A C = {1; 3; 5; 6} ( )

b) B – A = {6; 8} ( )

c) B C = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ( )

d) A – C = {2; 5} ( )

e) B C = {4; 6; 8} ( )

a) FVFVV b) FVVFF c) FVVVF

d) FVFFF e) FVVVV


A = {1; 2; 3; 4; 5} ; B = {2; 3; 5; 6}

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

Indicar verdadero (V) o falso (F) según

corresponda:

a) A’ = {6; 7; 8} ( )

b) B’ = {7; 8} ( )

c) A’ B = {6; 7} ( )

d) B’ – A = {4; 7; 8} ( )

e) A’ U = {6; 7; 8} ( )

a) VFVVF b) VFFFV c) VFFFF

d) VFFVF e) VFVFV

3. Si: A = {a, b, e, d}

B = {x/x es una vocal}

Hallar: A B

8


a


PROVIDENCIA”

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2012


A B

21

4 5 9

7

8

M Q

R

A B C

a) {a, e} b) {a, i}

c) {a, o}

d) {a, u} e) {a}

4. Si: A = {a, b, m, t}

B = {x/x es una vocal de la palabra martes}

Hallar: B – A

a) {a, e} b) {a, i}

c) {a, o}

d) {a, u} e) {a}

5. Si: U = {x/x N; 0 < x < 10}

A = {x/x N; 4 < x < 9}

B = {x/x N; 3 < x < 8}

Hallar: A’ – B’

a) {1} b) {2} c) {3}

d) {4} e) {5}

6. Dados los diagramas de Venn

Hallar: A B

a) {4; 5; 7; 8} d) {4; 5; 9; 7}

b) {4; 5; 2; 1} e) {4; 5; 9}

c) {4; 5; 9; 7; 8}

AHORA TÚ :

1. ¿Qué operación representa la región

sombreada?

a) M Q d) (Q R) (M Q)

b) (M Q) R e) (Q R) M

c) (M R) (Q - R)

2. ¿Qué operación representa la región

sombreada?

a) (A B) C d) (A C) B

b) (B C) A e) (A - B) (B C)

c) (A B) C

3. Dado los conjuntos:

A = {1; 2; 5; 8; 10}

B = {2; 3; 6; 8}

C = {x/x A, x < 7}

Hallar el cardinal de (B C) A

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) N.A.


U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

A = {2x / x N; 2 < x < 8}

B = {x + 2 / x N; 2 < x < 8}

Hallar la suma de los elementos de A’ B’

a) 12 b) 14 c) 10

d) 8 e) 7

5. Si: n(A) = 13

9


a


PROVIDENCIA”

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2012


n(B) = 15

n(A B) = 23

Hallar: n(A B)

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

6. Dados los conjuntos A, B, se sabe que :

n(A B) = 18

n(A - B) = 7

n(A B) = 13

Hallar: n(A) + n(B)

a) 25 b) 20 c) 21

d) 23 e) 17

CLASE # 3

REPASO – PREPÁRATE PARA TU

PRÁCTICA

1) Hallar la suma de las cifras del resultado

de:

a) 90 b) 270 c) 187

d) 810 e) 190

2) Hallar la suma de las cifras del resultado

de:

a) 520 b) 320 c) 290

d) 480 e) 310

3) ¿De cuántas maneras diferentes se podrá

leer la palabra "CALLADO"?

OOOOOO

DDDDD

AAAA

LLL

AA

C

a) 52 b) 48 c) 44

d) 50 e) 49

4) ¿En qué sentido se moverán los

engranajes 30; 52; 71? (Horario : H ;

Antihorario : A)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

a) H , H , H b) A , H , H

c) A , A , A d) A , A , H

e) H , A , H

5) En la siguiente operación :

¿Cuántos palitos se deben mover como

mínimo para obtener 132?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 0

6) En la figura mostrada hay 22 palitos del

mismo tamaño y forma. Si cambiamos de

posición 2 palitos.

¿Cuál es el máximo número de cuadrados

que resultan en la figura?

10


a


PROVIDENCIA”

Verano

2012


a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13

7) Sean los conjuntos:

A = {a, b}

B = {a, b, {a}, {b}}

Hallar el cardinal de P(A) B

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

8) Si los conjuntos “A” y “B” son unitarios.

Hallar: A B

A = {a + b; 12}

B = {b – 4; 2a - b}

a) {12; 5} b) {12; 7} c) {12; 3}

d) {12} e) {8}

9) Dados los conjuntos:

A = {x + 2 / x N; 2 < x < 10}

B = {3x / x N; x 2}

¿Cuántos subconjuntos tiene A - B?

a) 4 b) 8 c) 16

d) 32 e) 64

10) Hallar la suma de elementos del

conjunto:

A = {3a2 + 5 / a Z; 1 < a < 6}

a) 172 b) 182 c) 148

d) 156 e) 192

11) Dado el conjunto A = {7; 8; 10; 12}.

Indicar (V) o (F), según corresponda, si P(A)

representa el conjunto potencia de A.

i) {B} P(A) ( )

ii) {10; 12} P(A) ( )

iii) 10 P(A) ( )

iv) P(A) ( )

v) P(A) ( )

a) VVFVF b) FVVFV c) FVFVV

d) VFFVV e) VVFVV

12) En la sección de 3ro. “B” hay 25

alumnos, se sabe que a 12 alumnos les gusta

el curso de historia y los 18 el curso de

lenguaje. Si a todos les gusta al menos uno

de los dos cursos mencionados, ¿a cuántos

les gusta sólo historia o sólo lenguaje?

a) 15 b) 12 c) 18

d) 23 e) 20

CLASE # 4 – raz.matemático

ANALOGíAS Y DISTRIBUCIONES

Ejemplos:

1. ¿Qué número falta?

9 (20) 48 (12) 56 ( ) 4

Solución.-

#central = (Diferencia de extremos) x 4

1º Fila : 9 - 4 = 5 5 x 4 = 20

2º Fila : 7 - 5 = 3 3 x 4 = 12

3º Fila : 6 - 4 = 2 2 x 4 = 8

11


a


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2012


R pt a : 8

Ejemplo:

1. ¿Qué número falta?

2

20

5

?

4

8

Solución:

Se relacionan los opuestos por el vértice:

5 x 8 = 40 2 x 20 = 404 x ? = 40 ? = 10

R pt a : 10

PROBLEMAS EN CLASE

I. Encontrar el número que falta en cada caso, en las siguientes analogías.

1. 4 (24) 33 (18) 32 ( ) 1

a) 6 b) 4 c) 7d) 5 e) 2

2. 2 (14) 107 (28) 145 ( ) 30

a) 40 b) 32 c) 20

d) 48 e) 35

3. 5 (3) 410 (5) 525 ( ) 2

a) 6 b) 5 c) 9d) 3 e) 4

4. 20 (12) 1521 (6) 1416 ( ) 12

a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15

5. B (H) DE (Ñ) CG ( ) C

a) S b) T c) Ud) Z e) Y

6. 2 4 13 6 114 5 x

a) 15 b) 13 c) 12

d) 16 e) 10

7. 15 13 8x 20 726 2 8

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

8. 8 6 86 4 74 4 x

a) 3 b) 12 c) 17

d) 5 e) 4

III. Hallar el valor de «x» cada caso:

9.

3 5

6

9

2 6

4

8

4 7

11

X

a) 15 b) 18 c) 21

d) 19 e) 17

10.

12


a


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5

3

7

4 8

8

4

9

17 4

12

x

5

7 8

a) 6 b) 3 c) 7d) 5 e) 4

11.

12 24

x 15

3 8

6 46 x

5 24 7

3 8

a) 28 – 2 b) 27 - 3c) 26 - 2d) 29 - 1 e) 27 - 1

12.

12 7

4 9 6 0

x 15

5 8

a) 72 b) 82 c) 90d) 98 e) 102

13.

1

0

4

2

3

53

9

4

1

6

5

4

11

15

2

12

131 x

- 2

a) -5 b) 4 c) 6d) 5 e) -4

AHORA TÚ:

* En las siguientes analogías y

distribuciones, hallar el número o letra que

falta.

1) 3 (7) 2

5 (22) 3

6 ( ) 7

a) 28 b) 33 c) 31d) 27 e) 29

2) 2 (72) 3

4 (1600) 5

5 ( ) 8

a) 8000 b) 7000 c) 4000

d) 5000 e) 6000

3) 3 4 3

5 2 3

6 x 8

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

4) 5 2 25

2 4 16

x 3 27

a) 6 b) 7 c) 8d) 3 e) 5

5) 6 5 31

4 x 13

5 7 18

a) 2 b) 3 c) 5d) 4 e) 6

6)

4 23 5

7

5 28 12

8

8 x 20

9

a) 48 b) 54 c) 50d) 53 e) 52

13


a


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Verano

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7)

4 3

10

12

5 6

16

2 3

2 6

x

3 2

a) 13 b) 15 c) 17d) 10 e) 12

8) 6 (30) 95 (26) 84 ( ) 11

a) 32 b) 30 c) 28d) 24 e) 25

9)

20 5

3 1

36 3

8 4

90 x

5 5

a) 6 b) 10 c) 8d) 12 e) 9

10) 10 (3) 1112 (7) 2225 ( ) 17

a) 13 b) 14 c) 16d) 15 e) 17


Numeración

I.I. CONCEPTOS BÁSICOSCONCEPTOS BÁSICOS

1. Número .- Es un ente abstracto, carente

de definición, sólo se tiene una idea de él.

2. Numeral .- Es la figura o símbolo que

representa o da la idea del número, por

ejemplo, para el número cinco.

IIIII; V ; 3 + 2; 22 + 1; cinco; five; 5

3. Sistema Numeración .- Es un conjunto

de símbolos y leyes que nos permiten

representar y expresar correctamente los

números. Tenemos diversos sistemas de

numeración, entre los cuales destaca el

sistema de numeración decimal o décuplo.

4. Sistema de Numeración Decimal .- Es

el sistema cuyo principio fundamental es

que la formación de sus unidades va de

diez en diez.

5. Base de un sistema de numeración :

Es el número de unidades de un orden

cualquiera que forma una unidad de un

orden inmediato superior. También se

define como aquella que nos indica el

número de cifras disponibles en un sistema

de numeración, para escribir o representar

cualquier número.

Se representa: 33(7) y se lee: 3 grupos de 7

y 3 unidades simples en base 7 ó tres de la

base 7.

Como vera usted, querido alumno, la base se coloca en la parte inferior de la derecha del número como subíndice y si en caso no aparece se asumirá que está en base 10 (ver sistema de numeración decimal).

Condiciones de la base:

a) Debe ser entero: b Zb) Debe ser positivo: b Z+

c) Debe ser mayor o igual a dos: b 2

6. Principios Fundamentales o Reglas

Convencionales de los Sistemas de

Numeración:

14


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Toda cifra de un numeral es

necesariamente menor que su base y

además es un entero no negativo.

Cifra: {0; 1; 2; 3; …; (b - 1)}

Consecuencia:

Cifra máxima = Base -1 Cifra < Base

Ejemplos:

- Hallar el mayor numeral de 3 cifras del

sistema de b = 10 : 999

- Hallar el menor numeral de 4 cifras

diferentes de b = 10 : 1023

- Hallar el mayor numeral de 5 cifras

diferentes de

b = 9 : 87654(9)

- Hallar el menor numeral de 4 cifras

significativas de

b = 2 : 1111(2)

Cifra significativa es aquella cifra

diferente de cero (0)

Existen infinitos sistemas de

numeración,

7. Descomposición Polinómica de un

numeral del sistema decimal:

“Cualquier número se puede descomponer

como la suma de los valores relativos de

sus cifras”. Así por ejemplo:

1234 = 1 unidad de millar + 2 centenas +

3 decenas + 4 unidades.

En unidades simples, sería:

1234 = 1000 + 200 + 30 + 4

= 1 x 103 + 2 x 102 + 3 x 10 + 4

PROBLEMAS EN CLASE

1) Indicar verdadero (V) o Falso (F) según

corresponda.

I. Existen solo 10 sistemas de numeración.

II. En el sistema de base 5, se utilizan 5

cifras diferentes.

III. En el sistema de base 7, no existe la

cifra 7.

a) FFV b) FVV c) FVV

d) VVV e) VFF

2) Completar:

En el sistema octal, existe ……….... cifras

diferentes y la mayor es ………..

a) 8 y 8 b) 7 y 8 c) 7 y 7

d) 8 y 7 e) 7 y 6

3) ¿Cómo se expresa en base 7 un número

formado por 48 unidades?

a) 65(7) b) 66(7) c) 56(7)

d) 34(7) e) 44(7)

4) ¿Cómo se expresa el menor número de 4

cifras diferentes de la base 7?

a) 1234(7) b) 1320(7) c) 1203(7)

d) 1023(7) e) 1032(7)

5) Si: N = 2 x 83 + 4 x 82 + 3 x 8 + 5,

¿Cómo se escribe el número “N” en base 8?

a) 2135(8) b) 2243(8) c) 2435(8)

d) 2433(8) e) N.A.

15


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6) A un número de 2 cifras se le agregan

dos ceros a la derecha, aumentándose el

número en 4752. Calcular el número

original.

Rpta.: ______________

7) Si a un número de 3 cifras se le agrega

un 5 al comienzo y otro 5 al final, el número

obtenido es 147 veces el número original.

Dar como respuesta la suma de las cifras de

dicho número.

Rpta.: ______________

8) Hallar: (x . y), si:

xy(4)+ yx(5)+ xx(6)+ yy(7 )=66

Rpta.: ______________

9) Hallar el valor de: (a + b + n),

Si: ababn = 15

Rpta.: ______________

10) Hallar “a”, si 25a=a75(8)

Rpta.: ______________

11) Si las cifras: “a”, “b” y “c” son

diferentes entre sí y además:

aa(2)+bb(3 )+cc(4)=bx . Hallar “x”

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a a

b b b

L

4 postes

a a a

3 partes

2 cortes2 partes

3 cortes3 partes

4 cortes4 partes

Rpta.: ______________

AHORA TÚ:

1. Si a un número de 3 cifras se le agrega

la suma de sus cifras se obtiene 432. Hallar

la suma de la cifras del número.

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11

2. Hallar el mayor número de 3 cifras que

al restarle 459 dé como resultado la suma

de sus cifras.

a) 539 b) 519 c) 499

d) 479 e) 509

3. Hallar “a” para que se cumpla:

a11(7)=37a(8)a) 2 b) 3 c) 5

d) 6 e) 4

4. Si “a” , “b” y c son cifras diferentes

entre sí, hallar “m + p”, si se cumple:

abc(4)+bc(3)+c(2)=mp

a) 10 b) 11 c) 12

d) 14 e) 15

5. Calcular “a + b + c” si se cumple:

56d=abcd(8 )

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

CLASE # 5 – raz. Matemático

Cortes y postes

Por inducción elemental se puede obtener una relación entre el número de cortes que se debe aplicar a una soga y el número de partes iguales en que quedará dividida.

En general : # cortes = partes – 1

Una relación parecida se establece por analogía cuando se colocan partes o estacas a lo largo de un camino, por ejemplo:

En cualquier caso se cumple:

#partes =

Longitud TotalLongitu Unitaria

Cuando los cortes se hacen sobre una “longitud cerrada” como por ejemplo una circunferencia la relación entre cortes y partes es aún más sencilla.

soga

1 corte 2

2 cortes 3

#postes = #partes +

1

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#cortes = # partes

PROBLEMAS EN CLASE

1. Un tronco de árbol es seccionado en trozos de 11cm de largo c/u para leña; para esto se ha efectuado 20 cortes. ¿Cuál fue la longitud inicial del tronco?a) 231 cm b) 217 c) 242

d) 253 e) 180

2. Un carpintero cobra S/. 15 por dividir un tronco de árbol en 4 partes dando cortes paralelos. ¿Cuánto tendremos qué pagarle sin necesitamos que corte el árbol en 5 partes?a) S/. 25 b) 22 c) 20

d) 30 e) 16

3. Se desea efectuar cortes de 5 metros de longitud de arco en un aro de 45 metros de longitud de circunferencia. ¿Cuántos cortes podremos efectuar?a) 6 b) 9 c) 8

d) 7 e) 10

4. A lo largo de un pasaje se desea plantar árboles cada 6 metros de tal modo que aparezca un árbol en cada extremo del pasaje que además tiene 138 metros de longitud. ¿Cuántos árboles se requieren para tal fin?a) 22 b) 23 c) 24

d) 25 e) 48

5. Se desea plantar postes cada 15m a lo largo de una avenida de 645 m. si senos ha cobrado S/. 308 por el total de mano de obra. ¿Cuánto nos han cobrado por plantar cada poste sabiendo que pusieron uno al inicio y otro al final de la avenida?a) S/. 5 b) 7 c) 8

d) 10 e) 9

6. Se tiene un terreno rectangular cuyo perímetro es 60m. ¿Cuántos postes deberían colocarse cada 3 metros, si uno de estos miden 2 metros de longitud?a) 20 b) 19 c) 21

d) 40 e) 23

7. En una pista de salto con vallas hay 15 de estas separadas por una distancia de 4m ¿Cuál es la longitud entre la primera y la última valla?a) 52 m b) 56 c) 60

d) 64 e) 68

8. Se elevaron 28 postes a lo largo de una avenida cada 3 metros. Si cada poste mide 1,5 metros. ¿Cuál es la distancia que hay entre el primer y último poste?a) 82 m b) 54 c) 81

d) 84 e) 104

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9. En una varilla de madera de 196 cm de longitud se colocaron 28 clavos. Si los hay al inicio y al final de la varilla. ¿Cada cuántos centímetros se colocaron dichos clavos?a) 5 m b) 8 c) 9

d) 12 e) 7

10. Un hombre cercó un jardín en forma rectangular y utilizó 40 estacas. Puso 14 por cada uno de los lados más largos del jardín. ¿Cuánto puso en cada lado más corto?a) 6 b) 7 c) 8

d) 10 e) 12

AHORA TÚ:

1. Un joyero nos cobra S/. 25 por partir una

barra de oro en dos pedazos. ¿Cuánto

tendré que pagar si deseo partirla en seis

pedazos?

a) S/. 125 b) 75 c) 50

d) 150 e) 175

2. Un sastre tiene una tela de 40 metros

de longitud, la misma que necesita cortarla

en retazos de dos metros cada uno.

Sabiendo que en cada corte se demora 8

segundos. ¿Qué tiempo emplearía como

mínimo para cortar toda la tela?

a) 1 min 32 seg d) 4 min

b) 3 min. e) 2min. 32 seg.

d) 2 min. 36 seg.

3. Calcular el número de estacas de 8

metros de altura que se requieren para

plantarlas en una línea recta de 300

metros, si se sabe que entre estaca y

estaca la longitud debe ser de 4 m.

a) 74 b) 72 c) 68

d) 76 e) 75

4. Un comerciante tiene una pieza de paño de 60 metros de longitud que quiere cortar en trozos de 1 me3tro. Necesita 5 segundos para hacer cada corte. ¿Cuánto tarda en cortar toda la pieza?a) 295 seg. b) 300 c) 285

d) 305 e) 290

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TRANSFORMACIÓN DE SIST. DE NUMERACIÓN

De base 10 a una base diferente de 10

Divisiones sucesivas

EJERCICIOS

De una base diferente de 10 a base 10De una base diferente de 10 a otra diferente de 10

Descompo-sición polinómica Descom-posición PolinómicaDivisiones Sucesivas

QUE PUEDE SER

Por medio de la

usando utilizando

5. En un terreno rectangular de 60 metros

de ancho y 80 metros de largo, se plantan

árboles en el perímetro y en las diagonales,

espaciados 10 metros. ¿Cuántos árboles

hay?

a) 45 b) 46 c) 47

d) 48 e) 50

6. Se instalan 25 postes alineados y separados entre sí por una distancia de 25 metros uno de otro. ¿Cuál es la distancia entre el primer y el último poste?a) 1000 m b) 625 c) 650

d) 600 e) 576

clase # 5 ARITMÉTICA

TRANSFORMACIÓN DE SISTEMA DE NUMERACIÓN

I.I. MAPA CONCEPTUALMAPA CONCEPTUAL

II.II. CONCEPTOS BÁSICOSCONCEPTOS BÁSICOS

Consiste en transformar un número de

cierto sistema de numeración a otro

sistema de numeración, pero sin dejar de

poseer estos números, la misma cantidad

de unidades.

Se presentan 3 casos:

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a


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1. De una base diferente de 10 a la base

10: Para este caso, se utiliza el

procedimiento de descomposición

polinómica, efectuando la operaciones

indicadas.

Ejemplos:

abcn = a . n2 + b . n + c

123(4) = 1 . 42 + 2 . 4 + 3 = 27

876(9) = 8 . 92 + 7 . 9 + 6 = 717

También se puede utilizar el “Método de

Ruffini”

8 7 6

9 72 711

8 79 717

2. De base 10 a una base diferente de 10:

Se utiliza el método de divisiones sucesivas,

que consiste en dividir el número dado

entre la base “n” a la cual se desea

convertir, si el cociente es mayor que “n” se

dividirá nuevamente y así en forma

sucesiva hasta que se llegue a una división

donde el cociente sea menor que “n”.

Luego, se toma el último cociente y los

residuos de todas las divisiones, desde el

último residuo hacia el primero y ese será

el número escrito en base “n”.

Ejemplo: Convertir: 100 a base 3

100 3

1 33 3

0 11 3

2 3 3

0 1

Luego:

100 = 10201(3)

3. De una base diferente de 10 a otra

diferente de 10: Se utilizan en este caso, los

2 métodos vistos anteriormente, es decir:

1º Llevamos el número del sistema

diferente de 10 a base 10 por

descomposición polinómica.

2º Luego llevamos el número hallado en el

sistema decimal a la base que nos piden

por divisiones sucesivas.

Ejemplo: Convertir: 543(6) a base 4

543(6) = 5 . 62 + 4 . 6 + 3 = 207

207 4

3 51 4

3 12 4

0 3

Luego :

543(6) = 207 = 3033(4)

4. Propiedad : Si un numeral que

representa la misma cantidad de unidades

simples en dos sistemas de numeración

diferentes, deberá cumplirse que donde

tenga mayor representación aparente le

corresponde una menor base y viceversa..

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N =

PAVO−

(x )=RATON+

(Y )

+ −

Entonces: x > y

PROBLEMAS EN CLASE

1. Completar:

a. 136(7) = …………………….. (9)

b. 255(9) = …………………….. (6)

c. 1110(2) = …………………….. (5)

d. 846(12) = …………………….. (7)

2. Expresar en el sistema senario el

menor número de 3 cifras diferentes de la

base 8.

Rpta.: _____________

3. Dada la igualdad: a51(7 )=10b4(n)

¿Cuál(es) de las afirmaciones es verdadera?

I. n < 7

II. n > 4

III. n < 4

Rpta.: _____________

4. Hallar “a + b + c”, si se cumple:

abc(7 ) = 246(8)

Rpta.: _____________

5. Hallar “a . b . c . d”, si se cumple:

abcd(6) = 605(9)

Rpta.: _____________


abc(7 ) = 1230(5)

Rpta.: _______________

7. Si se cumple: 201(3) = abcde(n )

Hallar: a + b + c + d + e + n

22


a


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Rpta.: _______________

8. Si el número (a+1 )(a−1)(a−2) está

expresado en base 4, expresarlo en base 6

y dar la suma de sus cifras.

Rpta.: _______________

9. Dada la igualdad:

(a−2)(b+1)(c−2 )(8 ) = 256(9)

Expresar “a . b . c” en base 4.

Rpta.: _______________

10. Si se cumple 3ab(7)=5cd(n )

Hallar: n

Rpta.: _______________

Ahora tÚ:

1. El Si se cumple:

1312(101(n ) )= 1312

Hallar: n

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

2. Si se cumple:

abc(8 )=1036(n )

Hallar: a + b + n

a) 15 b) 18 c) 20

d) 24 e) 26

3. Si se cumple:

2abc(7 )=3254(n )

Hallar: a + b + c + n

a) 8 b) 9 c) 10

d) 11 e) 12

4. Hallar “a + b + c + d + e + n”, si se

cumple:

211(3) = abcde(n )

a) 4 b) 5 c) 6

23


a


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d) 8 e) 10


121(n) = 8ab

a) 34 b) 32 c) 27

d) 21 e) 17

CLASE # 6 - REPASO –

PREPÁRATE PARA TU PRÁCTICA

1)

2 4

8 6

8

3 5

9 7

8

4 5

7 6

?

a) 8 b) 6 c) 7

d) 5 e) 4

2)

2 13 3

8

3 20 1

7

4 ? 6

9

a) 24 b) 28 c) 26

d) 30 e) 32

3)

A

C

B

F

C

?

D E F

L

E G

a) R b) P c) Q

d) S e) T

4) Se va a electrificar una avenida de 3km de

largo, con la condición que en uno de sus

lados, los postes se colocarán cada 30 metros

y en el otro lado cada 20 metros. Si los postes

empezaron a colocarse desde que empieza la

avenida. ¿Cuántos postes se necesitan en

total?

a) 250 b) 248 c) 252

d) 254 e) N.A.

5) Un sastre para cortar una cinta de tela de

20 metros de largo, cobra S/. 10 por cada

corte que hace, si cada corte lo hace cada 4

metros. ¿Cuánto cobrará por toda la cinta?

a) S/. 50 b) 60 c) 40

d) 30 e) N.A.

6) Para cercar un terreno en forma de

triángulo equilátero se utilizaron 60 estacas

colocadas cada 4 metros y empezando en un

vértice del triángulo. ¿Cuál es la longitud de

cada lado del terreno?

a) 120 b) 80 c) 76

d) 84 e) 96

7) Hallar un número de 3 cifras que sea igual

a 36 veces la suma de sus cifras. Dar la

mayor de sus cifras.

a) 2 b) 7 c) 3

d) 8 e) 4

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8) Calcular la suma de las cifra de un número

capicúa de tres cifras que sea igual a 23

veces la suma de sus cifras diferentes.

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

9) Hallar “a + b + c” si se cumple:

aaaa(5)=bc 2

a) 5 b) 7 c) 8

d) 6 e) 10

10) Hallar “a + b + c + d + e”, si:

ababab(5)=9cde

a) 32 b) 16 c) 20

d) 21 e) 25

11) Si se cumple:

4 abb(n)=mmmm(6)

Hallar: a + b + m + n

a) 8 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13

12) Hallar “a + b + c”, si se cumple:

abc(a)= 2553(c) = 1611(a) = 1205(b)

a) 9 b) 10 c) 12

d) 13 e) 14

25


a


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2012

3ero. – 4to de Sec. 26

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aritmetica - raz.matematico 2012 final 3° Y 4° SEC