ARITMÉTICA 2 CIENCIAS TEORÍA DE CONJUNTOS

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TEORÍA DE CONJUNTOS

1. CONJUNTO Nos dan la idea de conjunto ciertos sinónimos tales como colección, agrupación o reunión de objetos abstractos o concretos denominados “integrantes” u elementos susceptibles de ser comparados. Ejemplos:

• V = {Las vocales del alfabeto} • C = {Los congresistas peruanos del periodo

2016 - 2021} • N = {x / x 8 x 16∈ ∧ < ≤ } • M = {a; e; i; o; u} • T = {9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16}

2. PERTENENCIA E INCLUSIÓN Un elemento puede pertenecer a un determinado conjunto cuando posee las características de los demás elementos del conjunto. Ejemplo:

{ }{ }

*R x / x es un día de la semana*T mesa;silla Lunes R;mientras que mesa R Silla T mientras que Jueves T

=

=

∈ ∉ ∈ ∉

Se dice que un conjunto está incluido en un segundo conjunto, cuando todos los “elementos” del primero forman parte del segundo conjunto.

⊂ : “incluido o contenido” A ⊂ B : “A está contenido en B”

“A es subconjunto en B” “B contiene a A”

A ⊂ B ≡ ∀ x ∈ A : x ∈ A → x ∈ B

Nota El vacío está incluido en cualquier conjunto. 3. CLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOS 3.1. Conjuntos comparables Se dice que dos conjuntos son comparables cuando por lo menos uno de ellos está incluido en el otro.

A ⊆ B ⇔ (A ⊂ B ∧ A ≠ B) v (B ⊂ A ∧ B ≠ A)

Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {1; 3; 5} B = {1; 5; 7; 11; 17 } C = {7; 14; 21} D = {7; 14; 28; 42; 56} Son conjuntos comparables: A y B; B y C; B y D; C y D 3.2. Conjuntos Iguales Se dice que dos conjuntos son iguales cuando ambos poseen los mismos “elementos”.

A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A

Ejemplo: A = {3n + 2 / n ∈ , 1 ≤ n ≤ 4} B = {5, 14, 8, 11} Se observa A = B Demostración Aplicación Dados los conjuntos A y B iguales y C y D iguales donde

A = {m+2, a+1} C = {n+1, p+1} B = {7-m, 8-m} D = {n+2, 4}

Hallar: ( m + n + p ) SOLUCIÓN

ARITMÉTICA

2 CIENCIAS

Nota Los conjuntos V; C y N están determinados por comprensión o forma tabular; mientras que los conjuntos M y T están determinados por extensión o por forma constructiva.

A

B

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Aritmética Teoría y ejercicios – Semana 2


3.3. Conjuntos Disjuntos o Ajenos Dos conjuntos se denominan disjuntos cuando no poseen ningún elemento en común Ejemplo: M = {x / x es un número racional} N = {x / x es un número irracional} ∴ M y N son disjuntos. Ejemplo: • E = {1;2;a;e } , F = {3;4;o; u}

E y F son disjuntos → E ≠ F • G = {2; 4;r;s;t}, H = {6;7;r;w;t}

G ≠ H pero G y H no son disjuntos 3.4. Conjuntos Coordinables o Equipotentes Dos conjuntos serán coordinables cuando se pueda establecer una correspondencia uno a uno entre todos y cada uno de los elementos del primer conjunto con los del segundo conjunto. A dicha correspondencia se le denomina biunívoca y como consecuencia de estos se tiene que las cardinales de estos conjuntos son iguales (si son finitos).

Ejemplo A = {Lima, Caracas, Bogota, Santiago} B = {Perú, Venezuela, Colombia, Chile} Se observa que es posible establecer la correspondencia biunívoca: “.... es capital de ....” De ahí que A y B son coordinables, luego: n (A) = n (B) 3.5. Otras clases de conjuntos Estos conjuntos se clasifican teniendo en cuenta la cantidad de elementos diferentes que poseen según esto tenemos: A) Finito: Si posee una cantidad limitada de

“elementos” es decir el proceso de contar sus diferentes elementos termina en algún momento.

Ejemplo: * A = {3n + 2 / n ∈ ∧ 1 ≤ n ≤ 4} A es finito pues n (A) =4 * B = {x/x es un día de la semana} B es finito pues n (B) = 7 B) Infinito: Si posee una cantidad ilimitada de

“elementos”. Ejemplo: M = {x/x ∈ Q ∧ 1 < x ≤ 2} M es infinito pues n (M) = ...? 3.6. Conjuntos Especiales 3.6.1. Vacío o Nulo Es aquel conjunto que carece de “elementos”. Notación: φ ; { }. Ejemplo: R = {x / 0 < x < 5 ∧ x² = 100} = { } = φ * ∀R : φ ⊂ R * φ ≠ {φ} * φ ≠ {{ }} 3.6.2. Unitario o Singleton (singular) Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

B = {x / x > 0 ∧ x² = 4} = {2}

Aplicación: Si los siguientes conjuntos son unitarios e

iguales, calcule ( )2m n p+ +

A = {(2m + n); p} B = {(2p - 7); (5n + 2)}

3.6.3. Universal Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular, que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto y se le denota generalmente por U. Ejemplo: A = {2; 4; 8; 10; 12} B = {x+3 / x es impar ∧ 0 < x < 10} Podrán ser conjuntos universales para A y B U = {x / x ∈ ∧ x < 15} U = {0, 2, 4, 6, 8, ...}

- Si dos conjuntos son disjuntos ambos serán diferentes.

- Si dos conjuntos son diferentes entonces no siempre serán disjuntos.




3.6.4. Conjunto de Conjuntos También se le denomina familia de conjuntos o clase de conjuntos y es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos. Ejemplo: C = {{1,3}, {3}, {1}, {7,b}, φ} D = {{a;b;c}, {2,3,6}, {6}, c, 8} Se observa que: C es familia de conjuntos D no es familia de conjuntos 3.6.5. Potencia El Conjunto de Potencia de A, llamado también “Conjunto de Partes de A”, es aquel que está formado por todos los subconjuntos posibles que posee el conjunto A. Notación: P(A) Ejemplo: A = {x,y} P(A) = {φ, {x}, {y}, {x,y}} n (P(A)) = 4 *Los subconjuntos: φ, {x}, {y} son denominados

propios.

n(A)(A)Nº subconj. n(P(A)) 2 = =

Ejemplo: B = {x / x es par y x < 10} B = {2; 4; 6; 8} → n (B) = 4

4(B)Nº subconjuntos 2 16 = =

n(A)(A)N subconj prop 2 1 ° = −

En el ejemplo anterior:

4Nº subconjuntos 2 1 15propios de B

= − =

3.6.6. Par Ordenado Es un conjunto de 2 elementos para los cuales se considera el orden en que están indicados. Notación: (a, b) Se lee “par ordenado a, b” a: 1º componente b: 2º componente

(a ;b) (c ;d) a c b d = ⇔ = ∧ =

3.6.7. Par ordinario Es el conjunto de dos elementos donde no se considera el orden

Notación: { }a,b

4. OPERACIONES CON CONJUNTOS 4.1. Unión o reunión (U) La unión de 2 o más conjuntos es aquel conjunto conformado por la agrupación de todos los elementos de los conjuntos que intervienen. Ejemplo: * A = {10; 20; 30} , B = {10; 30; 50; 70} ∴ A U B = {10; 20; 30; 50; 70} * R = {2; 3; 4; 5 ; 6; 7; 8} , S = {4; 6; 8} ∴ R U S = {2; 3; 4; 5 ; 6; 7; 8}

Si: A ⊂ B → A U B = B 4.2. Intersección (∩) La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a “A” y “B” al mismo tiempo. Ejemplo:

A = {m; n; p; q} B = {n; q; t; w; z}

∴ A ∩ B = {n; q}

U

A B

A B

Si A ⊂ B → A ∩ B = A Si A y B son disjuntos, A ∩ B = φ

A U B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B}

A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}




4.3. Diferencia ( - ) El conjunto diferencia (A - B) es aquel que está formado únicamente por los elementos que pertenecen al conjunto A pero no pertenecen al conjunto B.

A – B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B}

Ejemplo A = {4; 6; 8; 10; 12} ; B = {6; 12; 18; 24} B – A = {18; 24} ∴ A – B = {4; 8; 10}

4.4. Diferencia Simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o B pero no a ambos.

A ∆ B = {x / x ∈ (A U B) ∧ x ∉ (A ∩B)} Ejemplo: * A = {4; 8; 12; 16; 20; 24} ; B = {8; 16; 24; 32} ∴ A ∆ B = {4; 12; 20; 32} * M = {m; a; r} ; N = {s; o; l; a; r }

4.5. Complemento de A (CA, Ac, A , A´) El complemento de A es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal U pero no al conjunto A. de otro modo es el conjunto de elementos que le falta al conjunto para ser igual al conjunto universal.

Ac = A´ = {x / x ∈ U ∧ x ∉ A} = U – A Ejemplo:

U = {x / x ∈ , x < 10} A = {1; 4; 9} ∴ Ac = {2; 3; 5; 6; 7; 8}

4.6. Conjunto Producto o Producto Cartesiano (X) Dados dos conjuntos A y B se define el conjunto producto como:

A x B = {(a, b)/a ∈ A ∧ b ∈ B}

Ejemplo: Sean los conjuntos A y B no nulos, donde A = {1; 3; 5} y B = {2; 4; 6}, halle A x B. Solución: A x B = {(1;2); (1;4); (1;6); (3;2); (3;4); (3;6); (5;2); (5;4); (5;6)} 5. Leyes del Algebra de Conjuntos 1. Idempotencia

A U A = A A ∩ A = A

2. Conmutativa

A U B = B U A A ∩ B = B ∩ A

3. Asociativa

(A U B) UC = A U (B U C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

4. Distributiva

A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

A B

Si A ⊂ B → A ∆ B = B – A Si A y B disjuntos, A ∆ B = A U B

Si A ⊂ B → A ∆ B = B – A Si A y B disjuntos, A ∆ B = A U B

n ( A x B ) = n ( A ) x n ( B )




5. De Morgán (A U B)´ = A´ ∩ B´ (A ∩ B)´ = A´ U B´

6. Del Complemento

A U A´ = U A ∩ A´ = φ

(A´)´ = A = ( )A A=~ ~

7. De la Unidad (Identidad)

A ∪ U = U A ∩ U = A A ∪ φ = A A ∩ φ = φ

8. De Absorción

A U (A ∩ B) = A A ∩ (A U B) = A A U (A´ ∩ B) = A U B A ∩ (A´ U B) = A ∩ B

9. Diferencia

A – B = A ∩ B´ 10. Adicional

(U)´ = φ (φ)´ = U

Ejemplo:

Reducir: { } { }A (A B) B (A B) A ∪ ∩ → ∪ ∩ ∩ ~ ~ ~

Solución:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

A B

A B

A (A B) B (A B) A

A B A A B A

A A B A B A B∪

∩ ∪ → ∪ ∩ ∩ → ∩ ≡ ∪ ∩

∩ ∪ ≡ ∩ ≡ ∪

~

~ ~ ~

~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~

EJERCICIOS DE CLASE

1. Si { } { } { }{ }{ }F 10;10 ;10; 10 ; 10; 10= , determine el

valor de verdad de cada afirmación, respectivamente.

i) { }10 F.⊂ II) { }10 F∈ III) n (F) = 5

A) VVV B) FFF C) VFV D) FVF E) VVF

2. Si { }V ;b;c= φ , determine cuántas de las

afirmaciones son falsas { } { }{ }

{ }I) P(V) II) P(V) III) P(V)

IV) P(V) V) P(V)

φ ∈ φ ∈ φ ⊂

φ ∈ φ ⊂

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. Los canales A; B y C presentan una programación

exclusiva de sólo novelas brasileras. Se sabe que de 120 señoritas del CEPREUNTELS, algunas pierden su tiempo viendo tales novelas, porque:

*37 ven el canal A, pero no el canal B *26 ven el canal B, pero no el canal C *29 ven el canal C, pero no el canal A *5 ven los canales A; B; C. ¿Cuántas señoritas no pierden su tiempo porque no

ven ninguno de estos canales? A) 16 B) 18 C) 20 D) 21 E) 23

4. Dado el conjunto unitario F = {a + b; a + 2b – 3; 12}, determine el valor de: a2 + b2 +1. A) 109 B) 91 C) 105 D) 97 E) 85

5. Dado el conjunto universo U = {1; 2; 3; 4; 7} y los

siguientes conjuntos: F = {1; 3; 7} G = {x ∈ U / x2 – 9x + 14 = 0} H = {x ∈ U / x ∉ G ↔ x ∈ F}

Determine: n(H) A) 3 B) 2 C) 1 D) 4 E) 5

6. Tengo 100 amigos de los cuales 86 fuman puros y

35 cigarrillos. ¿Cuántos fuman ambas cosas a la vez? Si todos fuman por lo menos alguna de las dos cosas. A) 25 B) 24 C) 34 D) 21 E) N.A.

7. En un aula de 35 estudiantes, 7 varones aprobaron aritmética, 6 varones aprobaron literatura, 8 mujeres no aprobaron ningún curso, 5 aprobaron los dos cursos y 11 aprobaron solo aritmética. Si hay 16 varones en total, ¿cuántas mujeres aprobaron solo literatura? A) 1 B) 4 C) 3 D) 2 E) 5




8. En una reunión donde asisten 80 adultos se sabe que: - 44 personas no son de nacionalidad peruana. - 34 personas no son de nacionalidad argentina.

Si el número de personas que tienen doble nacionalidad, argentina y peruana, es el doble del número de personas que no son peruanas ni argentinas, ¿cuántas personas son solo de nacionalidad peruana?

A) 28 B) 25 C) 32 D) 36 E) 34

9. Sean A; B y C conjuntos contenidos en “U” tales que P(B) ⊂ P(A); n(A) = 10; B ⊂ C′; n(A ∩ C) < 10; n(B x C) = 75. Halle el menor valor posible de n[A – (B ∪ C)] A) 4 B) 0 C) 2 D) 7 E) 9

10. De 85 personas entre peruanos y argentinos se

sabe que: 50 personas no son de nacionalidad argentina, 40 son varones y 25 varones no son de nacionalidad peruana. Si todas las personas son de una sola nacionalidad ¿cuántas mujeres no son de nacionalidad peruana? A) 1 B) 8 C) 10 D) 9 E) 11

11. En una reunión social a la que asistieron 560 personas se observa que • Del total de varones los 3/8 usan anteojos. • Las mujeres son los 2/5 del total de varones. Si los 2/5 del número de varones que no usan anteojos usan reloj, ¿cuántos varones que no usan anteojos no usan reloj?

A) 145 B) 150 C) 135 D) 225 E) 160

12. En un grupo de 100 personas; 49 llevan el curso “A”

y 53 no siguen el curso “B”; si 27 no siguen “A” ni “B”, ¿Cuántos llevan exactamente uno de tales cursos?

A) 24 B) 30 C) 36 D) 48 E) 23

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN

1. Si: A = {3, {5}} decir cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera.

A) {3, 5} ⊂ A B) {5} ⊂ A C) 5 ∈ A D) {{5}} ⊂ A E) {{{5}}} ⊂ A

2. Para dos conjuntos A y B se cumple que

n (A ∪ B) = 6, n {P(A)} + n{P(B)} = 40

Determinar: n {(P (A ∩ B))}

A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 5

3. Hallar (b + c – a)3 sabiendo que los conjuntos A, B

y C son conjuntos iguales. A = {a + 2; 3 - a} ; B = {a –1; 6 - a} y C = {1; b + c}

A) 1 B) 8 C) 27 D) 64 E) 125

4. Hallar a si “A” es un conjunto unitario.

A = {a/ a ∈ ∧ a2 – 2a + 1 = 100}

A) 11 B) 22 C) 44 D) 55 E) 99

5. Cuáles de los conjuntos son iguales:

A = {x/x es letra de YOLANDA} B = {x/x es letra de LAYONDA} C = {L, A, O, N, D, Y} D = {x/x es letra de YADLON}

A) A, B y C B) A, B y D C) C = D D) Todos E) Ninguno

6. Determinar por extensión el conjunto A.

2 5x 1A x Q / x 06 6

= ∈ − + =

A) { }1 1A ;2 3= B) A = φ C) { }1A 2=

D) A = {1} E) { }1A ;22=




7. Determinar por extensión los conjuntos dados y determinar (B ∪ C) ∩ A

A = {x/x ∈ N ∧ x2 + 2x – 15 = 0} B = {x/x ∈ Z+ ∧ x2 – 9 = 0} C = {x/x ∈ IR ∧ x2 + 25 = 0}

A) {3, 5} B) {3} C) {‒3, 5} D) {5} E) {3, 5}

8. En el departamento de emergencia y cuidados

críticos de cierto hospital ingresaron: 50 pacientes presentando fiebre y vómitos, 15 pacientes presentando fiebre y diarrea, 35 pacientes presentando diarrea y vómito. Si 70 pacientes presentaron solo dos de los tres síntomas mencionados, ¿cuántos pacientes presentaron los tres síntomas mencionados?

A) 11 B) 8 C) 15 D) 12 E) 10

9. De 100 personas que leen por lo menos 2 de 3 diarios (A, B y C), se observa que de ellas 40 leen A y B, 50 leen B y C y 60 A y C ¿Cuántas personas leen los 3 diarios?

A) 15 B) 35 C) 25 D) 55 E) 50

10. La parte sombreada en el gráfico, representa a la

operación

A) ( ) ( )A C C A B − ∩ − ∩

B) ( ) ( )A B B C C − ∩ − ∪

C) ( ) ( )B C A B C ∩ − ∪ ∪

D) ( ) ( )C A C B− ∪ −

E) ( ) ( )A C B C A − ∪ ∩ −

11. Se tiene un grupo de 88 personas que practican fútbol o básquet, se sabe que el número de personas que practican ambos deportes excede en 18 al número de mujeres que practican sólo fútbol y éste último representa la sexta parte del total de hombres que practican sólo básquet. Si los hombres que practican sólo fútbol son tantos como los hombres que practican sólo básquet, halle la máxima cantidad de personas que pueden practicar sólo fútbol.

A) 31 B) 29 C) 32 D) 35 E) 28

12. Dado un grupo de 160 personas, se sabe que 35 tienen lentes pero no celular y no tienen 17 años, 45 que no son mayores de 18 años no tienen lentes ni celular. Si 32 no tienen lente ni celular y son mayores que 18 años. ¿Cuántas personas de 17 años tienen lentes pero no celular, si ellos son la quinta parte de los que tienen celular?

A) 6 B) 7 C) 10 D) 9 E) 8

13. Dados los conjuntos iguales

{ }33A m n ; 5= + y { }3 3B n m ;1= −

Determine el valor de ( )2n 3m− .

A) 25 B) 81 C) 9 D) 16 E) 49

14. Sean los conjuntos unitarios { }A (a b) ; 1= + − ,

{ }B (a c) ;7= + y { }C (b c) ;2= + . ¿Cuántas proposiciones son verdaderas?

I) { }(a b);c− tiene 2 elementos. II) { }(a c);b− tiene 2 elementos. III) { }(a b c);0;4+ + tiene 3 elementos. IV) { }(a b c); 6; 4+ − − − tiene 3 elementos V) { }(a b c); 2; 3+ − − − tiene 3 elementos

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5


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