METODOLOGIA PARA EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE DE

LA GEOMETRIA DESCRIPTIVA.

Autor : Héctor Daniel Morocho Lara. MsC. hectordanito@gmail.com

2.- RESUMEN

La Expresión Gráfica y la Geometría Descriptiva son un pilar fundamental en el que se

apoya la formación de la concepción espacial del estudiante. Las limitaciones impuestas

por los útiles tradicionales de dibujo, unidas a otros factores, dieron lugar al desarrollo

de distintos Sistemas de Representación que abrieron la posibilidad de interactuar sobre

los objetos del espacio.

Por desgracia, el inconveniente más importante de los Sistemas de Representación

convencionales radica en la necesidad constante de trabajar sobre las proyecciones de

los objetos y no sobre ellos directamente. El proceso de diseño exige la doble labor de

pensar en el espacio y operar sobre las proyecciones, haciendo que las operaciones de

proyección, siendo elementales, resulten repetitivas y tediosas, entorpeciendo el proceso

principal de diseño en lugar de favorecerlo.

En la actualidad, los modernos sistemas de información y comunicación ofrecen

entornos tridimensionales que permiten salvar el inconveniente citado, haciendo posible

la operatividad directa en el espacio. Esta posibilidad ha transformado el planteamiento

docente de la Geometría Descriptiva. El objetivo sigue siendo el mismo, el desarrollo de

la concepción espacial en el alumno, pero los esfuerzos de atención y comprensión se

centran en la geometría espacial y no en las operaciones auxiliares de proyección.

3.- PALABRAS CLAVES

Geometría descriptiva, proyección, espacial, tridimensional, plano.

4.- INTRODUCCIÓN

El Dibujo Tridimensional permite la representación de los objetos en el espacio tal y

como los vemos y manipulamos en la realidad. Los elementos geométricos básicos,

punto, recta y plano, se pueden representar en el espacio en función de sus posiciones

respecto de un sistema referencial de coordenadas cartesianas, que llamaremos

universal, formado por tres ejes perpendiculares entre sí que determinan un triedro

trirrectángulo.

Fig.- 1. Sistema de coordenadas universal.

Fig.- 1

Si hacemos una analogía con el Sistema Diédrico, el plano vertical de proyección, PV,

se correspondería con el plano YZ, el plano horizontal, PH, con el plano XY, y el plano

de tercera proyección o plano de perfil, PP, correspondería al plano XZ.

Como ya hemos citado, el sistema de coordenadas universal es la referencia básica que

permite la ubicación de los elementos geométricos en el espacio. Este sistema de

coordenadas existe siempre, es fijo y no se puede modificar. No obstante, es posible

establecer en cualquier momento sistemas de coordenadas auxiliares diferentes del

universal, que tengan su origen en cualquier punto del espacio y sus ejes con cualquier

orientación, manteniéndose siempre perpendiculares entre sí. Resultan

extraordinariamente valiosos para facilitar la operatividad en el espacio, al permitir

establecer el plano de trabajo (plano XY) en cualquier posición respecto del sistema de

coordenadas universal. De este modo, no es preciso operar con las proyecciones de los

elementos geométricos, sino directamente sobre dichos elementos.

Fig.- 2. Establecimiento de sistemas de coordenadas auxiliares

5.- CONTENIDO CIENTIFICO

Si bien es cierto que el Dibujo Técnico inicialmente fue empleado de manera prioritaria

como herramienta auxiliar en la realización de construcciones monumentales, lo que se

constata al leer el Libro de los Reyes (c6.v7)"... y mientras se construía estaban prontas

las piedras, de tal modo que no se oía en el lugar martillo, ni hacha, ni herramienta

alguna de hierro".

Alberto Durero (1471-1528) en su obra "Instrucciones para medir con el compás y el

nivel, líneas, superficies y cuerpos sólidos" escrita en 1525 ya demuestra una profunda

comprensión geométrica y una visión espacial muy desarrollada, puesta en práctica en

su obra pictórica.

Pero es a Gaspar Monge (1746-1818) al que se considera el padre de la Geometría

Descriptiva actual. Pone casi a punto un sistema gráfico que, sin apoyarse en cálculos

exhaustivos, utiliza dos planos de proyección perpendiculares entre sí y establece las

verdaderas bases geométricas de la representación gráfica que constituyen los

fundamentos del Dibujo Técnico.

El incesante progreso de la ciencia geométrica que se produce hasta el siglo XIX

desembocó en el desarrollo de la proyectiva, que en cierta forma transfiere varios de sus

métodos a la descriptiva, dotándola de gran elegancia y sencillez, completándola y

perfeccionándola.

En las materias de expresión gráfica se pretende que el alumno se familiarice con el

razonamiento lógico, el método deductivo, la representación de la realidad, la

demostración de relaciones espaciales y en el plano, la comprobación y el rechazo de

hipótesis, las estrategias de resolución de problemas, la creatividad, la capacidad de

crear modelos para representar e interpretar la realidad, y transferir las teorías gráficas a

la técnica y a otras ramas del saber.

La premisa fundamental es que las personas aprenden de modo significativo cuando

construyen de forma activa sus propios conocimientos.

Una segunda premisa indica que el estado de los conocimientos previos de una persona

(su estructura cognitiva) es clave para la instrucción, porque determina y condiciona los

aprendizajes posteriores.

Así surgen diversas teorías que teniendo como base el constructivismo intentan explicar

el proceso enseñanza-aprendizaje. Algunas de estas teorías son: la teoría psicoevolutiva

de Jean Piaget, matizada y enriquecida por los neopiagetianos, las teorías del

procesamiento de la información, del aprendizaje significativo de Ausubel; o las teorías

del cambio conceptual.

El profesor debe ser el orientador, guía, animador central de cada etapa.

Aprender es crear, inventar, descubrir y el estudiante aprende cuando logra integrar en

su estructura lógica y cognoscitiva los datos que surgen de la realidad exterior, en un

proceso personal, de exploración, avances y retrocesos, que el profesor puede orientar

con actividades didácticas más adecuadas para el momento, más cercanas a sus intereses

y motivaciones. Conocer cómo se desarrolla el aprendizaje, está ligado a como se

accede al conocimiento. La posición epistemológica de Piaget considera que la

adquisición de un concepto se logra como un resultado de la interacción con la realidad.

Al entrar en contacto con el objeto se incorpora un conocimiento de tipo físico que

incorpora las propiedades de los objetos, que resulta de la acción directa con él.

Posteriormente, al incorporar estas propiedades, surge la reflexión sobre ellas mismas,

le confiere caracteres que no tenían por sí mismo. Este nuevo conocimiento es de origen

personal; está solo en el estudiante, no en el objeto, este conocimiento él lo llama

lógico- matemático.

Piaget considera que el sistema lógico del sujeto no es innato, sino que emerge de sus

bases genéticas; por lo que la acción sobre la realidad, es más relevante en la

construcción del conocimiento. Esta concepción ha dado origen a movimientos

pedagógicos que se han preocupado de analizar ¿cómo aprenden los estudiantes? De

esta gran pregunta surgen el aprendizaje por descubrimiento, el aprendizaje significativo

y la concepción social de Vygotski.

En el aprendizaje por descubrimiento, el profesor elabora la estrategia didáctica, que

considera, las características psicológicas, lógicas y cognoscitivas del estudiante, para

que construya su conocimiento. Esta preocupación por crear las condiciones de

aprendizaje de sus alumnos, es uno de los énfasis importantes del modelo.

Ausubel plantea que para que un aprendizaje sea significativo, la materia del

aprendizaje debe relacionarse de manera relevante, no arbitraria, con lo que el

estudiante ya sabe (conocimientos previos), la materia debe ser potencialmente

significativa; es decir ser coherente en su estructura con las estructuras cognoscitivas y

lógicas previas del estudiante y siendo también necesaria su predisposición hacia el

aprendizaje.

Vygotski tiene una mirada epistemológica no muy lejana de Piaget. El segundo plantea

que el conocimiento se adquiere a partir de la transformación que efectúa el ser humano

de la realidad; pero el primero, agrega que, también influye la actividad del grupo

humano, cultural al que pertenece, que hay que hablar. Le otorga al lenguaje una gran

significación, pues permite al sujeto actuar sobre la realidad, a través de otros y lo pone

en contacto con el pensamiento de los demás, la cultura, que influyen recíprocamente

con él.

El lenguaje y través de él, la cultura, tienen una influencia decisiva en el desarrollo

individual, por lo que en el proceso de aprendizaje, no se puede prescindir de él, de

carácter eminentemente social.

En conclusión Vygotski, se distancia de Piaget al considerar que el conocimiento no es

construcción puramente personal, sino que debe ser atendido a su génesis social, a la

influencia de él sobre las relaciones sociales.

Una posible interpretación del pensamiento de Vygotski serviría para considerar el

juego como una forma de relación especial entre los estudiantes, que representa la

principal comunicación entre ellos y con un claro valor educativo.

5.1.- La geometría descriptiva en el currículo

La geometría ayuda desde los primeros niveles educativos a la construcción del

pensamiento espacial, lo que será un componente importante para construcción del

pensamiento matemático. Permitirá realizar cálculos numéricos a través de imágenes,

podrá realizar cálculo mental, estimar o cualquier tipo de problema.

En los planes y programas se plantean que:

“una tarea importante a desarrollar en la geometría es la de proporcionar a los

estudiantes un conjunto de experiencias que les permitan reconocer la diversidad

de formas de los objetos que les rodean, establecer relaciones entre ellas y

considerará a las formas geométricas como simplificadas de las formas que se

encuentran en el entorno”.

A través de una gran variedad de actividades sobre las figuras y cuerpos se pretende el

conocimiento de las propiedades que van a permitir desarrollar razonamientos para

resolver los problemas y justificar así las soluciones. Las figuras no son por tanto más

que representaciones que envían a otra cosa, “el espacio”, que tiene múltiples aspectos.

El concepto de espacio se puede abordar desde una perspectiva filosófica, psicológica y

física. En este análisis se considerarán: el espacio físico, que es cualquier espacio del

mundo exterior, el entorno físico que nos rodea y el espacio psicológico, como el

espacio representado en la mente, como esquemas mentales. La comprensión y

adquisición de la noción del espacio geométrico, en los niños y niñas, se adquiere a

través de dos momentos: el que se realiza en forma directa a través de la intuición

geométrica, de naturaleza visual , que es creativo y subjetivo; y el que se realiza en

forma reflexiva, lógica de naturaleza verbal, que es analítico y objetivo. Estos dos

momentos, aunque son muy distintos, son complementarios.

La visualización es saber ver, y la intuición es el centro que permite la construcción de

las relaciones espaciales, y que para que éstas sean ciertas se requiere del análisis

deductivo lógico, así se podrá expresar y comunicar, a través del lenguaje.

Los contenidos geométricos han de ser tratados cíclicamente en niveles de complejidad

creciente. La secuenciación de dichos contenidos a través del currículo estará

determinada por el análisis de cada tópico en función de la estructura del modelo, lo que

determinará un tratamiento distinto en cada nivel, avanzando desde los aspectos

cualitativos a los cuantitativos y abstractos.

El optar por este modelo permite la oportunidad de explicar cómo se produce la

evolución del razonamiento geométrico y cómo es posible ayudar a los alumnos a

mejorar su aprendizaje.

5.2.- Software educativo en geometría descriptiva.

Los últimos software qué han aparecido intentan mezclar el aprendizaje con la

entretención, vale decir, estimulan el aprender de manera más motivadora, entretenida e

interactiva.

Existen diferentes tipos de software educativos por lo que será necesario el apoyo de

herramientas tecnológicas. El aprender a usar la visualización ayuda efectivamente a

descubrir conceptos matemáticos y a comprenderlos.

La adquisición de destrezas y habilidades de percepción visual pueden ser aprendidas y

potenciadas a través del estudio de la geometría, ya que esta requiere que el alumno

identifique y reconozca formas geométricas, relaciones y propiedades en una, dos y tres

dimensiones.

El uso de software en matemáticas y, en particular, en geometría descriptiva, permite

tomar en cuenta las tendencias actuales en cuanto a las metodologías de la enseñanza;

desarrollar la visualización, las múltiples representaciones y el hacer conjeturas,

aspectos que están muy relacionados con las teorías constructivistas del conocimiento,

las cuales plantean que el alumno construye significados asociados a su propia

experiencia. Una imagen puede decir más que muchas palabras y con el uso se pueden

generar muchas imágenes.

5.3.- Ejemplos metodológicos de aplicaciones geométricas.

5.3.1 Pertenencia entre recta y punto

Cuando en el espacio existe pertenencia entre punto y recta, también existe entre sus

proyecciones ortogonales sobre un determinado plano. No obstante, debe tenerse cuenta

que, para una determinada dirección de observación, no es suficiente que la proyección

del punto esté sobre la proyección de la recta para asegurar su pertenencia. Para tener

certeza de la pertenencia es necesario recurrir a la observación de las proyecciones

sobre dos planos diferentes. Si en ambos planos, las proyecciones del punto y la recta se

pertenecen, entonces podrá asegurarse su pertenencia en el espacio.

Fig.- 3. Verificación de la pertenencia entre punto y recta.

5.3.2 Punto o recta perteneciente a un plano

Un punto o una recta pertenecen a un plano si las coordenadas del punto o las de un par

de puntos de la recta son coherentes con la pertenencia al plano, esto es, establecido un

sistema de coordenadas auxiliar de modo que el nuevo plano XY se corresponda con el

plano dado, las coordenadas Z de cualquier punto perteneciente a dicho plano deberán

ser 0.

5.3.3 Intersección entre dos rectas

Cuando sólo se utiliza un plano de proyección (una dirección de observación), las

proyecciones de dos rectas que ocupen una posición arbitraria en el espacio (no

paralelas) siempre se cortan (dentro de la pantalla o lo hacen sus prolongaciones).

Fig.- 4. Verificación de la coplanariedad de dos rectas.

Por lo tanto, para poder afirmar que las rectas se cortan o se cruzan en el espacio es

necesario apoyarse en otro recurso diferente de la mera observación de sus

proyecciones.

Un método sencillo y rápido es el establecimiento de un sistema de coordenadas auxiliar

donde el nuevo plano XY contenga a una de las rectas y a un punto de la otra. En este

nuevo sistema de coordenadas, podrá afirmarse que las rectas se cortan sólo si un punto

cualquiera de la segunda recta, distinto del utilizado para establecer el nuevo plano XY,

tiene su coordenada Z igual a 0. Es evidente que si esta condición se cumple para un

punto cualquiera de dicha recta, habrá de cumplirse para todos los demás ya que las

rectas serán coplanarias. Asimismo, como se deduce, si la coordenada Z del citado

punto no es 0, las rectas se cruzan.

5.4 Experiencia docente y desarrollos futuros

Es obvio que, en la reducida extensión de una comunicación como la presente, no es

posible abordar en su totalidad el estudio de la geometría espacial desde el punto de

vista del Dibujo Tridimensional. Esta forma de abordar la Geometría Espacial, que

hemos denominado Geometría Descriptiva, es la que venimos desarrollando los

profesores de Ciencias Exactas de la UNACH, coincidiendo con la implantación del

nuevo plan de estudios.

Las conclusiones más destacables de nuestra experiencia docente pueden resumirse en

las siguientes:

• El alumno identifica y comprende con naturalidad el entorno tridimensional, lo que

hace posible un desarrollo más rápido y eficaz de su concepción espacial.

• El trabajo con sistemas de software tridimensionales incrementa

considerablemente la motivación del alumno.

6 CONCLUSIONES

• El aprendizaje es más eficaz cuando el sujeto sabe qué se espera de él y cuando está

motivado para aprender.

• Asimila mejor cuando comprende la situación a la que se enfrenta, es decir, cuando

ya está sensibilizado ante los objetivos del esfuerzo de aprendizaje.

• El aprendizaje es mejor cuando el comportamiento deseado va seguido de una

recompensa. Una recompensa no es necesariamente algo material, un mensaje de

aprobación puede bastar.

• De manera paralela, el aprendizaje se ve favorecido cuando el sujeto recibe alguna

información acerca de la calidad de los resultados que consigue. En otras palabras:

la recompensa debe ser completada, en lo posible, por una información de carácter

racional.

• El aprendizaje es mejor cuando el sujeto es activo que cuando el sujeto es pasivo.

• El aprendizaje es de calidad superior cuando el tiempo disponible se divide en varias

sesiones breves, más que cuando se imparte en una sesión única de larga duración.

7.- Referencias bibliográficas.

GARCÍA, J. Modelado y Diseño de Experiencias Educativas en la World Wide web.

Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Telecomunicación. Universidad Politécnica

de Madrid, Madrid. España. 2002.

LAURILLARD, D. "Multimedia and the learner's experience of narrative". Computers

& Education. 1998.vol. 31.

PÉREZ, M. Estrategia didáctica para la resolución de problemas de Geometría

Descriptiva en la carrera de Ingeniería Mecánica en Cuba. La Habana. 2001.

MARÍN, A.; ANTÓN, R., et al. Manual de Ejercicios de Geometría Descriptiva. La

Habana: Editorial Pueblo y Educación, l974. p

MONEREO, C.; CASTELLÓ, M., Estrategias de enseñanza y aprendizaje. Formación

del profesorado y aplicación en la escuela. Barcelona. España: Editorial GRAO, 1997.