Ecuaciones de Lagrange yClairaut

Ecuaciones Diferenciales OrdinariasCarlos Daniel Rodrguez Prieto

1. Introduccion

HistoriaEn el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias existen diferentes tipos deecuaciones diferenciales de primer orden. Practicamente se dividen en 2 tipos,Resueltas respecto a la Derivada y No resueltas respecto a la derivada. Lasecuaciones de Lagrange y Clairaut son un caso particular de el segundo tipo,No resueltas respecto a la derivada.

Quien es Lagrange y Clairaut?

Joseph-Louis de Lagrange

Entre sus logros mas destacados fue un matematico frances de origen italianotuvo sus estudios en su ciudad natal quien fuera la que lo impulso a la lecturade una obra del astronomo ingles Edmund Halley dicha lectura desperto su in-teres, y, tras un ano de incesante trabajo, era ya un matematico consumado.Fue tambien nombrado profesor de la Escuela de Artillera, en 1758 fundo unasociedad, con la ayuda de sus alumnos, que fue incorporada a la Academia deTurn.

Tiempo despues escribio una obra llamada Miscellaneataurinensia, escrita por aquellos anos, obtuvo, entreotros resultados, una ecuacion diferencial general delmovimiento y su adaptacion para el caso particu-lar del movimiento rectilneo, y la solucion a muchosproblemas de dinamica mediante el calculo de variantes.

A principios de 1760 era ya uno de los matematicosmas respetados de Europa, a pesar del flagelo de unasalud extremadamente debil. Su siguiente trabajo sobreel equilibrio lunar, donde razonaba la causa de que laLuna siempre mostrara la misma cara, le supuso laconcesion, en 1764, de un premio por la Academia deCiencias de Pars. Hasta que se traslado a la capitalfrancesa en 1787, escribio gran variedad de tratadossobre astronoma, resolucion de ecuaciones, calculo dedeterminantes de segundo y tercer orden, ecuacionesdiferenciales y mecanica analtica.

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Alexis Claude Clairaut

Clairaut entre sus mayores logros fue astronomo y matematico frances. Miem-bro de la Academia de Ciencias francesa, participo en la expedicion a Laponia(1736), dirigida por Maupertuis, para la determinacion de los grados del merid-iano terrestre.

Publico varios e importantes trabajos en Matematicay el area de analisis de Ecuaciones durante la decada1733-1743. En 1733 publico Sur quelques questionsde maximis et minimis, un trabajo sobre calculo devariaciones escrito en el estilo de Johann Bernoulli,y el mismo ano publico sobre las geodesicas de lascuadricas de rotacion. Otros campos de interes fueronlas ecuaciones diferenciales, las ecuaciones en derivadasparciales, la teora de superficies, el calculo en variasvariables y las series trigonometricas.

Por lo que respecta a las ecuaciones diferenciales,en 1734, Clairaut se intereso por una ecuacion queactualmente lleva su nombre,cuya solucion generalconsiste en una familia de lneas rectas. La ecuacion deClairaut posee tambien una solucion singular, siendouna de las primeras veces en la historia que este tipode solucion se pone de relieve.

2. Ecuaciones no resueltas respecto a la derivada

AnalisisBasado en la Ecuacion Diferencial de Primer Orden

F (x, y, y) = 0 (1)

Para esta ecuacion podemos llegar a su solucion de dos maneras:

Resuelta respecto a la derivada.y = f(x, y) (2)

Empleando diferentes metodos para este tipo de ecuaciones llegamos susolucion.

No resuelta respecto a la derivada. En este tipo de ecuaciones llegamos aque no es posible despejar dicha derivada como en (2), entonces se tendraque despejar alguna de las otras dos ya sea la funcion dependiente o lavariable independiente.

y = f(x, y) x = g(y, y) (3)

Para encontrar el tipo de solucion que tendremos como resultado de resolvercualquiera de los dos tipos de (3), necesitamos resolver para una sulucion gen-eral.

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y = f(x, y)

Se resuelve esta ecuacion empleando un parametro p(x) = y = dydx y su difer-encial dy = p(x)dx obtenemos la solucion de la ecuacion original en formaparametrica.

x = (p, c) y = f((p)) (4)

x = g(y, y)

Con la implementacion del mismo parametro p(x) = y = dydx Obtenemossolucion general.

y = (p, c) x = g((p))

3. Ecuaciones de Lagrange y Clairaut

Ecuacion de ClairautLa ecuacion de Clairaut, llamada as por su inventor, es una ecuacion diferencialde la forma:

Ecuacion de Lagrange:y = xy + g(y) (5)

Donde g(x) es una funcion continuamente diferenciable. El interes que presentaeste tipo de ecuacion se debe al hecho de que tiene como solucion a una familiade rectas. Ademas, la envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes estan dadaspor la familia, tambien es solucion, en este caso una solucion singular, de laecuacion de Clairaut.

Ecuacion de LagrangeSon de la forma y = xf(y)+g(y) donde f(y) no puede ser igual y. Se resuelvenderivando y llamando y = p con lo que obtenemos p = f(p) + [xf (p) + g(p)]p

esta ecuacion es lineal y se integra tomando x como funcion de p.

Ecuacion de Lagrange:

y + x(y) + (y) = 0 (6)

En ConclusionLa solucion es practicamente sencilla solo tenemos que tener muy presente lasustitucion:

y = p

Considerando sus diferentes derivadas y p lineal

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4. Ejemplos

1. Resolver la Ecuacion de Clairaut

y = xy +a

2ydondea = constante (1)

SOLUCIONCon la sustitucion p = y

y = xp+a

2p(2)

Aplicando la derivada a esta expresion y sustituyendo la derivada del parametrop = dxdy

pdx = pdx+ xdp a2p2

dp (3)

Factorizando

dp

(x a

2p2

)= 0 (4)

Analizamos ambos lados de la expresion, Primero

dp = 0 (5)

de la cual obtenemos la solucion general de la ecuacion

y = cx+a

2c(6)

Analizamos el segundo termino

x =a

2p2(7)

Para determinar la solucion desde punto de vista geometrico despejamos p ysustituimos en la ecuacion (2)

y2 = 2ax

2. Resolver la Ecuacion de Lagrange

y = x(y)2 y (1)SOLUCION

Con la misma sustitucion p = y

y = x(p)2 p (2)Aplicando la derivada a esta expresion y sustituyendo la derivada del parametrop = dxdy

pdx = p2dx+ 2xpdp dp (3)Se agrupan lo terminos para resolver como factor integrante

p(1 p)dx = (2xp 1)dp (4)

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Escribimos la ecuacion para identificar parametros de factor integrante

dx

dp+

2

p 1x =1

p(p 1) (5)

Resolvemos la ecuacion lineal no homogenea por factor integrante. Calculamosel factor

(p) = e

2p1 dp = eln(p1)

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= (p 1)2 (6)Definimos el diferencial para poder integrar

d[x(p 1)2] = (p 1)2

p(p 1)dp =p 1p

dp (7)

d[x(p 1)2] =

p 1p

dp (8)

x(p 1)2 = p ln|p|+ c x(p) = p ln|p|+ c(p 12) (9)

y encontramos la solucion

y(p) = x(p)2 p x(p) = pln|p|+c(p12)3. Resolver la Ecuacion Diferencial

y = xy +

(y)2 + 1 (1)

SOLUCIONBuscando la forma, vemos que es una ecuacion de Clairaut, usamos sustitucionp = y

y = xp+p2 + 1 (2)

Sacamos diferencial respecto a x y resulta:

dy = pdx+ xdp+1

2(p2 + 1

12 2pdp) dy = pdx+ xdp+ pdp

p2 + 1(3)

Factorizando el dp se tiene:(x+

pp2 + 1

)dp = 0 (4)

encontramos la soluconx = p

p2 + 1(5)

Y encontramos las dos soluciones tomando en cuenta la dependencia en y(x)que es p = c y que dara la solucion

x = pp2+1

y = cx+c2 + 1

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4. Conclusion

Las ecuaciones de Lagrange y Clairaut podemos decir que son casos particu-lares de las ecuaciones no resueltas respecto a la derivada, y el metodo facilitabastante la solucion de este tipo de ecuaciones, a este punto es una buena armael manejo de este tema, que estara muy bien comprendido.

4. Bibliografa

[1] J. Rosales Garca, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Universidad deGuanajuato, (2009)

[2] Dennis G. Zill, Ecuaciones Diferenciales, THOMSON, (2008)

[3] Juan M. Aguirregabiria, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Universi-dad del Pas Vasco, (1997 - 2000)

[4] http://www.monografias.com/

[5] http : //www.uamenlinea.uam.mx/materiales/matematicas/ecdif/BECERRILESPINOSAJOSEV ENTURAEcuacionesdiferencialestecn.pdf

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