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Wilson Rodríguez, Pedro León, John Esquivel. Comportamiento real de elementos pasivos y resistencias anti-inductivas
.
Comportamiento real de resistencias de hilo bobinado
y anti-inductivas.
Wilson Fernando Rodríguez, Pedro Josías León Garzón, John Freddy Esquivel
Ingeniería eléctrica, Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Bogotá, Colombia [email protected]
Abstract- Los dispositivos pasivos reales tienen un
comportamiento que se aleja del ideal cuando se
trabaja en alta frecuencia, es por ello que se utilizan
modelos equivalentes para tener en cuenta estas
desviaciones. A lo largo de estas páginas se
analizaran dos configuraciones básicas de
resistencias y sus parámetros más habituales como
sus elementos parásitos, frecuencia de resonancia y
resistencia equivalente serie (ESR) que pueden
resultar perjudiciales en el modelo y técnicas de
fabricación de los elementos.
I. INTRODUCCIÓN
Este documento analiza el modelo equivalente y la
respuesta en alta frecuencia de dos tipos de resistencias:
la de hilo bobinado y una anti inductiva tipo Airton-
Perry, mediante la variación de la impedancia con la
frecuencia. Para este fin se describe el comportamiento
de tales elementos: la parte reactiva, la resistiva y los
demás elementos que corresponden a estas mediante una
simulación en PSpice y mediciones hechas en el
laboratorio, además de los cálculos aproximados de los
parámetros mencionados mediante tablas y graficas.
II. RESISTENCIAS
Ya que la resistencia es la oposición de un conductor al
flujo de electrones, esta puede variar al experimentar
ciertos cambios en su temperatura y frecuencia de
operación, dependiendo del material empleado; en
general son lineales si su valor de resistencia es
constante y está predeterminado por el fabricante; son
variables si tal valor esta dentro de unos límites y no
lineales si la magnitud de la resistencia está en función
de la temperatura, tensión, luz, campos magnéticos, etc.
Independiente a la forma de construcción de una
resistencia que teóricamente es lineal, su
comportamiento en frecuencias elevadas no es resistivo
como el modelo ideal, si no que se comporta como una
impedancia compleja ya que la predominancia de
elementos parásitos es evidente.
II.1 Resistencia de Hilo bobinado
Están realizadas con hilos de aleaciones metálicas como
el kanthal (aleación compuesta principalmente por
hierro y cromo (20–30 %), aluminio (4–7,5 %)) material
utilizado en la fabricación de la resistencia de hilo
bobinado para este análisis, utilizando un soporte
aislante sobre el que se enrolla el hilo conductor (en este
caso aire). Cs representa la capacidad distribuida que hay
entre las distintas espiras de alambre y el cuerpo del
resistor. Ls modela la inductancia que aparece por tener
un conductor enrollado por el que circula corriente.
Fig. 1. Modelo equivalente de una resistencia de hilo bobinado en alta
frecuencia.
El circuito de la Figura 1 se puede modelar como una
impedancia compleja [1] dependiente de la frecuencia Z
(ω) formada por una resistencia equivalente serie (ESR)
y una parte reactiva X (ω). Modelo mostrado en la
Figura 2.
Fig. 2. Impedancia compleja del modelo equivalente de resistencia en
alta frecuencia
Wilson Rodríguez, Pedro León, John Esquivel. Comportamiento real de elementos pasivos y resistencias anti-inductivas
. Donde:
𝐸𝑆𝑅 ≈𝑅0
1 + 𝜔2𝐶𝑠 𝐶𝑠𝑅02 − 2𝐿𝑠
𝑍 𝜔 = 𝐸𝑆𝑅 𝜔 + 𝑗𝑋(𝜔)
Donde la dependencia de la frecuencia es clara, y la
discrepancia respecto a R de L y de C.
Los valores típicos de estos componentes [1] son:
inductancia del devanado de 100nH a 25µH
capacidad equivalente que hay entre espiras de
2 a 14pF
III. CARACTERÍSTICAS DE LA
RESISTENCIAS
A. Resistencia de hilo bobinado
Resistencia en dc: 27Ω
Longitud l=300 mm
Diámetro del solenoide D=9,5 mm
Numero de espiras N= 173
Distancia entre espiras p =1,8 mm
Diámetro del conductor d=0,8 mm
Inductancia calculada Ls =8.98 𝜇𝐻
Un método numérico aproximado para calcular
inductancias para alta frecuencia [2] utiliza la siguiente
expresión para espiras espaciadas:
Donde
Siendo K el factor de NAGAOKA
Cuando l >> 0.33D, K se expresa con un error menor al
1% con la formula:
Los valores calculados para estas expresiones son:
𝑘 = 0.9859
𝐴 = −0.6044
𝐵 = 0.331
El valor corregido de la inductancia es 8.98 𝜇𝐻.
La capacidad distribuida de una bobina puede estimarse
fácilmente con los datos que tomados del trabajo de
Medhurst [3] que también dependen fundamentalmente
de consideraciones puramente geométricas.
𝐶𝑑 [𝑝𝐹] = 𝐾 𝐷, donde D se expresa en mm
Y K depende de la relación longitud a diámetro (l/D) de
la bobina de acuerdo a la tabla siguiente:
l/D 0,1 0,3 0,5 0,8 1 2 4 10 20 25 30
K 0,096 0,06 0,05 0,05 0,046 0,05 0,072 0,132 0,236 0,29 0,34
La relación l/D para el caso de estudio es 250/9,5= 31
K =0,34 y empleando la fórmula indicada. Cd = 3,23 pF
Tantos los valores de inductancia y capacidad caen
dentro los rangos establecidos en [1].
B. resistencia ayrton-perry
Resistencia en dc: 27Ω
Longitud l=35 mm
diámetro D= 9,5 mm
Inductancia teórica L=0 H
Numero de espiras N=15
Diámetro del conductor d= 0,15 mm
IV. MEDIDA DE IMPEDANCIA
DEPENDIENTE DE LA FRECUENCIA
A. Instrumentación utilizada:
Osciloscopio Rigol:
Impedancia de entrada: 10𝑀Ω ∥ 15 𝑝𝐹
Generador de señales:
Impedancia de salida: 50 Ω
Corriente de salida máxima 100 mA
Tensión máxima de salida pico a pico 10 V
Wilson Rodríguez, Pedro León, John Esquivel. Comportamiento real de elementos pasivos y resistencias anti-inductivas
.
Frecuencia máxima 2Mhz
B. Sistema de media
El circuito de medición planteado es el siguiente:
Fig. 3. Circuito de medida de impedancia
Donde la impedancia a determinar es:
𝑍 𝜔 =𝑽
𝑰= 𝑅𝑠 + 𝑗𝜔𝐿𝑠 = 𝐸𝑆𝑅 𝜔 + 𝑗𝑋(𝜔)
Para establecer los rangos de frecuencias donde se harán
las pruebas y medidas es importante determinar
aproximadamente las frecuencias de corte y resonancia,
mediante:
Frecuencia de corte
𝑅 = 𝑋𝐿 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑓 ∗ 𝐿
𝑓𝑐 =𝑅
2 ∗ 𝜋 ∗ 𝐿=
27
2 ∗ 𝜋 ∗ 8.98 𝜇𝐻= 478.52 𝐾𝐻𝑧
La frecuencia de resonancia asumiendo la capacidad
parasita calculada es:
𝑓𝑟 =1
2 ∗ 𝜋 𝐿𝐶= 32.026 𝑀𝐻𝑧
Luego se harán medidas a frecuencias como se indica
en la tabla 1.
La impedancia equivalente entre la impedancia a medir
y la impedancia de sonda del osciloscopio es como se
muestra en la figura 4.
Fig. 4. Impedancia equivalente sistema de media
𝒇(𝑯𝒛) 1 2 3 4 5 6 7 8
100 27 0,02 578M 10M -0,54 26,99 0,021 -0,04
1k 27 0,13 57M 10M -5,38 26,99 0,12 -0,04
10k 27,01 1,19 57M 727K -43,30 27 1,18 -0,04
20k 27,02 2,4 2,8M 468K -62,05 27 2,39 -0,07
50k 27,15 5,96 1,1M 207K -78,02 27,14 5,95 -0,04
100k 27,58 11,8 578K 105K -83,94 27,5 11,78 -0,29
150k 28,29 17,4 385K 70,5K -85,95 28,28 28,97 -0,04
200k 29,26 22,67 289K 52,9K -86,96 29,29 22,64 0,10
250k 30,46 27,59 231K 42,4K -87,57 30,46 27,55 0,00
300k 31,87 32,09 192K 35,3K -87,97 31,88 32,04 0,03
350k 33,45 36,18 165K 30,3K -88,26 33,47 36,12 0,06
400k 35,19 39,89 144K 26,5K -88,48 35,21 39,83 0,06
450k 37,06 43,24 128K 23,5K -88,65 37,09 43,17 0,08
500k 39,05 46,26 115K 21,2K -88,78 39.1 46.18 0.13
600k 43,3 51,42 96K 17,6K -88,99 43,38 51,33 0,18
700k 47,85 55,65 82K 15,1K -89,13 47,97 55,54 0,25
1 M 62,55 64,43 57K 10,6K -89,39 62,88 64,27 0,53
1,5 M 88,83 72,31 38K 7K -89,59 89,9 72,08 1,20
2M 116 76,54 28K 5,3K -89,70 118,51 76,23 2,13
3M 171,4 80,94 19K 3,5K -89,80 180 80,47 5,01
5M 283,4 84,53 11K 2,1K -89,88 326,8 83,67 15,31
10M 564,9 87,26 5,7K 1K -89,94 1,2K 84,09 112,53
Tabla 1. Comparación de gráficas para visualizar la zona donde la
impedancia del circuito de medida afecta.
En la tabla 1, en la primera fila de izquierda a derecha la
convención1 es:
1 es magnitud de la impedancia de 𝑅𝑠 + 𝑗𝜔𝐿𝑠
2 es el ángulo de la impedancia de 𝑅𝑠 + 𝑗𝜔𝐿𝑠
3 es la magnitud de impedancia aproximada de
𝐶𝑠 capacidad parasita
4 es la magnitud de la impedancia de la sonda
del osciloscopio 10𝑀Ω ∥ 15 𝑝𝐹
5 es el ángulo de la impedancia de la sonda del
osciloscopio 10𝑀Ω ∥ 15 𝑝𝐹
6 es la magnitud de la impedancia equivalente
𝑅𝑠 + 𝑗𝜔𝐿𝑠 ∥ 10𝑀Ω ∥ 15 𝑝𝐹
7 es el ángulo de la impedancia equivalente
8 es el error relativo del valor calculado de la
impedancia equivalente y la real
1 Esta misma convención se utiliza para las figuras siguientes
Wilson Rodríguez, Pedro León, John Esquivel. Comportamiento real de elementos pasivos y resistencias anti-inductivas
.
Fig. 5. Comparación entre la magnitud de la impedancia de 𝑅𝑠 + 𝑗𝜔𝐿𝑠
y la impedancia equivalente2 (figura 4) para visualizar la zona donde
la impedancia del circuito de medida afecta la impedancia real.
Fig. 6. Zona de medida de la impedancia con respecto a la frecuencia
hasta donde el circuito de media afecta el valor real de la impedancia
en un 5% para las mismas referencias de la figura5.
V. RESULTADOS
Los resultados de la medida de la impedancia de la
resistencia de hilo bobinado en el laboratorio están
tabulados en la tabla 2.
𝑓(𝐻𝑧) |𝑍| Angulo (grados)
100 22,24 3,60
1000 24,91 4,32
10000 25,68 5,76
20000 25,81 10,08
50000 28,28 14,49
100000 34,58 23,04
150000 42,73 29,16
200000 51,41 36,00
250000 61,75 35,10
300000 75,71 39,42
350000 85,09 40,32
2 No se tiene en cuenta el valor de la impedancia de 𝐶𝑠 ya que
según la tabla 1 tiene valores muy grandes en comparación a la
magnitud de la impedancia equivalente 𝑅𝑠 + 𝑗𝜔𝐿𝑠 ∥ 10𝑀Ω ∥ 15 𝑝𝐹
400000 100,55 43,92
450000 122,18 46,98
478500 133,40 48,23
500000 140,85 49,50
600000 221,19 51,84
Tabla 2. Datos de la impedancia de la resistencia de hilo bobinado
medidos en el laboratorio.
Fig. 7. Magnitud de impedancia Vs Frecuencia medidos en la
resistencia de hilo bobinado.
Fig. 8. Angulo de impedancia Vs Frecuencia medidos en la resistencia
de hilo bobinado.
Los resultados de la medida de la impedancia de la
resistencia anti inductiva Ayrton Perry en el laboratorio
están tabulados en la tabla 3.
𝑓(𝐻𝑧) |𝑍| Angulo (grados)
100 23,18 0,00
1000 24,38 0,00
10000 26,25 0,00
20000 26,76 0,00
50000 25,13 0,00
100000 26,38 0,00
150000 25,62 0,00
200000 25,88 0,00
250000 25,13 0,00
300000 24,38 0,00
Wilson Rodríguez, Pedro León, John Esquivel. Comportamiento real de elementos pasivos y resistencias anti-inductivas
.
350000 24,38 0,00
400000 22,88 0,00
450000 22,88 0,81
478500 23,63 0,90
500000 23,63 1,72
600000 23,70 1,26
700000 23,63 3,24
1000000 21,63 11,96
1500000 24,48 12,96
2000000 21,08 18,00
Tabla 3. Datos de impedancia con la resistencia Ayrton Perry medidos
en el laboratorio.
Fig. 9. Magnitud de impedancia Vs Frecuencia en la medida de la
resistencia Ayrton Perry.
Fig. 8. Angulo de impedancia Vs Frecuencia con resistencia Ayrton
Perry medidos en el laboratorio.
Posteriormente se comparó la respuesta en frecuencia de
la impedancia de la resistencia de hilo bobinado con la
impedancia Ayrton Perry y se obtuvo:
Fig. 9. Magnitud de impedancia Vs Frecuencia. Resistencia de hilo
bobinado Vs Ayrton Perry. Datos medidos en laboratorio.
Fig. 10. Angulo de impedancia Vs Frecuencia. Resistencia de hilo
bobinado Vs Ayrton Perry. Datos medidos en el laboratorio.
Fig. 10. Modulo y fase de una resistencia de hilo bobinado de
construcción propia
Wilson Rodríguez, Pedro León, John Esquivel. Comportamiento real de elementos pasivos y resistencias anti-inductivas
.
Fig. 10. Modulo y fase de una resistencia Ayrton Perry de baja
inductancia de construcción propia
VI. CONCLUSIONES
Los circuitos en alta frecuencia que incluyan
componentes pasivos, se caracterizan por los efectos
parásitos que aparecen con el incremento de frecuencia;
alterando de forma considerable la respuesta ideal que se
puede esperar. Es así que el comportamiento real de una
resistencia de hilo bobinado es completamente
dependiente de la frecuencia, a diferencia del
comportamiento casi lineal en el intervalo de frecuencias
de trabajo de la resistencia Ayrton Perry. Esto se
evidencia en el ángulo de la impedancia de esta última,
pues no aumenta más de 5 grados en la misma zona, lo
cual implica que la inductancia es muy baja en
comparación con la de hilo bobinado que aumenta casi
hasta 50 grados en el mismo intervalo. En consecuencia
en nuestro caso con un modelo Ayrton-Perry se reduce
la inductancia hasta en un 90% a cierta frecuencia
máxima.
VII. BIBLIOGRAFÍA
[1] Interferencias electromagnéticas en sistemas
electrónicos. Josep Balcells. Pág. 15,16
[2] Harold A. Wheeler, "Simple Inductance Formulas
for Radio Coils," Proceedings of the I.R.E., October
1928, pp. 1398-1400
[3] Medhurst, R G., HF Resistance and Self
Capacitance of Single-Layer Solenoids, Wireless
Engineering, número de Marzo de 1947, pag 80