ARTIMÉTICA NIVEL 0

7/16/2019 ARTIMÉTICA NIVEL 0

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23

ARITMETICA

NOCIÓN:Es un sinónimo de colección, agrupación, reunión de integrantes homogéneos o heterogéneos. A losintegrantes que pertenecen a esta agrupación se les llama elementos del conjunto.

REPRESENTACIÓN DE UN CONJUNTO:Para representar un conjunto dibujamos una línea cerrada y en su interior los elementos. Así:

M

a. e.

i. o.

u.

Ejemplo:Las caras de un dado forman un conjunto al que llamamos D

Cada cara del dado es un elemento del conjunto D

NIVEL O

CONJUNTO

REUNIÓN

FAMILIA COLECCIÓN

AGRUPACIÓN

“idea”

A.a

.e.i .

o .u

),( ∉∈

A1

Aa

∉∈

),( ⊄⊂

B

.a

.e.i .o.u

A

.b.

c

.

dBA ⊂

ARITMETICAARITMETICA

TEORIA DE CONJUNTOS



22

ARITMETICA

Ojo: Para determinar los elementos de un conjunto se escriben entre dos llaves y separados por comas.

Así:

A = {a, e, i, o, u}

Ahora:

Se llama cardinal de un conjunto al número de elementos que posee.

Ejemplo:El conjunto de las vocales V = {a, e, i, o, u} tiene cinco elementos y nada más que cinco elementos.Luego el cardinal de V es cinco.

REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA DE LOS CONJUNTOSI. Representa en forma simbólica los conjuntos que a continuación se te presentan.

1. El conjunto A de los números paresmayores que 22 y menores que 32.

2. El conjunto B de los múltiplos de 2mayores que 31 y menores 45.

3. El conjunto W formado por las letras de laspalabras San Antonio.

4. El conjunto Q con vocales de la palabraidioma.

5. El conjunto H con los números paresmayores que 3 456 y menores que 4 500.

6. El conjunto T de los meses del año quetengan 30 días.

NIVEL O



23

ARITMETICA

7. El conjunto P formado por útiles escolares.

8. El Conjunto M de los miembros de mifamilia.

9. El conjunto de las figuras geométricas quetengan 4 lados.

10. El conjunto B de los cuadrados de 3 lados.

II. Observa los diagramas y denota los conjuntos y sus elementos simbólicamente.

NIVEL O

B C

3

4

5

6

7

A

1

2

U

11

15

A = {………………}

B = {………………}

C = {………………}

U= {………………}

AM

O

5

74

11

17

29

468

U A = {………………}

M = {………………}

O = {………………}

U = {……………..……..}



22

ARITMETICA

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS POR COMPRENSIÓN Y EXTENSIÓN1. Determina por comprensión o extensión según corresponda.

Determinación por Extensión Determinación por comprensión

A = {……………………………………} }impar esx12x4/ Nx{A <<∈=

B = { 20 ; 22 ; 24 ; 26 ; 28 ; 30 ; 32} B = {……………………………………}

C = {……………………………………} }532/{ demultiploes x x N xC <∈=

D = {0 ; 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 } D = {……………………………………}

2. Determina por extensión.

} Nx;22x5/1x2{C ∈<<+=

__________________________________________________________________________

} Nx;23x17/10x{L ∈<<−=

__________________________________________________________________________

} Nx;23x3/1x{A 2

∈≤≤−= __________________________________________________________________________

} Nx;12x7/x2x{R 2 ∈<≤+=

__________________________________________________________________________

} Nx;12x5/1x2x{E 2 ∈≤<−+=

__________________________________________________________________________

} par esx;67x57/11x2x{T 3 ∈≤≤++=

__________________________________________________________________________

DESAFÍO MI HABILIDADI. Determina los siguientes conjuntos por extensión.

};81/1{ N x x x A ∈<<+=

__________________________________________________________________________

} Nx;12x5/1x3{C ∈<<+=

__________________________________________________________________________

} Nx;21x7/1x4{Y ∈<<−=

__________________________________________________________________________

} par esx;11x5/11x3x{T 2 ∈≤≤++=

NIVEL O



23

ARITMETICA

__________________________________________________________________________

};95/12{ 3 par es x x x xW ∈≤≤−−=

__________________________________________________________________________

<<

+= N a pertenece yimpar es x x

x M ,106/

2

1

__________________________________________________________________________

RELACIÓN DE PERTENENCIAUn elemento pertenece (Є) a un conjunto si forma parte o es un agregado de dicho conjunto. La relación depertenencia vincula cada elemento con el conjunto.

“ …… si pertenece a …..” ∈

“ …… si no pertenece a …..” ∉

RELACIÓN DE INCLUSIÓNCuando la relación se vincula de conjunto a conjunto.

“ …… está incluido en …..” ⊂

“ …… no está incluido en …..” ⊄

1. Observa los conjuntos representados en el diagrama y completa usando los símbolos ∉∈⊄⊂ y,,

NIVEL O

BC

3

4

5

6

7

A

12

U

11

15

A……B 3……A

C……A 4……BB……A Ø…….A

A……U 15……U

U……A 18……U

1…….A 4…….A 9…….U

6…….C 5…….A 5…….U

2…….B 8…….C 7…….B

3…….B 6…….U 2…….C

7…….C 4…….U 3…….U

B…….A A…….B B…….C

C…….B C…….U A…….C

C…….A U…….A B…….U

C

B

A6 8

71

2

3

45

U



22

ARITMETICA

DESAFÍO MI HABILIDAD1. Dados los conjuntos.

}naturalnúmerounesx;7x5/x{A <<=}naturalnúmerounesx;10x3/1x3/x{B <<−=

Señala cuál o cuáles son unitarios.

____________________________________________________________________________

2. Dados los conjuntos unitarios .

A = {x + 7; 2x + 5} y B = {y – 3; 5y – 15}

Hallar el valor de x + y

____________________________________________________________________________

3. Decir que clase de conjunto es:

M = {x/x ∈ N; 45 < x < 46}

____________________________________________________________________________

4. Decir que clase de conjunto es:

M = {x/x ∈ N; x > 56}

____________________________________________________________________________

NIVEL O

CLASES DE CONJUNTOS

Carece de elementos, sedenota: ∅ = { }

C. Vacío

Tiene un solo elemento

C. Unitario

Se considera todos lossubconjuntos de un conjuntoSe representa con U.

C. Universal

El proceso de contar suselementos no concluye. Ejm:

C. InfinitoTiene un número limitado deelementos Ejm:

C. Finito

Son todos los subconjuntos delconjunto A, incluyendo al conjuntovacío. . Se denota P(A)

C. Potencia

conjuntos especiales¡Piensa,cabecitapiensa!



23

ARITMETICA

CONOCIENDO EL PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS

5. Dados los conjuntos C = {1; 2; 3 } y

A = {a; b; c}. Hallar :C x A.6. Dados los conjuntos M = {a; b; c} y

R = {0; 2; 4; 6}. Holler M x R

NIVEL O

A x B donde A y B son conjuntos

Elementos

Pares ordenados

Al conjunto A

Segunda ComponentePrimera Componente

Al conjunto B

de

cuyos

son

lala

pertenecen pertenecen

PRODUCTO CARTESIANO DECONJUNTOS



22

ARITMETICA

7. Observa los siguientes productos:

Escribe si es verdadero y F si es falso.

a) )24;35()6;

2

4( +−= ( )

b) )10

8;

3

6()

5

4;2( = ( )

c) )310;3

12()52;3( −=+ ( )

d) )5x3;2

40()15;5x4( = ( )

8. En un campeonato cuadrangular de fútbol seenfrentan Brasil, Argentina; Perú y Ecuador en partidos de ida y vuelta.

¿Cuántos y cuales son los partidos arealizarse? ________________________

¿Cuántos partidos jugaran cada equipo?

_________________________________

9. Los estudiantes Gianfranco, Anthony; Kennyy Miguel participan de una fiesta donde sehallan Karina; Jennifer, Jhoana y Pamela.

¿Cuántas parejas en total pueden formarsedonde estén un varón y una dama?

___________________

¿Con cuántas damas bailara cada varón?

_________________________

NIVEL O

Una comida gratis

Diez jóvenes decidieron celebrar la terminación de susestudios comiendo en el restaurante. Una vez reunidos, seentabló entre ellos una discusión sobre el orden en quehabían de sentarse a la mesa. Unos propusieron que lacolocación fuera por orden alfabético; otros, con arreglo a la

edad; otros, por los resultados de los exámenes; otros, por laestatura, etc. La discusión se prolongaba, enfriase la sopa ynadie se sentaba a la mesa. Los reconcilió el hotelero,mediante las siguientes palabras:-Señores, dejen de discutir. Siéntense a la mesa en cualquier orden y escúchenme.Sentáronse todos sin seguir un orden determinado. Elhotelero continuó:-Que uno cualquiera anote el orden en que están sentadosahora. Mañana vienen a comer y se sientan en otro orden.Pasado mañana vienen de nuevo a comer y se sientan enorden distinto, y así sucesivamente hasta que hayan probadotodas las combinaciones posibles. Cuando llegue el día en

que tengan ustedes que sentarse de nuevo en la mismaforma que ahora, les prometo solemnemente que en losucesivo, les invitaré a comer gratis diariamente, sirviéndoleslos platos más exquisitos y escogidos.La proposición agradó a todos y fue aceptada. Acordaronreunirse cada día en aquel restaurante y probar todos losmodos distintos posibles de colocación alrededor de la mesa,con objeto de disfrutar cuanto antes de las comidas gratuitas.



Operaciones con conjuntos

OPERACIONES CON

CONJUNTOS

comunes"Elementos"

B"ónintersecciA"BA →∩

B"enno pero

Aenestanquelo"

B"enosmA"BA

∀

→−

B"uniónA"BA →∪

Aconjuntoelyconjuntoel

diferencialaesA´,

÷

A

B

A B

A

B

AB

A

B

A B

A

B

A

B

AB

A

U

BA−

AB−

AB− φ=−BA

BA∩

BA∩φ=∩BA

A'A −=

B)(AB)(ABΔA

A)-(BB)-(ABΔA

∩−∪=∪=

BA∪BA∪ BA∪

BdesimetricaDiferenciaA

BΔA

A

B



INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS (∩ )

1. Dados los conjuntos : A = {2 ; 3 ; 4 ; 5 }, B = { 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 , 10 },C = { 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 9 }.

Halla simbólicamente y gráficamente:

a) A ∩ B

b) C ∩ B

c) A ∩ C

d) (A ∩ B ) ∩ C

e) (B ∩ C ) ∩ A

f) A ∩ B ∩ C

“Tanto más alto coloque el hombre su meta, tanto más crecerá”

2. Observa los diagramas y determina los conjuntos por extensión.

U

Llamamos intersección de dos conjuntos Ay B (), al nuevo conjunto formado por loselementos comunes de los dos conjuntos

anteriores (es decir simultáneamente).

U

U

U

U

U



3. Dado el diagrama adjunto, escribe el conjunto intersección de :

4. Dados los conjuntos M = { 4 ; 7 ; 10 } N = { a , b , c }, P = {8; 9; 10 } y Q = {7} , escribe V si laexpresión es correcta y F si no lo es :

M ∩ P = {10} ( ) M ∩ Q = Q ( )

M ∩ N = {a} ( ) N ∩ Q = {7} ( )

P ∩ Q = { } ( ) M ∩ N ∩ Q = { } ( )

P ∩ N = { 9, 10} ( ) P ∩ Q = { 8 } ( )

“Nosotros matamos el tiempo, pero él nos entierra”

AR

T

5

74

11

17

2

9

46

8

U A = {………………}

R = {………………}

T = {………………}

U = {……………..……..}

A ∩ R = {………………}

T ∩ A = {………………}

(A ∩ R) ∩ T = {…………}78

A

BC

D

2

1

3

4

5

6

7

A ∩ B = {………………………………………………………}

B ∩ C = {………………………………………………………}

C ∩ D = {………………………………………………………}

A ∩ D = {………………………………………………………}

B ∩ D = {………………………………………………………}

A ∩ B ∩ C = {………………………………………………………}

U



UNIÓN O REUNIÓN CONJUNTOS ( U )

1. Dados los conjuntos: A = {2; 3; 4; 5; 6}, B = { 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11} y C = {4; 5; 6; 7; 9 }


a) A ∪ B

b) C ∪ B

c) A ∪ C

d) (A ∪ B ) ∪ C


“Aprender a ver es el más largo aprendizaje de todas las artes”

AR

T

14

7

4

12

17

2

9

46 8

U A = {……………………….…}

R = {……………….…………}

T = {………………………….}

U = {……………..………….}

A ∪ R = {………………………}

T ∪ A = {………………………}

(A ∩ R) ∪ T = {………………}77

U

UU

U

La unión o reunión de los conjuntos A y B (A U B),son todos los elementos del conjunto A y loselementos del conjunto B, sean éstos comunes o nocomunes.



3. Dado el diagrama adjunto, Completa:

DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS ( - )

1. Dados los conjuntos : A = {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 8}, B = { 5 ; 6 ; 7 ; 8 } y C = { 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 10 }.


a) A - B

b) C – B

c) B - C

d) (A ∪ B ) - C


A

BC D

21

1

31

41

53

66 7

6

A ∪ B = {………………………………………………………}

B ∪ C = {………………………………………………………}

C ∪ D = {………………………………………………………}

A ∪ D = {………………………………………………………}

B ∪ D = {………………………………………………………}

A ∪ B ∪ C = {………………………………………………………}

U

U

U

U

U

La diferencia de los conjuntos A y B (A – B)está formado por aquellos elementos quesólo pertenecen al conjunto A y nopertenecen al conjunto B.



DIFERENCIA SIMÉTRICA (∆)

1. Observa los diagramas y determina por extensión los elementos de cada conjunto.

2. Dado el siguiente diagrama adjunto, escribe dentro de los paréntesis, V si la operación es correcta y F sino lo es:

AB

C

6

3

9

1

7

10

2

4

U

A - B = {……………………………………………………………….}

B - A = {……………………………………………………………….}

(A ∪ B ) - C = {……………………………………………………….}

(A ∩ B ) - C = {……………………………………………………….}

UC

A

B

1

3

9

2 6

7

4

7

10

12

14

11

(A ∩ C) ∩ B = {……………………………………………,..}

(A ∪ C) - B = {………………………………………...……..}

(A ∩ C) - B = {……………………………………………..}

A ∆ C = {……………..………………………………………}

A ∆ B = {……………..………………………………………}

B ∆ C = {……………..………………………………………}

La diferencia simétrica de los conjuntos Ay B (A ∆ B) tiene como elementos a launión de A - B y B – A.



COMPLEMENTO DE CONJUNTOS (')

Notación : A' = U – A

1. Dados los conjuntos :

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

A = {1, 3, 5, 7, 9}

B = {2, 4, 5, 7, 10, 11}

C = {1, 3, 5}

Hallar:

A' = {………………………………}

B' = {………………………………}

( A U B ) '= {………………………………}

2. En cada diagrama colorea de un solo color la región que corresponde a la definición.

CL

A

a

c

d

b

e

f

h

g

U

L ∆ C = {a,b,e} ( )

L ∆ A = {c,d,e,f,g} ( )

A ∆ C = {a,b,c,d,e,f,g} ( )

( A ∩ L ) ∆ C = {f,g} ( )

El complemento de conjunto A, son todoslos elementos que pertenecen al conjuntoUniversal, pero no a dicho conjunto.

UA

C

B

5

9

1

37

24 10

11

6

8



“Nuestra voluntad interior dirige nuestro destino”

A B

C

U

a) A ∪ ( B – C )

A B

C

U

b) A ∪ ( B ∩ C )

UA B

C

c) (A – B) ∪ (B ∩ C)

U

A

B

C

d) (A ∩ B) ∪ C)

La sombra

¿Qué es más largo, el dirigible o la sombra completa que proyecta sobre laTierra?

-¿Es ése todo el rompecabezas?

Sí. la sombra, claro está, es más larga que el dirigible; los rayos del Sol sedifunden en forma de abánico - propuso inmediatamente alguien como solución. -Yo diría que, por el contrario, los rayos del Sol van paralelos - protestó alguien -.La sombra y el dirigible tienen la misma longitud.

¡Qué va! ¿Acaso no ha visto usted los rayos divergentes del Sol oculto por unanube? De ello puede uno convencerse observando cuánto divergen los rayossolares. La sombra del dirigible debe ser considerablemente mayor que eldirigible, en la misma forma que la sombra de la nube es mayor que la nube

misma.

¿Por qué se acepta corrientemente que los rayos del Sol son paralelos? Todos loconsideran así... El presidente no permitió que la discusión se prolongara yconcedió la palabra al siguiente.



EJERCICIOS CON CONJUNTOS

1. De los siguientes cursos 8 niños aprueban elcurso de matemática y 15 el curso delenguaje ¿Cuántos aprueban los dos cursos?

2. En el desayuno los niños de mi salón beben

café, leche y café y leche. Si 30 beben café yleche y 20 solo beben café. ¿Cuántos bebensolo leche?

3. De una encuesta realizada a 52 personas 9beben solo Inka Cola, 13 beben Inka Cola yCoca Cola; 20 beben solo Coca Cola¿Cuántas personas no beben Inka Cola niCoca Cola?

4. Se realiza una encuesta entre las amas decasa y se obtienen los siguientes resultados130 de ellas consumen carne de pollo; 50

consumen carne de pescado; 30 consumencarne de pollo y pescado y 50 no consumenningún tipo de carne. ¿Cuántas amas de casafueron encuestadas?

5. De un total de 20 niños, a 12 les gustamanzana a 13 peras y a 7 niños ambasfrutas. ¿Cuántos gustan de una sola fruta?

6. De un grupo de 350 personas: 185 consumenla bebida A, 130 la bebida B y 62 las dosbebidas. ¿Cuántos no consumen ninguna delas dos bebidas?

“El hombre no revela mejor su carácter que cuando describe el carácter de otro”



COMPRUEBO LO APRENDIDOI. Dados los siguientes conjuntos:

U = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15}; A = {2; 4; 6; 8; 10}; B = {2; 4; 8; 11; 12}

C = {4; 13; 12; 10; 15}

Hallar y grafica en tu cuaderno:

1.C)BA(

−∪ =2. (A ∩ B ∩ C)=

3. )CB(A ∩− =

4. )CB()AB( ∩−∪ =

5. A – B =

6. B – C =7. ( C - A) – B =

8. A)CB( ∆∩ =

9. )BA( ∆ =

10. (C - A) ∪ B =

11. B - (C - A) =

RESOLVEMOS JUNTOS EJERCICIOS CON CONJUNTOS

1. En un centro de idiomas, 80 estudian elinglés, 60 el francés y 25 estudian ambosidiomas. ¿Cuántos estudian un sólo idioma?

2. El salón de un centro educativo tienen 48alumnos de los cuales, 36 tienen libro dematemática, 14 de matemática y lenguaje. Sedesea saber:

a) ¿Cuántos tienen solamente el libro delenguaje?

b) ¿Cuántos tienen el libro de lenguaje?

3. De 125 alumnos encuestados en el Colegio«San Antonio Maria Claret», se sabe que 62leen el diario «Correo», 56 leen el diario«Primicia» y 18 alumnos leen ambosperiódicos. Se desea saber: ¿Cuántosalumnos leen solamente el diario «Correo» ycuántos solamente el diario «Primicia».?

4. En un centro educativo nocturno de

secundaria, se encuestó a 176 estudiantes,de los cuales se informó que: 92 estudian, 86trabajan y 38 estudian y trabajan. ¿Cuántosno estudian ni trabajan?

5. De los 68 alumnos de sexto grado del colegioSan Antonio Maria Claret que rinden susevaluaciones, 35 probaron matemática, 44lenguaje y 24 aprobaron ambas evaluaciones.Se desea saber:

a) ¿Cuántos aprobaron una sola

asignatura?b) ¿Cuántas no aprobaron ninguna

de las dos asignaturas?

6. En un salón de clases hay 52 alumnos, de loscuales 32 alumnos juegan fútbol, 24 alumnos juegan básquet y 17 ambos deportes.¿Cuántos no juegan ninguno de estosdeportes?

7. De 164 alumnos que terminan secundaria enun colegio, 96 postulan a la universidad y 48postula a instituto superior. Si 18 postulan aambos centros superiores- ¿Cuántospostulan solamente a la universidad ycuántos solamente al instituto superior?

8. De 58 socios de un club, 30 practican fútbol,30 básquet, 35 practican voley, fútbol ybásquet 18; básquet y voley 19; fútbol y voley20, y 10 socios practican los tres. ¿Cuántossocios no practican ninguno de los deportes?

9. En dos secciones de Sexto Grado hay 80alumnos. se realizó una encuesta para saber su deporte favorito y el resultado fue que a 23les gusta el ajedrez, 38 les gusta el básquet,41 les gusta el fútbol, 13 les gusta al ajedrezy básquet, 9 les gusta ajedrez y fútbol, 15 lesgusta básquet y fútbol, y a 5 les gusta los 3

deportes. Se desea saber:a) ¿Cuántos alumnos practican un solo

deporte?

b) ¿Cuántos alumnos no practican ningunode los deportes?



10. De 66 alumnos que se presentaron a rendir sus exámenes, 32 aprobaron solamenteCiencias Históricos Sociales y 18 aprobaronsolamente la asignatura de CienciasNaturales, además 12 aprobaron ambasmaterias. ¿Cuántos alumnos aprobaron

ambos cursos?

11. Dados:

}4x0/Nx{A <<∈=

}imparesx;5x2/Nx{B <≤∈= , y lasproposiciones:

I. A2⊂ II. AB ⊂

III. B3∈ IV. BA ⊄

Establece el valor de verdad de cadaproposición y di la respuesta correcta.

a) FFVV b) FVFV

c) FVFF d) FFFF

12. Dado el diagrama

Y las proposiciones:

I. S⊄ A II. M⊂ B III. A ⊃ B

Reconocer cuál o cuáles de lasproposiciones son verdaderas y marca laalternativa correcta.

a) Sólo I b) Sólo II

c) Sólo III d) I y III

A

B S

M

La recompensaSegún una leyenda, tomada de un manuscrito latino antiguo, que pertenece a una biblioteca particular inglesa,sucedió en la Roma antigua, hace muchos siglos, lo siguiente. El jefe militar Terencio llevó a cabo felizmente, por orden del emperador, una campaña victoriosa, y regresó a Roma con gran botín. Llegado a la capital, pidió que ledejaran ver al emperador. Éste le acogió cariñosamente, alabó sus servicios militares al Imperio, y como muestrade agradecimiento, ofreciéndole como recompensa darle un alto cargo en el Senado. Más Terencio, al que esono agradaba, le replicó: He alcanzado muchas victorias para acrecentar tu poderío y nimbar de gloria tu nombre,¡oh, soberano! No he tenido miedo a la muerte, y muchas vidas que tuviera las sacrificaría con gusto por ti. Pero

estoy cansado de luchar; mi juventud ya ha pasado y la sangre corre más despacio por mis venas. Ha llegado lahora de descansar; quiero trasladarme a la casa de mis antepasados y gozar de la felicidad de la vida doméstica.-¿Qué quisieras de mí, Terencio? -le preguntó el emperador. -¡óyeme con indulgencia, oh, soberano! Durante mislargos años de campaña, cubriendo cada día de sangre mi espada, no pude ocuparme de crearme una posicióneconómica. Soy pobre, soberano. Continúa, valiente Terencio. Si quieres otorgar una recompensa a tu humildeservidor continuó el guerrero, animándose-, que tu generosidad me ayude a que mi vida termine en la paz y laabundancia, junto al hogar. No busco honores ni una situación elevada en el poderoso Senado. Desearía vivir alejado del poder y de las actividades sociales para descansar tranquilo. Señor, dame dinero con que asegurar elresto de mi vida. El emperador -dice la leyenda- no se distinguía por su largueza. Le gustaba ahorrar para sí ycicateaba el dinero a los demás. El ruego del guerrero le hizo meditar. -¿Qué cantidad, Terencio, consideraríassuficiente? -le preguntó. -Un millón de denarios, Majestad. El emperador quedó de nuevo pensativo. El guerreroesperaba, cabizbajo. Por fin el emperador dijo: ¡Valiente Terencio! Eres un gran guerrero y tus hazañas te hanhecho digno de una recompensa espléndida. Te daré riquezas. Mañana a mediodía te comunicaré aquí mismo loque haya decidido. Terencio se inclinó y retiró. Al día siguiente, a la hora convenida, el guerrero se presentó en el

palacio del emperador. ¡Ave, valiente Terencio! -le dijo el emperador. Terencio bajó sumiso la cabeza. He venido,Majestad, para oír tu decisión. Benévolamente me cometiste una recompensa. El emperador contestó:No quiero que un noble guerrero como tú reciba, en premio a sus hazañas, una recompensa mezquina.Escúchame. En mi tesorería hay cinco millones de bras de cobre (moneda que valía la quinta parte de undenario). Escucha mis palabras: ve a la tesorería, coge una moneda, regresa aquí y deposítala a mis pies. Al díasiguiente vas de nuevo a la tesorería, coges una nueva moneda equivalente a dos bras y la pones aquí junto a laprimera. El tercer día traerás una moneda equivalente a 4 bras; el cuarto día, una equivalente a 8 bras; el quinto,a 16, y así sucesivamente, duplicando cada vez el valor de la moneda del día anterior. Yo daré orden de quecada día preparen la moneda del valor correspondiente. Y mientras tengas fuerzas suficientes para levantar lasmonedas, las traerás desde la tesorería. Nadie podrá ayudarte; únicamente debes utilizar tus fuerzas. Y cuandonotes que ya no puedes levantar la moneda, detente: nuestro convenio se habrá cumplido



Los números naturales son los números que se utilizan para contar cantidades. Es un conjunto ordenadoporque entre dos números naturales es posible establecer una relación de orden, o sea, decir quien es

mayor y quien es menor; también es un conjunto infinito porque aunque sabemos que el menor es el cero(=) no existe un número natural que sea mayor de los demás ya que por todo número natural, por grandeque sea , siempre es posible encontrar otro mayor agregándole una unidad. Al conjunto de númerosnaturales se le simboliza por lN y se le represente gráficamente en una recta colocando puntosconsecutivos separados uno del otro por una misma distancia.

Representamos a los números naturales como el conjunto IN, luego escribimos así:

IN = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}

Tablero de valor posicional

BILLONES MILES DE MILLONES MILLONES MILES

C E N T E N A

D E B I L L Ó N

D E C E N A

D E B I L L Ó N

U N I D A D

D E B I L L Ó N

C E N T E N A S D E M I L L A R

D E

M I L L Ó N

D E C E N A S D E M I L L A R

D E

M I L L Ó N

U N I D A D E S D E M I L L A R

D E

M I L L Ó N

C E N T E N A S D E M I L L Ó N

D E C E N A S D E M I L L Ó N

U N I D A D E S D 4 E M I L L Ó N

C E N T E N A S D E M I L L A R

D E C E N A S D E M I L L A R

U N I D A D E S D E M I L L A R

C E N T E N A S

C B L L

D B L L

U B L L

C M I M L L

D M I M L L

U M I M L L

C M L L

D M L L

U M L L

C M

D M

U M C

DESAFÍO TU HABILIDAD1. Completa los cuadros:

SE ESCRIBE SE LEE

3 121 456 Tres millones ciento veintiún mil cuatrocientos dieciséis.

90 016 421 016

104 006 021 117

75 091 206 205

901 007 004 002

Cantidad Notación desarrollada Descomposición polinómica

4 216 4 000 + 200 + 10 + 6 (4 . 103) + (2 . 102) + (1 . 101) + (6 . 100)



12 739

15 216

345 007

2 006 009

17 004 021

2. Escribe la notación desarrollada y la descomposición polinómica.

42 165

40 000 + 2 000 + 100 + 60 + 5

4 . 104 + 2 . 103 + 1 . 102 + 6 . 101 + 5. 10 0

12 739

15 216

345 007

3. Completa las siguientes series:

19 - 23 - 21 - 25 - 23 -

63 - 59 - 65 - 61 - 67 -

27 - 32 - 31 - 36 - 35 -

71 - 75 - 74 - 78 - 77 -

20 - 22 - 26 - 32 - 40 -

2 - 4 - 3 - 6 - 4 - 8 -

15 - 19 - 24 - 30 - 37 -4. Escribe el signo >, < ó = para que resulte verdadera la relación.

a) 9 108 421 __________ 9 108 412

b) 114 306 221 __________ 141 306 221

c) 12 435 975 __________ 124 357 952 + 509

d) 415 617 003 __________ 4 156 171 003

e) 191 642 509 _________ 191 000 000 + 64

f) 900 000 + 43 000 + 131 ________ 1 943 311

>

¡A estudiar!



g) 15 000 000 + 471 + 6 ________ 15 471 060

h) 200 000 + 41 000 + 376 ________ 214 396

5. Escribe el número anterior y posterior.

31 495 998 31 495 999 31 496 000

________ 513 400 000 _________ ________ 10 000 000 _________

________ 700 000 000 _________

________ 21 798 900 _________

________ 13 008 100 _________ ________ 37 000 800 _________

________ 876 543 000 _________

6. Ordena de menor a mayor:

a) 15 646 921 - 15 466 129 - 15 469 621 - 15 646 129 - 15 466 219

___________________________________________________________

b) 317 895 621 - 317 859 621 - 317 985 612 - 317 895 612 - 317 859 612

___________________________________________________________

DESAFÍO TU HABILIDAD

1. Escribe como en el ejemplo, las siguientes cantidades.

a) 306 524 108 073 245 = 306 billones 524 mil 108 millones 73 mil 245 unidades

b) 936 000 710 854 009________________________________________________

c) 612 534 000 654____________________________________________________

d) 963 081 326 000____________________________________________________

e) 5 845 000 642 750___________________________________________________

2. Escribe la notación desarrollada y la descomposición polinómica,

2 006 009

37 004 021

3. Escribe el anterior y posterior de los siguientes números.

Anterior Posterior

________________ 8 721 699 854 923 _________________

________________ 726 984 599 __________________

________________ 37 825 043 912 __________________

4. Ordena de mayor a menor.

71 621 419 526 - 71 621 491 526 - 71 621 419 562 - 71 621 941

215477 - 259876 – 3698741 – 33552147 – 365874 – 2547815 – 36459741 – 14545854



________________________________________________________________________________

5. Ordena de menor a mayor.

65549854 -454645664 – 321456486 – 48645646 – 48645647

________________________________________________________________________________

46745689 – 144561 – 154548 – 255784 – 247841 – 12564351 –

I. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN EN N.

1.1. ADICIÓNA. PROPIEDADES DE LA ADICIÓN

a) Propiedad de Clausura

La suma de dos o más númerosnaturales, es otro número natural.

A + B = C

Ejemplo:5 + 8 = 13

4 + 3 = 7

b) Propiedad Conmutativa

El orden de los sumandos no altera lasuma.

A + B = B + AEjemplo:

5 + 9 = 9 + 5

14 = 14

c) Propiedad Asociativa

La forma como se agrupe los sumandosno altera la suma.

(A + B) + C = A + (B + C)Ejemplo:

(4+11) + 2 = 4 + (11 + 2)

15 + 2 = 4 + 13

17 = 17

d) Elemento Neutro

La suma de un número natural con cero;el resultado es el mismo número natural.

A + 0 = AEjemplo:

5 + 0 = 5

e) Propiedad de la Monotonía

Si a ambos miembros de una igualdad lesumamos un mismo número natural,entonces resulta otra igualdad.

Ejemplo:

5 + 8 = 13

5 + 8 + 7 = 13 + 7

20 = 20

f) Propiedad Cancelatoria

Si en ambos miembros de una igualdadexiste un mismo sumando, podemossuprimirlo, siendo la expresión obtenidaotra igualdad.

Ejemplo:

a) 7 + 2 + 1 = 3 + 2 + 5

8 = 8

OPERACIONES CON N



APLICO LO APRENDIDO1. Realiza estas adiciones y sustracciones.

2 3 1 8 4 +

1 5 9 7 3

7 6 4 2

2 3 1 8 4 +

1 5 9 7 3

7 6 4 2

3 2 4 8 5 -

1 2 0 9 6

3 7 8 0 4 3 -

2 0 9 3 1 7

2. Completa los números que faltan.

3 __ 5 __ +

__ 6 5 3

6 8 __ 2

__ 5 9 4 4

1 8 9 5 +

__ 7 8 __

3 __ __ 2

1 2 5 1 9

5 0 0 6 -

3 __ 5 __

__ 2 __ 9

__ 5 3 __ -

3 6 9 6

4 __ __ 8

3. Efectuar mentalmente los siguientes ejercicios:

a) 480 + 706 =

b) 48 + 350 + 6 273 =

c) 1237 + 3029 =

d) 7652 + 3508 + 526 =

e) 15 750 + 48 207 =

f) 729 – 514 =

g) 208 750 + 66 700 =

h) 5 469 – 236 =

4. Ordene los números y halla la suma en a) y b) y la diferencia en c) y d)

a) 25; 388; 220; 1 b) 149; 2; 277; 403

c) 1 589; 4 530 d) 4 936; 6 300

5. Resuelve los siguientes ejercicios:

a) La suma de dos números es 5 725 y uno deellos es 421. Halla el número mayor.

b) La diferencia entre dos números es538 y el número menor es 1 745. Hallael número mayor.

3 __ 5 __ +

__ 6 5 3

6 8 __ 2

5 9 4 4

1 8 9 5 +

__ 7 8 __

3 __ __ 2

2 5 1 9

5 0 0 6 -

3 __ 5 __

__ 2 __ 9

__ 5 3 __ -

3 6 9 6

4 __ __ 8



c) Javier vendió su casa en S/. 118000,00. Si se devaluó S/. 14 200,00,¿cuánto costó su casa?

d) Mónica tiene S/. 2 360,00 y le faltanS/. 850,00 para comprar un juego de

sala, ¿cuál es el precio de ambosmuebles?

6. Completar el siguiente cuadro escribiendo la propiedad respectiva:

Expresión en lN Propiedad aplicada

45+(21+33)=(45+21)+33

2254+120=120 + 2254

456 + 0

2 445 + 6 587

8 – 2 = 6

5 (7 + 1) = 5 x 8



7. Efectuar las siguientes operaciones en tu cuaderno:

a) 7 813 + 2 515 =

b) 8 180 + 4 239 =

c) 5 317 + 3 111=

d) 62 013 + 37 005 =e) 51 617 + 68 316 =

f) 316 509 + 97 515 =

g) 618 516 + 317 601 =

h) 73 – 18 =

i) 106 – 37 =

j) 716 – 613 =

k) 7 517 – 2 314 =

l) 3 108 – 1 515 =

m) 2 512 – 1 052 =

n) 73 015 – 12 111=

o) 578 612 - 327 619=

p) 26 - 8 - (4 + 2)=

q) 518 + 6 - 58 - (12 + 7) =r) 619 + (37 - 17) + 1 - (16 + 5) =

s) 712 + 614 - 311 - 17 + 2 =

t) 5 134+2 817 – 1 832 - 601 - (107+18) =

u) 7 416+7 818 – 2 314+707+808 – 16 =

v) 8 515+6 313 - (2 016+918) - (36+24) =

w) 25 317+13 619 – 5 318-3 211 – 612 =

x) 725 619 -301 515+ 27 613 – 3 405+13 =

y) 5 212 316 + 2 303 601 – 566 316 - 9105

DESAFÍO MI HABILIDAD1. Efectúa estas operaciones.

3 2 0 8 5 +

9 1 7

2 4 0 8

2 7 5 0 7 3 -

9 7 1 0 2

6 8 4 2 0

9 7 5 +

5 2 1 6 7 5 7 2 0 0 6 -

3 0 8 1 2 9

2. Resuelve:

a) 334 825 + 269 715 = ________________

b) 105 684 + 324 090 = ________________

c) 3 702 - 2 845 = _________________

d) 27 604 - 8 986 = _________________

3. Resuelve:

a) Para trasladarse de un pueblo a otro,unos excursionistas han hecho elsiguiente recorrido: 250 km en ómnibus,145 km en ferrocarril y 64 km en camión.Si todavía le faltan 53 km para llegar alpueblo donde se dirigen, ¿qué distanciahay entre estos dos pueblos?

b) Para construir su casa, Luis gasta

S/. 27 328,00 en materiales y

S/. 16 325,00 en mano de obra. Si paraello disponía de S/. 50 508,00. ¿Cuántode dinero le queda?

II. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN IN



2.1. MULTIPLICACIÓN

Propiedades de la multiplicación

1. Clausura a x b = c

Ejemplo:

5 x 9 = 45 8 x 6 = 48

2. Conmutativa a x b = b x a

Ejemplo:

5 x 4= 4 x 5

20 = 20

3. Asociativa

«La forma como agrupen los factores no alterael producto».

(a x b) x c = (b x c) x aEjemplo:

(5 x 6) x 4 = (5 x 4) x 6

30 x 4 = 20 x 6

120 = 120

4. Elemento neutro

El elemento neutro de la multiplicación es 1.

a x 1 = a

Ejemplo:

6 x 1 = 6

1 x 132 = 132

5. Elemento absorbente

El elemento absorbente de la multiplicación escero.

a x 0 = 0

Ejemplo:

• 7 x 0 = 0

• 3 x 0 x 4 = 0

6. Distributiva

Si un número natural multiplica a una suma o

diferencia se distribuye como factor en cadaelemento de la suma o diferencia.

Ejemplo:

5(3 + 2)= 5 x 3 + 5 x 2

5 (5) = 15 + 10

25 = 25

APLICO LO APRENDIDO1. Halla los productos.

2 5 6 3 x

9 0 3

5 6 7 2 x

4 0 8

7 8 4 0 x

5 0 6

8 5 9 4 x

7 0 3

2. Completa las cifras que faltan:

__ 9 __ 5 x

4 __ 6

3 __ __ 9 __

__ __ __ __ __

2 __ __ 1 7 9 __

__ __ __ __ __

1 3 __ 8 x

2 __

__ __ __ 6 4

__ __ __ __

__ __ __ 2 __

5 9 4 x

7 0 3

8 4 0 x

5 0 6

6 7 2 x

4 0 8

5 6 3 x

9 0 3

5 6 3 x

9 0 3



2 8 9 5 x

__ __

2 6 0 5 5

__ __ __ __ __ __

8 6 8 5

1 __ 3 6 x

5 __ __

__ 2 7 2

__ __ __ __

__ 8 __ __ __ __ __

__ __ __ __

3. Completa y escribe la propiedad aplicada en los siguientes ejercicios.

5 x 3 x6 = 3 x 6 x ___ = Propiedad _______________________

(5 x 4) x 3 = 5 x (4 x ___ ) = Propiedad _______________________

4 x (6+2) = 4x6 + ___ x ___ = Propiedad _________________

4. Resuelve aplicando la propiedad distributiva.

48 x 5 = (40 x 5) + (8 x 5) 74 x 7 = ____________

5 x 6 + 5 x 4 = 5 x (6 + ___) 7 x 8 - 7 x 3 = ___________

9 x 3 - 6 x 3 = _____________ 95 x 6 = _____________

5. Completa la tabla (algunas debes hacerlas con la igualdad D = d x c + r).

Dividendo (D) 4 637 1 230 5 348 8 721

Divisor (d) 13 24 97 92

Cociente (c) 41 306 109 167

Residuo (r) 16 80 37

6. Resuelve las siguientes divisiones: (Desarrolla en tu cuaderno)

a) 1 423 ÷ 26 =

1 __ 3 6 x

5 __ __

__ 2 7 2

__ __ __ __

8 __ __ __ __ __

_ __ __ __

2 8 9 5 x

__ __

2 6 0 5 5

_ __ __ __ __ __

8 6 8 5

1 3 __ 8 x

2 __

_ __ __ 6 4

_ __ __ __

__ __ 2 __

__ 9 __ 5 x

4 __ 6

3 __ __ 9 __

__ __ __ __ __

2 __ __ 1 7 9 __

__ __ __ __



b) 6 385 ÷ 47 =

c) 9 613 ÷ 45 =

d) 5 263 ÷ 159 =

e) 1 936 ÷ 208 =

f) 2 863 ÷ 146 =

g) 630 ÷ 23 =

h) 429 ÷ 18 =

i) 287 ÷ 4 =

j) 2 500 ÷ 48 =

k) 3 845 ÷ 286 =

l)7 743 ÷ 38=

7. Calcula mentalmente y completa al cuadro.

Número 12 36 54 96 120 144 156 186 288 600 360

Doble 24

Triple 36

Mitad 6

Tercio 4

a) 72 x 59 =

b) 51 019 x 720 =

c) 423 x 75 =d) 45 712 x 73 418 =

e) 978 x 57 =

f) 105 117 x 68 513 =

g) 757 x 323 =

h) 708 996 x 5 519 =

i) 1 315 x 203 =

j) 725 612 x 312 519 =

k) 3 758 x 700 =l) 923 018 x 528 619 =

m) 5 866 x 5 569 =

n) 387 615 x 528 619 =

o) 7619 x 13008 =

p) 1515619 x 728 008 =

8. Empleando la propiedad distributiva, opera mentalmente.

Multiplicación Producto Multiplicación Producto Multiplicación Producto

3 x 17 12 x 13 11 x 27

8 x 23 13 x 25 21 x 19

6 x 19 15 x 12 17 x 36

9. Efectuar las siguientes operaciones combinadas en tu cuaderno.

a) 3 + 7 x 5 – 2 =b) 6 x 8 + 13 – 9 =

c) 32 x 4 + 5 - 2 x 3 =

d) 52 + 7 x 9 + 3 x 10e) 18 - 2 + 5 x 23 + 5

f) 24 x 5 + 7 - 2 + 33 x 6



g) 72 x 32 + 102 x 103 x 6

h) 12 x 22 x 32 x 4 + 5 - 6 x 7

i) 5 x 34 - 78350 x 72 - 91

j) 1 + 2 + 3 x 4 - 50 + 62 x 72 - 8

k) 250 x 2 + 32 + 4 x 5 - 6 + 73

l) 57 - 11 x 3 + 25 - 17 x 2 + 24m) 48 x 6 - 17 + 50 - 3 x 19

n) 27 x 9 - 25 + 3 x 17 - 5

o) 117 + 27 x 62 - 34

p) 78 x 17 + 35 - 4 x 19 - 6870

q) 104 x 13 x 2 - 52 - 3 - 6 - 570

r) 29 + 19 x 7 - 82 + 52 - 9 + 11 x 13

s) 103 x 11 - 62 + 51 x 13 - 19 + 51

t) 32 + 104 - 17 + 170 + 171 + 17 x 103

10. Resuelve:

a)Una fotocopiadora puede sacar 50 copias por minuto. ¿Cuántas copias sacará en 8 horas?

b)Un enfermo tiene que tomar 9 pastillas en lamañana y 8 en la tarde. ¿Cuántas pastillasingiere en una semana?

c) Una llave vierte 47 litros de agua por minuto ytarda en llenar un depósito 2 horas y media,¿cuál es la capacidad del depósito en litros?

d) Teresa vende diariamente 40 litrosde leche a S/. 2,00 cada litro,¿cuánto dinero reúnemensualmente, como producto desu venta?

e) Tres amigos almorzaron en unrestaurante y la cuenta ascendió a

S/. 72,00. Si acordaron pagar enpartes iguales y uno de ellos teníasolamente S/. 8,00. ¿Cuánto tuvoque abonar en partes iguales cadauno de los otros dos para saldar lacuenta?

DESAFÍO TU HABILIDAD1. Calcula:

a) 35 x 24 = ………………..

b) 48 x 63 = ………………..c) 508 x 20 = ………………..

d) 745 x 75 = ………………..

e) 603 x 109 = ……………..

f) 38 475 : 75 = ………………g) 21 184 : 85 = ………………

h) 15 315 : 203 = ………………



i) 84 375+142 = ……………..

2. Efectúa aplicando la propiedad distributiva.

a) 38 x 19 =

b) 38 x 29 =

c) 47 x 99 =

d) 56 x 999 =

e) 32 x 11 =

f) 32 x 21 =

g) 27 x 104 =

h) 53 x 101 =

i) 33 x 103 =

j) 27 x 204 =

k) 53 x 201 =

l) 33 x 203 =

III. DIVISIÓN EN lN

a : b = ca = Dividendo (D)

c = Cociente (q)

b = Divisor (d)

Propiedad de la división exactaD : d = q

1º Si multiplicamos o dividimos elDIVIDENDO y el divisor por unmismo número natural distinto decero el cociente no varía.

Ejemplo:

a) 48 : 16 = 3(48 x 2) : (16 x 2)

96 : 32 = 3

b) 48 : 16 = 3

(48 : 2) : (16 : 2)

24 : 8 = 3

Propiedad de la división inexacta

D = d x q + R R: Residuo

La siguiente división 42: 4 escrita en su FORMAGENERAL será:

42 = 9 x 4 + 6 q = 4

R = 6

¿Qué ocurre con q y R si multiplicamos D y dpor 2?

Tendríamos:

(42 x 2)= (9 x 2) x 4 + R

84 = 18 x 4 + 12

q = 4 R = 12

Observa:

¡El cociente no se alteró, pero el Resto oresiduo anterior quedó multiplicado por 2!

DESAFÍO TÚ HABILIDAD1. ¿Cuál es el número natural que debemos aumentar al dividendo para que la división sea exacta y el

cociente «q» se transforme en (q + 1)?

a) 18 : 5 =

b) 98517 : 97 =

c) 73: 16 =

d) 97019 : 123 =

e) 117 : 32 =

f) 213615 : 318 =

g) 819 : 43 =

h) 517 819 : 607 =

i) 909 : 77 =



j) 725 763 : 3208 =

k) 1 019 : 39 =

l) 515319 : 2704 =

m) 6 518 : 57 =

n) 612 511 : 3 507

2. Efectuar las siguientes operaciones combinadas en tu cuaderno:

a) 3 x 6 : 2 =

b) 16 : 2 x 5 x 2 : 4 =

c) 18 x 3 x 2 : 4 =

d) 52 : 4 : 13 x 17 =

e) 45 : 5 x 2 x 3 =

f) 128 : 2 : 2 : 2 x 3 =

g) 10 : 5 x 7 x 2 =

h) 4 x 36 : 2 x 5 =

i) 6 x 8 x 2 : 4 x 7 =

j) 5 x 8 x 10 : 5 : 2 =

k) 72 : 2 x 6 x 5 : 5 =

l) 2 x 3 x 4 x 5 x 6 : 12 : 2 : 15 =

m) 80 : 5 x 2 x 4 : 16 x 3 : 8 =

n) 48 : 4 x 5 x 2 : 20 x 7 : 21 =

3. Resuelve:

a) Felipe tiene ahorrado 6 billetes deS/. 20, y su hermana 15 billetes de S/. 20.¿Cuánto dinero tienen entre los dos?

b) El precio de un automóvil es $ 26 000. SiManuel lo compra con una cuota inicialde $ 14 000 y por el resto firma 6 letrasdel mismo valor, ¿cuál es el precio decada letra?

c) Efectuar las siguientes divisiones comprobando el resultado en cada una:

División q r D = q x d + R

64564 : 4

32250 : 50

5 687 000 : 8

2 547 868 : 2

IV. POTENCIACIÓN EN lN

an = PDonde: a = base

n = exponente

P = potencia

a0 = 1 ; a≠0 Ejm: a) 5 0 = 1

a1 = a Ejm: b) 1211 = 121

Recuerda:



a) Potencia en base 10

Cualquier potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente.

- 102 = 10 x 10 = 100

- 103 = 10 x 10 x 10 = 1000

- 104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000

a. Exponente Uno: a1 = aTodo número elevado al exponente 1 es igual almismo número.

Ejemplo:

1) 51 = 5

2) 9371 = 937

b. Exponente Cero a0 = 1,

además a ≠ 0Ejemplo:

1) 70 = 1

2) 8130 = 1

c. Productos de potencia de igual base:am . an = am+n

Ejemplos:

1) 74 . 22 = 74+2 = 76

2) 53 . 55 = 53+5 = 58

d. Cociente de potencias de basesigualesEjemplos:

1) 93 : 92 = 93 – 2 = 91

2) 174 : 172 = 174–2 = 172

e. Potencia de potencia:

( ) m.nm

n a)a( =

1) ( ) 124.343 77)7( ==

2) ( ) 63.232 66)6( ==

f. Potencia de un producto:

(a . b)m = am . bm

Ejemplos:

1) (2.7)3

= 23

. 73

2) (2a) 5 = 25 . a5

g. Potencia de un cociente:

(a : b)m = am : bm

1) (80 : 2) 2 = 802 : 22

2) (6 : 3)3 = 63 : 33

APLICO LO APRENDIDO

1. Aplica la teoría de exponentes en los siguientes casos.

a)

2

6

5

=

b) ( )( )755 =

c) 25 =

d) 322 =

e) 86 : 82 =

f)( )( )

043

76

=

g) (3 . 7)5 =

h) 27 . 24 =

i) (64)3 =

j)

( )( )4

032

216

=

k)3

5

8

8

=

l) 73 . 72

m) (6 . 5)3

n) 273 =

LEYES DE LOS EXPONENTES



o) 14

p)

3

7

3

=

q) 5161 =

r) 82

s)5

7

13

13

=

t) (15 . 4)2 =

u)( )( )

60317

=

DESAFÍO TU HABILIDAD1. Completa el cuadro:

Comoproducto

Comopotencia Base Exponente Se lee Potencia

7 x 7 72 7 2Siete al

cuadrado 49

93

2 8

106

8 4

1 x 1 x 1 x 1 x 1

2. Observa los ejemplos y resuelve las operaciones con potencias.

a) 23 x 22 = 2 3+2

2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25

= 32b) 822

2

22:2 325

2

525 ==== −

La cifra tachada

Una persona piensa un número de varias cifras, por ejemplo el 847. Propóngaleque halle la suma de los valores absolutos de las cifras de, este número (8 + 4 + 7 =19) y que la reste del número pensado. Le resultará:847 - 19 = 828



a) 72 x 7 = 72+1 = 73 = 343

b) 102 x 103 = ____________________

c) 42 x 42 = _______________________

d) 32 x 33 = ______________________

e) 64 ÷ 62 = 64-2 = 62 = ______________

f) 85 ÷ 83 = _______________________

g) 47 ÷ 44 = ______________________

h) 35 ÷ 32 = ______________________

3. Completa el cuadro

Base 8 2 10 40 6 70 73 90 98 80 60

Exponente 2 5 3 4 2 3 3

Valor 64 32 100 4 900 6 400 3 600

Número 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Cuadrado 4

Cubo 8

4. Observa como se aplica la propiedad distributiva y podrás realizar las siguientes operacionesmentalmente.

a) 23 x 9 = 23 x (10 - 1) = (23 x 10) - (23 x 1) = 230 - 23 = 207

b) 23 x 19 = 23 x (20 - 1) = (23 x 20) - _______________________________________

c) 72 x 99 = 72 x (100 - 1) = (72 x __________________________________________

d) 87 x 999 = 87 x (___ - ___) = ___________________________________________

e) 94 x 11 = 94 x (10 + 1) = (94 x 10) + (94 x 1) = 940 + 94 = 1 034

5. Completa el cuadro, reemplazando a, b y c por su valor numérico.

a b c a + b + c (a + b) - c a + (c - b) a x b a ÷ b

630 15 43 688

1 943 67 85

1 800 36 59

522 18 75

1 056 88 98

Ahora te toca a ti



6. Resuelve las operaciones combinadas.

5 x (2 + 7) ÷ [ 3 x (1 + 2) ]

5 x 9 ÷ 3 x 3

45 ÷ 9

(62 + 4) x (6 + 32) =

(36 + 4) x (6 + 9)

40 x 15

[ (8 x 6) - (7 x 4) + (5 x 8) ] ÷ 2 =

[ 48 - 28 + 40] ÷ 2

[20+40] ÷ 2

60÷ 2

[ 200 ÷ (8 - 6) + 52 x 2 ] ÷ 3 (25 - 22) + (52 + 52) = 15 + 6 ÷ 3 - 4 ÷ 2 + 4 =

8 x 5 + 4 - 3 x 2 + 6 ÷ 3 (5 x 6) ÷ (2 x 3) + (2 x 7) (9 + 3) x (5 - 2) ÷ (8 - 2) =

7. Efectúa:

a) 3 [4 + (6 - 2) ] + [ 32 - (6 - 2)] - (7 - 5)3

b) 2 [ 33 - 32 ] - (4 + 0)2 - 2(7 + 3)

c) 26 - [13 - [2 x 3 - 5 x 10]} + (6 x 3 - 1) + (36 : 12)

8. Resuelve los problemas



a) Un señor gana S/. 90 diarios y suesposa S/. 50 menos. Si gastan diariamenteS/. 120, ¿Cuánto ahorran en un año bisiesto?

Rpta. : _____________

b) He comprado 35 docenas de ponchos aS/. 24 la docena. Después he vendido a S/. 3cada poncho. ¿Cuánto he ganado?

Rpta. : _____________

c) Tres hermanos tienen una deudacomún de S/. 432 510. Si el hermano mayor paga el triple de lo que paga el menor y elsegundo hermano el doble de lo que paga este.¿Cuánto pagará cada hermano?

Rpta. : _____________

d) Tres niños se reparten 150 figuras. Elprimero recibe 25 y el segundo el triple que elprimero. ¿Cuántas recibió el tercero?

Rpta. : _____________

COMPRUEBO LO QUE APRENDÍ

1. Resuelve operaciones con potencias:

a) 63 ÷ 62 = ________

b) 34 x 32 = ________

c) 72 x 72 = ________

d) 163 ÷ 162= ______

e) 25 x 26 = ______

f) 44 x 42 = ______

g) 33 x 33 = ______

h) 35 ÷ 33 = ______

i) 33 ÷ 33 = ______

j) 482 x 482 = ______

k) 196 ÷ 195 = ______

l) 59 ÷ 57 = ______

¿Quién cuenta más?Dos personas estuvieron contando, durante una hora, todos los transeúntes que pasabanpor la acera. Una estaba parada junto a la puerta, mientras la otra andaba y desandaba laacera. ¿Quién contó más transeúntes?- Naturalmente, andando se cuentan más; la cosa está clara – se escucho en el otro

extremo de la mesa.- Después de cenar sabremos la respuesta - declaró el presidente -. ¡El siguiente!



Resuelve las operaciones combinadas

24 x 2 + 22 + 8 - (7 - 4) 88 - 2 x (7 - 4) + (5 - 2) 4 x 52 + (2 + 3) x 22

(20 x 3) + 4 - 8 x 23 [ (9 - 6) x 32 ] - 12 + (5 - 2) (5 - 1 + 4) - 2 + 12 ÷ (3 - 1 + 2)

2. Aplica la propiedad distributiva y resuelve.

a) 72 x 111 = 72 x (____ + ____ + ____) = __x__ + __x__ + __x__= _____ + _____ + ___ = _____

b) 15 x 106 = 15 x (100 + 6) = 15 x ____ + 15 x ____ = ____ + ____ = ____

c) 42 x 108 = ____ x ( ____ + ____ ) = ____ + ____ = ___ + ____ = ____

3. Resuelve estos problemas

a) La suma de dos números es 1 245. Si lamitad del mayor es 424. ¿Cuál es elnúmero menor?

b) Entre Ica y Piura hay una distancia de 1331 km y entre Lima y Piura hay 1023 km. ¿Cuántos kilómetros hay entre Icay Lima?

c) Un negociante compra un saco de fríjol de 48kg en S/. 96,00. Si quiere tener una gananciatotal de S/. 144 ¿Cuál será el precio de cadaKg . de fríjol?

d) La suma de dos números es 40 y la diferenciaes 34. Hallar el número menor y el número mayor.



VI. RADICACIÓN EN lN

Sí: ab porqueba nn ==

Ahora te toca a ti:

OPERACIONES COMBINADAS

RESOLVIENDO OPERACIONES COMBINADAS1. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.

a) 121 + 44 + 62 =

b) 15 : 3 - 4 + 62 =

c) 2 x 3 x 4 : 6 + 144 =

OPERACIONES COMBINADAS

(Si tienen signos de agrupación, se resuelve primero las operaciones que esténen estos signos desde la parte interior hacia la parte exterior).

1.- Las radicaciones o potenciaciones.

2.- Las multiplicaciones o las divisiones.

3.- Las adiciones y sustraccionesde izquierda a derecha.

SOLUCION

DE LA OPERACION

===

===

===

===

======

===

2500.21441.20400.19

361.18324.17289.16

169.15256.10225.05

196.14169.0912104

125.13.14408100.03

9.1249.0736.02

25.1116.064.01



d) 103 : 23 - 52 + 81 =

e) (72 + 7 x 2) - ( 100 + 23) =

f) (132 - 5 x 8) + 225 =

g) 9 : (52 - 22) + 7 x 22 =

h) 3 x [25 - 23) + 7 x 22 =

i) [35 x 24 - 3880] : 23 + 1 =

j) 5 + (7 x 8 - [52 x 2 - 8] + (32 . 1)] =

k) 3 x [ 16 x 4 + 4 : 4] - (62 - 5 x 6) =

l))3x72x5(32:23x10x2 242

−−−−

=

m) 1047 : 1044 - 82310-10 + 44 x 33 - (15

1 x 34 x2) =

n) 102 + [70x5403:5401 +318 x 322 : 337]+ 23 55 − =

o) 81 + {72 - (43 : 2 + 100) + (7 x 8 - 32)+4} =

p) 53 x 2+ {227 x 232:257 - (102 x 2: 52 ) + 73} =

q) 42 x 40 : 23 : 4 + [53 x 2 - 10 x 5 x 3] =

r) 74 x 2 - { ( 121 +(1017x1030 - 6 x 32+5 x 42} =

s)2x113x54:89:3x664

2323

+++−=

Ahora tetoca a ti:



EJERCICIOS CON IN

1. En un salón hay 34 alumnos y en otro salónhay 31 alumnos. Si a cada alumno del primer salón se le obsequia 12 caramelos y a cadaalumno del otro salón se le obsequia 4caramelos menos, ¿cuántos caramelos sevan a repartir en total?

2. Dentro de una caja se introducen 5 cajasazules; en cada caja azul se introducen 3cajas rojas y en cada caja roja se introducen8 cajas blancas. ¿Cuántas cajas hay en total?

3. Un auto viaja a 68 km/h. En cierto momentoestá en el km 204. ¿En qué km estará luegode 6 horas de viaje?

4. El conductor de un camión repartidor tieneninstrucciones de dejar 15 cajas de leche encada hospital y 10 cajas de leche en cadacolegio. Si en una mañana visitó 5 hospitalesy 8 colegios, ¿cuántas cajas de lecherepartió?

5. Una lavandera puede lavar 8 pantalones enuna hora; otra lavandera puede lavar el doblede prendas en el mismo tiempo. ¿Cuántos

pantalones pueden lavar las dos lavanderasen una hora?

6. Un edificio tienen 48 ventanas y 80 puertas.¿Cuántas puertas más que ventanas tendrán5 edificios iguales?

7. En un edificio, las escaleras que hay entrepiso y piso tienen 15 peldaños. Una personasube del primer piso al quinto y luego baja alsegundo piso. ¿Cuántos peldaños subió y

bajó?

8. Un dentista extrae 3 muelas por hora; a cadapaciente le extrae máximo 2 muelas. Cadapaciente tiene entre 20 y 24 muelas. ¿Cuál esel mayor tiempo que podrá emplear en 15pacientes?

9. Un tío tienen una bolsa de caramelos quequiere repartir entre 5 sobrinos. Cada unorecibe 128 caramelos y todavía quedan 3 en

la bolsa. ¿Cuántos caramelos hay en labolsa?

10. El papá de Luchín gana S/.800 mensual es ygasta S/.650. ¿Cuánto ahorrará en 1 año?

11. En un salón de clase, por cada hincha del Alianza hay 3 de Universitario y 2 del Cristal.¿Cuántos son hinchas de Universitario si enel salón hay 30 alumnos?

12. Roberto compra un artículo pagando con 4billetes de S/.5; 3 billetes de S/.10 y algunosbilletes de S/.20. ¿Cuántos billetes eran deS/.20 si el artículo costó S/.150?

13. Un señor reparte propinas entre sus 2 hijos y

3 hijas, de tal manera que cada hijo recibe eldoble que cada hija. Si las hijas recibieron juntas S/.24, ¿cuánto recibieron los hijos juntos?

14. En Puno, una persona gasta S/.6 diarios enalimentación; en cambio en Lima una personagasta S/.9 diarios por el mismo concepto.¿Cuánto más gastara una familia de 6miembros, en Lima que en Puno?

15. La mecha de un cartucho de dinamita demora150 segundos en provocar la explosión. Si seprende la mecha a las 3h 17 min, ¿a qué horaexplotará el cartucho?

16. Una persona tiene S/. 150 en el banco,mensualmente, gana S/.900 y gasta S/. 750;lo demás lo ahorra en el banco. ¿Cuántosmeses deberán transcurrir, para que tenga enel banco tanto como lo que gana?

17. Para entrar al cine hay 2 boleterías. En laprimera, atienden a 6 personas en 72segundos y en la segunda atienden a 15personas en 3 minutos. ¿En cuál de lasboleterías convienen colocarse si en cadauna hay la misma cantidad de personas?

18. ¿Cuántas cajas se necesitan para 14 400caramelos si cada caja tienen una docena decajas pequeñas y en cada una de estas cajashay una docena de bolsas y en cada bolsahay 20 caramelos?

19. Se disponen 6 filas de 10 alumnos cada uno.Si se retiran los alumnos del perímetro,¿cuántos alumnos quedan?



20. Cuando iba caminando por cierta avenida,observé que en cada paradero bajaban de unmicro 4 personas y subían 5. Si en cadaparadero paraban 4 micros y pasé por 6paraderos, ¿cuántas personas bajaron entotal?

21. En un colegio van a repartir canastas deNavidad a cada profesor. Cada canastaconsta de 4 latas de leche, 3 tabletas dechocolate, 2 latas de conserva de durazno y 1panetón. Si en el colegio hay 35 profesores,¿cuántas latas de leche menos que tabletasde chocolate se ha repartido en total?

22. Por la instalación de una red de 8computadoras, un técnico cobró 3200dólares. Si en cada una gasta 180 dólares en

material, ¿cuánto fue su ganancia en cadacomputadora?.

23. En una fábrica trabajan 25 personas, siendola nómina diaria de S/. 550. Si cada personagasta S/.3 en refrigerio, ¿cuánto le queda acada persona, al final del día?

24. En un hospital nacen diariamente 18 niños ymueren diariamente 8 personas. En otro

hospital, nacen diariamente 20 niños ymueren 10 personas, ¿Cuántas personasmás que las que mueren nacen por semanaen ambos hospitales

25. En una fiesta hay 64 personas. Si endeterminado momento todos están bailandoexcepto 8 damas, ¿cuántos caballeros hay endicha reunión?

26. Tengo S/.480 y quiero dar de propina S/.90 a

cada uno de mis 6 sobrinos. ¿Cuánto dinerohace falta?

UN POCO DE HISTORIALos hindúes inventaron el sistema de numeración decimal que utilizamos en la actualidad, y los árabes, loextendieron por todo el mundo. A lo largo de la Historia se han utilizado distintas formas de contar y agrupar objetos. A las distintas formas, las llamamos sistemas de numeración.

REPASAMOS LOS SISTEMA DE NUMERACIÓNEl abuelo de los sistemas de numeración: es el sistema en base 12. Fue utilizado por antiguas culturascomo Mesopotamia y consiste en tomar la unidad como agrupaciones de doce elementos. Se cree queutilizaban las falanges de la mano para agrupar los elementos, ya que, utilizando todos los dedos de lamano, menos el pulgar, tenemos:

3+3+3+3 = 12

De esta forma, agrupaban los elementos de doce en doce:

1 docena = 12 elementos

12 docenas = 144 elementos

Así, la docena se utiliza todavía en algunas medidas, como en los huevos, las pinzas de la ropa, o paracomprar ostras.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN



El sistema de numeración Maya (base 20). Este sistema tiene su explicación en culturas donde elclima era cálido, y las personas podían andar descalzas ¿por qué?; pues porque necesitaban para contar,las manos y los pies. Agrupaban los elementos en grupos de veinte de forma que:

1 grupo = 20

20 grupos = 20 x 20 = 400 y así sucesivamente

Aún quedan restos de este sistema en la numeración francesa, ya que el número 80, se dice quatre-vingt, es decir, cuatro veintes, 4 x 20 = 80.

En el sistema de numeración de los antiguos Babilonios ( la base 60), utilizaban como base elnúmero 60, es decir agrupaban todo en conjuntos de sesenta elementos. Aún hoy nos quedan restos deeste sistema en nuestra cultura. Por ejemplo, la forma de medir el tiempo:

1 hora = 60 minutos

1 minuto = 60 segundos

Sistema binarioCon este sistema matemático, funcionan todas las computadoras del mundo. Consiste en utilizar sólo doscifras, el 0 y el 1. Para pasar un número de sistema decimal a sistema binario se realiza el siguienteprocedimiento:

Por ejemplo, para convertir el número "5"del sistema decimal al binario, se hacen divisiones sucesivas entre2, de esta manera: El número "5" en base 2, se escribiría 101. Pero no se lee ciento uno, sino: uno, cero,uno.

Sistema de numeración decimalEl sistema de numeración que actualmente empleamos es el SISTEMA DECIMAL, en el cual se utilizan lossiguientes números:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

¿Cómo funciona el sistema decimal?En el sistema decimal tenemos que diferenciar tres agrupaciones básicas: Unidad, Decena y Centena.

Una unidad vale como su nombre indica, uno.Una decena vale diez unidades, y una centena, cien unidades. Vamos a ver las equivalencias:

Diez unidades forman una decena.

Cien unidades forman una centena

El millar se escribe 1 000 y se lee Mil.

Los Millares, también se agrupan en: unidad, decena y centena de millar.

Así podemos tener:

a) 1 214: mil doscientos catorce. Este número tiene una unidad de millar.

b) 23 420: Veintitrés mil cuatrocientos veinte. Este número tiene tres unidades de millar y dos

decenas de millar.

c) 426 321: Cuatrocientos veintiséis mil trescientos veintiuno. Este número tiene seis unidadesde millar, dos decenas de millar y cuatro centenas de millar.

Los millones son números de siete cifras, que pueden también agruparse en: unidad, decena y centena demillón.

Un millón se escribe: 1 000 000, cinco millones: 5000 000, y así sucesivamente...

1 234 756: Este número se lee, un millón doscientas treinta y cuatro mil setecientos cincuenta y seis. Tieneuna unidad de millón.

1. Base de un sistema de numeraciónEs el número que indica la cantidad de unidades necesarias de un orden cualquiera para formar unaunidad del orden inmediato superior.

El número A en base n se escribe An



En el sistema de base n, n es un número natural mayor que 1.

En el sistema de base 5, usamos las cifras: 0; 1; 2; 3; 4.

En el sistema de base 7, usamos las cifras: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.

2. Cambio de base

a) Descomposición Polinómica- 534(6) = 5 x 62 + 3 x 6 + 4

- 30412(5) = 3 x 54+6 x 53+4 x 52+1 x 5+2

APLICO LO APRENDIDO01. Realiza la descomposición polinómica de:

a) 132(4)

b) 3213(4)

c) 1112(4)

d) 8518(9)

e) 73516(8)

f) 4132(5)

g) 52143(4)

h) 4003(6)

i) 3002(5)

j) 3514(7)

k) 2315(6)

l) 12716(8)

m) 13240(5)

n) 83517(9)

o) 510123(6)

p) 53516(7)

q) 723006(7)

r) 40302(6)

s) 424612(7)

t) 1310(3)

b) Cambio de Base 10 a Base n

Para cambiar un número de base 10 a base n utilizaremos las divisiones sucesivas. Así:Ejemplo:

- Convertir 14 a base 4

14 = 32(4)

- Convertir 78 en base 4

78 = 1032(4)



APLICO LO APRENDIDO1. Convertir los siguientes números a las diferentes bases (en tu cuaderno)

a) 64 a base 5

b) 83 a base 4

c) 918 a base 4

d) 513 a base 8

e) 87 a base 9

f) 956 a base 4

g) 117 a base 6

h) 3216 a base 5

i) 813 a base 8

j) 512 a base 9

k) 1513 a base 7

l) 913 a base 9

m) 792 a base 5

n) 809 a base 3

o) 894 a base 7

p) 215 a base 6

q) 2516 a base 11

r) 457 a base 14

s) 613 a base 16

t) 182 a base 19

c) Cambio de Base n a Base 10Ejemplo:

32(4) a base 10

32(4)= 3 x 4 + 2

= 12 + 2

32(4) = 14

345(6) a base 10

345(6) = 3 x 62 + 4 x 6 + 5

DESAFIANDO NUESTRAS HABILIDADESI. Hallar a base 10.

01. 318(9) en base 10

02. 2172(8) en base 10

03. 2126(8) en base 10

04. 234(5) en base 10

05. 89(a) en base 10

06. 3214(5) en base 10

07. 8917(b) en base 10

08. 7314(9) en base 10

09. 5024(8) en base 10

10. 4325(6) en base 10

11. 419(c) en base 10

12. 406(8) en base 10

13. 102(3) en base 10

14. 5312(8) en base 10

15. 22032(4) en base 10

16. 32124(5) en base 10

17. 43066(4) en base 10

18. 2232(5) en base 10

19. 113141(4) en base 10

20. 3634(7) en base 10



A. MúltiploDentro de un conjunto de los números naturales lN, se dice que a es múltiplo de otro número b cuandoa contiene a b un número exacto de veces.

Ejemplo:

M5 = {0; 5; 10; 15; 20; 25; ...}

1º Cero es múltiplo que cualquier número.

2º Todo número es múltiplo de sí mismo.

3º Todo número tiene infinitos múltiplos.

B. Divisor

Se dice que un número a es divisor de otro b, a / b , cuando el número b contiene al a un número exactode veces, o lo que es lo mismo b es múltiplo de a.

Ejemplo:

D18 = {1,2,3,6,9,18}

1º La unidad es divisor de cualquier número.

2º Todo número es divido que sí mismo.

3º Todo número tienen una cantidad infinita de divisores.

DESAFÍO MI HABILIDAD

1. Escribir los 7 primeros múltiplos de:

M6 = {………………………………..}

M32 = {……………………………..}

M8 = {………………………………..}

M19= {……………………………..}

M12 = {……………………………..}M5= {……………………………..}

M30= {……………………………..}

M11= {……………………………..}

M30 = {……………………………..}

M11= {……………………………..}

M15 = {……………………………..}

M72= {……………………………..}

M7= {……………………………..}

M41= {……………………………..}

M5 = {……………..………………..}

M92 = {……………………………..}M16= {……………………………..}

M66= {……………………………..}

M21= {……………………………..}

M78= {……………………………..}

M23 = {……………………………..}

M100= {……………………………..}

MÚLTIPLOS Y DIVISORES EN lN



Hallar los divisores de:

D8 = {……………………………..}

D28 = {……………………………..}

D6 = {……………………………..}

D30 = {……………………………..}

D10 = {……………………………..}

D32 = {……………………………..}

D12 = {……………………………..}

D36 = {……………………………..}

D15 = {……………………………..}

D40 = {……………………………..}

D16 = {……………………………..}

D35 = {……………………………..}

D20 = {……………………………..}

D42 = {……………………………..}

D20 = {……………………………..}

D66 = {……………………………..}

D21 = {……………………………..}

D24 = {……………………………..}

D22 = {……………………………..}

D25 == {…………………………..}

DESAFÍO TU HABILIDAD1. Escribir 6 primeros múltiplos de:

a) M42 =

b) M80 =

c) M90 =

d) M73 =

e) M120 =

f) M200 =

g) M300 =

2. Hallar los divisores de:

a) D50 =

b) D17 =

c) D24 =

d) D60 =

e) D55 =

f) D60 =

Los siete cuadrados

Cuatro fichas de dominó, elegidas convenientemente, pueden

colocarse formando un cuadrado con idéntico número de tantos en

cada lado. En la figura pueden ustedes ver un modelo donde la

suma de los tantos de cada lado del cuadrado equivale siempre a

11.

¿Podrían ustedes formar con todas las fichas del dominó siete

cuadrados de este tipo? No es necesario que la suma de tantos de

cada lado de todos los cuadrados sea la misma. Lo que se exige es

que los cuatro lados de cada cuadrado tengan idéntico número de

tantos.



A. DIVISIBILIDAD POR 2Un número es divisible por dos, si la última

cifra es cero o múltiplo de 2. (2,4,6,8)

Ejemplo:

a) 7200

b) 628

c) Hallar el resto de 2345 entre 2 = 1

d) Hallar el resto de 12 457 entre 2 = 1

e) Hallar el resto de 11 147 entre 2 = 1

B. DIVISIBILIDAD POR 3Un número es divisible por 3, si la suma de

sus cifras es múltiplo de 3.

Ejemplo:

a) 630 = 6+3+0= 9 es múltiplo de 3

b) 17407 = 1+7+8+4+0+7 = 27 es múltiplode 3

c) Hallar el resto de 2345 entre 3 = 2

d) Hallar el resto de 3 331 entre 3 = 1

C. DIVISIBILIDAD POR 4Un número es divisible por 4, si sus dosúltimas cifras terminan en cero ó formanun múltiplo de 4.

Ejemplo:

a) 1360

b) 12 364

c) Hallar el resto de 229: 4 = 1

D. DIVISIBILIDAD POR 5

Un número es divisible por 5 si termina encero o cinco.

Ejemplo:

a) 18 000 b) 755

c) Halla el resto de 23 456 569 : 5 = 4

E. DIVISIBILIDAD POR 6Un número es divisible por 6, si es divisible

por 2 y 3 a la vez.

Ejemplo:

a) 510

b) Hallar el resto de 1203 : 6 = 3

F. DIVISIBILIDAD POR 8Un número es divisible por 8, cuando sus tresúltimas cifras terminan en ceros o forman unmúltiplos de ocho.

a) 5000 b) 8064

c) Hallar el resto de 2004 : 8 = 4

G. DIVISIBILIDAD POR 9Un número es divisible por 9, cuando la sumade sus cifras es múltiplo de nueve.

Ejemplo:

a) 612 = 6+1+2+ = 9 es múltiplo de 9

b) 7803 = 7+8+0+3+ = 18 es múltiplo de 9.

c) Hallar el resto de 1 805: 9 = 5H. DIVISIBILIDAD POR 10

Un número es divisible por 10 cuando terminaen cero.

Ejemplo:

a) 8120 b) 716 400

I. DIVISIBILIDAD POR 11Un número es divisible por 11, si la suma desus cifras de orden impar (empezando por la

derecha) menos la suma de las cifras deorden par, resulta ser cero o múltiplo de 11.

Ejemplo:

9873 226

6+2+7+9 = 24………….(1)

2+3+8 = 13 …………….(2)

24 - 13 = 11

PRINCIPALES CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD



APLICO LO APRENDIDO

I. Marca con un aspa si consideras que el número A de la columna izquierda es divisible por alguno de losnúmeros de la dila horizontal superior.

Número A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ES PAR

3 366 x x x x x

71 110

4 496

392

2 585

6 180

2 528

5 080

2 235

48 265

43767

8 046

775

69 575

5 712

3 588

18 046

49 347

104 265

3 401 734

626 813

455 792

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOSA. Número primo absoluto.

Es aquel número que tiene como únicosdivisores a la unidad y así mismo.

a) D2 = {1; 2}

b) D13 = {1; 13}

B. Números primos entre sí (PESI)Se dice que dos o más números naturalesson primos entre sí, cuando tienen comoúnico divisor común a la unidad.

Ejemplo:

a) D5 = {1; 5} D6 = {1; 2; 3; 6}

b) D7 = {1; 7} D14 = {1; 2; 7; 14}



C. Números compuestosSon aquellos números que además de tener como divisores a la unidad y a sí mismo, tienen otrosdivisores.

Ejemplo:

a) D8 = {1; 2; 4; 8}

b) D10 = {1; 2; 5; 10}

APLICO LO APRENDIDO1. Marcar con un aspa si el número es primo absoluto o compuesto.

NÚMERO PRIMO COMPUESTO NÚMERO PRIMO COMPUESTO

7 X 341

24 X 311

111 321

173 409

187 413

119 477

213 419

217 509

2. Escribir todos los divisores de los números dados y formar las parejas de dichos números cuyoselementos sean números primos entre sí. ( En el cuaderno)

NÚMERO DIVISORES NÚMERO DIVISORES

12 45

15 48

28 50

33 54

42 55

3. Descomponer canónicamente los siguientes números y establecer la cantidad de divisores de dichosnúmeros.

a) 120 =

b) 900 =

c) 240 =

d) 1 200 =

e) 90 =

f) 1 580 =

g) 180 =

h) 1 620 =i) 240 =

j) 1 840 =

k) 300 =

l) 2 000 =

m) 360 =

n) 2 380 =

o) 520 =

p) 2 600 =

q) 400 =r) 3 600 =

s) 480 =

t) 3 800 =

u) 560 =

v) 4 500 =

w) 724 =

x) 5 200 =

y) 846 =

z) 6 800 =



DESCOMPOSICION EN SUS FACTORES PRIMOS

Teorema fundamentalTodo número natural positivo mayor que la unidad se puede descomponer como el producto de factoresprimos diferentes entre si elevados a cierto exponente, está descomposición es única y se le denomina:

“DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA”.Ejm :

Número de divisores de un número compuestoSea número compuesto N expresado en función de sus factores primos.

La cantidad de divisores de N estará dado por:

Ejm .

Hallar el número de divisores de 540.

1.- Se escribe el número en función de sus factores primos.

2.- Se toman los exponentes; y se les suman uno y se multiplican; el producto es el número total dedivisores.

Entonces 540 tiene 24 divisores.

540 2

270 2

135 3

45 3

15 3

5 5

1

( ) ( ) ( )

24

11.13.12

)540(

)540(

=

+++=

Cd

Cd

......... absolutos primosnúmerosSon

cba N ϖ β α =

5.3.2540 32=

5.3.2540 32=

( ) ( ) ( ).........1.1.1)( +++= ϖ β α N Cd

Adivinar un número sin preguntar nada

Propone usted a alguien que piense un número cualquiera de trescifras que no termine en cero, y le ruega que ponga las cifras enorden contrario. Hecho esto, debe restar del número mayor elmenor y la diferencia obtenida sumarla con ella misma, pero conlas cifras escritas en orden contrario. Sin preguntar nada, adivinausted el número resultante.





MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)

Procedimiento

A. Por Descomposición en factores Primosa) Hallar el M.C.D. de 24 y 30

24 = 23 x 3 30 = 2 x 3 x 5

Los factores comunes son: 2 y 3

2 x 3 = 6

MCD = 6

b) Hallar el MCD de 120; 350 y 240

120 = 23 x 3 x 5

350 = 2 x 52 x 7

240 = 24 x 5 x 3

Los factores comunes son: 2 y 5

2 x 5 = 10

MCD = 10

B. Por el Método AbreviadoHallar el MCD de 30, 84 y 66

MCD = 2 x 3 = 6

APLICO LO APRENDIDO

1. Considerando que un DIVISOR divide exactamente a un número dado, completar el siguiente cuadrohasta hallar el M.C.D. de los números señalados aplicando sólo el concepto de M.C.D.

30 84 66 2

15 42 33 3

5 14 11

El M.C.D. de dos o más númerosnaturales es el mayor divisor comúnde los números dados.



DIVISORES COMUNES A:NÚMERO DIVISORES

36 Y 27 40 Y 18 38 y 30 72 y 40 45 y 30 42 y 32

72

38

45

36

40

32

27

18

30

42

MCD =>

2. Calcular el M.C.D. de los siguientes números por «golpe de vista».

NÚMEROS 5 y 3 6 y 3 12 y 4 7 y 8 3 y 4 18 y 3 18 y 6 24 y 5 16 y 12

MCD


MCD

3. Hallar el M.C.D. de los siguientes números aplicando DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA y comprueba turespuesta hallando el mismo M.C.D. por el Método Abreviado.

a) 60 y 90 e) 35; 70 y 80 i) 25; 40; 15 y 80

b) 32; 40 y 50 f) 45; 85 y 100 j) 16; 30; 64 y 72c) 54; 80 y 64 g) 12; 60 y 72 k) 180; 300; 240 y 360

d) 18; 64 y 72 h) 18; 60 y 54 l) 720; 400; 520; 800 y 640

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M)El MCM de dos o más números naturales es el menor múltiplo común de los números dados.

PROCEDIMIENTO

A. Por Descomposición en Factores Primos

a) Hallar el MCM de 120, 36 y 30120 = 23 x 3 x 5

36 = 22 x 32

30 = 2 x 5 x 5

Extraemos los factores comunes y nocomunes cada uno con su mayor exponente.El producto de éstos es el MCM buscado.

MCM = 23 x 32 x 6

MCM = 360

B. Por el Método Abreviado

a) Hallar el MCM de 120, 36 y 30

MCM = 23 x 32 x 5

MCM = 300

120 – 36 – 30 2

60 – 18 – 15 2

30 – 9 – 15 2



15 - 9 – 15 3 23.32.5

5 - 3 - 5 3

5 - 1 - 5 5

1 - 1 - 1 1

Un problema con cerillas

El jugador de turno vació sobre la mesa su caja de cerillas,

distribuyéndolas en tres montones.- ¿Se dispone usted a hacer hogueras? - bromearon los presentes.- El rompecabezas será a base de cerillas - explicó -. Tenemos tresmontoncitos diferentes. En ellos hay en total 48 cerillas. No le digocuántas hay en cada uno, pero observen lo siguiente: si de primer montón paso al segundo tantas cerillas como hay en éste luego delsegundo paso al tercero tantas cerillas como hay en es tercero, y,por último, del tercero paso al primero tantas cerillas como existenahora en ese primero, resulta que habrá el mismo número decerillas en cada montón. ¿Cuántas cerillas había en cada montón alprincipio?



APLICO LO APRENDIDO

1. Considerando que un MÚLTIPLO contienen exactamente a un número dado, completa el siguientecuadro hasta hallar el M.C.M. de los números señalados, aplicando sólo el concepto de M.C.M. (Escribir sólo los 10 primeros múltiplos de cada número)

NUMEROS MULTIPLOSMENOR MULTIPLO COMUN DIFERENTE DE

3 y5 8 y 10 10 y 12 y 8 15 y 20

3 M 3 ={0,3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}

15

5

6

8

10

1215

20

2. Calcula el MCM de los siguientes números por «golpe de vista»


MCM


MCM

3. Halla el MCM de los siguientes números aplicando descomposición en FACTORES PRIMOS ycomprueba tu respuesta hallando el MCM por el MÉTODO ABREVIADO.

a) 6 y 9 e) 35; 70 y 140 i) 25; 40; 15 y 80

b) 2; 4 y 10 f) 25; 50 y 100 j) 16; 30; 64 y 62

c) 24; 30 y 36 g) 12; 6 y 72 k) 18; 30; 24 y 36

d) 18; 64 h) 18; 60 y 64 l) 16; 4; 72; 8 y 64

¿SABIAS QUÉ?

.

Las matemáticas nos hacen la vida más fácil

Las fracciones son muy útiles para muchos aspectos de nuestra vida diaria, y tambiénpara los trabajos de la escuela. Cuando hagas un trabajo o en tus apuntes de clase,numera siempre las hojas con fracciones, así sabrás cuántas tienes en total y podrásordenarlas siempre correctamente. Imagina que tu trabajo tiene 50 hojas, entonces lasnumerarías así: 1/50, 2/50, 3/50... De esta forma, siempre podrás conocer las páginasdel traba o te será más fácil ordenar buscar



EJERCICIOS CON MINIMO COMUN MÚLTIPLO

Y MÁXIMO COMUN DIVISOR

1. ¿cuál es el menor numero , diferente de

cero , divisible a la vez entre 3; 5 y 7?

2. ¿Qué números menores de 70, sondivisibles a la vez por 2, 3 y 4?

3. Tres fábricas de textileria pasan por ciertopuerto. La primera cada 8 días; la segunda

cada 18 días y la tercera cada 21 días.¡Cada cuántos días se hallan los buquesde las tres fábricas simultáneamente eneste puerto?

4. Dos motociclistas dan vueltas en una

pista. El primero cada 48 segundos y elsegundo cada 64 segundos, si salen juntos ambos. ¿Al cabo de cuánto tiempopasaron por el sitio de la partida ¿Cuántasvueltas habrá dado cada uno?

5. ¿Cuál es la mayor longitud de una regla

con la que se puede medir exactamente 3cintas de 120 cm, 180 cm y 240 cm.?

6. Se desea dividir 2 soguillas de 60 y 80metros de longitud en trozos iguales y demayor longitud posible. ¿Cuál es la

longitud de cada trozo resultante?¿Encuantos trozos se divide cada cordel?

7. Hallar el mayor entre el cual se puede

dividir 83 y 127 obteniéndose un residuode 3 y 7 , respectivamente?

8. Hallar el mayor número de personas entrelos que se puede repartir, en partesiguales, 174 soles y 730 soles; sobrando 6y 10 soles respectivamente.



FRACCIONES

Si observamos una tableta de chocolate podemos ver que está dividida en partes iguales, por eso decimosque está fraccionada. Fraccionar, es dividir una cosa en partes iguales. Si, por ejemplo, la tableta tiene16 onzas o fracciones de chocolate, y nos comemos cuatro, decimos que hemos tomado 4/16. Es decir, quede dieciséis trozos, hemos cogido cuatro.

Lo mismo podemos hacer con una torta. Si está dividida en ocho porciones o fracciones iguales y cogemosuna porción, habremos cogido 1/8, es decir, de ocho trozos, cogemos uno. Los números 4/16 y 1/8 sonfracciones.

Una fracción, nos indica que la unidad se ha dividido en partes iguales, y de esas partes, cogemosuna o varias. Las fracciones 4/16 y 1/8, también se pueden representar con un dibujo.

TÉRMINOS DE UNA FRACCIÓN:Una fracción se compone de dos números: el numerador, que es el número de arriba, y el

denominador, que es el de abajo. El denominador indica las partes en que hemos dividido a la unidad, y elnumerador señala las partes que cogemos. Por ejemplo, si partimos un queso en 6 trozos iguales, y noscomemos dos trozos, el denominador, es el 6, las partes en las que se dividió el queso, y el numerador, el 2,las partes que se comen.

LECTURA DE FRACCIONESPara leer una fracción, nombramos primero el número del numerador, y después leemos el denominador deesta forma:

Número de Denominador Leemos2 medio3 tercio4 cuarto5 quinto6 sexto7 séptimo8 octavo9 noveno10 décimo

¿Qué son fracciones?

r Denominado

Numerador

8

5

⇒

⇒

Veinticuatro

Es fácil expresar el número 24 por medio de tres ochos: 8 + 8 + 8. ¿Podrá hacerse estomismo utilizando no el ocho, sino otras tres cifras iguales? El problema tiene más deuna solución.



Por ejemplo si queremos leer las fracciones: 3/4, 7/5, 5/9, lo haremos así: tres cuartos, siete quintos ycinco novenos.

Lee:

AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES♦ Ampliar una fracción, significa hacerla más grande. Para ello, tenemos que multiplicar el numerador y el

denominador por el mismo número. Por ejemplo, si ampliamos la fracción 2/3, elegimos un número, elque queramos, y multiplicamos los dos términos de la fracción por ese número. En este caso, elegimosel 2:

6

4

2

2

3

2=

×

×

Así, la fracción 2/3 ha sido ampliada a 4/6. A estas dos fracciones las llamamos equivalentes, es decir,tienen el mismo valor numérico. Si dos fracciones son equivalentes, tiene que cumplirse una regla: simultiplicamos sus términos en forma de cruz, el resultado, tiene que ser el mismo. En este caso, se cumple

que2 x 6 = 4 x 3; es decir 12 = 12.

Ejemplo:

80

32

40

16

20

8

10

4

5

2) ====a

♦ Para simplificar fracciones o hacerlas más pequeñas, debemos dividir el numerador y el denominador entre el mismo número. Por ejemplo, en la fracción 15/30, hay que buscar un número que se puedadividir entre 15 y 30. La división debe ser exacta. Podemos dividirla entre 3 ó 5, ya que los dos númerosse pueden dividir entre 30 y 15.

Elegimos el 3 para dividir numerador y denominador:

6

3

5

5

30

15=

÷

÷

La fracción 5/10 es una simplificación de 15/30.

Ahora tetoca a ti:

Treinta

El número 30 es fácil expresarle con tres cincos: 5 x 5 + 5. Es másdifícil hacer esto mismo con otras tres cifras iguales. Pruébelo. ¿Nolograrían encontrar varias soluciones?

...............................................................................2

4)

...............................................................................4

8)

...............................................................................3

6)

...............................................................................8

1)

...............................................................................5

4)

...............................................................................7

5)

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

f

e

d

c

b

a




Amplifica: Simplifica:

NOS DIVERTIMOS CON LAS FRACCIONES1. Completa los siguientes cuadros:

LA FRACCIÓN SE LEE5

………………………………………………………..….................

7……………………………………...............................................

11……………………………………...............................................

8

…………………….…………………………………….................23

.………………………………………………………….................

18……………………………………..............................................

21……………………………………..............................................

14………………………..……………………………….................

16……………………………………………..………….................

…………………………………….............................................

Nueve veintiunavos

Diecinueve quinceavos

Doce centésimos

Trece ochentiun avos

Ciento tres milésimos

Quince catorceavos

==

==

==

==

==

5

6)

5

12)

2

1)

3

1)

11

10)

2

4)

3

4)

8

6)

7

1)

4

5)

je

id

hc

g b

f a

==

==

==

=

==

250

155)

105

75)

80

150)

54

108)

240

564)

999

99)

243

81)

1000

500)

180

60)

200

240)

je

id

hc

g b

f a



Mil ocho milésimos

Nueve cien milésimos

Cuatrocientos seis centésimos

Treinta centésimos

II. Calcula la fracción del número que se indica en cada caso:

III. Une mediante una línea cada fracción con el que corresponda:

ADICIONES Y SUSTRACCIONES CON FRACCIONES

1 5

2 8

2 5

2 5

3 2 0

4 4 0

3 6

2 1

5 8

6 9

1 2

5

1 8

1 8

4 5

7 2

2 5

1 2

1 7

7 1

5 8

5 8

1 2

6

5

5

2 6

7 8

F R A C C I Ó N P R O P I A F R A C C I Ó N I M P R O P I AF R A C C I Ó N I G U A L A L A

U N I D A D

1 6

8 5

División por 11

Escriba un número de 9 cifras, sin que se repita ninguna de ellas(es decir, que todas las cifras sean diferentes), y que sea divisiblepor 11. Escriba el mayor de todos los números que satisfaga estascondiciones. Escriba el menor de todos ellos.

=−=−

=+=+=+=−

=−=−=+=+

40

15

15

6)

36

3

120

12)

6

7

30

4)

33

3

21

3)

7

2

14

13)

18

4

60

15)

2

1

20

18)

5

2

16

12)

9

3

25

5)

8

3

24

17)

ji

h g f e

d cba

===

===

===

16227

13)115

23

9)840

14

11)

12621

5)39

13

7)75

15

4)

6012

5)48

8

3)30

5

2)

deidehde g

de f deeded

decdebdea




1. HALLA EL RESULTADO DE LAS SIGUIENTES ADICIONES:

2. EJERCICIOS CON ADICIONES Y SUSTRACCIONES DE FRACCIONES:

a) La mamá de Rosmery compró dos retazosde la misma tela. Uno media 5/8 de metroy el otro 7/12de metro. ¿Cuántos metros

de tela compró?

b) El papá de Josefita compró los 7/8 de unterreno y vendió 5/6. ¿Qué parte lequeda?

c) Juan Carlos recibió los 5/9 de un pastel yPatricio los 20/45. ¿Qué parte del pastelrecibieron entre los dos?

d) De los 13/15 de un tanque de agua se hanconsumido 5/9. ¿Qué parte queda?

=++

=++=++=++

=++=++=++

=++=++=++

14

35

60

45

63

54)

24

7

84

20

30

1)

144

20

72

24

36

44)

120

18

30

16

90

25)

80

36

40

25

42

72)

10

2

5

4

10

8)

4

1

5

4

8

5)

32

24

36

28

12

9)

18

12

20

15

24

16)

12

8

9

3

6

2)

j

ih g

f ed

cba

Línea de 28 fichas¿Por qué las 28 fichas del dominó puedencolocarse, siguiendo las reglas del juego,formando una línea?



e) Manuel vende un terreno de la siguientemanera: a Juan le vende 1/6 del terreno, aLuis le vende 1/5 del terreno y a César levende 1/3 del terreno. ¿Qué cantidad deterreno vendió?

f) María Pía pinta una varilla de la siguientemanera. Las ¾ partes lo pinta de azul, la

1/6 parte lo pinta de amarillo y lo restantelo pinta de rojo. ¿Qué parte de la varillapintó de rojo?

g) José Luis regó ¾ del jardín y Jhoana 1/6del mismo. ¿Qué parte del jardín quedósin regar?

h) Saraí del dinero que tiene gasta los 4/9 dedicho dinero en un vestido, los 1/8 delmismo dinero en un par de zapatos y por último los ¼ del mismo dinero en un reloj.

i) De las naranjas que produce una mata,Carlos recibe 1/5, Rosa 1/3 y Augusto3/10. ¿Cuánto reciben entre los tres?

j) Del dinero que tengo, gasto los 5/9 encomer; los 7/10 en comprar ropa. ¿Quéparte del dinero me queda aún?



k) Miguel, Juan y César compraron unacometa, Miguel pagó 1/6 del precio; Juanpagó los 2/3 y César 1/12, el resto loquedaron debiendo. ¿Cuánto pagaronentre los tres y cuánto quedarondebiendo?

l) Una persona ha invertido 2/8 del día entrabajar, 1/6 del día en las comidas y entrasladarse a su casa, y 8 horas en dormir.¿Qué tiempo libre le ha quedado?

MULTIPLICACIÓN CON FRACCIONES:Resuelve en tu cuaderno y expresa cada resultado en su mínima expresión

EJERCICIOS CON MULTIPLICACIONES CON FRACCIONESm) Si ¾ de los alumnos del 6º grado delColegio Claret son niñas y 2/3 de las niñasson rubias. ¿Qué parte del total no sonniñas rubias?

n) Si una bolsa de papas pesa4

34 kg,

¿cuánto pesarán 9 bolsas iguales?

o) Si los 5/9 de los alumnos de un colegioson mujeres y los 3/10 de las mujeres

usan anteojos. ¿Qué fracción del total sonmujeres con anteojos?

p) En una librería los 2/3 de los libros son deLógico Matemática y los 3/5 de los librosde Lógico Matemática son de 3º grado.¿Qué fracción de los libros son de LógicoMatemática de 3º grado?

q) Una bolsa de caramelos tiene5

22 kg

¿Cuánto pesan 15 bolsas iguales?

=⋅=

=⋅=

=⋅=2

=⋅=

10

4

9

3)

2

1

5

2)

7

3

8

5)

4

3

3

1)

7

4

3

2)

8

3

4)

15

4

16

3)

6

5

3

2)

hded

g dec

f deb

edea



r) Los 7/9 del cargamento de un camión sonfrutas y los 6/14 de las frutas son

manzanas. ¿Qué parte del cargamentoson manzanas?

DIVISIONES CON FRACCIONES

1. Halla el cociente de las siguientes divisiones

2. Halla el resultado de:

OTRA FORMA DE HALLAR COCIENTES:

Halla el resultado de cada expresión:

=÷=÷=÷=÷

=÷=÷=÷=÷

=÷=÷=÷=÷

4

16

25

64)

4

9

27

18)

4

9

27

18)

4

3

9

6)

4

1

12

4)

4

3

3

2)

5

4

6

5)

8

2

10

6)

2

1

5

4)

9

2

7

3)

5

1

5

2)

6

4

4

3)

l k ji

h g f e

d cba

=÷=÷=÷

=÷=÷=÷

=÷=÷=÷

=÷=÷=÷

3

223)5

9

34)

10

324)

28

17)4

10

5)6

7

3)

28

3)

4

36)

8

624)

2

115)

8

627)

5

48)

l k j

ih g

f ed

cba

====

====

====

5

3310

21

)13

20

140

)9

5

60

)

17

5

70)

9

5

27

)12

7

24

)

9

128

36

)

10

825

12

)

5

44

3

)

5

39

6

)

5

412

8

)

4

112

4

)

ml k j

h g f e

d cba

¿Pasar bajo los aros o golpear la bola del contrario?

Los aros del croquet tienen forma rectangular. Su anchura es dosveces mayor que el diámetro de las bolas. En estas condiciones,¿qué es más fácil? ¿Pasar el aro sin rozar el alambre, desde laposición mejor, o a la misma distancia golpear la bola del contrario?



PROBLEMAS CON DIVISIONES DE FRACCIONES:

1) Si un saco de harina pesa3

245 kilogramos.

¿Cuál será el peso de 6 sacos?

a) 246 kg b) 274 kg c) 376 kgd) 724 kg

2) En un salón de clase hay 48 alumnos. 2/3 sonniñas. ¿Cuántos niños hay en el salón?

a) 48 b) 356 c) 16 d) 32

3) Si hacemos paquetes de4

37 kg. ¿Cuántos

kg hay en 36 paquetes?

a) 279 b) 265 c) 289 d) 278

4) Stefany reunió100 figuritas para su colección.Pegó en el álbum 4/5 de ellos. ¿Cuántasfiguritas no pegó en el álbum?

a) 40 b) 45 c) 48 d) 19

5) La abuelita de Marlon compró pollos que

pesaban432 Kg. cada uno. Si compro 8

pollos ¿Cuántos Kg. de pollo compró?

a) 22 b) 24 c) 26 d) 28

6) Un albañil levanta5

23 metros de pared en 1

día. ¿Cuántos metros constituye en 20 días?

a) 60 b) 64 c) 68 d) 70

¿Pasar la ratonera o dar en la bola del contrario?

La anchura de los aros rectangulares es tres veces mayor que el diámetro de la bola. ¿Qué es más fácil, pasar, desdela mejor posición, la ratonera sin tocarla, o desde la misma

distancia, tocar la bola del contrario?



POTENCIACIÓN CON FRACCIONES

Para hallar la POTENCIA de una fracción se eleva el numerador y denominador a dicho exponente.

O sea:

APLICO LO APRENDIDO1. Halla las potencias de:

El valor de A2 es:

El valor de2

112 − A es:

RADICACIÓN CON FRACCIONESSí:

PRACTIQUEMOS UN POCO1. Halla las raíces de:

2. Halla el valor de4

2B

A+

Sí:

( )( )

n

nn

b

a

b

a

=

125

27)

81

1)

9

49)

6

5)

4

3)

2

1)

34

23

22

=

=

=

=

=

=

f e

d c

ba

4

3

6

4

3

21

2

1:) +

−= ASea g

36

20)

16

25)

25

20)

16

15)

d c

ba

12

7

2

11

4

3:)

2

+

−= M Sih

12

5)

12

7)

12

10)

12

11)

d c

ba

b

a

b

aentonces

b

a

b

an

n

n

n =

=

====

====

144

121)

36

16)

100

169)

8

27)

81

49)

64

25)

144

36)

9

4)

3 h g f e

d cba

3

11

3

1

9

4

6

5

6

5

2

1

36

25

4

322

+

−

=−

+

= B A



OPERACIONES COMBINADAS1. Resuelve teniendo en cuenta las jerarquías operativas:

2. Resuelve las operaciones combinadas:

PROBLEMITAS

1. Jessica debe S/. 75, si paga S/. 25.¿Qué parte del total debe aún?

a) 1/3 b) 1/2

c) 2/3 d) 4/3

2. Aldo realiza el lunes 1/8 de una obra, elmartes 1/4, si debe terminar la obra eldía miércoles. ¿Qué parte de la obraejecuta el miércoles?

a) 5/8 b) 1/2

c) 2/8 d) 4/8

3. Al terminar una trabajo reciben Juan 4/5 de S/. 150,Rubén 3/4 de S/. 200 y Maura 7/8 de S/. 400.¿Cuánto reciben los tres juntos?

a) S/. 600 b) S/. 620

c) S/. 564 d) S/. 782

4. Nadia tiene 24 metros de tela, si necesita 3/4 demetro para hacer un vestido de muñeca. ¿Cuántosvestidos hará con los 24 metros?

a) 26 b) 28

c) 30 d) 32

5. Sí por un cuarto de kilogramo de oro se paga S/. 1500. ¿Cuánto se pagará por dos kilogramos?

a) 10 000 b) 11 000

=÷+×

+=−×÷−

=+−+=+−÷−÷

=

+−÷

−+=−+×+÷

=−×

−+=−

−÷+

=

×+=

−

5

25

5

9

3

22

4

13

8

5))34(

11

9)36)(

9

4

6

1

18

7

12

5)

14

3

7

506

7

3

5

3

5

12)

5

21

2

3

5

6

2

1

4

3

3

2)

10

1

25

1

10

1

5

3

5

14)

13

4

10

1

4

3

2

1)1.

8

3

9

4

5

63

2

1)

3

22

4

12

3

15)

6

7

6

14

3

2)

2222 ji

h g

f e

d c

ba

÷

=÷+×

+=

−÷

−

=×

−

+÷

+

−=

×+÷−

+

=

−−

−

=

+

×

−+

=−

÷

÷

++

=×−÷+−

=÷

÷+=÷++−÷

=⋅+

÷

−=×−

−÷

12

5515

9

356

32

12

5)

9

22

56

8

13

4

123

)

33

12

3

11

3

2

6

15

3

2

1

)

10

120

115

2

2

13

10

110

12

)

2

1

3

5

11

4

12

12

)

2

143

1

5

6

2

112

1

)

2

1

5

3

24

114

12

)8

715

246

1

4

13

34

13

)

23

216

53)34(

15

7)

8

23)46()39(

7

42)

14

6

10

7

18

24

8

3

8

12

245

12)

26

7

21

13

2

3

4

5

9

7)

22

2

222232

l k

ji

h g

f e

d c

ba



c) 12 000 d) 14 000

6. Kelly resolvió la 1/2 de su tarea, Maicolla 3/5 partes y David 5/6. ¿Quién de lostres resolvió la mayor parte de su tarea?

a) Nelly b) Maicol

c) David d) Ninguno

7. Nancy tiene una parcela de terreno,siembra 1/10 de lechuga, 2/5 deespinaca y el resto de col. ¿Qué partedel total esta sembrado de col?

a) 1/10 b) 5/10

c) 7/10 d) 4/10

8. Un ciclista empieza a correr a las 10 3/4

horas, sí corre 2 1/2 horas. ¿A qué horatermina la carrera?

a) 13 1/3 b) 131/2

c) 13 1/4 d) 13 4/3

9. Un recipiente de vino tiene una capacidad de 8 1/4litros, si se vende primero 2 1/2 litros y luego 3 litros.¿Qué cantidad de vino queda en el recipiente?

a) 2 litros b) 2 3/4 litrosc) 2 2/3 litros d) 4 1/3 litros

10. Raquel tiene 120 kg de miel que debe guardar enrecipientes de 3/4 kg. ¿Cuántos recipientesnecesita?

a) 100 b) 150

c) 160 d) 180

¿Quién ha cogido cada objeto?Para presentar este ingenioso truco, hay que preparar tres cosas u objetos pequeños quequepan fácilmente en el bolsillo, por ejemplo, un lápiz, una llave y un cortaplumas. Además,se coloca en la mesa un plato con 24 avellanas; a falta de ellas pueden utilizar fichas del juego de damas, de dominó, cerillas, etcétera. A tres de los presentes les propone quemientras esté usted fuera de la habitación, escondan en sus bolsillos, a su elección, unocualquiera de los tres objetos: el lápiz, la llave o el cortaplumas, y se compromete usted aadivinar el objeto que ha escondido cada uno.El procedimiento para adivinarlo consiste en lo siguiente: Al regresar a la habitación una vez

que las tres personas hayan escondido los objetos en los bolsillos, les entrega usted unasavellanas para que las guarden. Al primero le da una avellana, dos al segundo y tres altercero. Las restantes las deja en el plato. Luego sale usted otra vez dejándoles las siguientesinstrucciones: cada uno debe coger del plato más avellanas; el que tenga el lápiz tomarátantas como le fueron entregadas; el que tenga la llave, el doble de las que recibió; el delcortaplumas, cuatro veces más que las que usted le haya dado. Las demás avellanas quedanen el plato.Una vez hecho todo esto y dada la señal de que puede regresar, al entrar en el cuarto echausted una mirada al plato, e inmediatamente anuncia cuál es el objeto que cada uno guardaen el bolsillo.

¡Ahora te toca a ti!



En nuestras notas de clase, en los tiempos que realizanlos deportistas, o para medir nuestra estatura, utilizamoslos números decimales. Estos números, nos permiten

obtener medidas más exactas que los números enteros.

LAS UNIDADES DECIMALESMaría no se encuentra bien. Hoy no irá a la escuela, su madre le ha puesto el termómetro, y tiene

unas décimas de fiebre.

El termómetro está graduado desde 35 grados de temperatura, hasta 41. Cada una de lastemperaturas está dividida en diez partes, cada parte es una décima y se puede representar con unafracción 1/10 o con un número decimal 0,1. Se lee cero coma uno.

Las unidades decimales se representan siempre después de una coma y resultan de dividir unaunidad en diez, cien o mil partes. Si la unidad se divide en diez partes, se llama décima; si se divide encien, centésima y si se divide en mil partes, milésima.

EL VALOR DE POSICIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES.Hoy han dado las notas del examen de matemáticas. Luis ha sacado un 5,75 y Ana un 7,253, unabuena nota. Las dos calificaciones son números decimales, números que tienen dos partes separadaspor una coma. A la parte de la izquierda, se le llama parte entera y a la de la derecha, detrás de lacoma, parte decimal.

El número 5,75 tiene 5 unidades de parte entera, 7 décimas y 5 centésimas.

También podemos descomponer el número de la siguiente manera:

5 unidades.7 décimas = 0,7 unidades.

5 centésimas = 0,05 unidades.

El número 7,253 tiene 7 unidades, 2 décimas, 5 centésimas y 3 milésimas, o lo que es lo mismo:

7 unidades.

2 décimas = 0,2 unidades.

5 centésimas = 0,05 unidades.

3 milésimas = 0,003 unidades.

LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS DECIMALESPara leer un número decimal, escribimos primero la parte entera, seguida de lapalabra "unidades" o “enteros” y a continuación la parte decimal, seguida de lapalabra décimas, centésimas o milésimas, según tenga una, dos o tres cifrasdecimales. Por ejemplo:

a) 3,4: Se lee, tres unidades y cuatro décimas.

b) 12,58: Doce unidades y cincuenta y ocho centésimas.

c) 45,786: Cuarenta y cinco unidades y setecientas ochenta y seis milésimas.

NÚMEROS DECIMALES



Para escribir un número decimal, ponemos primero la parte entera y al llegar a la palabra"unidades", ponemos la coma. Después escribimos la parte decimal, teniendo en cuenta que debe tener elnúmero de cifras decimales que corresponde a la palabra final.

Es decir, si queremos escribir los números: Catorce unidades y cuarenta centésimas: 14,40.

NOS EJERCITAMOS

FRACCIÓN NÚMERO SE LEE

10

30,3 Tres décimos

100

140,14

10000

1250,001

Veinticuatro milésimos

0,0078

1000

27

5 enteros 312 diez milésimos

10000

7

2,006

1,3472

EL TABLERO DE VALOR POSICIONAL DE LOS NÚMEROS DECIMALES

PARTE ENTERAU , PARTE DECIMAL

C e n t e n a s d e m

i l l a r

D e c e n a s d e m

i l l a r

U n i d a d d e M

i l l a r

C e n t e n a s

D e c e n a s

U n i d a d e s

C O M A

D E C I M A L

d é c i m o s

c e n t é s i m o s

m i l é s i m o s

d i e z m i l é s i m o s

c i e n m i l é s i m o s

m i l l o n é s i m o s

CM DM UM C D U d c m dm cm mll



1. Lee los siguientes números decimales:

a) 0,273 = …………………..…………………………………………………

b) 87, 35 = ………………..……………………………………………………

c) 0, 001 = …………………..…………………………………………………

d) 6, 172 = ………………..……………………………………………………

e) 92,92345= …..………………………………………………………………

f) 568,251487 = .……………………………………………………………

g) 0,0025 = ….………………………………………………………………

h) 123,258 = …………………………………………………………………

i) 0,21 = ……..………………………………………………………………

2. Escribe los siguientes números decimales:

a) Ocho enteros y cinco décimos = ……………………….…………………………………………………...

b) Veintidós centésimos = ………………………………………….............................................................

c) Tres enteros y veintinueve cien milésimos = ……………………………………………………………...

d) Cinco diez milésimos = ………………………………………………………………………………………

e) Ochocientos veinticuatro enteros cinco diez milésimos = ………………………………………………

f) Treinta y cuatro enteros, trece milésimos = ………………………………………………………………

g) Cuatro enteros, cinco millonésimos = …………………………………………………………………….

h) Tres diez milésimos = ………………………………………………………………………………………

COMPARACIÓN DE DECIMALESI. Marca la alternativa que consideres adecuada:

1. ¿Cuál es el menor de los números decimales presentados:

a) 0,76 b) 0,7 c) 0,734 d) 0,00076

2. ¿Cuál es el mayor de los números?

a) 4,38 b) 4,098 c) 4,982 c) 4,9

3. Coloca el número que falta:

a) __________ > 87,469 b) 65,328 < __________

Ahora te toca a tí



c) 278,85 = _________ d) ________ < 846,75 – 376,9

II. Coloca <, > ó = en los siguientes casos:

23,986 ________ 72,687

0, 657 ________ 0,675

99,876 ________ 99,646

76,85 _________ 67,58

81,56 _________ 98,74

76,89 _________ 76,89

269,768 ________387,857

III. Ordena en forma ascendente (de menor a mayor)

23,867; 76,476; 98, 736; 10,756; 8,37; 25,8; 80,67; 87,56

____________________________________________________________

IV. Ordena en forma descendente (de mayor a menor)

54,86; 53,67; 60,35; 54,80; 64,67; 50,756; 68,746; 56,89

____________________________________________________________

OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

1. ADICIONES CON NÚMEROS DECIMALES:María, Ana y Luis han medido sus estaturas. María mide 1,30 metros, Ana 1,47 metros y Luis 1,56.Quieren saber cuánto miden entre los tres, para lo cual, deben hacer esta suma con decimales:

1,30 +1,47 +1,56

Para sumar números decimales, debemos colocar en columna las cantidades, haciendo coincidir losórdenes de unidades, es decir, todas las comas deben estar debajo unas de otras. Después sumamosnormalmente y finalmente colocamos la coma, debajo de las comas de los sumandos, así:

1, 3 0 +

1, 4 7

1, 5 6

4, 3 3

NOS EJERCITAMOSI. Halla el resultado de las siguientes adiciones:

1. 25,214 + 0,182 + 6,2 =

2. 0,6 + 12,3 + 3 + 0,005 =

3. 872 + 34,567 =

4. 32,342 + 23, 34 + 3,120 =

5. 834 + 0, 4746 + 2,4 =

6. 0, 236 + 34, 523 + 34,45 =

7. 64,82 + 6,36 + 6 525 =

8. 98,47 + 4,87 + 237,674 =

9. 364,983 + 0,736 + 826 =

10. 284, 736 + 5,9027 + 0,64 =



2. SUSTRACCIÓN CON NÚMEROS DECIMALES:El padre de Luis mide 1,80 metros y Luis 1,56. Luis se alimenta muy bien para llegar a ser tan alto comosu padre. Pero... ¿cuántos metros le faltan para ser igual de alto que él? Para averiguarlo, debemoshacer una sustracción con decimales.

Para restar con decimales, colocamos el minuendo arriba y debajo el sustraendo, haciendo coincidir losdistintos órdenes de unidades y las comas debajo de las comas. Después restamos normalmente y alfinal colocamos la coma en el lugar que le corresponde. En la operación anterior, lo haríamos así:

1,80

-1,56

0,24

Si tenemos que restar un número entero de un número decimal, debemos completar con ceros en elminuendo, para igualar las cifras del número del sustraendo.

Por ejemplo si tenemos que restar 7 – 2,45: Colocamos el siete que es el minuendo, con una comay dos ceros para igualar las cifras del sustraendo y después restamos, de esta forma:

7, 00

- 2, 45

4, 55

NOS EJERCITAMOS

1. Resuelve y halla la diferencia de los siguientes ejercicios:

a) 258,54 – 35, 88 =

b) 800 – 627, 726 =

c) 400 – 263, 079 =

d) 317,6 – 198 =

e) 38,4 - ( 40 – 17,378) =

f) (13 + 43,74) – (43,65 –41,7) =

g) 1 000 – [348,7 + (500 –72,456)] =

h) 1 235,8 – [759,5 + (624 –329,682) ] =

i) 284, 746 – (87,3556 +129 )+ 1,23 =

j) (827,34 – 736,2) + (23, 453 – 12,34) =



EJERCICIOS

1. Daniela paga por 2 kg de turrón con un billetede S/.20 y recibe de vuelto S/4,50; luego

compra 2 kg de carne a S/. 9,75 el kilogramo.¿Cuánto gastó en total?

2. Para comprar un juguete que cuesta S/.30 mefalta S/.5,60, si me prestara S/.10 paracomprar el juguete. ¿Cuánto me sobraría?

3. La medida de una pizarra de formarectangular es 3,75 metros de largo y 2,45metros de ancho. ¿Cuánto mide el perímetrode la pizarra?

4. Arnaldo compra 50 metros de tela, utilizaprimero 10,75 metros, luego 15,5 metros.¿Cuántos metros aún le queda por utilizar?

5. Un recipiente tiene 125 litros de capacidad, sise vierte primero 36,725 litros y luego 42,5litros. ¿Cuántos litros le faltaría echar paraque se llene el recipiente?

6. Raúl recibe un adelanto de S/.100, paga por un pantalón S/. 34,50 y por unos zapatosS/. 12,75 más que el pantalón. ¿Cuánto lequeda?

7. Gisela gana S/. 25 al día, Idalí S/. 3,50 menosque Gisela y Jessica S/. 8,75 más que Idalí.

¿Cuánto cobrará Jessica después de 3 díasde labor?

8. Andrés compra un pantalón por S/. 125,50una camisa por S/. 28,75 menos que elpantalón y una chompa que cuesta S/. 17,50más que la camisa. ¿Cuánto pagó por las tresprendas?

9. José tiene S/. 62,80; quiere comprar unapelota que cuesta S/. 105, pide a Sebastián

S/. 30 quien le da S/. 4,50 metros de lo que lepide. Pide a Carlos S/. 20,50 y le da S/. 6,75más de lo que pide. ¿Cuánto le falta o lesobra para comprar la pelota?

10. Ángela tiene 350 kg de quinua, vende primero53,80 kg, luego el doble de lo que vendióprimero menos 17,50 kg y la tercera ventatantos kilogramos como las dos ventasanteriores juntas. ¿Cuántos kg aún les faltavender?

MULTIPLICACIÓN CON DECIMALES

Desde su casa al colegio, Fernando debe recorrer cada día 1,654 kilómetros. ¿Cuántoskilómetros habrá recorrido en una semana de clase? (De lunes a viernes, cinco días).

Hacemos una multiplicación con decimales para saberlo:1,654

x 5

8,270

Para multiplicar números decimales, hacemos primero la operación y después, una vez quetengamos el resultado, contamos de derecha a izquierda tantos lugares como cifras tenga el númerodecimal, después colocamos la coma decimal. En el caso anterior, como teníamos tres lugares apartir de la coma, en el resultado contamos de derecha a izquierda tres lugares y allí ubicamos lacoma decimal.

Multiplicar por la unidad seguida de ceros

Una conserva de tomate en lata pesa 0,540 gramos, ¿cuánto pesarán 10, 100 y 1.000 botes? Paracalcularlo no es necesario hacer la multiplicación, utilizamos las reglas de la unidad seguida de ceros. Paramultiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros, basta con correr la coma hacia la derechatantos lugares como ceros sigan a la unidad.



Es decir: 0,540 x 10 = 0 5,40, como multiplicamos por diez, corremos la coma hacia la derecha unlugar y los ceros de izquierda los quitamos porque no tienen valor alguno, es decir, nos quedaría 5,4.

0,540 x 100 = 0 54,0 al multiplicar por cien, debemos correr dos lugares la coma hacia la derecha,eliminamos el cero del principio y del final, porque 054,0 = 54 , y nos queda el número 54.

0,540 x 1.000 = 0540, como multiplicamos por mil, desplazamos la coma tres lugares y nos queda elnúmero 540.

MULTIPLICACIÓN POR 10, 100, 1 000, ETC1. Halla el producto de:

a) 7 436 x 10 =

b) 0,53 x 1 000 =

c) 2,64 x 10 =

d) 4,4 x 1 000 =

e) 7,309 x 10 000 =

f) 0,64 x _______ = 640

g) 36,894 x _________ =3698,4

h) 0,300096 x ________ =30,96

i) 7,02 x ____________ =702

j) 1,6435 x ___________ =164,35

COMPRUEBA LO QUE APRENDISTEI. Resuelve las siguientes multiplicaciones:

a) 2 543,98 X 3,6 =

b) 35,8754 X 6,9 =

c) 946,56 x 72,8 =

d) 4 564 por 6,97 =

e) 4 (7 – 6,45) + 2 (3,5 + 5,78) =

f) 100 – 4 (15,6 + 4,98) =

g) 214 – 12 (20 – 4,64) + 156,8 =

h) 275,6 + 4 (23 + 6,75) – 298,862 =

i) Si: A = 4 ( 15 – 12,5) + (12,5 + 7,5)

B = 100 – 6 (20 – 14,8)

Halla: 2A + B – 10,078

j) E = 17 – 2 ( 4,5 + 3,75) + 2,9F = 15 (7 – 4,8 + 3,64) – 5 (6 – 3,4)

Halla: 4E + F

k) 10 (36 – 24,5) + 100 ( 49,8 + 37,24)

l) 100 ( 19 – 4,62) – 10 (23,8 – 6,5)

m) 10 ( 4,96 + 16,24) + 186 – 100 ( 17 – 4,63)

n) 100 + 100 (4 – 2,5) – 10 ( 28,6 + 7,9)

La lente biconvexa

Con una lupa, que aumenta cuatro veces, se observa un ángulo de gradoy medio. ¿Con qué magnitud se ve?



EJERCICIOS

1. Daniel y sus cuatro hijas van al circo, laentrada al circo cuesta S/. 10,60 por persona;

en el espectáculo compra golosinas por S/.24,75. Si tenía S/. 100. ¿Cuánto le queda?

2. Mariluz compra 15,25 metros de percala aS/.8 el metro. Si paga con dos billetes deS/. 50. ¿Cuánto recibe de vuelto?

3. César compra un par de medias por S/. 7.25,una gorra por el doble de lo que costo lasmedias y un polo por el triple de la gorra. Sipaga con un billete de S/. 50 y otro de S/. 20.

¿Cuánto recibirá de vuelto?

4. Miriam compra 75,6 metros de cable aS/. 0,75 el metro; 428,50 metros de alambróna S/. 2,40 el metro y 64 bolsas de cemento aS/. 18,25 la bolsa. Si tiene para pagar S/. 2 500. ¿Cuánto le queda?

5. Laura compra medio millar de lápices aS/. 0,75 cada uno, un cuarto de ciento detajadores a S/: 2,20 el ciento; cuatro millares

de lapiceros a S/. 0,30 cada uno. ¿Cuánto lequeda si tiene S/. 1 052,50?

6. Luis compra un cuarto de millar de trompos aS/. 1,20 cada ciento, si vende un ciento aS/. 1,75 y el resto de cientos a S/. 1,90.¿Cuánto gana en total?

7. Denys paga S/ 4,25 por un cuarto de kg depasas importadas. ¿Cuánto pagará por 24,74

kilogramos.

8. Mery compra un ciento y medio de melones aS/. 0,55 cada uno, si vende dos quintos aS/. 1,20 y el resto a S/. 1,25. ¿Cuánto ganaen total?

9. Camilo compra el metro de polipyma aS/. 7,00 , y lo vende ganando la mitad de sucosto . ¿A cuánto vende primero undecímetro, segundo 35 centímetros, tercero

un metro y medio?

10. Un auto recorre 12 hm 4 dam 3m, por minuto, si parte a las 8:15 a.m. y llega a sudestino a las 10: 30 a.m. ¿Qué distancia enkilómetros recorre?

11. María tiene 24 metros de cable eléctrico aS/.4.50 el metro, un comerciante ha medido elcable con un metro ya gastado que media 98cm. ¿Qué perdida sufre María?

12. Una persona recorre 2000 pasos de 75 cmcada paso ¿Cuántos km ha recorrido?

13. El piso de un dormitorio tiene 3,6 m de ancho.Si se que quiere cubrir dicho piso conalfombra, ¿Cuánto de ancho tendrá laalfombra?

DIVIDIR CON DECIMALESUnos excursionistas quieren subir una montaña de 3,78 kilómetros y llegar a la cima en 2horas. Para saber cuántos kilómetros deben recorrer en cada hora, hacen una división condecimales.

Para realizar una división de un número decimal entre un número entero, debemos quitar la coma deldividendo y añadir tantos ceros al divisor, como cifras tenga el dividendo.

Podemos tener otros casos en las divisiones con decimales:

1. Si al hacer la operación, el dividendo es más pequeño que el divisor, por ejemplo 2,56: 12; escribimosun cero en el cociente seguido de una coma, añadimos un cero en el dividendo y comenzamos la



operación. Si aún sigue siendo menor el dividendo, le añadimos otro cero y añadimos después de la comaen el cociente, otro cero, y así sucesivamente.

2. Si al dividir dos números enteros, por ejemplo 24: 5, queremos sacar decimales, escribiremos una comaa la derecha del cociente que hemos obtenido y dividiremos normalmente añadiendo un cero a cadaresto que vayamos obteniendo.

División por la unidad seguida de ceros

Para dividir un número decimal por la unidad seguida de ceros, primero escribimos el número sin coma, ydespués corremos la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros acompañen a la unidad. Si se nosacaban los lugares, añadiremos ceros a la izquierda. Es decir, si queremos dividir el número 8,972 entre 10,100 ó 1.000, lo haremos así:

8,792: 10 = 0,8792; como no teníamos más lugares a la izquierda, hemos añadido un cero para poder correr la coma.

8,792: 100 = 0,08792; añadimos dos ceros a la izquierda para poder correr la coma.

8,792: 1.000 = 0,008792; añadimos tres ceros a la izquierda para poder correr la coma.

NOS EJERCITAMOSI. Resuelve las operaciones combinadas que se te presentan a continuación

=+

×−+

−+

−

=−

−−

−+−

=+−−+=− −+

=×

+−=

−÷+

002,0

)5,25,1(

)05,9698(100

)25,75,4(10)8)96,89(10:

)525,1(100

)5,710(4)7

)5,06,0(

2125,0

)5,0(1

)6)96,89(10)75,910(4

)25,0:2,0(10)5

)08,0:4(2)96,67(10)96,1112(516)4

)2,3536(10)3,18,4(215)3

05,02

4,0:4)75,02(10)2

)8,01(

02,06,3)4,2(10)1

23

2

2

3

3

2

2

22

1 unidad dividida

en 10 partes iguales = 0,1

1 unidad dividida


1 unidad dividida


DÉCIMA

CENTÉSIMA

MILÉSIMA



EJERCICIOS1. Patricio necesita embotellar 75 litros de aceite

en recipientes de ¾ de litro. ¿Cuántasbotellas utilizará?

2. Ada compra 6 docenas de cuadernos aS/. 2,25 la unidad, además recibe de regalomedia docena de cuadernos, si vende estosganando un quinto de sol por cada cuaderno.

¿Cuánto ganará en total?

3. ¿Cuál es la longitud de un rollo de plásticoque ha costado S/. 562,50. Sabiendo que al

vender 30 metros en S/. 180 se ha ganadoS/. 1,50 por metro?

4. Carmelita compra 10 kg de carne a S/. 8,60 elkilogramo, siendo los huesos 2/5 del pesototal. ¿cuál es el precio del kilogramo decarne sola?

5. Marú compra medio ciento de papayas por S/. 112,50, vende 3/5 del total a S/. 2,80 cadauna y el resto a S/. 3. ¿Cuánto gana en total?

6. Por un tubo de 37,35 m se paga S/. 388,35,se vende la tercera parte a S/. 12 el metro yel resto a S/. 14,50 el metro. ¿Cuál es la

ganancia total?

¿SABIAS QUE?

El mayor salto de patines con decimales

Aunque normalmente utilizamos los números decimales para multitud de situaciones, una de susmayores utilidades, es medir distancias. En estos últimos tiempos, se han puesto de moda en todoel mundo los patines en línea, a pesar de que son más viejos de lo que creemos. Ya los esquimaleslos hacían con huesos de animales a principio de siglo, hoy se hacen competiciones de salto con



estos patines en todos los lugares del planeta. El salto más espectacular lo hizo un suizo en el año1996. Llegó a saltar 2,7 metros de altura sobre el suelo, casi podríamos decir que voló.

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES

DECIMAL EXACTO O TERMINANTE:Son aquellas fracciones que al dividirse da unnúmero exacto. Así:

DECIMAL PERIÓDICO PUROSon aquellas fracciones que al dividirse, el númerode la parte decimal se repite infinitamente.

DECIMAL PERIÓDICO MIXTOSon aquellas fracciones que al dividirse, hay ununa parte periódica y otra no periódica. Así:

GENERATRIZ DE UN NÚMERO

Generatriz de un número decimal es la fracción equivalente e irreductible a dicho decimal. Observemoscómo hallamos la generatriz de:

NÚMERO DECIMAL EXACTO:En el numerador se pone el número decimal ycomo denominador la unidad seguida de tantosceros como cifras tenga la parte decimal. Luego sesimplifica hasta que la fracción sea irreductible.

NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO:En el numerador se pone el periodo y comodenominador tantos nueves como cifras tenga elperiodo. Se simplifica hasta que quede una cifrairreductible.

NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO:En el numerador se pone la parte no periódicaseguida de un período, menos la parte noperiódica y como denominador tantos nuevescomo cifras tiene el periodo seguido de tantosceros como cifras tiene la parte no periódica.

Recuerda: se llamafracción irreductible aaquella que no se

puede simplificar

A resolver seha dicho

==

==

==

10

7)

5

4)

5

3)2,0

5

1)

4

2)5,0

2

1)

f c

eb

d a

==

===

11

7)....666666666,0

3

2)

9

11)36,0....3636,0

11

4)

d b

ca

=

==

==

15

8)

12

17)

15

8)

14

31)....1666666666,1

6

7)

c

eb

d a

5

47

10

944,9)

5

18

10

3636,0)

== ==

b

a

9

25

9

727,2...77777,2)

9

55,0....55555,0)

===

==

∩

∩

b

a

30

37

90

111

90

211

90

223132,1....2333333,1)

45

37

90

74

90

88228,0....822222,0)

===−

==

==−

==

∩

∩

b

a



DESAFÍO MI HABILIDADI. Halla la generatriz de cada número y luego simplifícalo a su mínima expresión:

a) 0,4 =

b) 2,41 =

c)8,34 =

d) 10,17 =

e) 12,243 =

f) 15,021 =

g) 0,888… =

h) 5,444… =

i) 4,222 …=

j) 0,111… =

k)0,333333333…=

l) 3,757575…=

m) 4,1535353… =

n) 2,0111…… =

o) 2,56444….=

p) 0,6555…=

q) 4,8999….=

r) 1,9888... =

II. Convierte a decimal las siguientes fracciones:

III. Realiza las siguientes operaciones:

===

===

===

===

79

171)

65

145)

20

25)

10

5)

200

37)

90

119)

495

71

)90

73

)18

11

)

15

4)

33

4)

11

16)

l k j

ih g

f ed

cba

=

−+÷

÷=

−

÷=+

÷

==

=

=−

++=

+−

+=+

+

=

++

−=−+=+

+

4

1

3

1

2

1

5

2

6

20)

12

3

5

4

3

10)

25

1

6

5

5

6)

3

2.

8

21.

6

15.

5

10.

2

3)

5

20

8

10

5

4)

4

6

3

2)

6

5

5

4

4

3

3

2)3

1

3

2

2

13

2

15)2

1

3

3

3

2)

4

2

4

6

4

3

4

7)

8

1

8

9

8

1)

5

7

5

5

5

3)

l k j

ih g

f ed

cba

Razone

He aquí una pregunta que sin duda alguna parecerá muy cándida, o por el contrario, demasiado sutil. ¿Cuántas caras tiene un lápiz de seisaristas?



1. RAZÓN O RELACIÓNEs el resultado de comparar dichascantidades. La comparación entre doscantidades puede efectuarse de dosmodos distintos que son:

a) Razones Aritméticas

Cuando se realiza por medio de ladiferencia de dos cantidades.

La razón aritmética de 9 y 5 se escribe:

9 - 5 = 4

Se leerá «nueve excede a cinco en

cuatro unidades».

b) Razones Geométricas

Cuando se calcula el cociente entre doscantidades.

La razón geométrica de 9 a 3 se escribe:

9 / 3 =3

Se lee «nueve es tres veces tres».

PROPORCIONESEs la comparación de 2 razones, que pueden ser:

1.- Proporción aritmética

Es la comparación de 2 razones aritméticas.Ejm :

6 – 2 = 10 – 6

4 = 4

Se lee: “ 6 excede a 2 como 10 excede a 6 en 4 ”.

Clases de proporción aritmética

a) Proporción aritméticadiscreta.- Cuando sus 4 términos sondiferentes.

Donde:

A Y D: Son términos extremos.

B Y C: Son términos medios.

D : Es cuarta diferencial.

Ejm :

Hallar la cuarta diferencial de 10, 8 y 2.

Solución:

10 – 8 = 2 – x

0 = x

b) Proporción aritmética

continua.- Cuando sus términos mediosson iguales.

Donde:

A Y C: Son términos extremos.

B Y B: Son términos medios.

B: Es la media diferencial.

C: Es la tercia diferencial.

Ejm :

~ Hallar la media diferencial de 10 y 8.

Solución :

10 – x = x – 8

x = 9

~ Hallar la tercia diferencial de 10 y 8.~ Solución :

10 – 8 = 8 – x

x = 6

2.- Proporción Geométrica.- Es la igualdad dedos razones geométricas.

Se lee: A es B como C es a D.

Donde:

A Y D Términos extremos.

RAZONES YPROPORCIONES

Antecedente Consecuente

Antecedente Consecuente

A – B = C – D

A – B = B – C

D

C

B

A=



B y C Términos medios.

Clases de proporción geométrica

a) Proporción geométrica discreta.- Cuandosus 4 términos son diferentes.

Donde:

A Y D Términos extremos.

B y C Términos medios.

D: Es la cuarta proporcional.

Ejm :

Hallar la cuarta proporcional de 12, 3 y 4.

Solución:

12: 3 = 4: x

x = 1

b) Proporción geométrica continua: Cuandosus términos medios son iguales.

Donde:

A Y C Términos extremos.

B y B Términos medios.

B: Es la media proporcional.

C: Es la tercera proporcional.

Ejm :

Hallar la media proporcional de 4 y 9.

Solución:

4: x = x: 9

x = 6

Hallar la tercia proporcional de 8 y 2.

Solución:

8: 2 = 2: x

x = 2

APLICAMOS LO APRENDIDO01. Aplico la propiedad fundamental y hallo el valor de x.

10

35

2

1)

)416()14(

16)

19

9)720()

)2010(76)

7)120()110()

15

)15(

)14()

)610(4

3)

)10199(

)199(10)

9

819)

48

12

8)

24

62)

25

20

5)

5

4

10)

56010)

3051)

=

+=

++=+

+==+−

=++

+=

++==

==

==

==

x

o

xn

xm

xl xk

x j

xi

xh

x g

x f

xe

xd

xc

xb

xa

D

C

B

A=

C

B

B

A=

¡Ahora te toca a ti!



COMPRUEBO LO QUE APRENDÍ1. Hallar el valor de x .

xd

xc

xb

xa

10

10

1)

64

81)

189

8)

12

6

6)

==

==

2. Hallar la media diferencial de 20 y 10.

a) 15 b) 200 c) 25 d) 30

3. Hallar la tercia diferencial de 12 y 6.

a)1 b)0 c) -1 d) 2

4. Hallar la cuarta diferencial de 20 , 12 y 16.

a) 6 b) 5 c) 7 d) 8

5. Hallar la cuarta proporcional entre 3; 7 y 6

a) 10 b) 8 c) 11 d) 14

6. Hallar la cuarta proporcional entre 3; 7 y 1,5.a) 1,5 b) 5,1 c) 3,5 d) 5,3

7. Hallar la cuarta proporcional entre 8; 9 y 4.

a) 5,4 b) 6 c) 2,5 d) 5 e) 4,5

8. Si sabemos que 1 es a 1,5 como 6 es a z.¿Cuál es el valor de z?

a) 9 b) 6 c) 7,5 d) 3,5

9. Si: 416

x

14

16

+=

+ entonces hallo 2x - 1.

a) 64 b) 128 c) 127 d) 53

.

10. Hallar la tercia proporcional entre 3 y 6.

a) 9 b) 8 c) 11 d) 12

11. Hallo la tercia proporcional entre 1 y 10.

a) 7 b) 8 c) 80 d) 100

12. Hallo la tercia proporcional entre 1 y 8.

a) 9 b) 10 c) 20 d) 6413. Hallo el valor de x.

10 : 9 :: x : 9/2

a) 1/2 b) 5 c) 5/2 d) 11/2

RESUELVO PROBLEMAS1. Un alumno de 1m de estatura proyecta una

sombra de 2m. ¿Cuánto medirá la sombra deotro alumno de 1,20m a la misma hora?

a) 2,40 m b) 2,45 m

c) 2,30 m d) 2,35 m

2. En una granja hay 1 gallo por cada 5 gallinas.Si la granja tienen 315 gallinas, el número degallos que tienen esta granja es:

a) 63 b) 66

c) 64 d) 63

3. A la 6h 00 min del día de ayer, una iglesia de

10 m de altura proyecto una sombra de2,50m. A esta misma hora un edificioproyecta una sombra de 1,00m. ¿Cuál es laaltura del edifico?

a) 2 m b) 3 m

c) 4 m d) 3,50 m

4. En una granja hay 624 pollitos. Si en lagranja, por cada 6 pollitos hay una gallina,¿cuántas gallinas hay en la granja?

a) 105 b) 102

c) 103 d) 104

5. Una balanza tienen falla de manera que por

cada kilogramo se pierde 50 gramos. Si altérmino de un día se han perdido 2kg,¿cuántos kilogramos se vendió ese día?

a) 40 kg b) 45 kg

c) 20 kg d) 25 kg

6. Uno de cada 100 libros que se editan sonfallados. Si se editaron 10 000 libros,¿cuántos libros fallados hay?

a) 10 b) 100

c) 1000 d) 250

7. Sea el triángulo ABC recto en B. Hallar x + y.

a) 16 b) 12

c) 8 d)10

A B

C

54

3

8x

y AB

C

REGLA DEL TANTO POR CIENTO OPORCENTAJE (%)



Se llama tanto por ciento de un número, a una ovarias de las cien partes iguales en que se puededividir dicho número, es decir, uno o varioscentésimos de un número.

Notación:

Representación:

50 % =

3 % =

100 % =

APLICAMOS EL TANTO POR CIENTOA. Hallar el tanto por ciento de un número.

Ejemplo:

Hallar el 20% de 500

500 ___________ 100%

x ___________ 20%

x = 100

El 20% de 500 es 100

B. Dados dos números calcular que tantopor ciento es uno del otro.

Ejemplo:

¿Qué tanto por ciento es 16 de 800?

800 __________ 100%

16 __________ x %

x = 2%

El número16 es 2% de 800.

C. Hallar un número cuando se conoce untanto por ciento de él.

Ejemplo:

¿De qué número es 46 el 23%?

46 __________ 23%

x __________ 100%

x = 200

46 es el 23% de 200

APLICO LO APRENDIDOI. Hallar

1. 15% de 32

2. 70% de 800

3. 24% de 42

4. 62% de 1000

5. 82% de 60

6. 84% de 2200

7. 23% de 70

8. 62% de 2100

9. 14% de 82

10. 56% de 7000

11. 15% de 90

12. 44% de 8000

13. 66% de 120

14. 32% de 9300

15. 80% de 130

16. 18% de 9900

17. 52% de 210

18. 28% de 9950

19. 66% de 440

20. 42% de 10 000

II. ¿Qué porcentaje es?

a) 18 de 400

b) 76 de 610

c) 24 de 300

d) 84 de 516

e) 16 de 2540

f) 92 de 1200

g) 15 de 120

h) 44 de 630

i) 82 de 720

j) 56 de 750

N deaeequivalent es N deciento por a %""



III. ¿De qué número es?

a) 20 el 16%

b) 28 el 24%

c) 34 el 40%

d) 92 el 60%

e) 18 el 20%f) 74 el 66%

g) 65 el 32%

h) 82 el 74%

i) 72 el 50%

j) 94 el 84%

k) 63 el 42%

l) 120 el 72%m) 82 el 80%

n) 610 el 72%

o) 54 el 62%

p) 820 el 15%

q) 66 el 44%

r) 716 el 94%

s) 82 el 68%t) 612 el 30%

REGLA DE INTERÉSSe llama interés o rédito, a la suma (ganancia) queproduce un capital prestado, durante cierto tiempoy según una tasa fijada (en porcentaje).

Elementos que intervienena) Capital : C

b) Interés : I

c) Tasa de interés o rédito: % o r

d) Tiempo : t

Tasa: (Expresada en porcentaje). Es el interés(ganancia) que se obtiene por cada 100unidades de capital.

A. Aplicación de Interés (I)

100

txrxCI =

( si el tiempo está dado en años)

1200

txrxCI =

(Si el tiempo está dado en meses)

(Si el tiempo está dado en días)

Recuerda:

~ En el comercio, se considera que el añocontiene 12 meses de 30 días cada uno.

~La tasa (r) porcentual que intervienen en lafórmula de be ser anual, si estuviera expresadoen otro periodo de tiempo , se debe considerar una tasa anual equivalente .

Ejm :

Hallar la tasa de interés de S/. 400 impuesto al 4% durante 3 meses.

Solución:

1200

3.4.400= I

4= I


1. ¿Qué interés habrá producido un capital de4000 soles al 28% durante 3 años?

2. ¿Qué interés habrá producido un capital de900 soles prestado al 10% de interés durante8 meses?

3. ¿Qué interés producirá un capital de 1800soles al 30% anual en 20 días?

4. Hallar e l capital impuesto al 30% anualque ha producido un interés de 900 solesen un año.

5. Hallar el capital que impuesto al 40% anualha producido un interés de 200 soles en 5meses.

6. Hallar el capital que impuesto al 30% anualdurante 9 días ha producido un interés de20 soles.

36000

txrxCI =



7. Hallar la tasa de interés al que estuvoimpuesto 850 soles que en 10 meses haganado un interés de 60 soles.

8. ¿A qué tanto por ciento estuvo impuesto uncapital de 5800 soles que en 6 años haproducido 1560 soles de interés?

9. ¿A qué tanto por ciento anual estuvoimpuesto un capital de 7 200 soles que en 30días ha generado un interés de 20 soles?

10. Hallar el tiempo durante el que estuvoimpuesto un capital de 800 soles que al 10%anual ha producido un interés de 320 soles.

11. ¿En cuántos meses han estado impuestos

1000 soles que al 40% anual ha producidoun interés de 800 soles?

12. Hallar el tiempo (en días) que estuvoimpuesto 2 400 soles de capital que al 30%anual ha producido 120 soles de interés?

13. ¿Qué capital prestado al 10% de interésanual en 5 años y 2 meses, ha producido uninterés de 200 soles?

14. ¿Qué capital, prestado al 12% de interésanual, en 4 años y 2 meses, ha producido uninterés de 300 soles?

15. El señor Fernández paga 12 soles cada 6meses por un préstamo de 420 soles querecibió. ¿A qué interés le prestaron el dinero?

16. Hallar el interés de 750 soles impuesto al 5%anual desde el 8 de mayo de 2003 al 25 de julio de 2004.

17. Víctor calle pagaba 9 soles al mes comointerés de una hipoteca de 1800 soles; peroel acreedor le redujo los intereses mensualesa 6 soles. ¿En cuánto le han rebajado losintereses?

18. El señor Cárdenas pone al banco 6600 solesal 6%, al cabo de 3 años le entregan elcapital más los intereses acumulados.¿Cuánto de dinero recibirá?

19. Roberto le presta a Luis 3000 soles durante 2años y al cabo de dicho tiempo Luis ledevuelve 3300 soles correspondientes al

préstamo y sus intereses acumulados. ¿Aqué interés se efectuó al préstamo?

20. Por un préstamo de 30 000 soles al 6% seha pagado 100 soles de interés. Si sehubieran pagado 125 soles de interés.¿Cuánto tiempo más se había tenido el

dinero?

21. Marcos obtiene un préstamo de 1200 solespor 2 años con el 12% de interés anual.¿Cuál es el interés producido por dichopréstamo?

22. El señor Marquina recibió un préstamo de42 500 soles, con el compromiso dedevolverlo en 20 días y pagar el 54%anual. ¿Cuánto pagó de interés?

23. Fernando recibió el 24 de octubre unpréstamo de 8 250 soles al 60%. Locanceló el 4 de diciembre del mismo año.¿Cuánto pagó de interés? y ¿Cuánto pagóen total?

24. Calcular el capital que durante 4 años y al30% trimestral, produjo 960 soles deinterés.

25. ¿A qué tanto por ciento anual se prestó elseñor Ordoñez el capital de S/.84 200 quea los 7 meses produjo S/.11 788 de tasade interés?

26. El señor Avila recibió un préstamo de 7500soles impuesto al 50%. Después dealgunos días devolvió el préstamo y pagó250 soles de interés. ¿Cuántos días duróel préstamo?

27. ¿Qué interés producirá 1600 solesprestados al 72% de interés semestraldurante 2 años?

28. ¿A qué tanto por ciento anual se imponen950 soles que produce 60 solesmensuales?

29. Hallar el capital que al 35% anual ydurante 6 días ha producido un interés de28 soles.

30. El banco de Crédito otorgó a la señoraCarrillo un préstamo de 80 000 solesimpuesto al 15% anual. Al cancelar la



deuda, la señora pagó 36 000 soles deinterés. ¿Cuánto tiempo (en meses) duró elpréstamo?

31. Un capital de 15 500 soles fue prestado el 22de junio y fue cancelado el 22 de diciembredel mismo año. El préstamo concebido fue al

12% anual. ¿Cuánto se pagó de interés?

32. José Luis pagó 12 360 soles por un préstamoal 25% anual. ¿Canceló la deuda en 2 años.¿Cuánto recibió de préstamo?

33. El señor Aquino tiene que pagar 480 soles deinterés por un préstamo de 32 000 soles quefue cancelado a los 15 días. ¿A qué tasa deinterés fue impuesto?

34. ¿Qué tiempo (años) tardará un capital de 6250 soles para producir al 30% un interés de9 375 soles?

35. El señor Romaní recibe del señor Figueroa34 000 soles en calidad de préstamo para laconstrucción de su casa. Romaní ofrececancelar la deuda en 9 días y pagar el 25%de interés anual. ¿Cuánto de interés debepagar el señor Romaní? ¿Cuál es la sumatotal que debe recibir el señor Figueroa al

término de los 9 días?

36. La señora Gabriela pagó 3850 soles deinterés por un préstamo recibido hace 4meses impuesto al 48%. ¿Cuánto recibió depréstamo?

37. La señora Pimentel recibe un préstamo de48 000 soles. Después de 3 meses devuelvelos 48 000 soles, más 2800 soles de interés.¿A qué tasa de interés anual le prestaron el

dinero?38. Hallar el tiempo (años) durante el que estuvo

impuesto 2600 soles que al 10% anual haproducido un interés de 520 soles.

39. Calcular el monto que debe pagar el señor Olivares por un préstamo de S/.72 500impuesto al 36% durante 90 días.

40. ¿Qué capital se impuso al 32% semestralpara que produzca un interés de S/.12 460,durante 5 meses?

41. Presté S/. 2000 al 45% mensual y mepagaron un interés de S/. 750. ¿Cuántotiempo tuve invertido el dinero (en días)?

42. Gabriela obtiene un préstamo de 12 000soles impuesto al 18% de interés durante 6meses 10 días. ¿Cuánto de interés sedebe pagar?

43. ¿Cuál es el capital impuesto al 40%bimestral, para que produzca un interés de980 soles durante 6 meses?

44. ¿Qué tanto por ciento deben colocarse6720 soles para que produzca 2460 solesde interés en 1 año 3 meses 10 días?

45. Un capital de 8 000 soles impuesto al 3%cuadrimestral. ¿En qué tiempo (meses)habrá producido un interés de 600 soles?

46. ¿A qué tasa de interés se impone uncapital de 3 840 soles para que en 5 añosproduzca 1200 soles de interés?

47. Freddy Contreras hizo un préstamo de 800soles al 6% y pagó de interés 360,mientras que Roger Olivares hizo otropréstamo de 7000 soles al 5% y pagó deinterés 350. ¿Cuál de los dos tardó mástiempo (meses) en devolver el dinero ycuánto tiempo más?

48. Se presta 900 soles al 5 1/2% el 17 deagosto y se devuelve el capital prestado el27 de setiembre del mismo año ¿Cuántose pagará de interés?



El Sistema Internacional de Unidades nació por acuerdo de la undécima Conferencia General de Pesas yMedidas que se desarrollo en París, Francia en 1960.

Este sistema tiene su origen en el sistema métrico decimal y está formado por unidades básicas, unidadessuplementarias y unidades derivadas.

CLASIFICACIÓN:

Unidades básicas.

Unidades suplementarias.

Unidades derivadas.

Conociendo los símbolos más usados

MAGNITUDES FISICAS

S

metro m

Longitud

Segundo s

Tiempo

Kilogramo kg

Masa

Amperio A

Intensidad de corriente eléctrica

Kelvin kTemperatura termodinámica

Candela cdIntensidad Luminosa

mol mol

Cantidad de sustancia

SISTEMA INTERNACIONALDE UNIDADES



CONOCIENDO LOS SÍMBOLOS MÁS USADOS

PREFIJO SIMBOLO VALOR

Exa E 1 000 000 000 000 000 000 = 1018

Peta P 1 000 000 000 000 000 = 1015

tera T 1 000 000 000 000 = 10128

giga G 1 000 000 000 = 109

mega M 1 000 000 = 106

kilo k 1 000 = 103

hecto h 1 00 = 102

deca da 1 0 = 101

deci d 0,1

centi c 0,01

mili m 0, 001

micro µ 0,000 001

nano n 0,000 000 001

pico p 0,000 000 000 001

fento f 0,000 000 000 000 001

atto a 0,000 000 000 000 000 001

INVESTIGANDO EL SISTEMA DE LONGITUD DEL SI

N O M B R E S

m

i l i m e t r o

c e n t í m e t r o

d

e c í m e t r o

m e t r o

d e c á m e t r o

h e

c t ó m e t r o

k

i l ó m e t r o

* * m

e g á m e t r o

SIMBOLO mm cm dm m dam hm km Mm

EQUIVALENCIA

EN METROS 0 , 0

0 1

0 , 0

1

0 , 1

1 1 0

1 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0 0

1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

U N I D A DSUB MULTIPLOS

PARTES DEL

METRO

MULTIPLOS TANTAS VECES EL

METRO



¡Qué fácil es convertir unidades!

c

REALIZAMOS CONVERSIONES SENCILLAS1. Convertir a la unidad que se indica.

a) 6m a mm =

b) 17km a hm =

c) 23 hm a dm =

d) 25 Mm a mm =

e) 54 dm a km =

f) 83 dam a Mm =

g) 309 m a hm =

h) 465 cm a m =

i) 867 dam a hm =

j) 1540 m a cm =

k) 1880 m a cm =

COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO

1. ¿Cuál es la unidad principal de longitud?

a) decímetro b) kilómetro

c) mega metro d) metro.

2. ¿Cuántos mm hay en 25 m?

a) 2,5 b) 25

c) 250 d) 2 500

3. ¿Cuántos dm hay en 78 hm?

a) 7 800 b) 78 000

c) 78 d) 0.078

4. ¿Cuántos km hay en 350 dam?

a) 35 b) 350

c) 3,5 d) 3 500

5. Completa:

12 dam = ………..….hm

15 dam = ………..…. m

27 dam = ………..…. m

8 Mm = ………..…. hm

15 mm = ………..…. m

24 hm = ………..…. cm

36 dm = ………..…. mm

4,5 m = …………. cm

15,6 dam = …………. dg

7 600 mm = …………. dm

57 000 cm = …………. m

4 600 m =…………. dam

12 000 km =…………. Mm

UNIDADES DE MASA

u m mm cm dm m dam hm km Mm

x 10 x 10 x 10 x 10 x10 x 10 x 10 x 10

: 10 : 10 : 10 : 10 :10 : 10 : 10 : 10



MASA: Es la cantidad de materia que contiene un cuerpo. La masa es constante (no varia) en ningún lugar del universo)

PESO: Es la fuerza con que la gravedad de la tierra atrae a los cuerpos, el peso varía (cambia) de acuerdoa la masa del astro.

La unidad de masa en el SI es el kilogramo (kg), con sus múltiplos y submúltiplos.

¡QUÉ FÁCIL ES CONVERTIR UNIDADES!

REALIZAMOS CONVERSIONES SENCILLAS1. Convertir a la unidad que se indica.

a) O, 6 Mg a kg =

b) 14 kg a hg =

c) 23 hg a dg =

d) 23 Mg a mg =

e) 54 dg a kg =

f) 23 dag a Mg =

g) 309 g a hg =

h) 4657 cg a g =

i) 8675 dag a hg =

j) 1547 g a cg =

k) 188 g a cg =

l) 0,03 Mg a g =

m) 0,25 kg a g

n) 28 dag a dg

u g mg cg dg g dag hg kg Mg

t

x 10 x 10 x 10 x 10 x10 x 10 x 10 x 10

: 10 : 10 : 10 : 10 :10 : 10 : 10 : 10

El vuelo

Un avión recorre la distancia que hay desde la ciudad A hasta laciudad B en 1 hora y 20 minutos. Pero el vuelo de retorno lo efectúaen 80 minutos.¿Cómo explica usted esto?



¡PIENSA CABECITA, PIENSA!1. ¿Cuánto debo pagar por 280 g de carne, si el

kg cuesta S/. 30?

a) S/. 5 b) S/. 8

c) S/. 8,4 d) S/. 10

2. Veinte barras de metal, cada una de igualpeso, pesan en total 2,8 toneladas. ¿Cuál esel peso de cada barra en Kg?

a) 140 b) 150

c) 130 d) 200

3. Un comerciante compró 2 toneladas denaranja y vendió 7/8. de tonelada. ¿Cuántoskg le quedan?

a) 2000 b) 2500

c) 3000 d) 4000

4. Un comerciante compra 2 t de mangos, 14dag de piñas y 576 kg de papayas. ¿Cuántoskg de frutas compró el comerciante?

a) 2 000 b) 2 576, 014

c) 2 576,14 d) 2675, 014

5. Un bodeguero tiene 2,5 toneladas de azúcar.Para vender el azúcar prepara bolsas de 5 kgcada una. ¿Cuántas de estas bolsas tendráque llevar?

a) 450 b) 540

c) 500 d) 550

6. Un agricultor vendió en los primeros días dela semana la siguiente cantidad de trigo:lunes: 0,4 t y 350 kg, miércoles: 0,6 t y 120 kg, Martes: 1,3 t y 200 kg

¿Cuántos kg de trigo vendió en los tres días?

a) 2 970 kg b) 2 790 kg

c) 300 kg d) 2 770 Kg

PROBLEMITAS1. Paúl siembra camotes, que vende aS/. 0,75 el kilogramo.

¿Cuánto recibirá por un quintal?

¿Cuánto por 1,8 toneladas?

¿Cuánto por 2 650 kg?

Recuerda: El quintal es una unidad

comercialmente utilizada (q) queequivale a 100 kilogramos.

1 q = 100 kg

La tonelada (t)es el megagramo (Mg)con nombre comercial

1 Mg = 1 t

1 t = 10 q

2. Eloysa compra 2 kilogramos demanzanas por S/. 5 y vende 3 kilogramospor S/. 9. ¿Cuánto gana si comercializa1,5 toneladas?

a) 700 b) 720

c) 750 d) 800

3. Ángela compra 800 g de quinua a S/. 5,vende pelado y embolsado 250 gramos

por S/.2, 25. ¿Cuánto gana si vende 100kilogramos?

a) S/. 275 b) S/. 2,75

c) S/. 2 750 d) S/. 27 500

4. Carmencita compra 450 kg de carne aS/. 100 si el 30% de cada kilocorresponde a la grasa y los huesos.¿Cuánto cuesta dos y medio kilogramosde carne sola?

a) S/. 7,875 b) S/. 72,56

c) S/. 78,75 d) S/. 80,86

5. Un cable eléctrico cuesta S/. 0,75 elmetro. ¿Cuánto se pagará por 2 hm; 5,6dam y 4,6 m?

a) S/. 260,6 b) S/. 195,45

c) S/. 250,5 d) S/. 198,50

6. Se ha medido el perímetro de un terrenocon una cinta métrica adulterada que tiene105 cm. Si el perímetro medido es 176metros. ¿Cuál es la verdadera longitud?

a) 167,2 b) 176,12

c) 176,2 d) 177,32



7. El metro de tocuyo cuesta S/. 5.¿Cuánto se pagará por 1,6 hm y 4 dam?

a) 9 500 b) 9 000

c) 8 500 d) 1 000

8. Una plancha de forma rectangular mide2,40 metros de largo y 1,50 metros.¿Cuánto mide su área?

a) 3,6 m2 b) 1 450 m2

c) 1 ,5 m2 d) 1 5,5 m2

9. 1 ¼ kilogramo de carne de cerdo cuestaS/. 15. ¿Cuánto se paga por 10,2 kg?a) S/. 102,40 b) S/. 112,40c) S/. 122,40 d) S/. 132,40

10. Ricardo vende quinua a razón de S/. 650el quintal. ¿Cuánto recibirá por 1,025toneladas?

a) S/. 6 562,50 b) S/. 6 662,50c) S/. 6 672,50 d) S/. 6 762,50

UNIDADES DE TIEMPO

EL TIEMPO:Es un intervalo entre dos acontecimientos, la unidad convencional de medida del tiempo es el

segundo (s) con sus múltiplos minutos y horas. El submúltiplo que no es de uso frecuente es la décima desegundo.

MEDIDA DE TIEMPO: La medida de tiempo está relacionada al movimiento de rotación de la tierra entorno a su eje en 24 horas y al de traslación alrededor del sol en 365 días 5 horas 48 minutos 46 segundo.

El año civil tiene 365 días repartidos en 12 meses, el día se divide en 24 horas, la hora en 60segundos. El año comercial es de 360 días, el año bisiesto es de 366 días que se da cada 4 años.

EQUIVALENCIAS:

1 año (a) = 365 días

1 día (d) = 24 horas (h)

1 hora (h) = 60 minutos (min)

1 minuto (min) = 60 segundos (s)

Recuerda: Los años también tienen su propia denominación.

1 lustro = 5 años 1 década = 10 años

1 siglo = 100 años 1 milenio = 1 000 años

OPERACIONES CON LAS UNIDADES DE TIEMPO

ADICIÓN:

1. Daniel estudia el lunes 4 horas, 12minutos y el martes 13 horas 50 minutos.¿Cuánto tiempo estudió en total?

SUSTRACCIÓN:1. Un automóvil recorre240 kilómetros en 3horas, si viene recorriendo desde hace 2

horas 40 minutos. ¿Cuánto tiempo le faltapara llegar a su destino?

MULTIPLICACIÓN1. Para hacer una obra Raúl emplea 4

horas, 15 minutos, 24 segundos.¿Cuántotiempo empleará para hacer 6 obrasiguales?



DIVISIÓN:Una persona sola realiza un trabajo en 12horas 43 minutos. ¿En cuánto tiempo

terminarán la obra si trabajan 5 personas ala vez?


1. ¿Cuántos minutos hay en ¾ de hora?

2. ¿Cuántos segundos hay en 3/10 de minutos?

3. Convierte a horas y minutos:

72 min = _________h _________min

156 min = ________h _________min

273 min = ________h _________ min

4. Convierte a minutos y segundos:

98 s = _________min _________s

173 s = ________min _________ s

410 s = ________ min_________ s

5.- Forma las equivalencias:

1,5 h = ___________ min

½ min = __________ s

1 800 s = __________h

6. Colorea del mismo color los tiempos equivalentes:

min10min151min90

5,1min152min45

1502

1

4

3

min7512min135

30min26

5

2

11

h

hh

sd h

h

shh

ESTADISTICA



DEFINICIONES PREVIAS:

POBLACIÓN: Es un conjunto de elementos que tienen una o más características en común.

MUESTRA: Es un parte o subconjunto de la población, generalmente se eligen al azar.

1) GRAFICO DE BARRAS:Para realizar un grafico de barras seguiremos los siguientes pasos:

~Elegir una escala de 2 en 2; de 3 3n 3; de 5 en 5; etc.

~Escribe el nombre del gráfico a crear.

~Dibuja el tablero con las escalas.

~En el eje de las x se coloca los datos y en el eje de las y se coloca la frecuencia (o cantidad de datos)

Ejm:

La Sra. López anota las ventas de una semanaen su tienda:

Ahora la información del cuadro podemosrepresentarlo en un gráfico de barras, así:

ARTÍCULOSVENDIDOS CANTIDAD

Camisas. 30

Pantalones. 28

Blusas. 50

Polos 30

Vestidos. 34

DESAFÍO MI HABILIDAD1) Observa los siguientes gráficos y responde a las preguntas:

a) ¿Cuántos niños hay en total?

..……………………………………….

La palabra ESTADÍSTICA es derivada del latín “status” quesignifica posición, situación, estado y del griego “statera” quees igual a balanza.

Clases de Estadística

Estadística descriptiva Estadística inferencial

Ahora te toca a ti:

020406080100

120140

p o l l o

s

p a v o

s

v a c a

s

c e r d o s

c a r n e r o s

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Niños Niñas Profesores



b) ¿Cuántas niñas hay?

…………………………………………

c) ¿Cuántos niños menos que niñas hay?

…………………………………………

d) ¿Cuántas personas hay en total?

………………………………………..

2) Observa el grafico de barras y luego responde a las preguntas.

a) ¿Cuántos pavos hay en la granja?

..……………………………………….

b) ¿Cuántos animales hay en total?

…………………………………………

c) ¿Cuántos mamíferos hay en la granja?

…………………………………………

d) ¿Cuántas aves hay en total?

………………………………………..

3) Observa el cuadro y luego regístralo en un gráfico de barras.

ASIGNATURA Nº DE LIBROS

Comunicación integral 85

Lógico matemática 69

Ciencia y ambiente 32

Personal social 28

Formación religiosa 52

4) Observa el cuadro y luego regístralo en un gráfico de barras.

NIÑOS EDADES

Rogelio 15

Miguel Ángel 14

Ana María 10

Manuel 16

0

20

40

60

80

100

120

140

pollos pavos vacas cerdos carneros



DATOS ESTADÍSTICOS Y DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA

Los números del recuadro representan las notas de aritmética del nivel 0 con 52 alumnos:

14 13 09 08 16 10 11 16 15 14 10 09 10

15 12 08 12 17 12 13 08 14 13 12 08 11

11 15 12 11 12 08 13 10 15 14 13 13 14

16 10 11 13 11 09 16 09 12 11 14 15 12

En esta tabla de datos, donde no existe un orden ni una estructura definida, es llamada muestra bruta.

Para facilitar el estudio es conveniente ordenar los datos. Una forma de ordenarlos consiste en colocarlosen forma creciente (de menor a mayor) y mostrar la frecuencia absoluta de cada nota.

El arreglo de una muestra, donde se señalen los datos en un cierto orden y su frecuencia, se llama Tablade frecuencias o Distribución de Frecuencias.

La siguiente tabla de frecuencias es de la anterior muestra bruta:

DATOS CONTEO FRECUENCIA

08

09

10

11

12

13

14

15

16

17

IIII

IIII

IIII

IIII II

IIII III

IIII II

IIII I

IIII

IIII

I

5

4

5

7

8

7

6

5

4

1

Número total de alumnos : 52

Como se puede observar en este cuadro, al lado de cada dato se ha colocado el número de veces que serepite cada nota.

Este número que se repite se llama frecuencia absoluta y se representan con la letra f .

En este cuadro podemos observar la tabla donde se encuentran los diferentes datos y la frecuencia de cadauno de ellos.

Esta tabla es llamada Tabla de distribuciones de frecuencias.



COMPRUEBA LO QUE APRENDISTE

1.Observa y resuelve:

Notas de 40 alumnos en el curso de Lógico Matemáticadel 6º grado de C.E.P. “Claret”

14 09 08 13 09 16 17 11 13 12

16 13 09 14 12 17 10 15 13 15

12 14 13 10 12 12 17 15 16 17

10 15 11 08 05 15 13 14 10 11

a) Ordena los datos anteriores y determina la frecuencia absoluta de cada uno de ellos.

b) Construye una tabla de distribuciones de frecuencias.2.Observa y resuelve:

Edades que tienen 40 alumnos en el aula del 1º grado delC.E.P. “Claret”

11 10 13 12 11 11 10 12 13 11

12 11 13 12 10 13 12 13 11 10

10 12 12 10 12 12 11 10 10 12

11 11 13 13 11 13 12 11 10 11Ordena los datos anteriores y determina la frecuencia de cada uno de ellos.

a) Construye una tabla de distribuciones de frecuencias.

b) Observa y resuelve:

3.

Estatura en cm de un grupo de alumnos del 6º grado del colegio“Claret”

150 148 147 152 149 150

156 152 152 146 153 149

149 150 147 146 150 153

148 152 149 152 150 152

146 158 149 150 146 149

a) Ordena los datos anteriores y determina la frecuencia de cada uno de ellos.

b) Construye una tabla de distribuciones de frecuencias.

ENCUESTA Y TABLA DE DATOSPara obtener información sobre la edad que tiene los alumnos del salón del 6º grado del C.E.P. “Claret”, seha entregado a cada niño un papel como el que se muestra en el recuadro de abajo.



Encuesta para 6º grado de primaria

Marca con una X la edad que tienes:

______ 9 años ______ 11 años

______ 10 años ______ 12 años

Así:

Observa: La información recogida por una encuesta se puede organizar en una Tabla de datos yrepresentar en un Gráfico de barras.

TABLA DE DATOS

Cantidad de alumnos Edad (en años)20 915 1010 115 12

La Encuesta es un instrumentoque puede contener una o más

preguntas para recoger información sobre cualquier

asunto.

0

5

10

15

20

1er trim.

9 años

10 años

11 años

12 años



2) GRÁFICO LINEAL

PASOS:

1º Dibujar una tabla y/o cuadro con escalas, al igual que en el grafico de barras.

2º Colocar un punto por cada par ordenado de datos.

3º Unir los puntos mediante segmentos en las coordenadas.

Ejemplo:

DIAS

CANT. DE CHOMPAS

VENDIDAS1º día 52º día 203º día 124º día 405º día 106º día 53

DESAFÍO MI HABILIDAD1. Observa el cuadro y luego realiza el gráfico lineal:

NIÑOS EDADES

Rosa María 11Maritza 15Luis Enrique 20Manolo 18

2. Observa esta tabla de datos que registra la temperatura de la ciudad de Huancayo en una semana .

DÍAS DE LASEMANA

TEMPERATURA

Lunes 10ºMartes 8ºMiércoles 12ºJueves 15ºViernes 101º

Los gráficos lineales permitenrepresentar informaciones numéricas.

0

10

20

30

40

50

60

1º día 2º día 3º día 4º día 5º día 6º día



PROMEDIO O MEDIA ARITMÉTICA

Dada la siguiente tabla:

ASIGNATURA NOTA

Lógico matemática 14

Comunicación Integral 15

Ciencia y Ambiente 12

Personal Social 17

Ingles 13

Psicomotriz 18

Para calcular la media aritmética o promedio de notas se sumará todas las notas obtenidas entre la cantidadde notas.

158,14....8333,146

89

6

181317121514===+++++= x

Así: la MEDIA ARITMÉTICA es el valor promedio de una serie de datos estadísticos.

COMPRUEBO LO QUE APRENDÍ1. Calcular la media aritmética de las notas de lógico matemática de cada alumno:

a) Juan

Mis notas son:

12, 16, 11,10

b) Raúl

Mis notas son:

18, 19, 15,20

c) Rosa

Mis notas son:

11, 19, 14,10

d) Roxana

Mis notas son:

12, 11, 10,11

e) Maritza

Mis notas son:

20, 15, 16,11

f) César

Mis notas son

11, 15, 17,10

2. Observa esta tabla de datos y halla la mediaaritmética de los datos de la tabla:

Para calcular la media aritmética,llamada también promedio se sumantodos los datos y se divide entre lacantidad de datos. Así:



Peso en kg de 7 alumnos del 6º grado

del colegio “Claret”- Chilca.

NOMBRES PESO EN KG

Miguel 50

Rogelio 40

Mayra 45Rosalia 48

Marina 50

Ricardo 60

Miguel 58

3. Observa esta tabla de datos y halla la mediaaritmética de los datos:

Talla en cm de 7 alumnos del 6º grado

del Colegio “Claret”- El Tambo.

Nombres Talla en cmMiguel 152Rogelio 155Mayra 135Rosalia 140Marina 152Ricardo 160Miguel 158

4. Halla la temperatura promedio de los 7 días de la semana:

Temperatura de los 7 días de la semanaDÍAS TEMPERATURA

Lunes 16º

Martes 20º

Miércoles 18º

Jueves 19º

Viernes 20º

Sábado 12º

Domingo 24º

LA MODAEs el número o dato que aparece con más frecuencia. Ejemplo:

Ejm : 12 – 10 – 11 – 12 – 11 – 17 – 11 – 12 – 11 – 11- 18

Mo = 11

LA MEDIANAEs el número de en medio de una lista de datos. Necesariamente los datos tiene que estar colocados en

orden verticalmente para hallar la mediana. Ejemplo:Del cuadro anterior, la mediana seria la edad que esta al medio del cuadro (siempre primero hay queordenarlo), así:

Me = 11


1) Halla la moda, mediana y promedio delconjunto de datos:

NIÑOS EDADESLuis 10Jhoana 14Karina 12



Paulo 5Vanessa 6

2) Halla la moda, mediana y promedio delconjunto de datos:

NIÑOS Estatura en cmBryan 110Estefany 120Carla 140Sophia 100Roger 130

3) Halla el promedio de los siguientes datos:a) 10, 14 =

b) 15, 11 =

c) 12, 20 =

d) 20, 08 =

e) 11, 12, 13 =

f) 11, 13, 18 =

g) 12, 15, 20 =

h) 09, 15, 17 =

i) 20, 10, 05 =

j) 14, 18, 20 =

k) 12, 13, 17 =

l) 20, 15, 11 =

4) Pregunta a tu profesora las notas obtenidas en el transcurso del mes y halla el promedio de lasasignaturas de lógico Matemática, Comunicación Integral y personal Social.

TABLA DE FRECUENCIAS, MODA, MEDIANA Y PROMEDIO

FRECUENCIAEs el número de veces que se repite cada dato. Ejemplo:

Dados los siguientes datos sobre las edades de 15 niños, colócalos en una tabla de frecuencias

10 11 11 12 10

12 11 10 11 11

10 11 11 10 12

Edades Cuenta Frecuencia

10 III 5

11 IIII II 7

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