AS 42A: Astrofísica de GalaxiasClase #13

Profesor: José Maza Sancho

23 Abril 2007

Momento Angular

El mayor problema para alimentar un cuasar mediante acreción gravitacional no es la masa sino el momento angular.

El momento angular por unidad de masa es:

Esto sale de :

€

Lm

= GMr

€

mv 2

r= G × Mm

r2

Por ejemplo para la Vía Láctea, a la distancia del Sol tenemos:

M ~ 1011 Mo R ~ 10 kpc Para un disco de acreción tenemos: M ~ 107 Mo R ~ 0,01 pc Por lo tanto:

Las estrellas deben perder (transferir) el momento angular para poder integrar el disco.

€

107 × 0,011011 ×104

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟1

2

≈10−5

A 3 radios de Schwarzschild se encuentra la última órbita estable alrededor de un hoyo negro sin rotación (hoyo negro de Schwarzschild).

El disco existe entre 5 y 50 radios de Schwarzschild.

La radiación que emite el disco corresponde ~10% de la energía en reposo de una masa m.

Si arrojamos 1.000 gr a un hoyo negro, 900 gr transponen el horizonte de eventos y 100 gr de energía son radiados.

Luminosidad de Eddington

La radiación ejerce una presión hacia afuera. La presión es el flujo dividido por c:

La fuerza ejercida sobre un átomo de Hidrógeno es la suma de la fuerza ejercida sobre el protón y sobre el electrón.

€

Pr = L4π × r2c

Donde e es la sección transversal de Thomson del electrón.

Como el electrón y el protón están ligados por la fuerza electromagnética, la repulsión del electrón arrastrará al protón.

La fuerza gravitatoria sobre el átomo de H es la fuerza de atracción sobre el protón:

€

Fr = Pr σ e + σ p( ) ≈ Pr ×σ e

€

e = 8π3

× e2

mec2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟2

€

FG =GM × mp + me( )

r2 ≈GM × mp

r2

En general debe cumplirse:

Por lo tanto:

De ahí resulta:€

Fr ≤ FG

€

L4π × r2 × c

×σ e ≤G × M × mp

r2

€

L ≤4πGc × mp

σ e

× M

Esta expresión se utiliza para definir una masa mínima para una luminosidad determinada: la masa de Eddington

€

L ≈ 6,31×104 × M erg × s−1[ ]

€

L ≈1,26 ×1038 × MMo

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ erg × s−1[ ]

€

L ≈ 3,3×104 × MMo

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ Lo[ ]

Se define la masa de Eddington en las unidades apropiadas:

Donde L44 es la luminosidad de la fuente central en unidades de 1044 ergs x s-1

Para un cuasar típico con L ~ 1046 ergs/s la masa mínima debe ser 108 Mo.

Se define la luminosidad de Eddington como:€

ME = 8 ×105 × L44 Mo[ ]

€

LE = 4π ×Gcm p

σ eM

Tasa de acreción de masa (Mass accretion rate)€

L = η × ˙ M × c 2

€

˙ M = dMdt

€

˙ M = Lη × c 2 ≈1,8 ×10−3 L44

η ⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ Mo

año ⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

Combinando las ecuaciones anteriores se puede ver que:

La eficiencia de la conversión masa-energía tiene que ver con lo compacto del sistema

€

L ≈ dUdt

= GMr

× dmdt

= GM ˙ M r

€

η∝Mr

Como el radio de Schwarzschild es:

La energía potencial de una masa m cayendo hasta 5RS será:

Este cálculo simplificado sugiere que la eficiencia η es ~ 0,1

€

RS = 2GMc 2

€

U = GMm5RS

= GMm10GM

c 2

= 0,1× mc 2

Puede que el gas para alimentar el disco provenga de las estrellas.

Para que eso ocurra es necesario que la estrella sea destruída por la fuerza de marea antes de ser “tragada” por el hoyo negro.

Si la estrella es tragada entera por el hoyo negro no emite energía.

Para que las estrellas puedan alimentar al disco de acreción es necesario que el límite de Roche sea mayor que el radio de Schwarzschild.

Límite de Roche:

€

rR = 2,4 × ρ HN

ρ*

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟1

3

R

La condición que la estrella sea destruída por la fuerza de marea fuera del radio de Schwarzschild es:

rR > Rs

Se puede escribir:

Por lo tanto:€

rR

RS

= 2,4 ×

M43

× π × RS3

ρ*

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

13

>1

Por lo tanto:

Para una densidad estelar típica, como el Sol, de 1 gr/cm3 la masa máxima del hoyo negro para que el límite de Roche sea mayor que el radio de Schwarzschild es de 5108 masas solares.

€

2,4( )3 × 3 × M > 4π × 2GM

c 2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟3

× ρ*

€

M < 0,64 × c 6

G3 × ρ*

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟1

2

≈ 5 ×108 × ρ*− 1

2 MO[ ]

En resumen, para un cuasar típico, con L ~ 1046 erg/s, hemos acotado su masa entre:

8107 < M/Mo < 5108

O sea: M ~ 108 Mo

para un cuasar típico