Matematica III

Ing. Manuel Arevalo

19 de Julio del 20015

Funciones vectoriales de un Escalar

1. Halle y grafique la evoluta de la curva regular o suave ζ cuya ecuacionesta dada por y2 = 2px

2. Halle las ecuaciones parametricas de una curva regular o suave ζ , si-tuada en el plano XOY. La curva regular ζ pasa por el origen de coorde-nadas,la ecuacion de la curvatura es κ(t)=(1+t2)

−32 y un vector direccion

del vector normal principal es (t; 1; 0).

3. Halle las ecuaciones intrınsecas de la curva regular plana , cuya ecuaciones r = aeθctgb , a > 0 y 0 < b < Π

2. Siendo (r; θ) las coordenadas

polares y la longitud del arco de la curva se mide a partir de θ = −∞.

4. Una helice es una curva regular, cuya recta tangente forma un angulo demedida constante α con una recta que es el eje de la helice. Si el vectorunitario e tiene la direccion del eje, la ecuacion de la helice esta dadapor: e · T = cosα (0 < α < Π

2), entonces el valor de verdad de las

siguientes proposiciones es

La normal principal es siempre perpendicular al eje.

El vector de Darboux δ = τ T + κB es siempre paralelo al eje de lahelice.

La relacion de la curvatura y la torsion es constante (κτ

= tan α).

5. Sea la funcion vectorialα : I ⊂ R→ R3

una curva parametrizada regular con curvatura no nula en todo punto.Demuestre,que si todos los planos normales a α pasan por un punto fijo,entonces la curva esta contenida en una superficie esferica.

6. Encuentre la curvatura de la indicatriz esferica de la normal principal deuna curva regular dada.

1

7. Una partıcula se mueve en el espacio y el vector de posicion de la partıcu-la es:

r = cost i+ sent j + t2k

Encuentre las componentes tangencial y normal de la aceleracion.

8. Una partıcula , es atraıda hacia el origen de coordenadas por una fuer-za cuya magnitud es proporcional a la distancia al origen. Suponiendoun coeficiente de rozamiento µ entre la partıcula y su trayectoria , de-termınese la trayectoria de longitud dada que une los puntos (x1; y1) y(x2; y2) y a lo largo de la cual la partıcula se movera realizando el trabajomınimo contra la fuerza de rozamiento.

9. Dado un punto P sobre una curva regular ζ, la circunferencia oscu-ladora en el punto P se define como:

Pasa por el punto P.

Tiene la misma pendiente en el punto P que la curva regular.

Tiene el mismo valor que la derivada segunda en el punto P.

La longitud de su radio es, por tanto, igual al de la curvatura de lacurva en el punto P.

Indique el valor de verdad de las proposiciones dadas.

10.

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