Asignatura : Matemática Curso: III de Bachillerato - Administración

Año Lectivo : 2019 – 2020 Fecha: _______________________

Estudiante : ___________________________________________

TEMARIO Y CUESTIONARIO DEL PRIMER QUINQUEMESTRE

El repaso de los temas requiere de la revisión del material del

cuaderno de la materia, las hojas de trabajo, talleres y lecciones

realizados en clases. Los ejercicios aquí citados sirven para práctica

de los temas, pero no necesariamente serán tomados los mismos en

el examen.

TEMARIO

1. Lógica matemática

1.1. Conectores lógicos

1.2. Traducciones

1.3. Tablas de verdad

1.4. Reducción al absurdo

1.5. Razonamiento

2. Conjuntos

2.1. Operaciones entre conjuntos

2.2. Área sombreada

2.3. Cardinalidad

2.4. Predicados

3. Progresiones

3.1. Progresiones aritméticas

3.2. Progresiones geométricas

LÓGICA

1. Si la proposición: [(𝑎 ∧ ¬𝑏) → 𝑑] ∨ ¬(𝑑 ∨ 𝑒) es falsa, entonces es verdad que:

a) ( ) 0 ab

b) ( ) 0 de

c) ( ) 0 ad

d) ( ) 0→ ba

e) ( ) 0→ ae

2. Si la proposición: [¬(𝑝 → ¬𝑞) → (𝑟 ∧ ¬𝑠)] ∧ [𝑝 ∧ (¬𝑟 ∧ 𝑠)] es verdadera, entonces es

verdad que:

a) 0 qp b) 1 sq c) ( ) 0 qsr

d) 1q e) 1 rp

3. Si la proposición compuesta (¬𝑎 ∧ ¬𝑏 ) → ¬𝑐 es FALSA, entonces una de las

siguientes proposiciones compuestas es FALSA, identifíquela:

a) ( 𝑎 ∨ 𝑏) → 𝑐

b) 𝑎 → ( 𝑐 ∧ 𝑏)

c) (¬ 𝑎 ∨ 𝑏) ∧ 𝑐

d) 𝑐 → ( ¬𝑏 ∧ 𝑎 )

e) ( 𝑎 ∧ 𝑏) ∨ 𝑐

4. Si la proposición: [(𝒑 ∧ ¬𝒒) → 𝒓] ∨ ¬(𝒓 ∨ 𝒔) es FALSA, entonces es VERDAD que:

a) 𝑝 ∧ ¬𝑞 ≡ 0

b) 𝑞 ↔ ¬𝑟 ≡ 1

c) 𝑠 → ¬𝑝 ≡ 1

d) 𝑝 ∨ ¬𝑟 ≡ 0

e) ¬𝑝 ∨ 𝑠 ≡ 0

5. Si la proposición compuesta [(𝑎 ∧ ¬𝑏) → (¬𝑐 ∨ 𝑑)] es FALSA. Una de las siguientes

proposiciones es VERDADERA, identifíquela:

a) [(𝑎 → 𝑐) ∨ ¬𝑑] ≡ 0

b) [(¬𝑑 → 𝑐) → 𝑏] ≡ 1

c) ¬[(𝑏 ∨ 𝑑) → ¬𝑐] ≡ 1

d) [(𝑐 → ¬𝑎) ∨ ¬𝑏] ≡ 0

e) [(¬𝑑 → 𝑎) → ¬𝑐] ≡ 0

6. Si la proposición compuesta: 𝑑 → [(𝑎 ∧ 𝑏) → (𝑐 ⊻ 𝑑)] es FALSA, se puede afirmar

que:

a. 𝑑 ∧ ¬𝑏 ≡ 1

b. 𝑐 ∨ ¬𝑎 ≡ 1

c. 𝑎 ∧ 𝑑 ≡ 0

d. (𝑎 ∧ 𝑑) → ¬𝑐 ≡ 1

e. 𝑎 → ¬(𝑏 ∨ 𝑐) ≡ 1

7. Usando tabla de verdad determine si la siguiente forma proposicional es una tautología,

contradicción o falacia

a. [(𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑟] → (𝑟 → 𝑞)

b. [(𝑝 → 𝑞) ∧ ¬𝑞] → 𝑟

c. [(𝑝 ⟶ 𝑞) ∧ (𝑞 ⟶ 𝑟)] ∨ (𝑝 ⟶ 𝑟)

d. [𝑝 → 𝑞] ∧ [(𝑝 ∧ 𝑟) → (𝑞 ∧ 𝑟)]

e. [𝑝 ∧ (𝑝 → ¬𝑞)] ↔ ¬𝑞

f. [¬𝑝 ∧ (𝑟 → ¬𝑞)] → ¬𝑞

g. [(𝑞 → 𝑟) ∧ (𝑝 → 𝑞)] ↔ (𝑝 → 𝑟)

8. Considere:

“Si llueve, entonces no voy a clases. Si falto a clases, no apruebo el curso de nivelación.

No llueve. Por lo tanto, apruebo el curso de nivelación”

Determine la validez del razonamiento

9. Dadas las siguientes premisas:

H1: Los niños son hiperactivos o traviesos

H2: Si los niños son hiperactivos, necesitan practicar algún deporte

H3: Los niños no son traviesos

Una conclusión VALIDA es:

A. Los niños no son hiperactivos

B. Los niños son traviesos

C. Los niños no necesitan practicar algún deporte

D. Los niños necesitan practicar algún deporte

E. Los niños no son hiperactivos ni traviesos

10. Determine la validez de los siguientes razonamientos

a. (𝒑 → 𝒒) ∧ (¬𝒒 ∨ 𝒓) ∧ (𝒑) ⟹ ¬𝒒

b. (𝒑 ∧ 𝒒) ∧ (¬𝒒) ⟹ 𝒑

c. (𝒒 → 𝒑) ∧ (¬𝒒) ∧ (𝒑 ∧ ¬𝒒) ⟹ ¬𝒓

11. Dado el siguiente razonamiento lógico: si los alumnos resuelven ejercicios, entonces

adquieren habilidad. Si los alumnos estudian teoría, ellos resuelven ejercicios, una

conclusión que validad el razonamiento, es:

a. Si los alumnos adquieren habilidad, entonces resuelven ejercicios.

b. Si los alumnos resuelven ejercicios, entonces estudian teoría.

c. Si los alumnos adquieren habilidad, entonces estudian teoría.

d. Los alumnos no estudian teoría.

e. Si los alumnos estudian teoría, entonces adquieren habilidad.

12. Dadas las siguientes premisas:

H1: Si Juan no miente, Pedro es inocente y Pablo es inocente.

H2: Si Pedro es inocente, entonces Juan miente o Pablo es inocente.

H3: Juan no miente.

Describa simbólicamente este razonamiento e indique cuál de las siguientes conclusiones

lo validan:

A. Pedro es inocente

B. Pedro no es inocente

C. Si Pedro es inocente, Juan miente

D. Pedro es inocente y Juan miente

13. La TRADUCCIÓN al lenguaje formal de la siguiente proposición:

“Si tú eres inteligente y no actúas con prudencia, eres un ignorante en la materia”

Siendo:

m: tú eres inteligente

p: tú actúas con prudencia

q: tú eres un ignorante en la materia

Es:

a. ( )pnm →

b. ( )nmp →

c. ( )pnm

d. ( ) npm →

d. ( )pnm →

14. Seleccione la traducción correcta de la siguiente afirmación:

“Si retiro el dinero del banco compro un carro o una casa”

Considere las proposiciones atómicas:

p: Retiro el dinero del banco

q: Compro un carro

r: Compro una casa

a) ( ) rqp → b) ( ) rqp →→ c) ( )rqp d) ( ) rqp → e) ( )rqp →

15. Seleccione la traducción correcta de la siguiente afirmación:

“Si me voy a casa, me voy de compra y si no me voy a casa, entonces voy al cine”

Siendo las proposiciones atómicas:

a: Me voy a casa

b: Me voy a compras

c: Voy al cine

a) )()( caba c) )()( caba

b) )()( caba d) )()( acab →→ e) )()( acab →→

16. Dado el conjunto 𝑅𝑒 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}, tabule e indique la cardinalidad de los siguientes

conjuntos: a. 𝐴 = {𝑥/(𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟) ∧ (𝑥 𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 2)} b. 𝐵 = {𝑥/(𝑥 − 4 ≥ 1) ∨ (𝑥 + 2 < 5)}

17. Dados los conjuntos 𝐴 = {{𝑟, 𝑠, 𝑡}, 𝑢, 𝑣, 𝑤} , 𝐵 = {1, {2}, {3,4}} y 𝐶 = {%, &}, determine el valor

de verdad de las siguientes proposiciones: a. ({𝑟, 𝑠} ∈ 𝐴) ↔ ({2} ∈ 𝐵) b. [(% ∉ 𝐵) ∧ ({2} ∈ 𝐵)] → ({𝑢, 𝑣, 𝑤} ∉ 𝐴) c. [(𝑁(𝐴) − 𝑁(𝐵) = 𝑁(𝐶)) ↔ ({3,4} ∈ 𝐴)] → (𝑁(𝑃(𝐶)) = 8)

18. Dado el conjunto A = {4, {4, x}, {4,3, y}}. Determine su conjunto potencia.

19. 𝑆𝑖 𝑅𝑒 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔} 𝑦 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}, 𝐵 = {𝑒, 𝑓, 𝑔, 𝑏}, 𝐶 = {𝑔, 𝑓, 𝑒}

Entonces el conjunto: ( ) ( ) CCCCBABA − es:

. a) Re b) c) efg ,, d) a e) gba ,,

20. Sean A , B y C subconjuntos no vacíos de un conjunto referencial Re , tales que:

12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re = 12,11,10,6,5,4,3,2=A 9,8,7,3=CB

( ) =− BAC }1{)( =− CAB

Entonces el conjunto ( )BAB − es:

a) 9,8,7,1 b) 6,5,1 c) 9,8,7,6,5,3,1

d) 9,8,7,6,5,1 e) 1

21. Dado el referencial 𝑅𝑒 = {𝑥𝑥⁄ 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑙𝑓𝑎𝑏𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑎𝑛𝑜} y lo conjuntos A,B,C y

D definidos por:

𝐴 = {𝑥𝑥⁄ 𝑒𝑠 𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎 𝐶𝑂𝑀𝑃𝑈𝑇𝐴𝐶𝐼𝑂𝑁}

𝐵 = {𝑥𝑥⁄ 𝑒𝑠 𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎 𝐶𝑂𝑀𝑃𝑈𝑇𝐴𝐷𝑂𝑅𝐴}

𝐶 = {𝑥𝑥⁄ 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑜𝑛𝑎𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎 𝑀𝐴𝑇𝐸𝑀𝐴𝑇𝐼𝐶𝑂}

𝐷 = {𝑥𝑥⁄ 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑜𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎 𝐸𝐿𝐸𝐶𝑇𝑅𝑂𝑁𝐼𝐶𝐴}

A. Tabule los conjuntos A, B, C

B. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones

I. 𝑁(𝐴) = 𝑁(𝐵)

II. A=B

III. A⊂B

IV. e∈D

22. Determine el conjunto potencia e los siguientes conjuntos:

𝐴 = {𝜑, 𝜔, 𝜋}

𝐵 = {⋕, ∎, ⊿,∗, +}

𝐶 = {(𝑎, 𝑏), 2,∗}

𝐷 = {(𝑥, 𝑦); (𝑎, 𝑏); (𝑥, 𝑦, 𝑧)}

23. Sean A, B, C subconjuntos del referencial, 𝑅𝑒, tales que:

𝐴 ∩ 𝐵 = {𝛼, 𝛿, 𝑓}; 𝑅𝑒 = {𝛼, Δ, ? , 𝑓, +, 𝛿, 𝜋, 𝑒, 𝜃, 𝛼,∗}

𝐴 − 𝐵 = {𝜃, 𝜋, 𝑒}; 𝐵 − (𝐴 ∪ 𝐶) = {∗, ? Δ}; (𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶)𝐶 = {𝛼};

𝐴 ∩ 𝐶 = 𝐶 ∩ 𝐵 = {𝑓}; 𝐶 − (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = {+}

a. Halle los elementos de A, B, C

b. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones

c. 𝑁(𝐵) = 𝑁(𝐴) + 𝑁(𝐶)

d. 𝐵 ∪ 𝐴 = {𝜃, 𝜋, 𝐸,∗, ? , 𝛿}

24. Sea el conjunto referencial Re y los conjuntos no vacíos A, B y C definidos así:

𝑅𝑒 = {∗, !, #, $, %, @, ♦}

𝐴 = {∗, !, #, $}

𝐵 = {!, %, @, ♦}

𝐶 = {%, ♦, @}

Determine: [(𝐴 − 𝐵)𝐶 ∪ 𝐶]𝐶 es:

25. Siendo 𝐴 = {𝑎, {𝑏}, 𝑐, {𝑑, 𝑒}} y 𝐵 = {𝑏, 𝑐}. Encuentre el valor de verdad de las siguientes

proposiciones

a. ¬(𝑏 ∈ 𝑎)

b. 𝐵 ⊂ 𝐴

c. B ∈ 𝐴

d. 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑐}

e. {𝑏} ∈ 𝐵

26. Sea gfedcba ,,,,,,Re =

y dcbaA ,,,=

, bgfeB ,,,=

, efgC ,,=

𝐷 = {𝑐, 𝑑, 𝑓, 𝑔}. Determine:

a. 𝐴 ∪ 𝐶 =

b. 𝐵 ∩ 𝐶 =

c. (𝐵 ∩ 𝐶)𝐶

d. (𝐴𝑐 ∩ 𝐷) ∪ (𝐶 − 𝐷)

e. 𝐵𝑐 − 𝐷

f. (𝐴 − 𝐷) − (𝐵 ∩ 𝐶)𝑐

28. En una encuesta a 100 aficionados del fútbol, sobre qué equipo juega mejor en la

Copa Libertadores de América, se obtuvieron los siguientes resultados:

- 50 opinan que es el Nacional

- 50 opinan que es el Emelec

- 40 opinan que es el Palmeiras

- 20 opinan que es Nacional y Emelec

- 10 opinan que es Emelec y Palmeiras

- 30 opinan que es Nacional y Palmeiras

- 10 opinan que los tres juega bien

¿CUÁNTOS A FAVOR SOLAMENTE DE EMELEC?

a) 0 b) 30 c) 10 d) 20 e) 25

29.

30. Entre un grupo de personas conversan sobre tres películas (A, B y C) y determinan que

4 personas no han visto alguna de las tres películas, la mitad del número de personas

que han visto sólo la película B es igual al número de personas que han visto la película

C, el número de personas que han visto las películas A y B es igual a la tercera parte del

número de personas que han visto sólo la película B, 7 personas han visto la película A y

5 personas han visto sólo la película A. Las personas que ven la película C no han visto

las otras películas. Determine:

a) El número de personas que han visto las películas A y B.

b) El número de personas que han visto la película A o la película B.

c) El número de personas que ven sólo una película.

d) El número de personas que no ven la película B.

31.

32. Si A, B , C son conjuntos no vacíos, entonces la región sombreada del gráfico adjunto

corresponde a:

33.

35. 36.

37. Una agencia de Autos vendió durante un año 180 unidades con las siguientes

características:

- 57 tenían transmisión automática

- 77 tenían aire acondicionado

- 45 tenían transmisión automática y aire acondicionado

- 10 tenían transmisión automática pero no tenían ni aire acondicionado ni radio estéreo

- 28 tenían transmisión automática y aire acondicionado, pero no tenían radio estéreo

- 90 tenían ninguna de las tres características mencionadas

- 19 tenían aire acondicionado y radio estéreo.

Entonces EL NÚMERO DE UNIDADES QUE TENÍAN RADIO ESTÉREO ES:

a) 22 b) 1 c) 91 d) 30 e) 21

38. Para realizar una encuesta se reparte el mismo número de productos A, B y C entre

1270 consumidores; los resultados de dicha encuesta revelan lo siguiente: 200 personas

consumen (A y B) o (A y C) o (B y C), 370 personas consumen sólo C, el número de

personas que consumen sólo A es igual al de personas que consumen sólo B, 30

personas consumen los tres productos.

Entonces el número de personas que consumen sólo el producto A, es:

a) 530 b) 370 c) 700 d) 180 e) 350

39.

40.

41. Dado el conjunto 𝑅𝑒 = {0,1,2,3, … ,10} y los siguientes predicados:

𝑝(𝑥): "𝑥 + 2 𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 4"

𝑞(𝑥): "𝑥2 − 4 > 10

Determine los conjunto solución y el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

• ∀𝒙𝒑(𝒙)

• ∀𝒙𝒒(𝒙)

• ∃𝒙[𝒒(𝒙) ∧ ¬𝒑(𝒙)]

• ∃𝒙[𝒒(𝒙) ∨ ¬𝒑(𝒙)]

• ∃𝒙[𝒒(𝒙) → ¬𝒑(𝒙)]

• ∃𝒙[¬𝒒(𝒙) ∧ ¬𝒑(𝒙)]

• ∃𝒙[¬𝒒(𝒙) → ¬𝒑(𝒙)]

• ∃𝒙[¬𝒒(𝒙) ∧ ¬𝒑(𝒙)]

42. Dado el conjunto 𝑅𝑒 = {0,1,2,3, … ,10} y los siguientes predicados:

𝑝(𝑥): "𝑥 + 1 𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 3"

𝑞(𝑥): "𝑥2 + 1 > 5

Determine los conjunto solución y el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

• ∀𝒙𝒑(𝒙)

• ∀𝒙𝒒(𝒙)

• ∃𝒙[𝒒(𝒙) ∧ ¬𝒑(𝒙)]

• ∃𝒙[𝒒(𝒙) ∨ ¬𝒑(𝒙)]

• ∃𝒙[𝒒(𝒙) → ¬𝒑(𝒙)]

• ∃𝒙[¬𝒒(𝒙) ∧ ¬𝒑(𝒙)]

• ∃𝒙[¬𝒒(𝒙) → ¬𝒑(𝒙)]

• ∃𝒙[¬𝒒(𝒙) ∧ ¬𝒑(𝒙)]

PROGRESIONES

43. Tatiana debe pagar un préstamo en 8 cuotas que aumentan $6 cada mes.

Si la cuota inicial es de $6, ¿cuánto pagará en total?

a. 156

b. 180

c. 216

d. 432

48. Un plan de ahorro consiste en depositar un valor inicial y $5 más cada día. Si

al finalizar la tercera semana el valor a ahorrar es $130 ¿Cuál fue la cuota inicial

a depositar?

a. 30

b. 45

c. 25

d. 60

49. _ El primer término de una progresión geométrica es 1

128 y el octavo es 128.

Entonces el valor de la razón es:

a. 2

b. 3

c. 4

d. 5

50. El resultado de la suma: 3

2+

3

4+

3

8+ ⋯ es:

a. 3

b. 3

2

c. 1

2

d. 3

8

51. _ Un árbol de lento crecimiento multiplica su altura por 1.2 cada año. Si dentro

de 15 años medirá 10.27 metros ¿Qué altura tuvo al iniciar el estudio?

a. 0.08

b. 8.08

c. 0.8

d. 1.8

52. _ Dala la siguiente sucesión 𝑎𝑛 = {47,41,35,29} determine:

a. La posición que tendrá el termino -67 en la sucesión

b. La suma de los 25 primeros términos de la sucesión

53. _ Un comprador quiere pagar a plazos una computadora. El primer mes paga

$45 y cada una de las siguientes, $2 más que el anterior mes. Si realiza un

financiamiento que dura año y medio, ¿Cuál es el costo al que se compró la

computadora?

a. 1118

b. 83

c. 1116

d. 86

e. 89

54. _ El décimo primer término de una progresión geométrica es 1

8 y la razón es

1

2.

Entonces el primer término es:

a. 128

b. 256

c. 1

2

d. 1

4

e. 1

8

55. _ El resultado de la suma de: 36 + 18 + 9 +9

2+ ⋯ es:

a. 36

b. 24

c. 18

d. 46

e. 72

56. Un árbol de lento crecimiento multiplica su altura por 1.2 metros cada año. Si

al comenzar el año medía 0.8 metros ¿Qué altura tendrá dentro de 15 años?

a. 10.24

b. 20.48

c. 40.96

d. 5.12

e. 10.27

57. Para la siguiente serie: 6,−4,−14, .... Determine 𝑎13 y𝑆12

58. Si 𝑎1 = 17 y 𝑎5 = 5. Determine 𝑎14 y 𝑆10.

59. Si 𝑎1 = 1 = 1 y 𝑠8 = 64. Determine 𝑎7 y 𝑆6

60. Para la siguiente serie: 2, 6, 18, .... Determine 𝑎8.

61. Para la siguiente serie: 24, 12, 6, .... Determine 𝑆6.

62. Si 𝑎1 = 1 y 𝑎4 = 27. Determine 𝑆6.

63. Si 𝑎6 = 96 y 𝑎3 = 12. Determine 𝑎8.