Proyecto MECESUP Profesores Especialistas para la Educación Básica: Respuesta a un Desafío (UCV 0402)

Asignatura: Geometría del Triángulo y del CuadriláteroAutor(a)/Universidad: Universidad de ConcepciónHoras presenciales por semana: 7 horasHoras requeridas del alumno por semana afuera del aula: 14 horas

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisiones informadas. Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza. En colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su institución escolar

ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS

I. Estándares y Competencias del perfil de egreso, relacionados al curso.El curso, sus expectativas de logro, lo que se le pide al alumno hacer y las evaluaciones han sido alineadas con los estándares y competencias del perfil de egreso para la formación inicial de profesores del segundo ciclo básico. Los siguientes estándares y competencias tienen un énfasis principal en este curso:

Estándar 6Comprende la estructura axiomática de la geometría euclidiana y las nociones básicas de punto, recta, trazo, rayo. Comprende el significado de distintas figuras geométricas tales como ángulo, polígono (centrado en el triángulo y el cuadrilátero), circunferencia y las regiones que ellas delimitan; distinguiendo las distintas formas de clasificar y de caracterizar dichas figuras a través de su construcción geométrica, avanzando hacia la deducción y demostración de sus propiedades y relaciones. Comprende los conceptos de medida de longitud, medida angular, medida de superficie y demuestra propiedades que permitan calcular áreas de regiones y perímetro de la circunferencia; reconociendo los distintos sistemas y unidades de medida en cada uno de ellos. Comprende el concepto de congruencia de figuras en el plano, y aplica los criterios de congruencia de triángulos para determinar si dos figuras son congruentes, como también para construir tesselaciones y así vincular el estudio de la geometría a diferentes manifestaciones del arte y la arquitectura, valorando a la Geometría como una disciplina muy ligada a la realidad de la humanidad y sus civilizaciones en distintas culturas y épocas. Organiza, planifica y diseña actividades que guíen los procesos de enseñanza hacia procesos de conceptualización de los distintos objetos geométricos para inducir en forma comprensiva la clasificación de figuras en los niños, para generar la necesidad de usar regla y compás en construcciones geométricas, para deducir propiedades a partir de figuras construidas geométricamente o en software de geometría dinámica, y para deducir propiedades métricas. Diseña planificaciones de enseñanza que sean coherentes con las orientaciones didácticas presentes en el marco de los programas oficiales y con enfoques cognoscitivos actuales acerca del aprendizaje.

Competencia 1, eje 2:Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector de aprendizaje que es responsable de enseñar.

Competencia 2, eje 2:Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el sector curricular que enseña y utiliza este conocimiento para planificar su enseñanza.

Competencia 8, eje 2:Comprende cómo motivar a sus estudiantes para facilitar su aprendizaje a través del uso de recursos variados (incluidas las TIC’s)

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El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) tiene(n) un énfasis secundario en este curso:

Comprende las características que son propias de cada uno de los distintos tipos de transformaciones isométricas: traslación, rotación, simetría puntual y axial. Reconoce transformaciones isométricas en variados contextos, tanto cotidianos como artísticos, identificando su tipo y los elementos que la generaron. Aplica transformaciones y usa simetrías para analizar y resolver problemas geométricos, así como para ilustrar propiedades de figuras geométricas. Además, está en condiciones de organizar, planificar, diseñar actividades de aprendizaje basada en la resolución de problemas para los contenidos presentes en el marco de los planes y programas vigentes en Matemática y de generar instancias evaluativas de estos aprendizajes.

Competencia 7, eje 2:Crea experiencias de aprendizaje interdisciplinarias que permiten a los estudiantes integrar el conocimiento, destrezas y métodos de investigación de diversos sectores de aprendizaje.

II. Aprendizajes esperados (los aprendizajes claves para el logro de los estándares/competencias)

Conocimientos

Reconoce y comprende las diferentes características que definen a los ángulos, triángulos, cuadriláteros, polígonos y circunferencia como también los distintos criterios de clasificación de ellas.

Comprende el concepto de congruencia de figuras poligonales y reconoce pares de figuras congruentes. Demuestra sus afirmaciones utilizando criterios de congruencia.

Deduce, comprende y demuestra propiedades y relaciones fundamentales en ángulos, triángulos, cuadriláteros y polígonos, fundamentándolas, cuando corresponda, con teoremas de congruencia.

Comprende el concepto de equivalencia de figuras y demuestra teoremas de equivalencia.

Comprende la noción de medida y de unidad de medición, para superficies y regiones angulares. Además, relaciona, selecciona y utiliza unidades de medida adecuadas para medir ángulos, trazos, figuras  y superficies, en situaciones problemáticas

Deduce y demuestra fórmulas para el cálculo de perímetros y áreas de regiones planas, comprendiendo el significado de área relacionándolo con la medida de la superficie y el de perímetro con la adición de las longitudes de todos los lados de la figura o de la superficie que la delimita.

Procedimentales

Aplica propiedades y relaciones fundamentales en ángulos, triángulos, cuadriláteros y polígonos en la resolución de problemas geométricos.

Construye con regla y compás diferentes figuras planas, conocidos algunos de sus elementos y considerando sus características propias; describiendo, además, sus procesos de construcción. Complementa dichos procesos constructivos utilizando un software de construcción geométrica.

Establece un criterio de secuencialidad entre los distintos contenidos de geometría referidos a figuras planas señalados en los Planes y Programas de 5° a 8° año básico.

Actitudes

Reconoce y valora los aportes de la geometría euclidiana en las distintas manifestaciones arquitectónicas, artísticas y estructurales presentes en la humanidad en distintas épocas.

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III. Lecturas Requeridas: Arenas, F; Masjuan, G; Villanueva, F (1997) “Geometría elemental”, Ediciones Universidad Católica de

Chile. Cano, O (1963) “Geometría”. Clemens, S; O’Daffer, P; Cooney, T (1998) “Geometría”, Pearson / Addison Wesley. Coxeter, H. S. M (1989) “Introduction to geometry”, John Wiley & Sons. Mercado Schüller, C (1983) “Geometría”, Editorial Universitaria. Moise, E; Downs, F (1996) “Geometría Moderna”, Addison Wesley. Pogorélov, A. V. (1974) “Geometría elemental”, Editorial Mir.

IV. Otros recursos: http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub = http://descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php MINEDUC (2003) “Programas de estudio NB2, Cuarto año básico”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Quinto año básico”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Sexto año básico”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Séptimo año básico”, MINEDUC, 2da

ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Octavo año básico”, MINEDUC, 2da

ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Primer año medio”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Segundo año medio”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Tercer año medio”, MINEDUC, 2da ed.

V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indique las principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y competencias del perfil de egreso)

1. Construcción de figuras utilizando un software geométrico Estándar 6/ Competencia 8

Construye utilizando un software geométrico (Cabri II, por ejemplo) circunferencias inscritas, circunscritas y exinscrita a un triángulo. Analizan posiciones de los centros de ellas según el tipo de triángulo y deducen propiedades particulares en cada una de ellas centrando la atención en las que están definidas en un triángulo equilátero.

2. Figuras congruentes en el arte y arquitectura Estándar 6 - 8 / Competencia 7

En grupo, investigan sobre la presencia de las figuras congruentes (tesselaciones, por ejemplo) en el arte, arquitectura y naturaleza, mostrando además la relación de esta razón con otras áreas de la matemática.

3. Análisis de Textos Escolares y Planes y Programas Estándar 6 / Competencia 2

En grupo, analizan los planes de estudio de 4to básico a 1ro medio, identificando aquellos contenidos mínimos obligatorios (CMO) en los que estén involucrados los temas referidos a triángulos y cuadriláteros relacionándolos con los aprendizajes esperados respectivos. Utilizan textos escolares para analizar la consistencia conceptual y grado de complejidad utilizados en ellos y se pertinencia con los CMO y aprendizajes esperados de los planes y Programas..

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VI. Evaluaciones Clave

EVALUACIÓN 1

1. Estándar 6 / Competencia 1

2. Justificación:Un(a) profesor(a) de 2do ciclo debe ser capaz de comprender al triángulo como una figura fundamental en la geometría, cuyas características permiten sustentar el estudio de otras figuras geométricas. Además, y debido a que los procedimientos de construcción de triángulos se basan en los criterios de congruencia, es necesario que el profesor comprenda y aplique los teoremas de congruencia de triángulos en la deducción de las propiedades y teoremas que deberá enseñar en 2do ciclo. Esto les permitirá comprender los procesos de construcción geométricas de triángulos y, posteriormente, de otras figuras geométricas. Además, el docente debe comprender las distintas formas de clasificar triángulos, tema que es abordado como uno de los contenidos mínimos obligatorios del programa oficial de estudios de 2do ciclo.

3. Pre-requisitos:Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de:

Comprender y reconocer los conceptos de punto, segmento, recta, rayo, ángulo, perpendicularidad y paralelismo, figura.

Construir geométricamente rectas perpendiculares y paralelas, ángulos y segmentos de medidas determinadas.

Comprender la noción de simetría y de eje de simetría.

4. Descripción breve de la evaluación:Los profesores en formación clasificarán triángulos según distintos elementos, reconocerá pares de figuras congruentes, deducirá propiedades de triángulos y construirá triángulos a partir de información dada.

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle

Paso 1:Los profesores en formación, mediante la aplicación de los criterios de congruencia, identificarán figuras congruentes (triángulos y otros polígonos), descomponiéndolas, cuando sea posible, en triángulos congruentes. Demuestran todas sus afirmaciones

Paso 2:Individualmente, clasifican diversos triángulos según medida de sus lados o de sus ángulos interiores. Identifican además aquellos triángulos en los que es posible descomponerlos en triángulos congruentes. Relacionan esta propiedad con la simetría, y los clasifican según el número de ejes de simetría que poseen. Establecen una relación entre estos tres tipos de clasificaciones.

Paso 3:Construyen geométricamente triángulos a partir de medidas determinadas, o bien, a partir de elementos dados (trazos que definen lados o elementos secundarios y/o ángulos). Describen sus construcciones y demuestran que su respuesta es la requerida usando los criterios de congruencia.

Paso 4:Para una colección de triángulos de distintos tipos, construyen geométricamente sus alturas, simetrales y bisectrices, deducen propiedades de éstas y establecen las condiciones para que se cumplan (identifican aquellas regularidades propias de determinado tipo de triángulo, por ejemplo). Enuncian sus resultados como teoremas, y los demuestran.

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Instrumentos de construcción y medición (regla, compás y transportador). Textos escolares de Matemática y Textos de Universitarios de Geometría. Planes y programas del subsector Educación Matemática (4to a 8vo básico) y Matemática (1ro a 3ro

medio).

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Rúbrica de evaluación

Paso No logra el estándar(0 puntos)

Logra parcialmente el estándar(10 puntos)

Logra suficientementeel estándar(30 puntos)

Logra estándar con profundidad(40 puntos)

1 No identifica correctamente figuras congruentes; o bien, identifica triángulos congruentes, pero no fundamenta su respuesta.

Identifica triángulos congruentes, y fundamenta sin criterios de congruencia.

Identifica polígonos congruentes, pero no descompone los polígonos en triángulos congruentes.

Identifica triángulos congruentes, y fundamenta sin criterios de congruencia.

Identifica polígonos congruentes, y fundamenta mediante descomposición, pero sin usar criterios de congruencia.

Identifica triángulos y polígonos congruentes, fundamentando mediante descomposición y criterios de congruencia de triángulos.

2 Clasifican los triángulos solamente según medida de sus lados o según medida de sus ángulos.

No descomponen un triángulo simétrico en dos triángulos congruentes, o bien, descomponen en triángulos no congruentes.

Clasifican los triángulos según medida de sus lados y ángulos.

Descomponen en triángulos congruentes, pero no identifican que estos triángulos son simétricos.

Clasifican los triángulos según medida de sus lados y ángulos.

Descomponen en triángulos congruentes e identifican la simetría de estos triángulos.

Establecen que un triángulo puede tener 0 o 1 eje de simetría.

Clasifican los triángulos según medida de sus lados y ángulos.

Descomponen en triángulos congruentes e identifican la simetría de estos triángulos.

Establecen que un triángulo puede tener 0 (escaleno), 1 (isósceles) o 3 equilátero) ejes de simetría.

3 Construyen geométricamente triángulos dados solamente sus tres lados.Describen su construcción en lenguaje no formal.No dan una demostración.

Construyen geométricamente triángulos, dados algunos de sus elementos principales.Describen su construcción en lenguaje no formal.Dan una explicación en lenguaje no formal.

Construyen geométricamente triángulos, dados algunos de sus elementos principales, o dada alguna característica de éste.Describen su construcción en lenguaje formal.Demuestran en lenguaje formal.

Construyen geométricamente triángulos dados algunos de sus elementos (principales o secundarios).Describen y demuestran su construcción en lenguaje formal.Analizan la existencia de otras soluciones.

4 Deducen propiedades de forma incorrecta. (por ej: la altura de cualquier triángulo es eje de simetría).

Deducen propiedades correctas para los distintos tipos de triángulos, pero no los enuncian como teoremas. (es decir, no identifican hipótesis ni tesis correctamente).

Explican la propiedad en lenguaje no formal.

Deducen propiedades correctas para los distintos tipos de triángulos.Los enuncian como teoremas y dan una explicación no formal a ellos, pero no los demuestran.

Deducen propiedades correctas para los distintos tipos de triángulos.Los enuncian como teoremas y los demuestran.

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EVALUACIÓN 2

1. Estándar 6 / Competencia 1

2. Justificación:Un(a) profesor(a) de 2do ciclo debe ser capaz de comprender al cuadrilátero, y sus distintas formas de clasificación, pues es una figura fundamental en la geometría de enseñanza básica. Además, debe ser capaz de deducir, comprender y demostrar las propiedades de cuadriláteros, pues éstas fundamentan diversas relaciones métricas. Finalmente, debe comprender, deducir y aplicar las fórmulas para el cálculo de áreas de regiones delimitadas por cuadriláteros y triángulos.

3. Pre-requisitos:Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de:

Comprender y reconocer los conceptos de punto, segmento, recta, rayo, ángulo, perpendicularidad y paralelismo, figura.

Construir geométricamente rectas perpendiculares y paralelas, ángulos y segmentos de medidas determinadas.

Comprender y aplicar el concepto de congruencia y los criterios de congruencia. Comprender la noción de simetría y de eje de simetría.

4. Descripción breve de la evaluación:Los profesores en formación clasificarán cuadriláteros según distintos criterios, deducirán y demostrarán propiedades de cuadriláteros y construirán cuadriláteros a partir de información dada. Finalmente, deducirán y aplicarán fórmulas para el cálculo de áreas de regiones delimitadas por cuadriláteros y triángulos.

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle

Paso 1:Dada una colección de cuadriláteros convexos, los clasifica como pertenecientes a la familia de los trapezoides, trapecios o paralelogramos, fundamentando de acuerdo a la cantidad de lados paralelos y señalando en cada uno el nombre por el cual es identificado en la familia a la que pertenece. Además dada una colección de paralelogramos los clasifica según el número de ejes de simetría

Paso 2:En parejas o ternas, construyen un mapa conceptual que relacione los elementos geométricos involucrados en el concepto de cuadrilátero y en sus clasificaciones.

Paso 3:Construyen geométricamente cuadriláteros convexos, a partir de elementos dados y/o características específicas siendo de capaz de escribir formalmente los procesos constructivos. Dada una colección de cuadriláteros reconoce aquellos que son inscriptibles y circunscriptibles justificando a partir de los teoremas relativos a la inscriptibilidad y la circunscriptibilidad; además aplica dichos teoremas para resolver problemas geométricos que involucren este tipo de cuadriláteros.

Paso 4:A partir de cuadriláteros convexos construidos geométricamente, deducen de ellos las propiedades métricas y angulares presentes en los planes y programas de 5° básico a 1° medio, discuten sus afirmaciones y las enuncian como teoremas, los que finalmente demuestran.

Paso 5:Deducen fórmulas para el área de regiones delimitadas por cuadriláteros y triángulos. Utilizan la noción de equivalencia de figuras para demostrar sus afirmaciones. Aplican estas fórmulas en la resolución de problemas geométricos.

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Instrumentos de construcción y medición (regla, compás y transportador). Textos escolares de Matemática. Planes y programas del subsector Educación Matemática (4to a 8vo básico) y Matemática (1ro a 3ro

medio).

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Rúbrica de evaluación

Paso No logra el estándar(0 puntos)

Logra parcialmente el estándar(10 puntos)

Logra suficientemente el estándar(30 puntos)

Logra estándar con profundidad(40 puntos)

1 Clasifica sin fundamentar o clasifica incorrectamente al menos un cuadrilátero o al menos uno de los paralelogramos.

Clasifica la colección de cuadriláteros sólo señalando la familia a la cual pertenece según la cantidad de pares de lados paralelos, sin identificar el nombre que recibe en la familia respectiva.

No identifica correctamente la colección de paralelogramos utilizando los ejes de simetría como argumento

Clasifica la colección de cuadriláteros señalando la familia a la cual pertenece según la cantidad de pares de lados paralelos, identificando el nombre que recibe en la familia respectiva.

Identifica correctamente la colección de paralelogramos argumentando con los ejes de simetría

Clasifica la colección de cuadriláteros sólo señalando la familia a la cual pertenece según la cantidad de pares de lados paralelos, identificando el nombre que recibe en la familia respectiva e identifica correctamente la colección de paralelogramos, justifica utilizando los ejes de simetría

2 Elabora sólo una secuencia de contenidos.

Elabora un mapa conceptual estableciendo enlaces entre niveles de jerarquía contiguos.

Elabora un mapa conceptual estableciendo enlaces entre niveles de jerarquía contiguos y no contiguos.

Elabora un mapa conceptual estableciendo enlaces entre niveles de jerarquía contiguos y no contiguos fundamentando cada enlace.

3 No construye geométricamente cuadriláteros o los construye sin argumentar los procedimientos utilizados y sin escribir formalmente los pasos de la construcción.

No reconoce cuadriláteros inscriptibles ni circunscriptibles y tampoco argumenta utilizando los teoremas respectivos.

No resuelve problemas geométricos que involucran cuadriláteros inscriptibles y circunscriptibles.

Construye geométricamente cuadriláteros según condiciones dadas, escribiendo formalmente los pasos y argumentando los procedimientos utilizados en la construcción.

No reconoce cuadriláteros inscriptibles ni circunscriptibles y tampoco argumenta utilizando los teoremas respectivos.

No resuelve problemas geométricos que involucran cuadriláteros inscriptibles y circunscriptibles.

Construye geométricamente cuadriláteros según condiciones dadas, escribiendo formalmente los pasos y argumentando los procedimientos utilizados en la construcción.

Reconoce cuadriláteros inscriptibles y circunscriptibles argumentando según los teoremas respectivos.

No resuelve problemas geométricos que involucran cuadriláteros inscriptibles y circunscriptibles.

Construye geométricamente cuadriláteros según condiciones dadas, escribiendo formalmente los pasos y argumentando los procedimientos utilizados en la construcción.

Reconoce cuadriláteros inscriptibles y circunscriptibles argumentando según los teoremas respectivos.

Resuelve problemas geométricos que involucran cuadriláteros inscriptibles y circunscriptibles.

4 Deducen propiedades de forma incorrecta. (Por ej: las diagonales de cualquier paralelogramo son perpendiculares).

Deducen propiedades correctas para los distintos tipos de cuadriláteros.

No enuncian las deducciones como teoremas. (es decir, no identifican hipótesis ni tesis correctamente).

Deducen propiedades correctas para los distintos tipos de cuadriláteros.

Enuncian las deducciones como teoremas y dan una explicación no formal a ellos, pero no los demuestran.

Deducen propiedades correctas para los distintos tipos de triángulos.

Enuncian las deducciones como teoremas y las demuestran.

5 No deducen fórmulas para calcular el área de una superficie delimitada por un triángulo ni por un rectángulo. No resulten problemas de cálculo de áreas.

Deducen la fórmula para determinar el área de un paralelogramo y un triángulo, sin resolver problemas en donde deban utilizarla.

Deducen la fórmula para determinar el área de un paralelogramo, un triángulo y un trapecio sin resolver problemas en donde deban utilizarla.

Demuestran la fórmula para calcular el área de un triángulo equilátero en función de la longitud del lado.

Resuelven problemas de áreas aplicando las fórmulas deducidas.

Explican las demostraciones de teoremas que utilizan áreas de triángulos y cuadriláteros (ejemplo: teorema de Pitágoras y teorema de Ceva)

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6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación:

Evaluación clave 1 40 puntos Estándar 6/Competencia 1

Evaluación clave 2 40 puntos Estándar 6/Competencia 1

Total de puntos: 80

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