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SALINAS AQUIJE T.W.
ASÍNTOTAS
Definición de una asíntota Cuando la gráfica de una función se acerca a una recta cuando x o y
tienden a infinito, dicha recta se llama ASÍNTOTA de la función. No todas las funciones tienen asíntotas.
Las asíntotas de una función pueden ser:
Verticales Horizontales Oblicuas
Asíntotas curvilíneas
Tipos de asíntotas
x = cy
x
Asíntotas Verticales
x = cy
x
Tipos de asíntotas
y = L
y = f(x)
y
x
y = L
y = f(x)
y
x
Asíntotas Horizontales
Tipos de asíntotas
Asíntotas Oblicuas
y
x
y = ax + b
Asíntotas verticales
)(lim xfcx
)(lim xfcx
)(lim xfcx
La recta x = c es una asíntota vertical de una función f(x) si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
)(lim xfcx
Ejemplo:
2
1lim
2 xx
2
1lim
2 xx
2
1)(
xxf
La recta x = 2 es una asíntota vertical
Asíntotas horizontales
Lxfx
)(lim Lxfx
)(lim
La recta x = L es una asíntota horizontal de una función f(x) si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
Ejemplo:
1
2)(
x
xxf
21
2lim
x
xx
21
2lim
x
xx
La recta y = 2 es una asíntota horizontal
Asíntotas oblicuas
ax
xfx
)(lim
ax
xfx
)(lim
baxxfx
))((lim
La recta y = ax + b es una asíntota oblicua de una función f(x) si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
a)
b) baxxfx
))((lim
Ejemplo:
1
2)(
2
x
xxf
22
lim)(
lim2
2
xx
x
x
xfxx
2)21
2(lim))((lim
2
xx
xaxxf
xx
La recta y = 2x+2 es una asíntota oblicua
Asíntotas de funciones racionales
Una función racional tiene una asíntota vertical cuando el denominador de la función simplificada es igual a 0.
Recuerda que se simplifica cancelando los factores comunes del numerador y denominador.
Asíntotas Verticales
Ejemplo 1: Calcular las asíntotas verticales
x
xxf
22
52
Dada la función
Calculamos los valores de x que hacen 0 el denominador:
2 + 2x = 0 x = -1
La recta x = -1 es la única asíntota vertical de la función.
Asíntota verticalx = -1
Primero simplicamos la función.
9
121022
2
x
xxxf
3
42
33
423
9
121023
2
x
x
xx
xx
x
xx
La(s) asíntota(s) aparecen cuando el denominator (después de simplificar) es igual a 0.
x – 3 = 0 x = 3La recta vertical x = 3 es la única asíntota vertical de esta función.
Ejemplo 2: Calcular las asíntotas verticales
6
52
xx
xxg
32
5
6
52
xx
x
xx
x
El denominador es igual a 0 cuando
x + 2 = 0 x = -2o
x - 3 = 0 x = 3
Esta función tiene dos asíntotas verticales, una x = -2 y la otra x = 3
Ejemplo 3: Calcular las asíntotas verticales
Asíntotas horizontales
Las asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre una de las siguientes condiciones (ambas condiciones no pueden ocurrir en la misma función):
El grado del numerador es menor que el grado del denominador. En este caso, la asíntota es la recta horizontal y = 0.
El grado del numerador es igual al grado del denominador. En este caso, la asíntota es la recta horizontal y = a/b, donde a es el coeficiente de mayor grado del numerador y b es el del denominador.
Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador la función no tiene asíntota horizontal.
Ejemplo 4: Calcular las asíntotas horizontales
027
53lim
3
2
x
xxx
27
533
2
x
xxxf
027
53lim
3
2
x
xxx
Tiene una asíntota horizontal en la recta y = 0 porque el grado del numerador (2) es menor que el grado del denominador (3).
La recta horizontal y = 0 es la asíntota horizontal.
Ejemplo 5: Calcular las asíntotas horizontales
5
6
975
536lim
2
2
xx
xxx
975
5362
2
xx
xxxg
El grado del numerador (2) es igual al grado del denominador (2), luego la recta y = 6/5 es una asíntota horizontal.
La recta y = 6/5 es la
asíntota horizontal.
Ejemplo 6: Calcular las asíntotas horizontales
1
9522
3
x
xxxf
No tiene asíntotas horizontales porque el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.
Asíntotas oblicuas
Las asíntotas oblicuas aparecen cuando el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el grado del denominador.
Ejemplo 7: Calcular las asíntotas oblicuas
1
9522
23
xx
xxxxf
Tiene una asíntota oblicua porque el grado del numerador (3) es uno más que el grado del denominador (2).
1952
lim)(
lim23
23
xxx
xxx
x
xfxx
31
943lim))((lim
2
2
xx
xxxxf
xx
La recta y = x + 3 es asíntota oblicua
Problemas
Calcula las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de las funciones:
2
2
2 15
7 10
x xf x
x x
Vertical: x = -2Horizontal : y = 1Oblicua: no tiene
22 5 7
3
x xg x
x
Vertical: x = 3Horizontal : no tieneOblicua: y = 2x +11