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Descripción de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
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Asíntotas
Asíntotas Verticales (Definición):
La recta x=a es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si al
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero.
i.lim
x→a+¿ f (x )=+∞¿¿
ii.lim
x→a+¿ f (x )=−∞¿¿
iii.lim
x→a−¿ f ( x )=+∞ ¿¿
iv .lim
x→a−¿ f ( x )=−∞¿¿
Ejemplo (1):
Determine la asíntota vertical de la gráfica de la función f definida por
f ( x )= 5x−5
Solución:
Al observar el denominador, podemos buscar el número o los números
que lo reduzcan a cero, esto es:
x−5=0
x=5
Estudiemos los límites en ese punto del dominio.
limx→ 5+¿ f ( x ); lim
x→5−¿f ( x)¿ ¿¿
¿
Observemos:
limx→ 5+¿ 5
x−5=+∞¿
¿
x f (x)5 ,1 505 ,01 5005 ,001 50005 ,0001 500005 ,00001 5000005 ,000001 50000005 ,0000001 50000000
Para el otro límite, tenemos:
limx→5−¿ 5
x−5=−∞¿
¿
x f (x)4 ,9 −504 ,99 −5004 ,999 −50004 ,9999 −500004 ,99999 −5000004 ,999999 −50000004 ,9999999 −50000000
Según la definición anterior podemos decir que la recta x=5 es una
asíntota vertical de la función f .
Asíntotas Horizontales (Definición):
En la recta y=b es una asíntota horizontal de la gráfica de la función f si
al menos una de las proposiciones siguientes es verdadera
i.limx→+∞
f ( x )=b y para algún número N , si x>N , entonces f (x)≠b
ii.limx→−∞
f (x )=b y para algún número N , si x<N , entonces f (x)≠b
Ejemplo (2):
Determine la asíntota vertical de la gráfica de la función f definida por
f ( x )= 4 x4
x4+1
Solución:
Procedemos a calcular los límites respectivos:
limx→+∞
4 x4
x4+1
limx→+∞
4 x4
x4+1=
4 x4
x4
x4+1x4
= 4x4
x4+ 1x4
= 41+0
=4
Análogamente,
limx→+∞
4 x4
x4+1
limx→+∞
4 x4
x4+1=
4 x4
x4
x4+1x4
= 4x4
x4+ 1x4
= 41+0
=4
Por tanto la recta y=4 es una asíntota horizontal.
Asíntota Oblicua (Definición):
La gráfica de la función f tiene recta y=mx+b como una asíntota oblicua
si alguna de las proposiciones siguientes es verdadera
i.limx→+∞
[ f ( x )−(mx+b ) ]=0 y para algún número M >0, entonces f ( x )≠mx+b siempre que x>M
ii.limx→−∞
[ f (x )−(mx+b ) ]=0 y para algún número M <0, entonces f ( x )≠mx+b siempre que x<M
El inciso i de la definición indica que para cualquier ε>0, existe un
número N>0 tal que:
Si x>N entonces 0<|f (x )−(mx+b)|<ε
Esto es, se puede hacer que el valor de la función f (x) esté tan cerca
del valor de mx+b como se quiera tomando x suficientemente grande. Este
enunciado es consistente con la idea intuitiva de la asíntota de una gráfica.
Ejemplo (3):
Determine la asíntota de la siguiente función
h ( x )= x2+3x−1
Solución:
Podemos apreciar que si tomamos el denominador e igualamos a cero,
nos queda:
x−1=0
x=1
Ahora calculamos los límites
limx→ 1+¿ x2+3
x−1=+∞¿
¿
La siguiente tabla, ratifica el resultado:
x f (x)1,01 402
1,001 40021,0001 40002
1,00001 4000021,000001 4000002
limx→1+¿ x2+3
x−1=−∞¿
¿
La siguiente tabla, ratifica el resultado:
x f (x)0,9 -380,99 -3980,999 -39980,9999 -399980,99999 -3999980,999999 -3999998
Por tanto, la recta x=1 es una asíntota vertical.
Como el grado absoluto del polinomio numerador, es dos y el grado
absoluto del polinomio denominador es uno esto indica que la función tiene una
asíntota oblicua.
Por tanto al resolver el cociente, tenemos
h ( x )= x2+3x−1
h ( x )=x+1+ 4x−1
y=x+1
Luego, la recta y=x+1 es una asíntota oblicua
Gráficas:
Ejemplo (1)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-15
-10
-5
0
5
10
15
Ejemplo (2)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
1
2
3
4
5
Ejemplo (3)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-5
-4
-3-2
-1
0
123
4
5
6
789
10
1112
Gráficas de la guía:
f ( x )= 4x−5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
f ( x )= 5x2+8 x+16
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 00
3
6
9
12
15
18
21
f ( x )= 4 x2
x2−9
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
f ( x )= 2x6 x2+11 x−10
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
h ( x )= 1x2+5 x−6
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
