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ATEMÁTICAS : 3
SEC
UN
DA
RIA
Cuaderno de trabajo
Tatiana María Mendoza Von Der Borch • José Cruz García Zagal •
Ernesto Manuel Espinosa Asuar
ASESOR PEDAGÓGICO: María de los Dolores Lozano Suárez
BASADO EN EL PROGRAMA OFICIAL
Dirección de contenidos y servicios educativos Elisa Bonilla Rius
Gerencia editorialHilda Victoria Infante Cosío
EdiciónUriel Jiménez Herrera
Asesor pedagógicoMaría de los Dolores Lozano Suárez
AutoresTatiana María Mendoza Von Der Borch, José Cruz García Zagal, Ernesto Manuel Espinosa Asuar
CorrecciónAbdel López Cruz, Esther del Valle Padilla, Ezequiel Ortiz Hernández
Dirección de ArteQuetzatl León Calixto
Diseño Gráfi coFactor 02
Diseño de PortadaClaudia Adriana García, Quetzatl León
IlustraciónEliud Reyes Reyes
DiagramaciónBrenda López Romero, César Leyva Acosta
FotografíaArchivo SM, © 2010 Thinkstock, Yina Garza, Elia Pérez, Ricardo Tapia, Salatiel Barragán
ProducciónCarlos Olvera, Teresa Amaya
Cuaderno de trabajo. Matemáticas 3SERIE APRENDIZAJES Y REFUERZOPrimera edición, 2010
D. R. © SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2010Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D.F.Tel.: (55) 1087 8400www.ediciones-sm.com.mx
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro número 2830
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.
Impreso en México/Printed in Mexico
Dirección de contenidos y servicios educativos Elisa Bonilla Rius
Gerencia editorialHilda Victoria Infante Cosío
EdiciónUriel Jiménez Herrera
Asesor pedagógicoMaría de los Dolores Lozano Suárez
AutoresTatiana María Mendoza Von Der Borch, José Cruz García Zagal, Ernesto Manuel Espinosa Asuar
CorrecciónAbdel López Cruz, Esther del Valle Padilla, Ezequiel Ortiz Hernández
Dirección de ArteQuetzatl León Calixto
Diseño Gráfi coFactor 02
Diseño de PortadaClaudia Adriana García, Quetzatl León
IlustraciónEliud Reyes Reyes
DiagramaciónBrenda López Romero, César Leyva Acosta
FotografíaArchivo SM, © 2010 Thinkstock, Yina Garza, Elia Pérez, Ricardo Tapia, Salatiel Barragán
ProducciónCarlos Olvera, Teresa Amaya
Cuaderno de trabajo. Matemáticas 3SERIE APRENDIZAJES Y REFUERZOPrimera edición, 2010
D. R. © SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2010Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D.F.Tel.: (55) 1087 8400www.ediciones-sm.com.mx
ISBN 978-607-471-529-3
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro número 2830
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.
Impreso en México/Printed in Mexico
3
PRESENTACIÓN :
Este cuaderno de trabajo se diseñó como un complemento de tus clases y de tu libro de matemáticas para brindarte la oportunidad de repasar y practicar las técnicas que vas aprendiendo; resolver nuevos problemas, enfrentarte a más desafíos y conocer datos interesantes acerca de las matemáticas. En suma, para que puedas aprender más.
Algunos ejercicios y actividades tal vez te parezcan fáciles mientras que en otros deberás pensar un poco más para llegar a la respuesta correcta. Si no logras resolver una actividad, te recomendamos que sigas con las demás y en otro momento vuelvas a intentarlo.
Igual que tu libro, este cuaderno de trabajo se ha dividido en cinco bloques. En cada bloque hay varias lecciones, conformadas por grupos de ejercicios y actividades sobre algún contenido del programa. A su vez, dichas lecciones están divididas en diferentes partes:
• “Repasemos”. Aquí encontrarás ejercicios sencillos con los que podrás practicar las técnicas estudiadas en la lección o repasar las nociones aprendidas. Esta sección sólo se incluye en los contenidos que así lo requieren.
• “Problemas y ejercicios”. Aquí podrás resolver situaciones diferentes a las de tu libro, que te permitirán seguir aplicando los conocimientos aprendidos. Estos ejercicios y problemas están ordenados del más sencillo al más difícil; sin embargo hay que tener en cuenta que este orden es relativo, pues a veces lo que para alguien es sencillo para otro no lo es. Los problemas marcados con un icono son aquellos que consideramos más difíciles. Esta sección es la única que está en todas las lecciones del cuaderno.
• “Y algo más...” Esta parte es como un cajón de sastre: hay de todo. En ella hallarás acertijos, nuevos retos y desafíos, propiedades interesantes o datos históricos relacionados con las matemáticas.
Por cada contenido de tu libro de texto hay un grupo de actividades en el cuaderno de trabajo; excepto para los de “Justificación de fórmulas”, pues los ejercicios y problemas sobre este tema se concentraron en el apartado de
“Aplicación de fórmulas”.Esperamos que disfrutes este material, que lo vivas como una oportunidad
más para practicar, avanzar y profundizar en tus habilidades y conocimientos matemáticos.
LOS AUTORES
4
GUÍA DE USO:
Entrada de bloqueEn esta página se indican los aprendizajes que esperamos que adquieras a lo largo del bloque.
Recuadro de conocimientos y habilidadesAquí se enuncia el conocimiento y habilidad que ejercitarás.
RepasemosEn esta sección practicarás las técnicas aprendidas, que utilizarás en las actividades de la siguiente sección.
LA QUÍMICA, LA TECNOLOGÍA Y TÚ
7
BLOQUE 1
Aprendizajes esperados
Se espera que los alumnos…
1. Transformen expresiones algebraicas en otras equivalentes al efectuar cálculos.
2. Apliquen los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades
de figuras geométricas.
3. Resuelvan problemas que implican relacionar ángulos inscritos y centrales de una
circunferencia.
4. Resuelvan problemas que implican determinar una razón de cambio, expresarla
algebraicamente y representarla gráficamente.
BLO
QU
E
1
72
Utilizar ecuaciones
cuadráticas para modelar
situaciones y resolverlas
usando la fórmula
general.
3.2
FÓRMULA GENERAL
REPASEMOS
1. Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones cuadráticas. Usa la fórmula
general.
a) x2 9x 14 0 Soluciones:
b) 3x2 6x 3 0 Soluciones:
c) 2x2 5x 4 0 Soluciones:
d) x2 6x 10 0 Soluciones:
e) x2 x 2 0
Soluciones:
f) x2 2x 1 0
Soluciones:
g) x2 5x 0 Soluciones:
h) x2 64 0 Soluciones:
i) x2 10x 9 0 Soluciones:
j) 4x2 16x 0
Soluciones:
2. Simplifica las ecuaciones e iguálalas a cero, encuentra el valor
del discriminante y el número de soluciones.
Ecuación
Ecuación en la
forma generalValor del discriminante Número de soluciones
x(x 3) 5x 3
9x 1 3x2 15 x2 x 6
2(x 12) (x 4) (4 x)
4x2 x 10 5x 9
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
3. Se quiere encontrar dos números impares positivos y consecutivos, de tal
manera que la suma de sus cuadrados sea 394.
a) Si x representa al primero de los dos números impares. Subraya la expresión
que representa al otro número impar.
2x 2 2x 3
x 1
b) La segunda condición del problema pide que la suma de los cuadrados
de los números sea 394. Subraya la ecuación asociada a esta condición.
(2x 1)2 (2x 2)2 394
(2x 1)2 (2x 3)2 394
(2x 1)2 (x 1)2 394
LECCIÓN 3.2
5 cm5 cm
8 cm
4 cm
2.5 cm2.5 cm
2.85 cm 2.85 cm
4.8 cm
A
B
C
E
D
F
Triángulo 2
Triángulo 1
Triángulo A
Triángulo B
Triángulo C
51
Determinar los criterios de semejanza de triángulos. Aplicar los criterios de semejanza de triángulos en el análisis de diferentes propiedades de los polígonos. Aplicar la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles.
2.4
CRITERIOS DE SEMEJANZAREPASEMOS
1. El triángulo 1 es semejante al triángulo 2.
¿Cuál es la razón de semejanza?
Señala la igualdad que sea correcta.a) D
__ A = E __ B b) F __ A = E __ C
c) E __ A = F __ B d) D __ B = E __ A 2. Para los siguientes triángulos, responde lo que se pide.
a) ¿Qué triángulos son semejantes? y b) ¿Qué criterio de semejanza puedes aplicar para argumentar que los triángulos
son semejantes? c) ¿Cuál es la razón de semejanza entre los triángulos que son semejantes?
LECCIÓN 2.4
4
GUÍA DE USO:
Entrada de bloqueEn esta página se indican los aprendizajes que esperamos que adquieras a lo largo del bloque.
Recuadro de conocimientos y habilidadesAquí se enuncia el conocimiento y habilidad que ejercitarás.
RepasemosEn esta sección practicarás las técnicas aprendidas, que utilizarás en las actividades de la siguiente sección.
LA QUÍMICA, LA TECNOLOGÍA Y TÚ
7
BLOQUE 1
Aprendizajes esperados
Se espera que los alumnos…
1. Transformen expresiones algebraicas en otras equivalentes al efectuar cálculos.
2. Apliquen los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades
de figuras geométricas.
3. Resuelvan problemas que implican relacionar ángulos inscritos y centrales de una
circunferencia.
4. Resuelvan problemas que implican determinar una razón de cambio, expresarla
algebraicamente y representarla gráficamente.
BLO
QU
E
1
72
Utilizar ecuaciones
cuadráticas para modelar
situaciones y resolverlas
usando la fórmula
general.
3.2
FÓRMULA GENERAL
REPASEMOS
1. Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones cuadráticas. Usa la fórmula
general.
a) x2 9x 14 0 Soluciones:
b) 3x2 6x 3 0 Soluciones:
c) 2x2 5x 4 0 Soluciones:
d) x2 6x 10 0 Soluciones:
e) x2 x 2 0
Soluciones:
f) x2 2x 1 0
Soluciones:
g) x2 5x 0 Soluciones:
h) x2 64 0 Soluciones:
i) x2 10x 9 0 Soluciones:
j) 4x2 16x 0
Soluciones:
2. Simplifica las ecuaciones e iguálalas a cero, encuentra el valor
del discriminante y el número de soluciones.
Ecuación
Ecuación en la
forma generalValor del discriminante Número de soluciones
x(x 3) 5x 3
9x 1 3x2 15 x2 x 6
2(x 12) (x 4) (4 x)
4x2 x 10 5x 9
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
3. Se quiere encontrar dos números impares positivos y consecutivos, de tal
manera que la suma de sus cuadrados sea 394.
a) Si x representa al primero de los dos números impares. Subraya la expresión
que representa al otro número impar.
2x 2 2x 3
x 1
b) La segunda condición del problema pide que la suma de los cuadrados
de los números sea 394. Subraya la ecuación asociada a esta condición.
(2x 1)2 (2x 2)2 394
(2x 1)2 (2x 3)2 394
(2x 1)2 (x 1)2 394
LECCIÓN 3.2
5 cm5 cm
8 cm
4 cm
2.5 cm2.5 cm
2.85 cm 2.85 cm
4.8 cm
A
B
C
E
D
F
Triángulo 2
Triángulo 1
Triángulo A
Triángulo B
Triángulo C
51
Determinar los criterios de semejanza de triángulos. Aplicar los criterios de semejanza de triángulos en el análisis de diferentes propiedades de los polígonos. Aplicar la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles.
2.4
CRITERIOS DE SEMEJANZAREPASEMOS
1. El triángulo 1 es semejante al triángulo 2.
¿Cuál es la razón de semejanza?
Señala la igualdad que sea correcta.a) D
__ A = E __ B b) F __ A = E __ C
c) E __ A = F __ B d) D __ B = E __ A 2. Para los siguientes triángulos, responde lo que se pide.
a) ¿Qué triángulos son semejantes? y b) ¿Qué criterio de semejanza puedes aplicar para argumentar que los triángulos
son semejantes? c) ¿Cuál es la razón de semejanza entre los triángulos que son semejantes?
LECCIÓN 2.4
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Problemas y ejerciciosAquí resolverás situaciones diferentes a las de tu libro de texto y seguirás aplicando los conocimientos aprendidos. Estos problemas y ejercicios están ordenados del más sencillo al más difícil.
Los problemas marcados con el icono tienen mayor grado de dificultad.
Y algo más...Este apartado es como un cajón de sastre: hay de todo. Hallarás acertijos, nuevos desafíos, propiedades interesantes o datos históricos relacionados con las matemáticas.
AA'
B
BE
ae d
b
g f c
G F
B'
A'A
B'
C
CC'
C'
78
8. Otra manera de presentar el Teorema de Tales es con tres rectas paralelas que
cortan a dos transversales, como en la figura.
a) El teorema de Tales dice que las medi-
das de los segmentos que se forman
en una transversal son proporciona-
les a las medidas de los segmentos
correspondientes que se forman en
la otra transversal.
Completa las igualdades que expre-
san lo que dice el teorema.
AB ____
A'B' AC ___ . . ____ B'C'
b) Una manera de comprobar estas igualdades es trazar dos rectas paralelas a
una de las rectas transversales como en la figura.
Explica por qué los triángulos A’EB’, A’GC’ y B’FC’ son semejantes.
Explica por qué AB A'E, AC A'G y BC EG B'F.
1
1
50000
50500(1,50500)
(1,50500)
(2,51005)
(3,51515)
(4,52030)
(5,52550)
(6,53076)
(2,51000)
(3,51500)
(4,52000)
(5,52500)
(6,53000)
51000
51500
52000
52500
53000
53500
50000
50500
51005
51515
52030
52550
53076
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
Can
tida
d de
din
ero
en
el b
anco
(en
pes
os)
Can
tida
d de
din
ero
en
el b
anco
(en
pes
os)
Tiempo (en meses)
Rendimiento de $50 000 en el banco 1Rendimiento de $50 000 en el banco 2
Tiempo (en meses)
31
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
6. Las siguientes gráficas muestran el tiempo y la cantidad de dinero que genera
una inversión de $50000.00 durante los primeros seis meses del año en
dos bancos diferentes.
Con la información de la gráfica del banco 1, contesta lo siguiente.a) ¿Qué cantidades se relacionan en la gráfica? b) En el primer mes del año, ¿cuál fue la ganancia? c) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero en el banco durante el
primer mes del año. 50 500 - 50 000
____________ 3-0 1 - 0
____________ 50 500 - 50 000 5 000 1d) En los primeros tres meses del año, ¿cuál es la ganancia?
e) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero a través durante los
primeros tres meses del año. 51 500 - 50 000
____________ 3 - 0 3 - 0
____________ 51 500 - 50 000 1 500 3Con la información de la gráfica del banco 2, contesta lo siguiente.
a) En el primer mes del año, ¿cuál fue la ganancia? b) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero durante el primer mes del año.
50 500 - 50 000
____________ 1 - 0 1 - 0
____________ 50 000 - 50 000 5 000 1c) En los primeros tres meses del año, ¿cuál fue la ganancia? d) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero durante los primeros tres meses del año.
51 515 - 50 000
____________ 3 - 0 3 - 0
____________ 51 515 - 50 000 1 515 3
Explica por qué AB A'E, AC A'G y BC EG B'F.
2 cm
?
1 cm
60°
30°
113
8. Usa el triángulo equilátero con 2 cm de lado para determinar el valor de las
razones trigonométricas en los ángulos de 30° y 60°.
Seno Coseno Tangente Razones trigonométricas del ángulo de 30° 1 _
2 = 0.5
Razones trigonométricas del ángulo de 60°
9. En un acantilado que se encuentra situado a 32 m sobre el nivel del mar se
observan dos barcos, uno con un ángulo de inclinación de 30° y otro con un
ángulo de inclinación de 60°.
¿Cuál es la distancia de cada barco al acantilado? y Y ALGO MÁS...
La trigonometría es la rama de las matemáticas que se encarga de estudiar las rela-
ciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Se sabe que los babilonios y
los egipcios (ya desde el siglo X a. C.) usaban los ángulos y las razones trigonomé-
tricas para llevar a cabo cálculos en la agricultura y la construcción de pirámides.
Los griegos utilizaron la trigonometría principalmente para resolver problemas
en la navegación. En la actualidad se usa la trigonometría para encontrar la la-
titud y longitud de cualquier lugar en el mundo, la hora del día o la posición de
una estrella.
30º
32m60º
6
ÍNDICE:
Bloque 1 7
Lección 1.1 Productos notables y factorización ........................................................................ 8
Lección 1.2 Propiedades de los cuadriláteros ........................................................................... 11
Lección 1.3 Posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias.......... 17
Lección 1.4 Ángulos inscritos y ángulos centrales ................................................................... 22
Lección 1.5 Arcos, sectores circulares y coronas ...................................................................... 25
Lección 1.6 Razón de cambio ................................................................................................. 29
Lección 1.7 Diseño de un estudio y elección de la forma más adecuada de presentación de los datos ......................................................................................................... 34
Bloque 2 37
Lección 2.1 Plantear y resolver ecuaciones no lineales .............................................................. 38
Lección 2.2 Ecuaciones cuadráticas y factorización .................................................................. 42
Lección 2.3 Figuras semejantes ................................................................................................ 45
Lección 2.4 Criterios de semejanza ...........................................................................................51
Lección 2.5 Análisis de índices ................................................................................................. 55
Lección 2.6 Simulación .............................................................................................................61
Bloque 3 67
Lección 3.1 Cantidades que cambian y se relacionan en situaciones de economía ...................68
Lección 3.2 Fórmula general .................................................................................................... 72
Lección 3.3 Teorema de Tales .................................................................................................. 75
Lección 3.4 Homotecia ............................................................................................................80
Lección 3.5 Gráficas de funciones lineales y no lineales ........................................................... 84
Lección 3.6 Funciones no lineales ............................................................................................ 87
Lección 3.7 Gráficas que cambian por secciones ...................................................................... 97
Bloque 4 101
Lección 4.1 Sucesiones y expresiones cuadráticas .................................................................. 102
Lección 4.2 El teorema de Pitágoras ..................................................................................... 106
Lección 4.3 Seno, coseno, tangente........................................................................................110
Lección 4.4 Gráficas de crecimiento lineal y exponencial .........................................................114
Lección 4.5 Distintos tipos de datos sobre un mismo fenómeno ............................................ 120
Bloque 5 125
Lección 5.1 Problemas y ecuaciones ...................................................................................... 126
Lección 5.2 Conos, cilindros, cortes y sólidos de revolución ................................................... 129
Lección 5.4 Calcular datos desconocidos dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo del volumen de cilindros y conos........................................................ 133
Lección 5.5 Gráfica de caja-brazos ......................................................................................... 139
6
ÍNDICE:
Bloque 1 7
Lección 1.1 Productos notables y factorización ........................................................................ 8
Lección 1.2 Propiedades de los cuadriláteros ........................................................................... 11
Lección 1.3 Posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias.......... 17
Lección 1.4 Ángulos inscritos y ángulos centrales ................................................................... 22
Lección 1.5 Arcos, sectores circulares y coronas ...................................................................... 25
Lección 1.6 Razón de cambio ................................................................................................. 29
Lección 1.7 Diseño de un estudio y elección de la forma más adecuada de presentación de los datos ......................................................................................................... 34
Bloque 2 37
Lección 2.1 Plantear y resolver ecuaciones no lineales .............................................................. 38
Lección 2.2 Ecuaciones cuadráticas y factorización .................................................................. 42
Lección 2.3 Figuras semejantes ................................................................................................ 45
Lección 2.4 Criterios de semejanza ...........................................................................................51
Lección 2.5 Análisis de índices ................................................................................................. 55
Lección 2.6 Simulación .............................................................................................................61
Bloque 3 67
Lección 3.1 Cantidades que cambian y se relacionan en situaciones de economía ...................68
Lección 3.2 Fórmula general .................................................................................................... 72
Lección 3.3 Teorema de Tales .................................................................................................. 75
Lección 3.4 Homotecia ............................................................................................................80
Lección 3.5 Gráficas de funciones lineales y no lineales ........................................................... 84
Lección 3.6 Funciones no lineales ............................................................................................ 87
Lección 3.7 Gráficas que cambian por secciones ...................................................................... 97
Bloque 4 101
Lección 4.1 Sucesiones y expresiones cuadráticas .................................................................. 102
Lección 4.2 El teorema de Pitágoras ..................................................................................... 106
Lección 4.3 Seno, coseno, tangente........................................................................................110
Lección 4.4 Gráficas de crecimiento lineal y exponencial .........................................................114
Lección 4.5 Distintos tipos de datos sobre un mismo fenómeno ............................................ 120
Bloque 5 125
Lección 5.1 Problemas y ecuaciones ...................................................................................... 126
Lección 5.2 Conos, cilindros, cortes y sólidos de revolución ................................................... 129
Lección 5.4 Calcular datos desconocidos dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo del volumen de cilindros y conos........................................................ 133
Lección 5.5 Gráfica de caja-brazos ......................................................................................... 139
LA QUÍMICA, LA TECNOLOGÍA Y TÚ
7
BLOQUE 1
Aprendizajes esperados
Se espera que los alumnos…
1. Transformen expresiones algebraicas en otras equivalentes al efectuar cálculos.
2. Apliquen los criterios de congruencia de triángulos en la justifi cación de propiedades de fi guras geométricas.
3. Resuelvan problemas que implican relacionar ángulos inscritos y centrales de una circunferencia.
4. Resuelvan problemas que implican determinar una razón de cambio, expresarla algebraicamente y representarla gráfi camente.
BLO
QU
E
1
8
LECCIÓN 1.1
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓNREPASEMOS
1. Analiza lo que se hizo en el inciso a). Haz lo mismo con los otros productos.
a) (a � 3) (a � 3) � (a � 3)2 � a2 � 6a � 9
b) (2a � 1) (2a � 1) �
c) (2a � 3) (2a � 3) �
d) (x � y) (x � y) �
e) (a � 3) (a � 3) �
f) (2a � 1) (2a � 1) �
g) (2a � 3) (2a �3) �
h) (x � y) (x � y) �
i) (x � 2y) (x � 2y) �
j) (5x � 3y) (5x � 3y) �
2. Calcula los siguientes binomios al cuadrado. Escribe sólo el resultado ya simplificado.
a) (x � 5)2 � x2 � 10x � 25
b) (x � 3)2 �
c) (4x � 2)2 �
d) (2x � 4)2 �
e) (2x � 7)2 �
f) (4x � 1)2 �
3. Calcula los siguientes productos.
a) (a � 2) (a � 4) �
b) (2a � 1) (2a � 2) �
c) (a � 5) (a � 1) �
d) (2x � y) (x � y) �
e) (x � 2y) (x � 2y) �
f) (5x � 3y) (5x � 3y) �
4. Expresa los siguientes productos como una diferencia de cuadrados.
a) (x � y) (x � y) �
b) (5a � 3b) (5a � 3b) �
c) (2u � v) (2u � v) �
d) (w2 � z2) (w2 � z2) �
Efectuar o simplificar
cálculos con expresiones
algebraicas tales como:
(x + a)2; (x + a) (x + b);
(x + a) (x – a). Factorizar
expresiones algebraicas
tales como: x2 + 2ax +
a2; ax2 + bx; x2 + bx + c;
x2 – a2.
1.1
8
LECCIÓN 1.1
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓNREPASEMOS
1. Analiza lo que se hizo en el inciso a). Haz lo mismo con los otros productos.
a) (a � 3) (a � 3) � (a � 3)2 � a2 � 6a � 9
b) (2a � 1) (2a � 1) �
c) (2a � 3) (2a � 3) �
d) (x � y) (x � y) �
e) (a � 3) (a � 3) �
f) (2a � 1) (2a � 1) �
g) (2a � 3) (2a �3) �
h) (x � y) (x � y) �
i) (x � 2y) (x � 2y) �
j) (5x � 3y) (5x � 3y) �
2. Calcula los siguientes binomios al cuadrado. Escribe sólo el resultado ya simplificado.
a) (x � 5)2 � x2 � 10x � 25
b) (x � 3)2 �
c) (4x � 2)2 �
d) (2x � 4)2 �
e) (2x � 7)2 �
f) (4x � 1)2 �
3. Calcula los siguientes productos.
a) (a � 2) (a � 4) �
b) (2a � 1) (2a � 2) �
c) (a � 5) (a � 1) �
d) (2x � y) (x � y) �
e) (x � 2y) (x � 2y) �
f) (5x � 3y) (5x � 3y) �
4. Expresa los siguientes productos como una diferencia de cuadrados.
a) (x � y) (x � y) �
b) (5a � 3b) (5a � 3b) �
c) (2u � v) (2u � v) �
d) (w2 � z2) (w2 � z2) �
Efectuar o simplificar
cálculos con expresiones
algebraicas tales como:
(x + a)2; (x + a) (x + b);
(x + a) (x – a). Factorizar
expresiones algebraicas
tales como: x2 + 2ax +
a2; ax2 + bx; x2 + bx + c;
x2 – a2.
1.1
9
5. Determina a qué binomio al cuadrado corresponde cada uno de los trinomios cuadrados perfectos.
a) u2 � 2uv � v2 � ( )2 b) 4n2 � 8nm � 4m2 � ( )2
c) a2 � 4ab � 4b2 � ( )2 d) x2 � 2xy � y2 � ( )2
e) 4p2 � 8pq � 4q2 � ( )2 f) a2 � 4ab � 4b2 � ( )2
g) c2 � 6cd � 9d2 � ( )2 h) w2 � 6wz � 9z2 � ( )2
6. Factoriza las siguientes expresiones.
a) u2 � v2 � ( ) ( )
b) u2 � 5u � 6 � ( ) ( )
c) a2 � 4b2 � ( ) ( )
d) a2 � 6a � 16 � ( ) ( )
e) 4p2 � 4q2 � ( ) ( )
f) a2 � 6a �16 � ( ) ( )
g) w2 � 9z2 � ( ) ( )
h) m2 � 8m � 15 � ( ) ( )
7. Factoriza las siguientes expresiones encontrando el factor común.
a) x2 � 5x �
b) m2 � 8m �
c) z2 � 10z �
d) x2 � 1.5x �
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
8. Usando los siguientes resultados; (x � 1)2 � x2 � 2x � 1, y (x � 1)2 � x2 � 2x � 1, resuelve las operaciones:
a) 192 �
b) 492 �
c) 1312 �
d) 4012 �
e) 1992 �
f) 612 �
g) 992 �
h) 1012 �
10
9. Considera el rectángulo A formado por tres rectángulos y un cuadrado.
a) Relaciona los incisos para establecer el área de cada una de las figuras.
( ) Área del cuadrado azul ( ) Área del rectángulo rojo
( ) Área del rectángulo verde ( ) Área del rectángulo morado
(a) 2x (b) 6 (c) x2 (d) (x + 3) (x + 2) (e) 3x (f) (x +3)2
b) Escribe dos expresiones diferentes para el área del rectángulo A.
=
10. Considera el cuadrado B que está formado por dos rectángulos de igual área y dos cuadrados.
a) Usando los datos de la figura calcula el área de las figuras que se indican.
Área del cuadrado verde: •
Área del cuadrado amarillo: •
Área de cada uno de los rectángulos rojos: •
b) Escribe dos expresiones diferentes para el área del cuadrado verde.
=
11. Relaciona las columnas para establecer las expresiones que son equivalentes. Si hace falta, desarrolla los productos.
( ) (x � y)2 ( a ) x3 � 3x2y � 3xy2 � y3
( ) x2 � 3xy � 2y2 ( b ) x2 � 2xy � y2
( ) x3 � y3 ( c ) x3 � 3x2y � 3xy2 � y3
( ) (x � y)3 ( d ) (x � y) (x � y)
( ) x2 � y2 ( e ) (x � y)2
( ) x2 � 2xy � y2 ( f ) (x � y) (x2 � xy � y2)
( ) (x � y)3 ( g ) (x � y) (x � 2y)
x � 2
x �
1
x � 3
x � 1
x
x
2
1
3
1
x
x
Rectángulo A
10
9. Considera el rectángulo A formado por tres rectángulos y un cuadrado.
a) Relaciona los incisos para establecer el área de cada una de las figuras.
( ) Área del cuadrado azul ( ) Área del rectángulo rojo
( ) Área del rectángulo verde ( ) Área del rectángulo morado
(a) 2x (b) 6 (c) x2 (d) (x + 3) (x + 2) (e) 3x (f) (x +3)2
b) Escribe dos expresiones diferentes para el área del rectángulo A.
=
10. Considera el cuadrado B que está formado por dos rectángulos de igual área y dos cuadrados.
a) Usando los datos de la figura calcula el área de las figuras que se indican.
Área del cuadrado verde: •
Área del cuadrado amarillo: •
Área de cada uno de los rectángulos rojos: •
b) Escribe dos expresiones diferentes para el área del cuadrado verde.
=
11. Relaciona las columnas para establecer las expresiones que son equivalentes. Si hace falta, desarrolla los productos.
( ) (x � y)2 ( a ) x3 � 3x2y � 3xy2 � y3
( ) x2 � 3xy � 2y2 ( b ) x2 � 2xy � y2
( ) x3 � y3 ( c ) x3 � 3x2y � 3xy2 � y3
( ) (x � y)3 ( d ) (x � y) (x � y)
( ) x2 � y2 ( e ) (x � y)2
( ) x2 � 2xy � y2 ( f ) (x � y) (x2 � xy � y2)
( ) (x � y)3 ( g ) (x � y) (x � 2y)
x � 2
x �
1
x � 3
x � 1
x
x
2
1
3
1
x
x
Rectángulo A
11
PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROSPROBLEMAS Y EJERCICIOS.
1. A continuación aparecen tres cuadriláteros: un rombo, un trapecio isósceles y un rectángulo.
Toma una hoja blanca de papel. En ella, debes dibujar tres figuras iguales a las anteriores, con una condición: no se vale calcarlas. Para ello, primero anota qué datos necesitas saber respecto a cada uno de los cuadriláteros.
Rectángulo Rombo Trapecio isósceles
Ahora, con los instrumentos que necesites (regla, transportador, compás, etc.) intenta trazar las tres figuras teniendo en cuenta sólo los datos que escribiste anteriormente. Una vez hechas, recórtalas y superponlas para verificar si son iguales a las que están dibujadas aquí. ¿Cuáles de tus figuras resultaron idénticas
a las originales?
2. Efectúa la misma actividad anterior, pero ahora con los siguientes cuadriláteros. Esta vez, sólo puedes tomar un máximo de tres datos para cada figura.
Aplicar los criterios de
congruencia de triángulos
en la justificación de
propiedades de los
cuadriláteros.
1.2
LECCIÓN 1.2
12
Romboide Papalote
3. Sebastián, Julia e Inés han previsto tomar las siguientes medidas para reproducir el trapecio isósceles del problema 1.
Sebastián Julia Inés
Lado C Base mayor (B) Diagonal D1Los dos ángulos Lado C Diagonal D2adyacentes al lado C Diagonal D1 Angulo formado por ambas diagonales (a)
a) ¿A quiénes les saldrá un trapecio idéntico al original?
¿A quiénes no?
b) En los casos en que pienses que la figura no quedará igual, cambia sólo uno de los tres datos por otro, de tal manera que sí se pueda dibujar un trapecio idéntico.
Sebastián Inés
c) Para cada uno de los tres alumnos, toma las medidas correspondientes de la figura (considerando las correcciones que hiciste en el inciso b) y, con ellas, dibuja otro trapecio en una hoja blanca. Recórtalo y verifica si es igual al que está dibujado en esta lección.
B a b
D1
D2
C
12
Romboide Papalote
3. Sebastián, Julia e Inés han previsto tomar las siguientes medidas para reproducir el trapecio isósceles del problema 1.
Sebastián Julia Inés
Lado C Base mayor (B) Diagonal D1Los dos ángulos Lado C Diagonal D2adyacentes al lado C Diagonal D1 Angulo formado por ambas diagonales (a)
a) ¿A quiénes les saldrá un trapecio idéntico al original?
¿A quiénes no?
b) En los casos en que pienses que la figura no quedará igual, cambia sólo uno de los tres datos por otro, de tal manera que sí se pueda dibujar un trapecio idéntico.
Sebastián Inés
c) Para cada uno de los tres alumnos, toma las medidas correspondientes de la figura (considerando las correcciones que hiciste en el inciso b) y, con ellas, dibuja otro trapecio en una hoja blanca. Recórtalo y verifica si es igual al que está dibujado en esta lección.
B a b
D1
D2
C
13
d) Si la base mayor y la menor no miden lo mismo, entonces las diagonales de un trapecio isósceles no se cortan en los puntos medios. Explica por qué esta propiedad implica que si se toman únicamente las medidas que ha previsto
Inés, se puede construir varios trapecios distintos.
e) Prueba que, en cualquier trapecio isósceles cuyas bases mayor y menor son distintas, las diagonales no se cortan en los puntos medios. Para ello, utiliza un criterio de congruencia de triángulos para probar que, si esa característica no se cumpliera, entonces la base mayor y la base menor serían iguales.
4. Para reproducir el romboide del problema 2, Sebastián, Inés y Julia han decidido tomar las siguientes medidas.
Sebastián Julia Inés
Lado a La diagonal D1 Las dos diagonalesAltura (h) Distancia d (del vértice Un ángulo formado Distancia c (de un V al punto en que por las diagonales (A)vértice a la altura las dos diagonalesmarcada en la figura) se cruzan) Un ángulo formado por las diagonales (A)
b
y
a
c
d
A
V
D1
a
h
x'
a'
x y'
C
B
14
a) Resuelve las preguntas análogas a las que se plantean en los incisos a) y c) del problema anterior (el inciso c) sólo en los casos en los que piensas que los datos sí son suficientes para reproducir el romboide).
b) Las medidas que ha previsto Julia no permiten reproducir el romboide, pero sí serían suficientes para reproducir el trapecio del problema anterior. Verifica esto de la siguiente manera.
Toma las medidas y construye con ellas un romboide distinto al que • aparece en la página anterior.Toma en el trapecio las medidas que ha solicitado Julia para el romboide; • construye con ellas un trapecio, recórtalo y empálmalo con el que está dibujado aquí para verificar que son iguales.
c) Las medidas que ha previsto Inés sí son suficientes para reproducir el romboide pero no serían suficientes para reproducir el trapecio del problema anterior. Verifica esto de la siguiente manera.
Toma las medidas, construye con ellas un romboide; recórtalo y empálmalo • con el que está dibujado aquí para verificar que son iguales.Toma en el trapecio las medidas que ha solicitado Inés para el romboide • y construye con ellas un trapecio distinto al que aparece en el problema 3.
d) Identifica si los romboides y los trapecios isósceles satisfacen lo siguiente.
¿Las diagonales se cortan en los puntos medios?•
Romboides ( ) Trapecios isósceles ( )
¿Las diagonales son iguales o no?•
Romboides ( ) Trapecios isósceles ( )
e) La diferencia entre las dos características distinguen al romboide del trapecio isósceles y permiten explicar por qué sucede lo descrito en los incisos b) y c).
Explica por qué.
f) Emplea los criterios de congruencia de triángulos para probar que las caracte-rísticas que has identificado en el inciso d) se cumplen en cualquier romboide y cualquier trapecio isósceles (siempre y cuando no sean rectángulos).
14
a) Resuelve las preguntas análogas a las que se plantean en los incisos a) y c) del problema anterior (el inciso c) sólo en los casos en los que piensas que los datos sí son suficientes para reproducir el romboide).
b) Las medidas que ha previsto Julia no permiten reproducir el romboide, pero sí serían suficientes para reproducir el trapecio del problema anterior. Verifica esto de la siguiente manera.
Toma las medidas y construye con ellas un romboide distinto al que • aparece en la página anterior.Toma en el trapecio las medidas que ha solicitado Julia para el romboide; • construye con ellas un trapecio, recórtalo y empálmalo con el que está dibujado aquí para verificar que son iguales.
c) Las medidas que ha previsto Inés sí son suficientes para reproducir el romboide pero no serían suficientes para reproducir el trapecio del problema anterior. Verifica esto de la siguiente manera.
Toma las medidas, construye con ellas un romboide; recórtalo y empálmalo • con el que está dibujado aquí para verificar que son iguales.Toma en el trapecio las medidas que ha solicitado Inés para el romboide • y construye con ellas un trapecio distinto al que aparece en el problema 3.
d) Identifica si los romboides y los trapecios isósceles satisfacen lo siguiente.
¿Las diagonales se cortan en los puntos medios?•
Romboides ( ) Trapecios isósceles ( )
¿Las diagonales son iguales o no?•
Romboides ( ) Trapecios isósceles ( )
e) La diferencia entre las dos características distinguen al romboide del trapecio isósceles y permiten explicar por qué sucede lo descrito en los incisos b) y c).
Explica por qué.
f) Emplea los criterios de congruencia de triángulos para probar que las caracte-rísticas que has identificado en el inciso d) se cumplen en cualquier romboide y cualquier trapecio isósceles (siempre y cuando no sean rectángulos).
ab
C'D
y'
Cx y
x'
D'
15
Las diagonales de un romboide se cruzan en los puntos medios
Los lados a y b son iguales. Los ángulos C y C’ están formados por una recta que cruza a dos paralelas, por eso son iguales. Lo mismo sucede con los ángulos D y D’. Entonces, por el criterio ALA, el triángulo amarillo y el verde son congruentes. Entonces x es igual a x’, y y es igual a y’. Es decir, las dia-gonales se cortan en los puntos medios.
Las diagonales de un romboide no son iguales
Si las diagonales fueran iguales, por el criterio LLL, los triángulos ABC y DCB serían congruentes. Entonces los ángulos adyacentes a BC serían iguales, es decir, rectos, y el romboide sería un rectángulo.
Las diagonales de un trapecio isósceles son iguales
Como el trapecio es isósceles, los lados AB y DC son iguales, y también lo son los ángulos adyacentes a los vértices A y D. Entonces los triángulos DAB y ADC son congruentes, por el criterio LAL. De ahí que los lados DB y AC es decir, las dos diagonales, sean iguales.
5. Haz nuevamente lo que se pide en los problemas 1 y 2, pero sólo para el rombo del problema 1 y el papalote del problema 2. Esta vez, sólo puedes tomar información sobre las diagonales en cada figura.
Rombo Papalote
Las dos diagonales Las dos diagonalesLa distancia a la que la diagonal menor corta a la diagonal mayor.
A
A
B
B
C
C
D
D
16
6. Tania, Leonel y Javier tomaron algunas medidas para construir un cuadrilátero. Los tres se equivocaron al usar la regla graduada o el transportador y tomaron mal por lo menos una de las medidas. Encuentra cuál o cuáles fueron las me-
didas que cada uno tomó mal:
Tania: un romboide cuyas parejas de lados miden 10 y 13 centímetros, • dos ángulos interiores miden 50 grados y los otros dos 100 grados.
Leonel: un rectángulo cuyas diagonales miden 5 centímetros y uno de los • ángulos que forman las diagonales mide 90 grados.
Javier: un rombo cuyos lados miden 3 centímetros y una diagonal • mide 7 centímetros.
En cada caso, explica qué propiedad del cuadrilátero correspondiente hace que no se pueda construir con las medidas que tienen Tania, Leonel y Javier.
Tania: •
Leonel:
Javier: •
Y ALGO MÁS...
Encuentra todas las figuras congruentes en el siguiente dibujo. Cada vez que en-cuentres dos o más figuras congruentes, marca sus contornos del mismo color:
16
6. Tania, Leonel y Javier tomaron algunas medidas para construir un cuadrilátero. Los tres se equivocaron al usar la regla graduada o el transportador y tomaron mal por lo menos una de las medidas. Encuentra cuál o cuáles fueron las me-
didas que cada uno tomó mal:
Tania: un romboide cuyas parejas de lados miden 10 y 13 centímetros, • dos ángulos interiores miden 50 grados y los otros dos 100 grados.
Leonel: un rectángulo cuyas diagonales miden 5 centímetros y uno de los • ángulos que forman las diagonales mide 90 grados.
Javier: un rombo cuyos lados miden 3 centímetros y una diagonal • mide 7 centímetros.
En cada caso, explica qué propiedad del cuadrilátero correspondiente hace que no se pueda construir con las medidas que tienen Tania, Leonel y Javier.
Tania: •
Leonel:
Javier: •
Y ALGO MÁS...
Encuentra todas las figuras congruentes en el siguiente dibujo. Cada vez que en-cuentres dos o más figuras congruentes, marca sus contornos del mismo color:
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POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS Y UNA CIRCUNFERENCIA Y ENTRE CIRCUNFERENCIASREPASEMOS
1. ¿Cuál es la distancia del punto P a la recta m?
Explica el procedimiento que empleaste
para calcular la distancia.
a) Señala el punto en la recta m que está justamente a esa distancia de P.b) Señala otros dos puntos sobre la recta m. ¿Cuál es la distancia de estos
puntos a P?
c) ¿Qué ocurre con la distancia entre P y los demás puntos en la recta, en comparación con la distancia que calculaste entre el punto y la recta?
2. Observa el dibujo y completa las frases:
Respecto a la circunferencia Q:
la recta • m es porque (secante / tangente / exterior)
la recta • n es porque (secante / tangente / exterior)
la recta • o es porque (secante / tangente / exterior)
Determinar mediante
construcciones las
posiciones relativas
entre rectas y una
circunferencia y
entre circunferencias.
Caracterizar la recta
secante y la tangente a
una circunferencia.
1.3
P
m
n
m
Q
o
LECCIÓN 1.3
18
3. Responde las preguntas. O es el centro de una circunferencia de 2 cm de radio.
a) Una recta p se encuentra a una distancia de 3.5 cm de O. ¿En cuántos pun-
tos interseca a la circunferencia?
b) Una recta q se encuentra a una distancia de 2 cm de O. ¿En cuántos puntos
interseca a la circunferencia?
b) Una recta r se encuentra a una distancia de 1.7 cm de O. ¿En cuántos pun-
tos interseca a la circunferencia?
4. Las circunferencias C y D son tangentes. Encuentra el centro de cada una.
Une los centros y verifica que ese segmento pasa por el punto de tangencia.
5. Traza dos circunferencias tangentes como las del ejercicio anterior. Para cada uno de los siguientes incisos traza otra circunferencia que cumpla con lo que se pide.
C
C
D
D
a) Una circunferencia que sea secante a C y a D.b) Una circunferencia que sea tangente interior a D y exterior a C.c) Una circunferencia concéntrica a C y secante a D.
18
3. Responde las preguntas. O es el centro de una circunferencia de 2 cm de radio.
a) Una recta p se encuentra a una distancia de 3.5 cm de O. ¿En cuántos pun-
tos interseca a la circunferencia?
b) Una recta q se encuentra a una distancia de 2 cm de O. ¿En cuántos puntos
interseca a la circunferencia?
b) Una recta r se encuentra a una distancia de 1.7 cm de O. ¿En cuántos pun-
tos interseca a la circunferencia?
4. Las circunferencias C y D son tangentes. Encuentra el centro de cada una.
Une los centros y verifica que ese segmento pasa por el punto de tangencia.
5. Traza dos circunferencias tangentes como las del ejercicio anterior. Para cada uno de los siguientes incisos traza otra circunferencia que cumpla con lo que se pide.
C
C
D
D
a) Una circunferencia que sea secante a C y a D.b) Una circunferencia que sea tangente interior a D y exterior a C.c) Una circunferencia concéntrica a C y secante a D.
19
7. Por el punto T se trazaron las dos tangentes a la circunferencia. Completa la demostración de que TA y TB miden lo mismo.
OA• y OB miden lo mismo porque
El ángulo • OAT mide porque
El ángulo • OBT mide porque
Los ángulos • OAB y OBA miden los mismo porque
Los ángulos • TAB y TBA miden los mismo porque
El triángulo • TBA es isósceles porque
Entonces • TA y TB miden los mismo porque
A
B
T O
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
6. Responde las preguntas respecto a una circunferencia y un punto P fuera de ella.
a) ¿Cuántas rectas exteriores a la circunferencia pasan por P?
b) ¿Cuántas rectas tangentes a la circunferencia pasan por P?
c) ¿Cuántas rectas secantes a la circunferencia pasan por P?
20
8. Cuando una circunferencia está dentro de un polígono y es tangente a todos sus lados, se le llama circunferencia inscrita. En el dibujo se muestra la circunferencia inscrita al cuadrilátero ABCD.
Explica por qué AB � CD � BC � DA
9. En el siguiente diagrama las dos circunferencias, O1 y O
2, tienen su centro
sobre la línea r. Las circunferencias se intersecan en los puntos A y B.
B
D
A
T2
C
T1
T4
T3
O2O
1
B
r
A
20
8. Cuando una circunferencia está dentro de un polígono y es tangente a todos sus lados, se le llama circunferencia inscrita. En el dibujo se muestra la circunferencia inscrita al cuadrilátero ABCD.
Explica por qué AB � CD � BC � DA
9. En el siguiente diagrama las dos circunferencias, O1 y O
2, tienen su centro
sobre la línea r. Las circunferencias se intersecan en los puntos A y B.
B
D
A
T2
C
T1
T4
T3
O2O
1
B
r
A
21
Explica por qué la recta que pasa por A y B es perpendicular a la recta r.
Y ALGO MÁS...
¿Alguna vez has visto un eclipse? ¿Sabías que hay tanto eclipses solares como eclipses lunares?
Un eclipse solar ocurre cuando la luna se interpone entre la Tierra y el Sol; el más espectacular es el eclipse solar total: la luna tapa completamente al Sol, lo que provoca que, por unos minutos, todo se oscurezca; e incluso puede bajar la tem-peratura. En México se vio un eclipse solar total el 11 de julio de 1991; habrá otro el 8 de abril de 2024.
También hay eclipses lunares cuando la Tierra se interpone entre la Luna y el Sol. En un eclipse lunar la luna se oscurece y adquiere un color rojizo.
Eclipse solar
Eclipse lunar
37º
61º
101º
22
ÁNGULOS INSCRITOS Y ÁNGULOS CENTRALES
REPASEMOS
1. Ilumina con algún color el arco que subtiende cada ángulo. Escribe debajo de cada circunferencia si el ángulo es inscrito o central.
2. En cada circunferencia, traza dos ángulos inscritos que subtiendan el mismo arco que el ángulo central señalado.
3. Sin usar transportador, indica cuánto miden los ángulos marcados en rojo.
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
4. En los espacios coloca alguna de las siguientes medidas: 45°, 90°, 135°, 180°, 270°, 360°.
El ángulo central El ángulo central El ángulo inscrito mide
en rojo mide más en rojo mide más más de …pero
de … pero de …pero menos de
menos de menos de
Determinar la relación
entre un ángulo inscrito y
un ángulo central de una
circunferencia, si ambos
abarcan el mismo arco.
1.4
LECCIÓN 1.4
37º
61º
101º
22
ÁNGULOS INSCRITOS Y ÁNGULOS CENTRALES
REPASEMOS
1. Ilumina con algún color el arco que subtiende cada ángulo. Escribe debajo de cada circunferencia si el ángulo es inscrito o central.
2. En cada circunferencia, traza dos ángulos inscritos que subtiendan el mismo arco que el ángulo central señalado.
3. Sin usar transportador, indica cuánto miden los ángulos marcados en rojo.
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
4. En los espacios coloca alguna de las siguientes medidas: 45°, 90°, 135°, 180°, 270°, 360°.
El ángulo central El ángulo central El ángulo inscrito mide
en rojo mide más en rojo mide más más de …pero
de … pero de …pero menos de
menos de menos de
Determinar la relación
entre un ángulo inscrito y
un ángulo central de una
circunferencia, si ambos
abarcan el mismo arco.
1.4
LECCIÓN 1.4
140º
23
5. Sin usar transportador, traza en cada circunferencia el ángulo que se indica.
Ángulo inscrito de 45° Ángulo inscrito de 110° Ángulo central de 270°
6. Hay tres posiciones básicas en las que pueden estar un ángulo inscrito y un ángulo central.
a) En cada posición mide los dos ángulos con tu transportador y verifica que la medida del ángulo central sea el doble que la medida del ángulo inscrito.
Posición I Posición II Posición III
Ángulo central Ángulo central Ángulo central
Ángulo inscrito Ángulo inscrito Ángulo inscrito
b) Dibuja otro ejemplo de cada posición. Mide el ángulo central y el ángulo ins-crito en cada caso.
Posición I Posición II Posición III
Ángulo central Ángulo central Ángulo central
Ángulo inscrito Ángulo inscrito Ángulo inscrito
7. ¿A cuál de las tres posiciones corresponde la siguiente figura. Explica tu respuesta.
A
O
B
M
P
24
8. Los dos ángulos inscritos subtienden el mismo arco. Usa el ángulo central para explicar por qué los dos ángulos inscritos miden lo mismo.
9. Para trazar las tangentes a una circunferencia con centro O por un punto P fuera de ella, se hace la siguiente construcción: con centro en el punto medio (M) del segmento OP se dibuja una circunferencia con radio MP. A y B son los puntos de intersección de las circunferencias. Se trazan las rectas PA y PB, estas rectas son las tangentes buscadas. Explica por qué estas rectas son perpendiculares a los radios OA y OB.
10. Los dos ángulos inscritos subtienden el mismo arco. El área que abarca cada ángulo dentro de la circunferencia está sombreada. ¿Estas áreas son iguales o diferentes? Explica tu respuesta.
A
O
B
M
P
24
8. Los dos ángulos inscritos subtienden el mismo arco. Usa el ángulo central para explicar por qué los dos ángulos inscritos miden lo mismo.
9. Para trazar las tangentes a una circunferencia con centro O por un punto P fuera de ella, se hace la siguiente construcción: con centro en el punto medio (M) del segmento OP se dibuja una circunferencia con radio MP. A y B son los puntos de intersección de las circunferencias. Se trazan las rectas PA y PB, estas rectas son las tangentes buscadas. Explica por qué estas rectas son perpendiculares a los radios OA y OB.
10. Los dos ángulos inscritos subtienden el mismo arco. El área que abarca cada ángulo dentro de la circunferencia está sombreada. ¿Estas áreas son iguales o diferentes? Explica tu respuesta.
45°
2 cm
1.5 cm
60°2 cm
25
ARCOS, SECTORES CIRCULARES Y CORONAS
REPASEMOS
1. Coloca en los espacios el número que corresponde a cada elemento.
1. Arco 2. Corona circular 3. Cuerda 4. Diámetro 5. Sector circular 6. Semicircunferencia
2. En cada circunferencia dibuja un sector circular que tenga el ángulo indicado.
70° 150°
300°
3. Calcula lo que se pide.
Área sombreada Longitud del arco Perímetro del área
sombreada
Calcular la medida
de ángulos inscritos y
centrales, así como de
arcos, el área de sectores
circulares y de la corona.
1.5
LECCIÓN 1.5
26
4. El señalamiento está hecho con una circunferencia de 45 cm de radio y otra de 36 cm, ¿cuánto mide el área en color
rojo?
5. La rebanada que me comí es 15% de un pastel circular. ¿Qué ángulo abarca la
rebanada?
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
6. Un campo de beisbol está construido sobre parte de un sector circular con un ángulo de 90° y radio de 80 m. La barda azul tiene una altura de 2 m.
¿Cuánto mide la superficie de la barda azul?
a
26
4. El señalamiento está hecho con una circunferencia de 45 cm de radio y otra de 36 cm, ¿cuánto mide el área en color
rojo?
5. La rebanada que me comí es 15% de un pastel circular. ¿Qué ángulo abarca la
rebanada?
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
6. Un campo de beisbol está construido sobre parte de un sector circular con un ángulo de 90° y radio de 80 m. La barda azul tiene una altura de 2 m.
¿Cuánto mide la superficie de la barda azul?
a
72°
B A C'
B'
C
27
7. En el espacio dibuja una circunferencia de radio de 3 cm. En ella traza un ángulo inscrito de 40°.
¿Cuál es la longitud del arco que subtiende el ángulo inscrito?
8. La circunferencia tiene un radio de 2.5 cm. Su centro coincide con un vértice del pentágono regular ¿Cuánto mide el área de la sección de la circunferencia
que está fuera del pentágono?
9. El triángulo ABC fue rotado alrededor del vértice A para obtener el triángulo
AB’C’. ¿Cuál es el área del sector circular en color verde?
100°
A
D
B
C
28
10. Un carpintero hizo el molde para una pieza que necesita. Trazó una circunferencia de 4 cm de radio y otra de 1.5 cm de radio para hacer una corona, luego trazó un sector circular.
¿Cuánto mide el área de la pieza? =
¿Cuánto mide su perímetro?
11. El área del cuadrado ABCD es 1. ¿Cuánto mide el área sombreada?
a) 1 � 1 __ 4 π b) 1 c) 1 1 __
2 d) 1 � 1 __
4 π
12. Para dibujar la flor se trazaron seis arcos con centro en cada vértice de un hexágono regular y radio igual a 3 cm. ¿Cuánto mide el perímetro de la flor?
a) 2 π cm b) 3 π cm c) 6 π cm d) 12 π cm
1 1
1
1 1
1
2 2
2
3 3
3
4 4
4
5 5
5
6 6
6
2 2
2
3 3
3
4 4
4
5 5
5
6 6
6
7 7
7
8 8
8
9 9
9
10 10
10 1
1
2
3
4
5
6
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Gráfica 1
Gráfica 3
y y
yy
x x
xx
Gráfica 2
Gráfica 4
29
RAZÓN DE CAMBIO
REPASEMOS
1. En cada tabla están anotadas las coordenadas de dos puntos de una recta. Anota en la línea la razón de cambio de la recta.
x y x y x y x y2 2 �1 5 �1 1 4 �54 4 2 8 �3 3 6 �8
2. Anota la razón de cambio de las rectas.
Ecuación de la recta y � 5x � 1 y � �2x �9 y � x � 6 y � �7x
Razón de cambio
3. Anota la ecuación de una recta que tenga la razón de cambio indicada.
Razón de cambio 3 �4 1 �1
Ecuación de una recta
4. Considera las siguientes gráficas.
a) ¿En qué gráficas la razón de cambio permanece siempre constante?
y Justifica tu respuesta.
b) Anota una característica común entre las gráficas que tienen razón de cam-
bio siempre constante.
Analizar la razón de
cambio de un proceso
que se modela con
una función lineal y
relacionarla con la
inclinación o pendiente
de la recta que lo
representa.
1.6
LECCIÓN 1.6
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
6
6
6
6
7
7
7
7
8
8
8
8
9
9
9
9
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
56 67 78 89 910 10
Gráfica 1y � 2x � 1
Gráfica 2y � 2x
Gráfica 3y � x � 2
Gráfica 4y � x __
2 � 1
y y
y y
x x
x x
30
c) Anota una diferencia entre las gráficas cuya razón de cambio permanece
constante respecto a las que no lo hacen.
5. Considera las siguientes gráficas de rectas y sus ecuaciones.
a) ¿Qué gráfica tiene razón de cambio constante igual a uno?
¿Qué pendiente tiene la recta graficada?
b) ¿Qué gráfica tiene razón de cambio constante igual a un medio?
¿Qué pendiente tiene la recta graficada?
c) ¿Qué gráficas tienen razón de cambio constante igual a dos?
y ¿Qué pendiente tienen sus respectivas expresiones? • y
¿Cómo es la pendiente de estas expresiones, igual o diferente? •
¿Qué ordenada al origen tienen estás expresiones? • y
¿Cómo es la ordenada al origen de estas expresiones, igual o diferente? •
d) ¿Qué gráfica tiene la menor razón de cambio?
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
6
6
6
6
7
7
7
7
8
8
8
8
9
9
9
9
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
56 67 78 89 910 10
Gráfica 1y � 2x � 1
Gráfica 2y � 2x
Gráfica 3y � x � 2
Gráfica 4y � x __
2 � 1
y y
y y
x x
x x
30
c) Anota una diferencia entre las gráficas cuya razón de cambio permanece
constante respecto a las que no lo hacen.
5. Considera las siguientes gráficas de rectas y sus ecuaciones.
a) ¿Qué gráfica tiene razón de cambio constante igual a uno?
¿Qué pendiente tiene la recta graficada?
b) ¿Qué gráfica tiene razón de cambio constante igual a un medio?
¿Qué pendiente tiene la recta graficada?
c) ¿Qué gráficas tienen razón de cambio constante igual a dos?
y ¿Qué pendiente tienen sus respectivas expresiones? • y
¿Cómo es la pendiente de estas expresiones, igual o diferente? •
¿Qué ordenada al origen tienen estás expresiones? • y
¿Cómo es la ordenada al origen de estas expresiones, igual o diferente? •
d) ¿Qué gráfica tiene la menor razón de cambio?
1 1
50000
50500 (1,50500) (1,50500)
(2,51005)
(3,51515)
(4,52030)
(5,52550)
(6,53076)
(2,51000)
(3,51500)
(4,52000)
(5,52500)
(6,53000)
51000
51500
52000
52500
53000
53500
50000
50500
51005
51515
52030
52550
53076
2 23 34 45 56 67 78 8
Can
tida
d de
din
ero
en e
l ban
co (
en p
esos
)
Can
tida
d de
din
ero
en e
l ban
co (
en p
esos
)
Tiempo (en meses)
Rendimiento de $50 000 en el banco 1 Rendimiento de $50 000 en el banco 2
Tiempo (en meses)
31
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
6. Las siguientes gráficas muestran el tiempo y la cantidad de dinero que genera una inversión de $50000.00 durante los primeros seis meses del año en dos bancos diferentes.
Con la información de la gráfica del banco 1, contesta lo siguiente.
a) ¿Qué cantidades se relacionan en la gráfica?
b) En el primer mes del año, ¿cuál fue la ganancia?
c) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero en el banco durante el
primer mes del año.
50 500 - 50 000 ____________ 3-0
1 - 0 ____________ 50 500 - 50 000
5 000 1
d) En los primeros tres meses del año, ¿cuál es la ganancia?
e) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero a través durante los
primeros tres meses del año.
51 500 - 50 000 ____________ 3 - 0
3 - 0 ____________ 51 500 - 50 000
1 500 3
Con la información de la gráfica del banco 2, contesta lo siguiente.
a) En el primer mes del año, ¿cuál fue la ganancia?
b) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero durante el primer mes
del año.
50 500 - 50 000 ____________ 1 - 0
1 - 0 ____________ 50 000 - 50 000
5 000 1
c) En los primeros tres meses del año, ¿cuál fue la ganancia?
d) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero durante los primeros
tres meses del año.
51 515 - 50 000 ____________ 3 - 0
3 - 0 ____________ 51 515 - 50 000
1 515 3
(20,30)
(40,40)
(60,50)
(80,60)
(100,70)
10
10
20
30
40
50
60
70
20 30 40 50 60 70 80 90 100
Tem
pera
tura
(e
n gr
ados
cen
tígr
ados
)
Tiempo (en segundos)
32
Usando la información de las gráficas, en las siguientes afirmaciones marca con la letra V las que sean verdaderas y con la letra F las que sean falsas.
El banco 1 tiene un rendimiento constante porque cada mes • se incrementa $500.00 la cantidad de dinero en el banco. ( )
La razón de cambio de la cantidad de dinero en el banco a través • del tiempo en el banco 2 es constante. ( )
El banco 2 no tiene un rendimiento constante. ( ) •
7. El uso del carbón es una alternativa para producir gas. Éste se obtiene cuando el carbón es quemado mediante un proceso en presencia de aire, oxígeno o vapor de agua. El gas producido mediante este proceso se utiliza en la generación de electricidad, en la producción de hidrógeno y de combustibles como la gasolina y el diesel.
La siguiente gráfica muestra la relación entre la temperatura a la que se encuentra el vapor de agua y el tiempo transcurrido durante la producción de un gas.
Con la información de la gráfica, contesta lo siguiente.
a) Una vez transcurridos los primeros 20 segundos, ¿cuántos grados centígra-
dos aumenta la temperatura del vapor de agua?
b) Del segundo 20 al segundo 40, ¿cuántos grados aumenta la temperatura del
vapor de agua? Del segundo 40 al segundo 60, ¿cuántos grados
aumenta? grados.
c) En periodos de 20 segundos, ¿cuántos grados centígrados aumenta la tem-
peratura del vapor de agua?
d) Di si la siguiente afirmación es correcta: "en periodos de 20 segundos la tem-
peratura del vapor de agua aumenta de manera constante”.
Argumenta tu respuesta.
(20,30)
(40,40)
(60,50)
(80,60)
(100,70)
10
10
20
30
40
50
60
70
20 30 40 50 60 70 80 90 100
Tem
pera
tura
(e
n gr
ados
cen
tígr
ados
)
Tiempo (en segundos)
32
Usando la información de las gráficas, en las siguientes afirmaciones marca con la letra V las que sean verdaderas y con la letra F las que sean falsas.
El banco 1 tiene un rendimiento constante porque cada mes • se incrementa $500.00 la cantidad de dinero en el banco. ( )
La razón de cambio de la cantidad de dinero en el banco a través • del tiempo en el banco 2 es constante. ( )
El banco 2 no tiene un rendimiento constante. ( ) •
7. El uso del carbón es una alternativa para producir gas. Éste se obtiene cuando el carbón es quemado mediante un proceso en presencia de aire, oxígeno o vapor de agua. El gas producido mediante este proceso se utiliza en la generación de electricidad, en la producción de hidrógeno y de combustibles como la gasolina y el diesel.
La siguiente gráfica muestra la relación entre la temperatura a la que se encuentra el vapor de agua y el tiempo transcurrido durante la producción de un gas.
Con la información de la gráfica, contesta lo siguiente.
a) Una vez transcurridos los primeros 20 segundos, ¿cuántos grados centígra-
dos aumenta la temperatura del vapor de agua?
b) Del segundo 20 al segundo 40, ¿cuántos grados aumenta la temperatura del
vapor de agua? Del segundo 40 al segundo 60, ¿cuántos grados
aumenta? grados.
c) En periodos de 20 segundos, ¿cuántos grados centígrados aumenta la tem-
peratura del vapor de agua?
d) Di si la siguiente afirmación es correcta: "en periodos de 20 segundos la tem-
peratura del vapor de agua aumenta de manera constante”.
Argumenta tu respuesta.
33
e) Cuando transcurren los primeros 40 segundos, ¿cuántos grados centígrados
aumenta la temperatura del vapor de agua?
f) Di si la siguiente afirmación es correcta: “En periodos de 40 segundos
la temperatura del vapor de aguas aumenta de manera constante”.
Argumenta tu respuesta.
En los siguientes dos incisos subraya la frase adecuada para que la afirmación sea correcta.
g) La gráfica establece la relación que hay entre...
la temperatura y el tiempo.•
el gas producido y el tiempo. •
la temperatura del vapor de agua y el tiempo en el que alcanza • esa temperatura.
h) La gráfica representa...
la velocidad de calentamiento del vapor de agua.•
la densidad del agua.•
la aceleración del vapor de agua.•
i) La razón de cambio del aumento en la temperatura del vapor de agua res-pecto al periodo de tiempo en que se mide este aumento es...
el cociente del aumento del tiempo entre el aumento de la temperatura • en ese periodo de tiempo.
el aumento en la temperatura del gas.•
el cociente del aumento en la temperatura entre el periodo de tiempo • en que aumenta su temperatura.
Y ALGO MÁS...
La razón de cambio es un concepto que se utiliza principalmente al modelar fenó-menos, estudiados en Física como el del movimiento.
Al hacer experimentos en los que un cuerpo mantenía una rapidez constante (es decir, un movimiento uniforme), notaron que el cociente de cualquier distancia recorrida por el cuerpo entre el tiempo que tardaba en recorrerla era siempre el mismo (constante).
A esta razón de cambio la llamaron rapidez; es decir, la rapidez de un cuerpo es el cociente de la distancia recorrida entre el tiempo del recorrido.
34
Diseñar un estudio o
experimento a partir
de datos obtenidos de
diversas fuentes y elegir
la forma de organización
y representación tabular
o gráfica más adecuada
para presentar la
información.
1.7
DISEÑO DE UN ESTUDIO Y ELECCIÓN DE LA FORMA MÁS ADECUADA DE PRESENTACIÓN DE LOS DATOS
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
1. En equipos de dos o tres personas harán una encuesta para conocer lo que podría ahorrar anualmente una persona si, en lugar de tener automóvil propio, opta por utilizar el sistema de transporte público. Para preparar la encuesta, primero hagan lo que se pide.
a) La primera de las siguientes tres preguntas es la más adecuada para estimar el gasto anual de gasolina que hace una persona al viajar en automóvil.
¿Más o menos cuánto gastas en gasolina cada semana?•
¿Más o menos cuánto gastas en gasolina al año?•
Exactamente, ¿cuánto gastas en gasolina al año?•
Expliquen por qué las otras dos preguntas no son tan adecuadas.
Ahora expliquen cómo, al tener una idea del gasto por semana, se puede calcular
el gasto anual de una persona en gasolina.
b) Decidan cuál o cuáles de las siguientes tres preguntas, relativas al costo del automóvil, les parecen adecuadas para plantearlas a diferentes personas.
¿Aproximadamente cuánto cuesta un carro?•
¿Cuánto te costó el carro cuando lo compraste?•
¿Cuánto cuesta ahora en la agencia un carro del modelo que tienes?•
Para conocer el gasto promedio anual de una persona por la compra de un carro, además del costo, necesitan saber el tiempo de vida del carro. Con ambos datos,
¿cómo se puede calcular el gasto anual?
c) Para aproximar el gasto anual por usar un automóvil, necesitan recabar los datos que aparecen a continuación. Para cada uno, en la primera línea for-mulen una pregunta que consideren pertinente para el dueño de un auto-móvil en una entrevista. En la segunda línea expliquen cómo emplearán ese dato para tener una aproximación del costo anual.
Gasolina:
LECCIÓN 1.7
34
Diseñar un estudio o
experimento a partir
de datos obtenidos de
diversas fuentes y elegir
la forma de organización
y representación tabular
o gráfica más adecuada
para presentar la
información.
1.7
DISEÑO DE UN ESTUDIO Y ELECCIÓN DE LA FORMA MÁS ADECUADA DE PRESENTACIÓN DE LOS DATOS
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
1. En equipos de dos o tres personas harán una encuesta para conocer lo que podría ahorrar anualmente una persona si, en lugar de tener automóvil propio, opta por utilizar el sistema de transporte público. Para preparar la encuesta, primero hagan lo que se pide.
a) La primera de las siguientes tres preguntas es la más adecuada para estimar el gasto anual de gasolina que hace una persona al viajar en automóvil.
¿Más o menos cuánto gastas en gasolina cada semana?•
¿Más o menos cuánto gastas en gasolina al año?•
Exactamente, ¿cuánto gastas en gasolina al año?•
Expliquen por qué las otras dos preguntas no son tan adecuadas.
Ahora expliquen cómo, al tener una idea del gasto por semana, se puede calcular
el gasto anual de una persona en gasolina.
b) Decidan cuál o cuáles de las siguientes tres preguntas, relativas al costo del automóvil, les parecen adecuadas para plantearlas a diferentes personas.
¿Aproximadamente cuánto cuesta un carro?•
¿Cuánto te costó el carro cuando lo compraste?•
¿Cuánto cuesta ahora en la agencia un carro del modelo que tienes?•
Para conocer el gasto promedio anual de una persona por la compra de un carro, además del costo, necesitan saber el tiempo de vida del carro. Con ambos datos,
¿cómo se puede calcular el gasto anual?
c) Para aproximar el gasto anual por usar un automóvil, necesitan recabar los datos que aparecen a continuación. Para cada uno, en la primera línea for-mulen una pregunta que consideren pertinente para el dueño de un auto-móvil en una entrevista. En la segunda línea expliquen cómo emplearán ese dato para tener una aproximación del costo anual.
Gasolina:
LECCIÓN 1.7
35
Estacionamientos:
Mantenimiento del auto:
Llantas:
Seguro del automóvil:
Tenencia:
Compra del carro:
Comenten si hay algún otro dato que se pueda preguntar para calcular el gasto
anual por usar un automóvil
d) Formulen preguntas que permitan estimar, a partir de entrevistas a distintas personas, el gasto anual por usar el sistema de transporte público. Consideren que la mayoría de las personas hace viajes de rutina, es decir, los hace diaria-mente o cada semana (por ejemplo, toman la misma ruta para ir al trabajo) y hacen otros que no lo son (por ejemplo, paseos los fines de semana).
36
e) Ahora que han diseñado el cuestionario, aplíquenlo al menos a siete perso-nas que tengan un automóvil y a otras siete que usen transporte público. Registren cuidadosamente todos los datos de cada entrevista.
f) Una vez que hayan efectuado las entrevistas, deben elegir una manera de presentar cada uno de los siguientes datos.
La variación en el gasto anual por uso de un carro de una persona a otra.•
La variación en el gasto anual por uso del sistema de transporte público de • una persona a otra.
Comparación del promedio del gasto anual por uso de un carro con el • promedio del gasto anual por uso del sistema de transporte público.
g) En uno de los siguientes tipos de gráficas no es posible presentar ninguno de los
tres datos anteriores. ¿Cuál es?
Gráfica de barras Gráfica de línea Gráfica circular o de pastel
h) Elijan qué tipo de gráfica utilizarán para presentar cada uno de sus datos, después háganlas en su cuaderno.
Y ALGO MÁS...
Es probable que el nombre estadística provenga del término latino status: el estado. En efecto, las primeras herramientas de la estadística desa-rrolladas en épocas muy antiguas se originaron por las necesidades del estado. Por ejemplo, para poder construir pirámides, los faraones egipcios del tercer milenio antes de Cristo ordenaban que se hicieran registros de la riqueza y la población. Además de finalidades tributarias, la estadística ha tenido usos militares: el emperador Augusto (63 a. C.-14 d. C.) mandó recopilar datos sobre la cantidad de soldados, naves y recursos del impe-rio romano. Además del uso para las decisiones políticas del estado, ha tenido una importante utilidad en diferentes ciencias.
Mendel es uno de los primeros científi-
cos que hizo una aportación importante
de la estadística a las ciencias naturales
