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AULA 5 – CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA II

Superfícies Quádricas

Fonte: Anton, Stewart, Thomas, Buske

Prof. Guilherme J. WeymarCENG - UFPel

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Até aqui já olhamos para 3 tipos de superfícies:

o planos

o esferas

o cilíndricas

Nesta aula:

o revisão de superfícies cilíndricas

o superfícies quádricas

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Para esboçar o gráfico das superfícies cilíndricas e quádricas é útil

determinar a intersecção da superfície com planos paralelos aos

planos coordenados. Essas curvas são denominadas traços (ou

secções transversais) da superfície.

Cilindros:

Um cilindro é uma superfície constituída de todas as retas

(chamadas geratrizes) que são paralelas a uma reta dada e que

passam por uma curva plana.

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Exemplo 1: Esboce a superfície

A figura indica como o gráfico é formado

tomando a parábola no plano xz e

movendo-a na direção do eixo y.

O gráfico é uma superfície, chamada de cilindro

parabólico, feito de um n° infinito de cópias

deslocadas da mesma parábola. Aqui as

geratrizes da superfície cilíndrica são paralelas ao

eixo y.

Observe que a equação não envolve y. Isto significa que qualquer plano

vertical da equação y = k (paralelo ao plano xz) intercepta o gráfico segundo

uma curva de equação Os traços verticais são portanto parábolas.

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Recordando: No exemplo 1 a variável y não aparece na equação

da superfície cilíndrica. Esse fato é comum às superfícies

cilíndricas cujas geratrizes são paralelas a um dos eixos

coordenados. Se uma das variáveis x, y ou z está faltando na

equação da superfície, a superfície obtida é cilíndrica.

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Exemplo: Identifique e esboce as superfícies:

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NOTA: Quando estamos tratando de superfícies, é importante

reconhecer que uma equação como representa uma

superfície cilíndrica e não uma circunferência. O traço dessa superfície

no plano xy é a circunferência de equação

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Quádricas:

Uma superfície quádrica é o gráfico de uma equação de segundo

graus nas três variáveis x, y e z. A forma mais geral dessa equação

é dada por:

onde A, B, C, ... J são constantes.

As superfícies quádricas são as correspondentes tridimensionais

das cônicas no plano.

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Exemplo: Utilize traços para fazer o esboço da quádrica com equação

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A figura abaixo mostra como representar no esboço alguns traços

para indicar a forma da superfície. Essa superfície é chamada

elipsóide, visto que todos os seus traços são elipses. Note a

simetria em relação a cada plano coordenado; isto é reflexo do fato

de só aparecerem potências positivas de x, y e z.

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Exemplo: Utilize traços para esboçar a superfície

Impondo x = 0, obtemos , de forma que no plano yz a intersecção da

superfície é uma parábola. Se tomarmos x = k (uma cte), obteremos

. Isto significa que se deslocarmos o gráfico para um plano paralelo ao

plano yz obteremos uma nova parábola com concavidade voltada para

cima.

Da mesma forma, tomando y = k, o traço é , que corresponde

novamente a uma parábola com concavidade para cima.

Impondo z = k, obteremos os traços horizontais k, que reconhecemos

como uma família de elipses.

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Sabendo a forma dos traços podemos esboçar a figura abaixo.

Pelo fato de os traços serem parábolas e elipses, a quádrica é

denominada parabolóide elíptico.

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Exemplo: Esboce a superfície

Os traços nos planos verticais x = k são parábolas , com concavidade voltada para

cima. Os traços em y = k são parábolas , com concavidade voltada para baixo. Os

traços horizontais são , uma família de hipérboles. Na figura abaixo desenhamos

esses traços e mostramos como eles aparecem quando colocados nos planos

corretos na figura do próximo slide.

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FIGURA:Traços movidos para suas posições nos planos corretos.

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Nesta figura colocamos os 3 gráficos do slide anterior juntos para formar a

superfície , um parabolóide hiperbólico.

Observe que o formato da superfície perto da origem se assemelha a uma

sela. Essa superfície será alvo de estudos futuros, quando discutiremos os

pontos de sela.

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A idéia de usar os traços para desenhar a superfície é empregada em

programas que fazem gráficos tridimensionais. Na maioria desses

programas os traços nos planos verticais x = k e y = k são apresentados

para valores de k igualmente espaçados, e partes do gráfico são

eliminadas utilizando-se a técnica de remover linhas escondidas.

A tabela a seguir mostra gráficos de computador de seis quádricas

básicas na forma padrão. Todas as superfícies são simétricas em relação

ao eixo z. Se uma quádrica é simétrica em relação a um eixo diferente,

sua equação se modifica de modo apropriado.

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Exemplo: Identifique e esboce o desenho da superfície

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Exemplo: Classifique a quádrica

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Como identificar a superfície quádrica?

As equações das sup. quádricas tem certas características que tornam possível

identificar as quádricas que são deduzidas dessas equações por reflexões. Essas

características identificatórias, mostradas na tabela, são baseadas em escrever

a equação da sup. quádrica de tal forma que todos os termos variáveis estejam

no lado esquerdo e que haja um 1 ou 0 no lado direito.

Exemplos ...