Autoinductancia e Inductancia Mutua

Segundo cuatrimestre 2010

Cursos 10 y 11

conectamos a un solenoide largo con N

e I est dada

por (rec

Autoinductancia e Inductancia Mutua

Vamos a estudiar ahora un caso donde el flujo del campo magntico vara porque vara

la corriente. Puede ser una corriente alterna o una corriente continua variable en el tiempo.

Supongamos que tenemos un generador que genera una corriente alterna y que lo

vueltas de alambre, largo l... ideal y material lineal

El campo generado por la corrient

ordar la Clase 13)

00,0, 2K 0 0 02

zNI

B z K nIl

En consecuencia, el flujo concatenado por cada

espira s

er

1 0 0d d

nIA nAdt dt

I

y, como consecuencia, se generar una fem llamada autoinducida

VG

R

L~ VGRR

L~ l

2dI dInNA n l A 0 0dt dt

Observemos que si el material no hubiera sido lineal, hubiramos podido calcular H

que no guarda relacin lineal con B

, y, en consecuencia no hubiramos podido calcular su

flujo sin considerar la curva de histresis.

Pero si es lineal (o se trabaja en una zona que a los fines prcticos es lineal) el campo

B

siempre sigue una relacin lineal con I ( y con H

). Bajo estas condiciones siempre resulta

d dL

dt dt

donde L se denomina autoinductancia o inductancia. Para el solenoide

Por supuesto, esto es un caso ideal. Aunque la longitud del solenoide sea apreciable

frente a

20L n l A

l radio, no todo el flujo contribuye efectivamente a la . Lo que se hace medir la y de all determinar la L (como al calcular una resistencia). Es decir, lo que ocasiona el voltaje

entre los bornes del solenoide es la autoinductancia. Por eso se dice

LdI

V L dt

1


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ul de los bornes es el que est a mayor voltaje depender de

que la

CA

B

L

I

A

B

L

I

corriente disminuya o aumente con el tiempo. En la figura si

dI/dt>0 VA>VB. Es decir VL=VAB=VB-VA=-LdI/dt. Las unidades de L

estn dadas por

2Vs Tm WbL t

HI A I A A

pero podemos pensar en otra cosa: el circuito es una espira y,

como consecuencia, no solamente tendr una autoinducatncia sino que tambin el campo

creado para aplacar el cambio de flujo en el circuito, tendr influencia sobre el solenoide y

viceversa....

Inductancia Mutua y Autoinductancia (un desarrollo ms formal)

Bueno, nos vamos a concentrar en las bobinas, i.e. no consideraremos la debida a cambios de flujo en el circuito. Pero... y si tenemos ms de una bobina? Supongamos

primero dos circuitos por los que circula corriente. Veremos qu ocurre cuando hay cambios

en un circuito debido a otros

elementos. Cada circuito

concatena un flujo debido a

su propia corriente y por la de

su vecino. El circuito 1

produce un campo magntico

1B

en todo el espacio y el

circuito 2, 2B

Circuito 1 Circuito 2

I1(t) I2(t)

S1 S2

Circuito 1 Circuito 2

I1(t) I2(t)

S1 S2

. Por lo tanto los flujos concatenados son:

11 1 1

1 2 1 2 11 1TS S S

B B dS B dS B dS 2 B B dS B dS B dS 2

2 2 2

1 2 1 2 21 22TS S S

En consecuencia, aparecern dos inducidas. En el circuito 1 1 11 12 11 12 11 1 12 2

1dt 1 2

Td d d d d dI d dIdt dt dt dI dt dI dt

y en el circuito 2

2 21 22 21 22 21 1 22 22

dt 1 2

Td d d d d dI d dIdt dt dt dI dt dI dt

2

AdministradorTexto escrito a mquina-L1 -M12

AdministradorTexto escrito a mquina-M21 -L2

AdministradorTexto escrito a mquina


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Se define, entonces

11 121 12

1 2

21 2221 2

1 2dI dI

d dL M

dI dId d

M L

donde no hay materiales ferromagnticos siempre Mij= Mji (excede el nivel del

curso).

entro, vale

donde no hay materiales ferromagnticos siempre Mij= Mji (excede el nivel del

curso).

entro, vale

Se denomina coeficiente de induccin mutua a Mij.

Es decir, la autoinductancia da la rapidez de cambio de flujo debido al cambio en la

corriente que circula por ella, mientras que la inductancia mutua da la rapidez con que

cambia el flujo debido al cambio de corriente en el otro circuito. Se puede demostrar que en

circuitos

Se denomina coeficiente de induccin mutua a Mij.

Es decir, la autoinductancia da la rapidez de cambio de flujo debido al cambio en la

corriente que circula por ella, mientras que la inductancia mutua da la rapidez con que

cambia el flujo debido al cambio de corriente en el otro circuito. Se puede demostrar que en

circuitos

Veamos un ejemplo relativamVeamos un ejemplo relativamente sencillo. Las lneas de campo no son sencillas pero

podramos considerar que dentro de la espira chica es

uniforme (no constante). Si recordamos que para una

espira en el c

ente sencillo. Las lneas de campo no son sencillas pero

podramos considerar que dentro de la espira chica es

uniforme (no constante). Si recordamos que para una

espira en el c

R1R2

I1(t)

z

R1R2

I1(t)

z

R1R2

I1(t)

z

R1R2

I1(t)

z

0 11

0,0,2

z

I tB z

R

e (es decir tomamos el

sentido indicado en la figura como positivo y, en

consecuencia, el diferencial de superficie debe tener el

sentido de z . Calcularemos ahora la inductancia mutua e

M21 es decir estamos considerando cmo vara el flujo

en el circuito 2 debido al cambio de la corriente I1.

Como

11 1 12 2 1 21 1

1 2

21 1 22 2 1 22 2

1 2

d dI d dI dI dIL M

dI dt dI dt dt dtd dI d dI dI dI

M LdI dt dI dt dt dt

12

1 2

2 2

0 1 0 1 2 221 021 1 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 12 2z

S S

I t I td d d d2

M B dS e dS R RdI dI dI R dI R R

2021 2

12M R

R

3

AdministradorResaltado



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Si el circuito 1 tiene N1 espiras y el 2 tiene N2, el campo generado por I1 ser N1 veces

el generado por una espira y el flujo concatenado por el circuito 2 ser N2 veces el

concatenado por una espira. En consecuencia, en forma ms general

2021 1 2 2

12M N N R

R

Para calcular la autoinductancia, deberamos considerar (como hicimos con el

solenoide) que el campo es uniforme en la espira 1. En ese caso

2 2 211 0 01 1 1 1

1 12 2

dL N R N

dI R1R

Entonces, si originalmente circulaba una corriente por la espira 1 (variable en el

tiempo) habr fems autoinducidas en ambos circuitos

1 21 1 12

1 22 21 2

dI dIL M

dt dtdI dI

M Ldt dt

Cmo calcular M12. Sera complicado si no usamos el hecho de que es igual a M21:

deberamos calcular el campo generado por la espira 2 cuando circula una corriente I2, es

decir 2B

, calcular el flujo a travs de S1 (lo cual resulta complicado)...

Pero hay otro ejemplo donde podemos calcular (dentro de ciertas aproximaciones) las

autoinductancias y las inductancias mutuas. Consideraremos: 1) toroide angosto 2) No hay

campo fuera de los bobinados 3) Materiales lineales

Comencemos con ese

ejemplo: I1(t)

N2N1R1

R2

+

-~

I1(t)

N2N1R1

R2

+

-~

Dentro de nuestro modelo,

la corriente I1(t) genera un campo

magntico

1 11 0 0 1 12

N IB e n I t e

R

donde R es el radio medio, etc...

Si el segundo bobinado est cerrado y circulara una corriente por l I2(t) producira un

campo 2 22 0 0 2 22

N IB e n I t e

R

Podemos calcular todos los flujos:

4


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1

22 2 20

11 1 1 1 0 1 12 2S

aB dS N I t a N I t

R R

22

1 11 0 12

aL M N

R

1

220

12 2 1 2 2 0 1 2 22 2S

a

1

220

12 2 1 2 2 0 1 2 22 2S

aB dS N N I t a N N I t

R R

2

12 0 1 22

aM N N

R

En el segundo bobinado habr tambin un cambio de flujo y

2

22 2 20

22 2 2 2 0 2 22 2S

aB dS N I t a N I t

R R

22

2 22 0 22

aL M N

R

2

220

21 1 1 2 1 0 1 2 12 2S

aB dS N N I t a N N I t

R R

2

21 0 1 22

aM N N

R

Vemos que en este caso se cumple

12 21 1 2M M L L Observemos que todo el flujo de uno es concatenado por s mismo y por el vecino. En

la experiencia eso no ocurre y 12 21 1 2M M k L L , donde k se llama factor de acoplamiento. Depender, fundamentalmente, de la geometra del sistema.

Si no hay prdidas de flujo, tendremos

1 2 11 1 12 1 1 2

2 1 22 2 21 2 1 2

dI dI dI dIL M L L L

dt dt dt dtdI dI dI dI

L M L L Ldt dt dt dt

2

1

21 1 2

1

1

21 1 2

2 1 2 22 2 1 2 2 1 2 1 1

1 1

dIL LdI dtdt L

dIL L

dI dI dI L NdtL L L L L Ldt dt dt L L N

2

1

y el 2, R2.

resultado ms que interesante. I1(t)

N2N1R1

R2

+

-~

I2(t)

V(t)

+ - +

- - +

I1(t)

N2N1R1

R2

+

-~

I2(t)

V(t)

I1(t)

N2N1R1

R2

+

-~

I1(t)

N2N1R1

R2

+

-~

I2(t)

V(t)

+ - +

- - +

Pero avancemos un poco

ms... Cunto valen las

corrientes? El circuito 1 tendr una

resistencia R1En el circuito 1 tendremos:

la fuente V(t), la fem inducida y la

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cada de tensin en la resistencia. En el 2 no tendremos fuente. En consecuencia, si bien

podemos pensarlo de varias formas, tendremos

1 21 1 1 1 1 1 12

2 12 2 2 2 2 2 21

0

0

dI dIV t I t R V t I t R L M

dt dtdI dI

I t R I t R L Mdt dt

Tenemos 2 ecuaciones con 2 incgnitas : I1 e I2 pero ambas funciones del tiempo

No confundamos el sentido del campo con su crecimiento o decrecimiento. En la

figura 1B

tiene sentido horario. Si I1(t) es creciente, en la bobina 2 debe crearse un campo tal

que haga compensar el efecto creciente de 1B

. Es decir, tiene que hacer decrecer el campo.

entonces el campo 2 debe crecer en el tiempo pero con sentido antihorario. Si, en cambio, I1(t)

va disminuyendo en el tiempo, el campo 1 va disminuyendo y se crear un campo en 2 que

impida que decrezca. Entonces el campo 2 debe ir aumentando y debe ser en sentido horario.

Algo parecido pasa con el campoque debe aparecer en el circuito 1 para que el flujo no

aumente (o trate de...)

I1(t) 1B t

1B t 11B t

21B tI1(t) 1B t

1B t 11B t

21B t

I1(t)

-

+

+-

+

-

I1(t)

-

+

+-

+

-

Pero el sentido de la corriente que debera aparecer en el circuito 2 (y, por lo tanto de

la ) depender de cmo est bobinado. Eso es lo que mostramos en la figura siguiente.

6






Cursos 10 y 11

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I1(t) 1B t

1B t 11B t

21B tI1(t) 1B t

1B t 11B t

21B t

Si el circuito 2 est abierto, no circular corriente por el circuito y el campo 21B

no

existe. Si se cierra el circuito, comenzar a circular una corriente I2 se crear el campo que

afectar al circuito 1, ya que al cambiar el flujo de 2 habr una fem inducida tanto en 1 como

en 2....

Todo esto es lo que indican las ecuaciones

1 21 1 1 1 1 1 12

2 12 2 2 2 2 2 21

0

0

dI dIV t I t R V t I t R L M

dt dtdI dI

I t R I t R L Mdt dt

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