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Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
AVESTRUZ AL HORNOReceta para n > 30 personas
Carlos Vaquera
Departamento de Fı́sica, DCIUniversidad de Guanajuato
21 de septiembre de 2011
Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
Contenido
1 Objetivo
2 Modelo
3 Pollo Rostizado
4 Guajolote horneado
5 ¡Avestruz al horno!
Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
Objetivo
Obtener un modelo para determinar el tiempo óptimo decocción en la preparación de una avestruz al horno
Figura: Ejemplar de la especie Struthio camelus.
Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
Esquema de trabajoModelar el tiempo requerido para rostizar un polloProbar la predictibilidad del modelo con otra especie deave: guajoloteExtrapolar el modelo para aplicarlo a la avestruz
Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
Ingredientes
1.-Ley de Newton del enfriamiento
dQdt
= −hS (T − Ta) (1)
Q Energı́a térmicat TiempoS Superficieh Coeficiente de transferencia de calorT Temperatura del cuerpoTa Temperatura del medio
Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
2.-Calor especı́fico
dQ = mcdT (2)
m Masa del cuerpoc Calor especı́fico
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3.-Horno
Figura: Horno de adobe artesanal.
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4.-Ave
Figura: Ave. Muerta, por supuesto.
Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
Preparación
1.-Mezcle (1) y (2) por partes iguales para obtener
dTdt
= − hSmc
(T − Ta) . (3)
2.- Note que m = ρV , donde ρ es la densidad del objeto y V suvolumen
dTdt
= − hSρcV
(T − Ta) . (4)
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3.- Resuelva con las condiciones iniciales T0 = T(t0)∫ tt0
TT − Ta
= − hSρcV
∫ tt0
t
ln∣∣∣∣T(t)− TaT0 − Ta
∣∣∣∣ = − hSρcV (t − t0)⇒ t − t0 = −
ρcVhS
ln∣∣∣∣T(t)− TaT0 − Ta
∣∣∣∣ .(5)
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Pollo rostizado
Figura: Ejemplar de la especie Gallus gallus domesticus.
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Hipótesis:h, ρ y c son constantesEl pollo es esférico: S = 4πr2, V = 4πr3/3
t − t0 = −ρcr3h
ln∣∣∣∣T(t)− TaT0 − Ta
∣∣∣∣ (6)Eliminando r a favor de la masa: m = 4πρr3/3
t − t0 = −m1/3
βln∣∣∣∣T(t)− TaT0 − Ta
∣∣∣∣ , β = hc(
36πρ2
)1/3. (7)
Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
determinación de β
Datos experimentalesChicken Roasting times (stuffed)a
m (lb) t (h)2.5 - 3 1.5 - 23.5 - 4 1.75 - 2.254.5 - 5 2 - 2.55 - 6 2.25 - 2.75
t0 = 0 Ta = 190◦C = 463KT0 = 27◦C = 300K T(t) = 83◦C = 356K
(8)
ahttp://www.helpwithcooking.com/cooking-poultry/roast-chicken.html
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Con (8) definimos
λ = − ln∣∣∣∣T(t)− TaT0 − Ta
∣∣∣∣ = 0.421 (9)de modo que (7) queda
t =λ
βm1/3. (10)
Contamos con 4 datos experimentales (pésimos, por cierto) y apesar de su mala calidad, ¡podemos mejorar el modelo conellos!
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Nueva hipótesisEl pollo no es esférico (¿alguien lo habı́a ya notado?).Introducimos una nueva variable α tal que
t =λ
βmα (11)
y usamos los datos experimentales para ajustar α y β.
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Para empezar, tomamos el logaritmo de (11) en ambosmiembros y obtenemos
ln t = ln[λ
βmα]= α ln m + ln
λ
β, (12)
Sı́, una lı́nea recta y = αx + b, con
y = ln t, x = ln m, b = ln (λ/β) (13)
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El Ajuste: Mı́nimos cuadrados
Nuevos Ingredientes
Una curva modelo: y(x) = αx + bN datos experimentales (xi, yi), i = 1, . . . ,N con susrespectivos errores (δxi, δyi)Una función muy positiva: Ji cuadrada, por nombre
χ2 =N∑
i=1
(y(xi)− yi)2
σ2i(14)
con
σi =
√(δyi)
2 +
(∂yi∂xi
)2(δxi)
2 (15)
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NotaEn muchos casos σi ≈ δyi. No en el nuestro, ası́ que es precisoestimar ∂yi
∂xi. Esto se logra iterativamente, tomando en un primer
ajuste σ(0)i =≈ δyi para encontrar∂yi∂xi≈ α(0) y calcular
σ(1)i =
√(δyi)
2 + (α(0))2(δxi)
2 para hacer un mejor ajuste.
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Nueva preparación
Buscamos los valores para α y b que minimicen χ2:
∂χ2
∂α= 2
N∑i=1
(αxi + b− yi) xiσ2i
= 0
∂χ2
∂b= 2
N∑i=1
(αxi + b− yi)σ2i
= 0
(16)
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las ecuaciones anteriores forman un sistema lineal:(sxx sxsx s1
)(αb
)=
(sxysy
)(17)
con
sxx =∑N
i=1x2iσ2i
sx =∑N
i=1xiσ2i
s1 =∑N
i=11σ2i
sxy =∑N
i=1xiyiσ2i
sy =∑N
i=1yiσ2i
syy =∑N
i=1y2
σ2i
(18)
cuya solución es(αb
)=
1sxxs1 − s2x
(sxys1 − sxsysxxsy − sxysx
)(19)
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La incertidumbre en α y β puede estimarse como
δα =
√√√√ N∑i=1
(∂α
∂xi
)2(δxi)
2 +N∑
i=1
(∂α
∂yi
)2(δyi)
2 (20)
δb =
√√√√ N∑i=1
(∂b∂xi
)2(δxi)
2 +N∑
i=1
(∂b∂yi
)2(δyi)
2. (21)
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Con los datos experimentales disponibles (convertidos porsupuesto a unidades civilizadas [m] = kg) se obtiene
α = 0.51± 0.38 (22)b = 0.43± 0.20. (23)
La incertidumbre es espantosa, ¡pero el valor central puede serútil! Ahora podemos saber si el modelo es válido paraguajolotes.
Nueva hipótesisβpollo = βguajolote
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Pero antes, una mirada al ajuste
0.5 1 1.5 2 2.5m (kg)
0.5
1
1.5
2
2.5
t(h)
Tiempo de cocción como función de la masa del pollo.
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Predictibilidad de modelo¿Cómo se comporta nuestro modelo en un régimen de masassuperior? Comparémoslo con los datos experimentalesdisponibles para el guajolote horneado:
Figura: Ejemplar inconforme de la especie Meleagris gallopavo.
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Guajolote al Horno
Datos experimentalesTurkey Roasting times (stuffed)a
m (lb) t (h)6 - 8 2.75 - 3.25
8 - 12 3 - 3.512 - 14 3.5 - 414 - 18 4 - 4.2518 - 20 4.25 - 4.7520 - 24 4.75 - 5.25
t0 = 0 Ta = 190◦C = 463KT0 = 27◦C = 300K T(t) = 83◦C = 356K
(24)
ahttp://www.helpwithcooking.com/cooking-poultry/roast-turkey.html
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Nuevos datos vs extrapolación del modelo
2 4 6 8 10m (kg)
1
2
3
4
5
t(h)
Tiempo de cocción como función de la masa del guajolote.
Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
¡El modelo es predictivo!Para mejorarlo podemos incorporar los datos disponibles parael guajolote y hacer un nuevo ajuste, con lo que se obtiene
α = 0.49± 0.06 (25)b = 0.45± 0.09 (26)
El valor central no cambió mucho, pero la incertidumbre seredujo dramáticamente.
Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
Modelo mejorado vs datos pollo + guajolote
2 4 6 8 10m (kg)
1
2
3
4
5
t(h)
Tiempo de cocción como función de la masa del ave.
Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!
La hipótesis βpollo = βguajolote fue exitosa, por lo tantopostulamos βave = βpollo = βguajolote para encontrar la ecuacióngeneral de cualquier ave en el horno:
t − t0 = −mα
βln∣∣∣∣T(t)− TaT0 − Ta
∣∣∣∣ (27)con
α = 0.49± 0.06 (28)β = 0.27± 0.02 kgα/h (29)
que podemos aplicar directamente a nuestra avestruz.
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¡Avestruz al horno!
Si cuenta usted con una familia numerosa -y excéntrica- puedeofrecerles una majestuosa Avestruz (rellena, vaya usted a saberde qué) al Horno. Si la avestruz de 180 kg se encuentra atemperatura ambiente T0 = 300K y el horno está precalentado aTa = 463K, el ave alcanzará la temperatura necesaria paraeliminar el riesgo de salmonelosis y quedar exquisitamentecocida (T = 356K) en solo
tavestruz = 20± 7h. (30)
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¡Buen Provecho!
ObjetivoModeloPollo RostizadoGuajolote horneado¡Avestruz al horno!