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ING. RAL GILBERTO MATOS ACUA
CICLO 2013-III Mdulo IUnidad: 2 Semana: 3
ALGEBRA LINEAL
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CONTENIDOS TEMTICOS
Ing. Ral Matos Acua
Sistemas de Ecuaciones Lineales
1. Sistema lineal.
2. Sistema matricial.
3. Mtodo de Gauss para resolver una SEL.
4. Mtodo de Cramer para resolver una SEL.
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Objetivos
Presentar un S.E.L. en forma matricial.
Resolver un S.E.L. con matrices, a travs delmtodo de Gauss
(matriz escalonada)
Resolver un S.E.L. con la Regla de Cramer.
Resolver un S.E.L. con el uso de la MatrizInversa.
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RESOLUCIN DE UN S.E.L. POR EL
MTODO DE GAUSS
En resumen:
1.- El sistema es compatible solamente sirango [A:B] = rango
[A]
2.- Si rango [A:B] = rango [A] = n (nmerode incgnitas), entonces
el sistema tienesolucin nica.
3.- Si rango [A:B] = rango [A] = r < n,entonces el sistema
tiene infinitassoluciones. En este caso se eligen (n-r)variables
libres (parmetros)
4.- El sistema es incompatible solamente sirango [A:B] rango
[A]
032
2234
02
zyx
zyx
zyx
0312
2234
0112
aA
A B
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RESOLUCIN DE UN S.E.L. CON LA
REGLA DE CRAMERSi Anxn.Xnx1 = Bnx1 es un sistema de n
ecuaciones con n incgnitas tal que |A| 0, entonces cada variable
se calcula mediante:
niA
Ax
i
i ,...,2,1,
Ai representa a la matriz obtenida a partir de A,
sustituyendo la columna i de A por la columna B de los
trminos independientes.
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RESOLUCIN DE UN S.E.L. CON LA
REGLA DE CRAMER
Ejemplo: Resuelva el siguiente sistema
utilizando la regla de Cramer.
032
2234
02
zyx
zyx
zyx
8
312
234
112
D
2
1
8
4310
232
110
Ax 2
8
16302
224
102
Ay 1
8
8012
234
012
Az
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RESOLUCIN DE UN S.E.L. CON EL MTODO
DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ
Si Anxn.Xnx1 = Bnx1 es un sistema de n ecuaciones con nincgnitas
tal que |A| 0, entonces el sistema tienesolucin nica determinada
mediante:
A-1(AX) = A-1B
(A-1A)X = A-1B
X = A-1B
Es decir, calculando la matriz inversa de A ymultiplicndola por
la matriz B.
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OJO
Recordar que los mtodos de la Regla de Cramer y
de la Matriz Inversa slo pueden utilizarse cuando
el sistema es determinado y adems cuando el
nmero de ecuaciones es igual al nmero de
incgnitas.
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Problema
Una estudiante determin que tiene suficiente tiempodisponible
para asistir a 24 eventos especiales durante elao escolar. Entre
los eventos estn conciertos, juegos dehockey y producciones
teatrales. Ella siente que un balanceideal se alcanzara si fuera el
doble de veces a conciertosque a juegos de hockey, y si el nmero de
conciertos a losque asistiera fuera igual al promedio del nmero de
juegosde hockey y el nmero de obras de teatro. Utilice la Regla
deCramer para determinar el nmero de juegos de hockey a losque
asistir para alcanzar este balance ideal.
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Total de eventos: 24
Concierto: x=2y
Juegos hockey: y
Producciones laterales: z
x+y+z = (y+z)/2
..
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Ing. Ral Matos Acua
Problema
Un grupo de inversionistas desea invertir $500,000 en
lasacciones de tres compaas. La compaa D vende en $60una accin y
tiene un rendimiento esperado de 16% anual. Lacompaa E vende en $80
cada accin y tiene un rendimientoesperado de 12% anual. La compaa F
vende cada accin en$30 y tiene un rendimiento esperado de 9% anual.
El grupoplanea comprar cuatro veces ms acciones de la compaa Fque
de la compaa E.
Si la meta del grupo es 13.68% de rendimiento anual,cuntas
acciones de cada compaa deben comprar losinversionistas?
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CONCLUSIONES Y/O ACTIVIDADES DE
INVESTIGACIN SUGERIDAS
Resolver los ejercicios de la gua del curso.
Resolver los problemas del trabajo acadmico referidos al
tema.
Revisar el Blog del curso.
Buscar en Internet artculos o ejercicios referidos al tema
tratado.
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GRACIAS
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