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8/16/2019 Ayuda Ntia 16
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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Álgebra e Introducción al Cálculo - MAT1492-3
Primer Semestre de 2009
AYUDANTÍA 16
Polinomios I I
Problema 1: Encuentre a y b tales
que
P (x) = 3x3 − 4x2 + ax + b
sea divisible por x2 − 1.
Problema 2: Determine p y
q tales que al dividir el polinomio
Q(x) = x4 + px3 + qx2 − 16x− 12,
por (x + 1)(x + 3), el resto es 2x + 3.
Problema 3: Pruebe que las ráıces de x2 + x + 1
satisfacen la ecuación
x6 + 4x5 + 3x4 + 2x3 + x + 1 = 0.
Problema 4: Demuestre que si
S (x) = ax3 + bx2 + cx + d
tiene a (x− 1)2 como factor, entonces b = d −
2a y c = a − 2d.
Problema 5: Encuentre a y b de
modo que el polinomio
T (x) = anxn − b(n + 1)xn−1 + x + 2
sea divisible por x2 − 3x + 2.
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Soluciones
Problema 1: Como queremos que sea divisible por x2 −
1 = (x− 1)(x + 1), entonces necesa-riamente α = 1
y β = −1 deben ser ráıces del polinomio y
por lo tanto, se debe cumplir queP (1) = P (−1) = 0,
es decir,
3 · 13 − 4 · 12 + a · 1 + b = 0 (1)
3 · (−1)3 − 4 · (−1)2 + a · (−1) + b = 0 (2)
Resolviendo el sistema, se tiene que b = 4 y a
= −3.
Problema 2:
Diviendo Q(x) en (x + 1)(x + 3) = x2
+ 4x + 3 se obtiene que el resto está dadoporR(x) = (13 p−
4q − 56)x + (12 p− 3q − 51).
Por lo tanto, el sistema a resolver está dado por
13 p − 4q − 56 = 2 (3)
12 p − 3q − 51 = 3 (4)
Cuyas soluciones son p = 14
3 y q =
2
3.
Problema 3: La demostración es equivalente a probar que
x6 + 4x5 + 3x4 + 2x3 + x + 1 = 0
es divisible en x2 + x + 1. En efecto, al realizar la
división, se obtiene que el resto es cero.
Problema 4: Realizando la división de S (x)
en x2 − 2x + 1, se obtiene que el resto está
dadopor
R(x) = (c + 2b + 3a)x + (d− b− 2a)
Como queremos que éste sea cero, entonces se tiene que
c + 2b + 3a = 0 (5)
d− b− 2a = 0 (6)
De (6) podemos deducir la primera condición que debemos probar,
es decir, b = d − 2a. Reem-
plazando en (5), se tiene que
c + 2(d− 2a) + 3a = 0 ⇐⇒ c + 2d− a = 0
⇐⇒ c = a − 2d.
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Problema 5: Dado que x2 − 3x + 2 = (x − 1)(x −
2), entonces queremos que T (x) tenga a
α = 1 y β = 2 entre sus raı́ces, es decir,
que T (1) = T (2) = 0. Luego, a y
b satisfacen el sistema
an− b(n + 1) + 3 = 0 (7)
2nan− 2n−1b(n + 1) + 4 = 0 (8)
Multiplicando la primera ecuación por 2n−1 y restándolas, se
tiene que
an
2n − 2n−1
+ 4 − 3 · 2n−1 = 0 ⇐⇒ 2n−1an (2 − 1) + 4 − 3
· 2n−1 = 0 ⇐⇒ a = −1
2n−1n.
Finalmente, reemplazando en (7) se tiene que
b =
3 · 2n−2 − 1
2n−3(n + 1) .
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