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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Álgebra e Introducción al Cálculo - MAT1492-3
Primer Semestre de 2009
AYUDANTÍA 19
Trigonometrı́a II
Problema 1: Desde la cúspide de un faro de 80 m de
altura, se observan hacia el oeste dosbotes según ángulos de
depresión de 60o y 30o. Calcule la distancia que separa a los
botes.
Problema 2: Siendo θ un ángulo del tercer
cuadrante y a = cos θ, encuentre el valor de:
tan (90o − θ) + sin (360o − θ)csc (180o − θ)− cot(−θ)
,
en términos de a.
Problema 3: Demuestre la identidad
sinα
2
+ cos
α2
2+
1 + cos (2α)
1− cos (2α) = 1 + sin α + cot2 α.
Problema 4: Demuestre la identidad
sin(α− β )cos α cos β
+ sin(β − γ )cos β cos γ
+ sin(γ − α)cos γ cos α
= 0.
Problema 5: Demuestre la identidad
cos (4α)cos α− sin(4α)sin α = cos(3α)cos(2α)− sin
(3α)sin(2α) .
Problema 6: Se tiene un poĺıgono regular de n
lados inscrito en una circunferencia de
radio r.Demostrar que el peŕımetro y el área de este
polı́gono son, respectivamente:
2nr sinπ
n
;
1
2nr2 sin
2π
n
.
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Soluciones
Problema 1: La situción está dada por la figura.
Se tiene que
80
OA= tan 30o =
1√ 3⇒ OA = 80
√ 3.
Además,
80
OA−
x= tan60o =
√ 3 ⇒ OA − x = 80√
3. 60o30o
O
A B
80 m
x
Por lo tanto,
x = OA − 80√ 3
= 80√
3− 80√ 3
= 160
√ 3
3 m.
Problema 2: Como
tan(90o − θ) = cot θ = cos θsin θ
,
sin (360o − θ) = sin (−θ) = − sin θ,
csc (180o
−θ) =
1
sin (180o
− θ) =
1
sin θ
,
cot(−θ) = cos(−θ)sin(−θ) = −
cos θ
sin θ,
entonces, se tiene que
tan (90o − θ) + sin (360o − θ)csc (180o − θ)− cot(−θ)
=
cos θ
sin θ − sin θ
1
sin θ + cos θ
sin θ
=cos θ−sin2 θ
sin θ
1+cos θ
sin θ
= cos θ − sin2 θ
1 + cos θ
= cos θ − 1 + cos2 θ
1 + cos θ =
a2 + a− 1a + 1
.
Problema 3: En efecto,
sin
α2
+ cos
α2
2+
1 + cos (2α)
1− cos (2α) = sin2α
2
+ cos2
α2
+ 2 sin
α2
cos
α2
+
2cos2 θ
2sin2 θ
= 1 + sin α + cot2 θ.
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Problema 4: En efecto, notemos que
sin(α− β )cos α cos β
= sin α cos β − sin β cos α
cos α cos β = sin α cos β
cos α cos β − sin β cos α
cos α cos β = tan α− tan β.
Y análogamente,sin(β − γ )cos β cos γ
= tan β − tan γ,
sin(γ − α)cos γ cos α
= tan γ − tan α.
Por lo tanto,
sin(α− β )cos α cos β
+ sin(β − γ )cos β cos γ
+ sin (γ − α)cos γ cos α
= tan α− tan β + tan β − tan
γ + tan γ − tan α = 0.
Problema 5: En efecto,
cos (4α)cos α− sin (4α)sin α = cos (4α + α) = cos (5α)
= cos (3α + 2α)= cos (3α)cos(2α)− sin (3α)sin(2α) .
Problema 6: La situación está generalizada por la
figura.
Dado que el poĺıgono es regular de n lados,
entonces
2θ = 2π
n ⇒ θ = π
n.
Además, notemos que se forman
n triángulosisósceles. Por lo tanto, en cada uno de
ellos, podemos trazar unaalturaque se confunde con la
bisectriz.
2θ
r
O
r
θ θ
O
r r
h
xx
Luego, lo que en realidad nos interesa es calcular la longitud2x
de la base de este triángulo, para aśı, poder determinar
elpeŕımetro y el área del poĺıgono. Luego, por definición,
sin θ = x
r ⇒ x = r sin θ,
cos θ = h
r ⇒ h = r cos θ.
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Entonces, el peŕımetro P del poĺıgono está
dado por la suma de todas las bases de estos triángu-
los, es decir,P = 2xn = 2nr sin θ = 2nr
sin
πn
.
Y de forma similar, el área A del poĺıgono, está
dada por la suma de todas las áreas de estostriángulos, es
decir,
A = 2xh
2 n = nr2 cos θ sin θ =
1
2nr2 sin
2π
n
.
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