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Pontificia Universidad Católica de Chile

Facultad de Matemáticas

Álgebra e Introducción al Cálculo - MAT1492-3

Primer Semestre de 2009

AYUDANTÍA 21

Trigonometrı́a IV

Problema 1:  Resuelva la ecuación

6tan x − 5√ 

3sec x + 12cot x = 0,

para  θ ∈ R.Problema 2:  Descendiendo por una colina, inclinada en un ángulo  α  respecto del plano hori-zontal, una persona observa una piedra, situada en el plano, según un ángulo de depresión  β .A mitad del descenso, el ángulo de depresión es  γ . Demuestre que

cot α = 2 cot β − cot γ.Problema 3:  Demuestre que en todo ABC  se tiene

sin(2α) + sin (2β ) + sin (2γ ) = 4 sin α sin β sin γ 

Problema 4:   Dos naves salen de un puerto al mismo tiempo. Una viaja a 20 millas/h endirección 32oNE y la otra viaja a 28 millas/h en dirección 42oSE. ¿Qué tan apartadas están las2 naves después de 2 horas?

Problema 5:   Dos puntos   A  y   B   están en lados opuestos de un edificio; para determinar ladistancia entre ellos se elige un tercer punto  C  tal que la distancia de  A  a  C  es 50, 2 metros y

la distancia de  B  a  C  es 61,4 metros. El ángulo formado por los segmentos de recta  AC  y  BC mide 62,5o. Determinar la distancia de  A a  B  y el ángulo que forman  AC   con  AB.

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Pero, por Teorema de Thales aplicado sobre el BOD , se tiene queBC h

2

=  BO

h  ⇒ 2BC  = BO.

Luego, como  BC  + CO  =  BO = 2BC  ⇒ BC  =  C O  y sigue que

2cot β − cot γ  =   BC h

2

= cot α.

Problema 3:   En efecto,

sin(2α) + sin (2β ) + sin (2γ ) = sin(2α) + sin (2β ) + sin (2π − 2 (α + β ))

= sin(2α) + sin (2β ) + sin (−2 (α + β ))= sin(2α) + sin (2β ) − sin(2α)cos(2β )− sin (2β )cos(2α)= sin(2α) (1− cos (2β )) + sin (2β ) (1 − cos (2α))= 2 sin (2α)sin2 β  + 2 sin (2β )sin2 α

= 4 sin α cos α sin2 β  + 4sin β cos β sin2 α

= 4 sin α sin β (cos α sin β  + cos β sin α)

= 4 sin α sin β sin(α + β )

= 4 sin α sin β sin(π − (α + β ))= 4 sin α sin β sin γ.

Problema 4:   La situación está dada por la figura.

Al cabo de 2 horas, la primera nave ha recorrido40 millas, mientras que la segunda ha recorrido 56millas. Por lo tanto,  OA = 40 y  OB = 56.

Luego, por Teorema del Coseno, se tiene que

AB2

= OA2

+ OB2 − 2 · OA ·OB · cos (58o + 48o)

= 1600 + 3136 − 2 · 40 · 56 · cos (106o)= 5970,8553

⇒ AB = 77,2713 metros.

58o

32o

42o

48oO

A

B

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Problema 5:   La situación está dada por la figura.

Por enunciado, tenemos que   AC   = 50,2 metros yBC  = 61,4 metros. Luego, por Teorema del Coseno,se tiene que

AB2

= AC 2

+ BC 2 − 2 ·AC  ·BC  · cos (62,5o)

= 2520,04 + 3769,96− 2 · 50,2 · 61,4 · cos (62,5o)= 3443,5229

⇒ AB = 58,6815 metros.A B

C 

62,5o

α

Finalmente, por Teorema del Seno, se tiene que

sin(62,5

o

)AB

= sin αBC 

⇒ sin α = 0,9281 ⇒ α = 68,140o.

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