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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEEscuela de IngenierıaDepartamento de Ingenierıa Estructural y GeotecnicaICE 2004 Estatica
Ayudantıa 13Friccion
Alan Poulos [email protected]
Problema 1. Un bloque de masa m se encuentra sobre un plano inclinado de pendiente θ. Determine lamaxima fuerza P que se le puede aplicar al bloque en la direccion mostrada en la figura antes de que elbloque deslice. El coeficiente de roce estatica entre el bloque y el plano inclinado es µ. Tambien determine elangulo β que forma la fuerza P con la direccion en que se inicia el movimiento.
Problema 2. Determine el rango de la masa m en que el sistema esta en equilibrio. Considere 2 casos enque el coeficiente de friccion entre el cable y la superficie que lo soporta es (a) 0 y (b) 0, 3. En ambos casosconsidere que existe friccion entre la masa de 100Kg y la superficie inclinada.
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Problema 3. (Control 4 2007-2) El bloque triangular de la figura tiene peso W uniformemente distribuido.Esta atado a una cuerda parcialmente enrrollada alrededor del soporte fijo S. El coeficiente de friccion entrela cuerda y el soporte es µ1, y el coeficiente de friccion entre el bloque y la superficie horizontal es µ2.
a) Si µ1 = 0, 35 y µ2 = 0, 5, determine el valor mınimo de P para el cual el bloque desliza sobre la superficiehorizontal. Considere que el bloque no puede volcar.
b) Determine el valor mınimo de µ2 para el cual el bloque vuelca alrededor del punto A antes de que seproduzca deslizamiento.
c) Si µ2 = 0, 3 y P = 4W , determine el valor mınimo de µ1 para el cual el bloque no desliza sobre lasuperficie horizontal.
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Soluciones
Problema 1. Equilibrio:
N = mg cos (θ) (1)
FR cos (β) = P (2)
FR sin (β) = mg sin (θ) (3)
La fuerza de roce actua en contra del movimiento, por lo que el sentido en que se inicia el movimiento es elcontrario que el de la fuerza de roce (por eso se uso el angulo β como el angulo entre la fuerza de roce y ladireccion de P ).Ademas sabemos que como la fuerza P es maxima, la fuerza de roce tambien lo es:
FR = µN (4)
Como tenemos 4 ecuaciones y cuatro incognitas podemos despejar lo pedido:
P = mg√µ2 cos (θ)− sin (θ)
β = Arctan
(mg sin (θ)
P
)
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Problema 2. Partamos con el caso (a): no existe friccion entre el cable y la superficie.Equilibrio sobre la masa m:
T = mg
Equilibrio sobre la masa de 100Kg:
N = 100Kg · g cos (20o)
T = 100Kg · g sin (20o) + FR
Despejando FR:
FR = g (m− 100Kg · sin (20o))
Ademas sabemos que la fuerza de roce tiene valor maximo µN y va siempre en contra del movimiento delbloque, por lo que:
−µN ≤ FR ≤ µN
Reemplazando FR y N :
−µ100Kg · g cos (20o) ≤ g (m− 100Kg · sin (20o)) ≤ µ100Kg · g cos (20o)
100Kg · (sin (20o)− µ cos (20o)) ≤ m ≤ 100Kg · (µ cos (20o) + sin (20o))
6, 01Kg ≤ m ≤ 62, 4Kg
Caso (b): coeficiente de friccion 0, 3 entre el cable y la superficie.Equilibrio sobre la masa m:
T1 = mg
Equilibrio perpendicular al plano inclinado sobre la masa de 100Kg:
N = 100Kg · g cos (20o)
Para determinar el rango en que se puede encontrar m usaremos los casos lımites. Primero buscareos el mayorvalor que puede tomar m. En este caso el bloque m quiere bajar, por lo que la fuerza de roce entre el planoinclinado y el bloque de 100Kg actua hacia abajo y es maxima. Equilibrio tangencial al plano inclinado sobrela masa de 100Kg:
T2 = 100Kg · g sin (20o) + µN
Ademas el roce en la polea hace que la tension T1 (que llega a la masa m) sea mayor a la T2 (que llega a lamasa de 100Kg):
T1 = T2 · eβµ
donde β corresponde al angulo en que la cuerda esta en contacto con el cable, que en este caso es π2 + π
9 .Despejando m de las ecuaciones anteriores:
m = 111Kg
Ahora buscareos el menor valor que puede tomar m. En este caso el bloque m quiere subir, por lo que lafuerza de roce entre el plano inclinado y el bloque de 100Kg actua hacia arriba (en contra del movimiento)y es maxima. Equilibrio tangencial al plano inclinado sobre la masa de 100Kg:
T2 = 100Kg · g sin (20o)− µN
Ademas el roce en la polea hace que la tension T2 sea mayor a la T1:
T2 = T1 · eβµ
Despejando m:
m = 3, 38Kg
Con lo que el rango es:3, 38Kg ≤ m ≤ 111Kg
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Problema 3. .
a) Como el bloque disliza las fuerzas de roce son maximas:
P = T · eµ13π2
FR = µ2N
Donde T es la tension en el cable en el tramo SB y FR es la fuerza de roce entre el bloque y la superficiehorizontal. Ademas sabemos que para la fuerza P mınima se cumple el equilibrio en el bloque:
N = W
T = FR
Despejando:
P = µ2Weµ13π2 = 2, 6W
b) Para que el bloque vuelque necesitamos que el momento que realiza la tension con respecto al punto Asea mayor que el que realiza el peso W :
TL >23LW
T >23W
No se considero la normal en la suma de momentos porque en el caso en que el bloque vuelca la normalpasa por el punto A.Para que el bloque deslice (sin considerar vuelco) necesitamos que la tension sea mayor a la fuerza deroce:
T > FR
T > µ2W
Para que el bloque vuelque antes de que se produzca deslizamiento es necesario que la tension necesariapara provocar vuelco sea menor que la que produce deslizamiento:
µ2W >23W
µ2 >23
c) Suma de fuerzas horizonales sobre el bloque:
T = µ2W = 0, 3W
Para el valor mınimo de µ1 se cumple que el roce entre el soporte y la cuerda es maximo:
4W = Teµ13π2
4 = 0, 3Teµ13π2
ln(
40, 3
)= µ1
3π2
µ1 =2
3πln(
40, 3
)= 0, 55
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