Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de Matematica

Ayudantıa 10 Mate 41 de junio, 2015

Profesor: Pablo Gonzalez Lever / Ayudante: Vıctor Valdebenito Silva

1. Sea Γ la curva sobre el plano Y Z definida por z = y2, y ∈ [1,√

2]. Sea Σ la superficie derevolucion engendrada cuando Γ gira alrededor del eje y. Sobre Σ hay definida una distribucionsuperficial de masa de forma que la densidad en cada punto P de la superficie es proporcionala la distancia del origen al plano tangente a Σ en el punto P . Calcular la masa de Σ.

R: 2Kπ5

(4√

2− 1)

2. En R3 se considera la superficie conica Σ formada por los segmentos de recta que pasan porel punto P = (0, 0, 1) y se apoyan en la curva de ecuaciones (x− 1)2 + y2 = 1, z = 0. Calcularla integral ∫

Σ

√x2 + (z − 1)2dσ

R: 5π3

3. Se considera el solido Ω interior al cilindro (x−a)2 +y2 = a2, (a > 0) limitado por la superficieconica z2 = x2 + y2, z ≥ 0, y el plano XOY . Hallar el area de la superficie lateral.

R: 8a2

4. Demuestre el teorema de Pappus-Guldin para superficies: “El area de una superficie S derevolucion generada por una curva plana al rotar alrededor de un eje perteneciente al plano dela curva (la curva se halla en uno de los dos semiplanos que parte el eje) es igual al productode la longitud de la curva por la longitud de la circunferencia descrita por el centro de gravedadde la curva al rotar alrededor del eje”.

5. Calcular ∫∫S

(x2 + y2

)zdS

donde S es la porcion de la esfera ρ = 1 que esta dentro del cono φ = π/3.

R: 9π32

6. Calcular el area del paraboloide hiperbolico z = x2 − y2, que se encuentra entre los cilindrosx2 + y2 = 1 y x2 + y2 = 4.

R: π6

(17√

17− 5√

5)

7. Considerar la esfera x2 + y2 + z2 = a2 y el cilindro x2 + y2 = ay, a > 0, z ≥ 0. Calcular el areade la esfera dentro del cilindro y el area del cilindro dentro de la esfera.

MAT024 1

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de Matematica

8. Calcular ∫∫S

zdS,

donde S es la superficie definida por las condiciones 2x = y2 − z2, y2 + z2 ≤ 4.

R: 0

9. Calcular la integral ∫∫S

xdS

siendo S el triangulo de vertices (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1).

R:√36

10. Hallar el centro de gravedad del area sobre la superficie de la esfera x2 +y2 +z2 = 4R2, dentrodel cilindro x2 + y2 = 2Rx,R > 0 en el primer octante.

R:(

4R3(π−2)

,(3π−8)R3(π−2)

, πR2(π−2)

)

11. Se le llama Cuerno de Gabriel o Trompeta de Torricelli a la superficie que se genera al rotarcon respecto al eje OY la funcion f(x) = 1

x, x ∈ [1,∞).

a) Calcular el volumen encerrado por la superficie.

b) Parametrizar la superficie engendrada y calcular su area.

c) ¿Por que se dice que este caso presenta una paradoja?

12. A una esfera maciza de radio unidad se le hace una perforacion cilındrica siguiendo un ejediametral de la esfera. Suponiendo que el cilindro es circular de radio a, con 0 < a < 1 y queel eje que se usa para perforar la esfera es z, el solido resultante queda definido por:

V = (x, y, z) ∈ R3 : a2 ≤ x2 + y2 ≤ 1− z2

Calcular el area total de la superficie exterior de V (incluyendo la parte cilındrica) ¿Paraque valor de a se hace maxima el area calculada? ¿Cual es el valor del area maxima de V ?

R: A = 4π(1 + a)√

1− a2, a = 1/2

MAT024 2