Pontificia Universidad Católica de ChileFacultad de MatemáticasDepartamento de Estadística

Análisis MultivariadoAyudantía 8

1. Considere las regresiones lineales yij = αj + βjxi + εij con j = 1, 2, i = 1, . . . , n donde E(εij) = 0, V ar(εij) =σij = σj

2 y Cov(εi′1, εi′2) = σ12δii′ . Asuma que∑n

i=1 xi = 0 y 1n

∑ni=1 xi

2 = 1.

(a) Plantee una versión multivariada de este modelo, especificando los supuestos considerados.(b) Demuestre que la estimación multivariada de βj = (αj , βj)t, j = 1, 2, coincide con las estimaciones de las

regresiones univariadas.(c) Considerando los estimadores obtenidos como β̂j = (αj , βj)t para j = 1, 2. Calcule las matrices de varianzas

covarianzas V (βj), j = 1, 2 y la matriz de covarianzas C(β̂1, β̂2). Interprete estos resultados e indique larelación con la matriz de varianzas-covarianzas del vector:

vec(B) =(β̂1β̂2

)¿Qué ocurre si σ12 = 0? Comente.

(d) Proponga un estimador para Σ = (σij) y discuta sus propiedades.

2. Considere el modelo Y = XB + ε con ε ∼ Np(0,Σ⊗I). Demuestre que B̂ ∼ Np(B,Σ

⊗(XtX)−1).

3. Se desea modelar las ganancias de dos bancos (B1 y B2) dado el tiempo de trabajo T . Los datos entregados sonlos siguientes:

T 0 1 2 3 4B1 1 4 3 8 9B2 -1 -1 2 3 2

(a) Determine Y , X, β y ε con los supuestos correspondientes.(b) Determine los estimadores necesarios.(c) Realice un análisis de residuos, determinando su distribución y los estimadores de los parámetros.

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