Universidad T´ ecnica Federico Santa Mar´ ıa Departamento de Matem´ aticas MAT-024 2 do Semestre 2014 Matem´ aticas IV : Ayudant´ ıa N ◦ 8 Por: KaroL Espinoza P. Profesor: Pablo Gonz´alez F. 1 ) Sea F =(xy, y 2 + e xz , sin(xy)). Considere el s´ olido limitado por: z =1 - x 2 ,y + z =2,z =0e y =0 Calcule el flujo: x S - → F - → ds 2 ) Sea la superficie de ecuaci´ on x 2 + y 2 - (z - 6) 2 = 0 con 3 ≤ Z ≤ 6. Calcule el flujo de F en la superficie indicada: F = x(3 - z ) ˆ i + y(3 - z ) ˆ j + (3 - z ) 2 ˆ k 3 ) Sea F = yx 2 ˆ i - xz ˆ j +3y ˆ k. Considere la superficie Ψ determinada por 2x = z 2 + y 2 y0 ≤ Z ≤ 2. Eval´ ue: x Ψ ∇xF - → ds 4 ) Calcular z Γ - → F - → dr del campo F = (arc tg(x 2 ), 3x, e 3z tan(z )) donde Γ es la curva intersecci´ on entre x 2 + y 2 + z 2 = 4, x 2 + y 2 =1y Z ≥ 0. 5 ) Considere el campo vectorial F =(y,z,x) y Σ la porci´ on del toro comprendida por u ∈ [0, 2π]y v ∈ [0, 3π/2]: φ(u, v) = ((2 - cos(u)) cos(v), (2 - cos(u)) sin(v), sin(u)) Calcular: x Σ - → F - → ds con normal apuntando hacia el exterior de Σ . 6 ) Considere Ω ⊆< 3 una regi´ on acotada tal que 0 / ∈ Ω. Demuestre que: x s (x, y, z ) || - → r || - → ds = ( 4π si 0 / ∈ Ω 0 si 0 ∈ Ω 7 ) Calcule el flujo de F =(e z sin(y)+ xy 2 z,e z cos(z )+ yx 2 z,e y x 2 ) en el manto del cilindro: KEP 1 L A T E X
