Bacen Econometria - aula 8.pdf

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CURSO ON-LINE – ECONOMETRIA PARA ANALISTA DO BACENPROFESSORES: ALEXANDRE DE LIMA E ANDRÉ CUNHA

PONTO DOS CONCURSOS

Econometria BACEN

Aula 8

Alexandre Barbosa de Lima e André Cunha

15/01/2010

Este documento aborda os seguintes tópicos: Estimação de intervalos deconfiança e testes de hipóteses.




2

Alexandre/André www.pontodosconcursos.com.br BACEN 2k9

Conteúdo

1. Introdução ........................................................................................................ 3

2. Intervalos de confiança (IC) ...................................................................... 3

3. Teste de Hipótese .......................................................................................... 5

3.1. Teste de Hipótese para apenas um coeficiente ......................... 5

3.1.1. Componentes do Teste de Hipóteses ............................................. 5

3.1.1.1. A hipótese nula H0 ..................................................................... 5

3.1.1.2. A hipótese alternativa H1 ............................................................. 6

3.1.1.3. Estatística de Teste tn-k ............................................................... 6

3.1.1.4. A Região de Rejeição .................................................................. 6

3.1.2. Tipos de erro ............................................................................................ 7

3.1.3. Valor-p ....................................................................................................... 7

3.1.4. Testes unilaterais (unicaudais)......................................................... 7

3.2. Teste de Hipótese para mais de um coeficiente: caso geral 8

3.2.1. A Região de Rejeição ............................................................................ 9

3.2.2. Considerações relevantes ................................................................. 10

3.3. Teste de Hipótese para mais de um coeficiente: caso par-

ticular ................................................................................................................. 104. Exercícios de Fixação.................................................................................. 11

5. Gabarito ........................................................................................................... 14

6. Resolução dos Exercícios de Fixação ................................................... 15




3


1. Introdução

Nesta aula estudaremos a inferência estatística no modelo deRegressão Linear Múltipla (RLM) introduzido na Aula 7.

2. Intervalos de confiança (IC)

Lembrando que nosso modelo de RLM pode ser descrito pelaseguinte equação:

ikik iii x x x y ε β β β β +++++= ...33221 , (1)

com k – 1 variáveis independentes, uma variável independentee k coeficientes (parâmetros) βi a serem estimados.

A estimação de IC para os βi no modelo de RLM é feitapraticamente do mesmo modo utilizado no modelo de RLS, a únicaparte que muda é em relação aos graus de liberdade (gl).

Se os pressupostos do modelo se verificam, inclusive o danormalidade dos erros, então tem-se que

is

t ii

k n β

β β

ˆ

ˆ −=

− segue distribuição t com (n – k) graus de liberdade,

onde

i

s β ˆ é a raiz quadrada da variância amostral do estimador i β ̂ de i β ,

fornecida pela matriz de variância-covariância

⎥⎥⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=−

)ˆvar(...)ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov(

...............

)ˆ,ˆcov(...)ˆvar()ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov(

)ˆ,ˆcov(...)ˆ,ˆcov()ˆvar()ˆ,ˆcov(

)ˆ,ˆcov(...)ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov()ˆvar(

)(

321

333231

232221

131211

12

k k k k

k

k

k

t X X

β β β β β β β




σ (2)

O número de graus de liberdade, n – k, é igual ao número deobservações menos o número de parâmetros do modelo.




4


2/α 2/α α −1

)(nt

0ct

Densidade t-Student

ct

− t

Da tabela I encontramos valores críticos t c tais que

α −=≤≤− 1}Pr{ cc t t t (3)

Segue que α β β

β

−=≤−

≤− 1}ˆ

Pr{

ˆ

c

ii

c t s

t

i

, e rearranjando a inequação

anterior

α β β β β β

−=+≤≤− 1}ˆˆPr{ ˆˆii

st st ciici (4)

Podemos ver na Figura 1 acima que α −1 é a área da figuraentre os valores críticos - t c e t c e 2α é a área em cada uma dascaudas.

ist ci β β ˆ

ˆ

± é chamado estimador do intervalo de confiança (IC)

de α −1 ou %100)1( ⋅−α de βi. Quando atribuímos valores ai

st ci β β ˆˆ ±

chegamos a uma estimativa do IC de βi que tem probabilidade α −1

de conter o valor desconhecido de βi.

O procedimento para estimação de IC dos parâmetros domodelo de RLM seria idêntico ao já visto para o modelo de RLS, nãofossem dois pontos:

• Os valores críticos t c que procurarmos na Tabela t-

Student (Tabela I) terão gl = n – k, e não n – 2;

Figura 1




5


• Os desvios padrão serão fornecidos pelo exercício, o que émenos garantido no caso k = 2.

Passemos agora aos testes de hipóteses, onde temos maisnovidades em relação ao modelo de RLS.

3. Teste de Hipótese

No modelo de RLM, estimamos o vetor β com os k parâmetrosβ1, β2, ... , βk.

Para a prova precisamos saber 2 tipos de teste de hipótese. Oprimeiro testa um único coeficiente isoladamente, ao passo que osegundo testa mais de um.

3.1. Teste de Hipótese para apenas um coeficiente

No item 4 da Aula 5 vimos teste de hipóteses no modelo deRLS. O teste de hipótese para um único coeficiente no modelo deRLM é essencialmente igual. A única mudança é em relação aos grausde liberdade. Por esse motivo, neste subitem 3.1 não se decepcionecom o “ctrl + c, ctrl + v” com adaptações que faremos agora. Não há

vantagem alguma em ser diferente.

3.1.1. Componentes do Teste de Hipóteses

a) A hipótese nula H0

b) A hipótese alternativa H1

c) A estatística de teste t c

d) A região de rejeição

3.1.1.1. A hipótese nula H0

A hipótese nula é geralmente o oposto do que queremosprovar. Por exemplo, no modelo de RLM

ikik iii x x x y ε β β β β +++++= ...33221 , ao calcularmos i β ̂ , i = 1,...,k,estamos supondo que existe uma relação entre as variáveis Xi e Y.Assim, uma hipótese nula muito comum é H0: i

β =0.




6


3.1.1.2. A hipótese alternativa H1

A hipótese alternativa contradiz a hipótese nula. Por exemplo,quando a hipótese nula é H0:

i

β =0 a hipótese alternativa pode serH1: i

β ≠0 ou H1: i β <0 ou ainda H1: i

β >0. Relembramos que apreocupação de definir as hipóteses é do examinador, nós só teremosde testá-las. E para isso precisaremos de uma estatística de teste.

3.1.1.3. Estatística de Teste t n-k

Vimos no item 2 quei

st ii

k n

β

β β

ˆ

ˆ −=− segue distribuição t com (n

– k) graus de liberdade.

Se a hipótese nula H0: i β = c for verdadeira, então

i

s

ct i

k n

β

β

ˆ

ˆ −=−

também possui distribuição t com (n - k) graus de liberdade. Estaserá a estatística usada no teste. Assim como no modelo de RLS(onde k = 2), na maioria dos exercícios, a hipótese nula é H0: i

β = 0

ei

st

i

k n β

β

ˆ

ˆ=

− , embora isso nem sempre ocorra.

3.1.1.4. A Região de Rejeição

Se a estatísticai

s

ct i

k n

β

β

ˆ

ˆ −=− for muito grande em módulo,

rejeitamos H0. A lógica está no fato de, se i β ̂ ficar muito distante dec, provavelmente H0 está errada.

Mais uma vez: o quão grande tem de ser a estatística acimapara rejeitarmos H0 em favor de H1: i

β ≠ 0? A resposta a essapergunta é a escolha de um nível de significância α . A região derejeição é composta por valores t tais que Pr{t ≥ tc} = Pr{t ≤ -tc} =

2α .




7


2/α

)(nt

ct

ct −

t

2/α

3.1.2. Tipos de erro

Erro tipo I: Ocorre quando rejeitamos a hipótese nula,indevidamente. Neste caso, H0 é verdadeira e

α β

β

−=≤−

≤− 1}ˆ

Pr{ˆ

c

i

i

c t s

ct , pois

i

i

s

c

β

β

ˆ

ˆ − segue a distribuição tn-k.

Assim, a probabilidade de cometer um erro tipo I é α .

Erro tipo II: Ocorre quando não rejeitamos a hipótese nula,indevidamente. Neste caso, H0 é falsa. Entretanto, essaprobabilidade não pode ser calculada, pois não sabemos overdadeiro valor do parâmetro. Mas podemos dizer que aprobabilidade de um erro nível II aumenta à medida quediminui a probabilidade de um erro nível I, quando se escolheum menor nível de significância α .

3.1.3. Valor-p

Para o valor-p não há mudança alguma em relação ao item 4.4da Aula 5.

3.1.4. Testes unilaterais (unicaudais)

Figura 2




8


Ocorre quando a hipótese alternativa é do tipo Hc: i β >c ou Hc:

i β <c.

Em um teste bilateral, a região de rejeição é composta por

valores t tais que Pr{t ≥ tc} = Pr{t ≤ -tc} = 2α

, conforme Figura 2Em um teste unilateral, a região de rejeição é composta por

valores t tais que Pr{t ≥ tc} = α . Ver Figura 3

O valor-p do teste unicaudal é a metade do valor-p do testebicaudal.

α

)(nt

ct

Não rejeitarH0: βi=c

t

Rejeitar H0: βi=c

3.2. Teste de Hipótese para mais de um coeficiente: casogeral

Seja o modelo dado em (1):ikik iii

x x x y ε β β β β +++++= ...33221

Agora vamos testar a hipótese de m variáveis (m < k) serem

irrelevantes para explicar a variação de y. Mais especificamente,queremos testar a hipótese H0: βa1= βa2= ... = βam=0, {a1,...,am}contido em {1,...k}.

O modelo resultante chamaremos de restrito, em oposição aomodelo original, irrestrito.

A estatística para se testar esta hipótese é a F, cuja tabela devalores críticos Fc, por ser muito extensa (uma tabela por nível de

Figura 3




9


significância), omitiremos1. Na prova será dado o Fc ou uma tabelacom o nível de significância requerido pelo exercício.

F é dada por)/(

/)(

k nSQE

mSQE SQE F

U

U R

−

−= (5), onde

• RSQE é a soma dos quadrados do modelo restrito,supondo verdadeira a hipótese nula;

• U SQE é a soma dos quadrados do modelo original ouirrestrito (O índice “u” vem do inglês unrestricted );

• m é o número de parâmetros que supomos nulos;

• n é o número de observações;

• k o número de parâmetros do modelo original.

Vimos na Aula 7 que, ao se acrescentar uma variávelexplanatória ao modelo, SQE diminui ou permanece igual, o quegarante que 0≥− U R

SQE SQE .

Se a hipótese nula H0 for verdadeira, então)/(

/)(

k nSQE

mSQE SQE F

U

U R

−

−=

possui distribuição F(m,n-k) com m graus de liberdade no numeradore (n - k) graus de liberdade no denominador.

3.2.1. A Região de Rejeição

Se a estatística)/(

/)(

k nSQE

mSQE SQE F

U

U R

−

−= for muito grande em

módulo, rejeitamos H0. A lógica está no fato de, se RSQE for muitomaior que U SQE , provavelmente H0 está errada.

Para mensurar esse “muito maior” escolhemos um nível de

significância α , que é a probabilidade de um valor de umadistribuição F com m graus de liberdade no numerador e (n - k) grausde liberdade no denominador estar à direita do valor crítico Fc. Nafigura 4, α = 5%

1 Sugerimos ao aluno consultar as tabelas F no site http://www.dim.fm.usp.br/info/tabelaF/index.php,

ativo em 14/01/2010.




10


F

u n ç ã o

d e n s i d a d e

F F c

0,05

3.2.2. Considerações relevantes

C1 – O valor-p para o teste F é definido de forma idêntica àdefinida para o teste t.

C2 – Ao testar uma hipótese do tipo H0: i β =c contra Ha: ci ≠ β

podemos usar tanto um teste t quanto um F, pois os dois sãoequivalentes. Se a hipótese alternativa for i β > c ou i β < c,devemos usar somente o teste t unicaudal.

C3 – Fazer um teste F para m parâmetros não é equivalente a

aplicar m testes t separadamente, pois o teste F leva emconsideração a correlação existente entre os estimadores demínimos quadrados.

3.3. Teste de Hipótese para mais de um coeficiente: casoparticular

Vimos no item anterior o teste F para testar a hipótese conjuntade m coeficientes serem nulos.

Um caso particular interessante, chamado de teste designificância do modelo de RLM, consiste em testar a hipótese detodos os coeficientes serem nulos (exceção ao intercepto); emoutras palavras, serem irrelevantes para explicar a variação de y.

Queremos então testar a hipótese conjunta β2= β3= ... = βk=0.

Temos então:

Modelo irrestrito: ikik iii x x x y ε β β β β +++++= ...33221

Modelo restrito:ii

y ε β +=1

Figura 4




11


Na fórmula ,)/(

/)(

k nSQE

mSQE SQE F

U

U R

−

−=

SQT y y ySQE i

i

i

i R =−=−= ∑∑ 22

1 )()ˆ( β

SQE SQE U = (do modelo irrestrito)

m = k-1

Finalmente,)/(

)1/()(

)/(

)1/()(

k nSQE

k SQR

k nSQE

k SQE SQT F

−

−=

−

−−= (6)

Prova-se facilmente que

)/()1(

)1/(

)/(

)1/()(

)/(

)1/()(2

2

k n R

k R

k nSQE

k SQR

k nSQE

k SQE SQT F

−−

−=

−

−=

−

−−= (7)

Como este caso é particular do teste visto no item 3.2, asconsiderações, as observações e a região de rejeição permanecemválidos.

4. Exercícios de Fixação

As questões 1 e 2 baseiam-se no enunciado seguinte:

Um investigador está interessado em estudar a função consumode um determinado setor da economia. Com base em seuconhecimento de Teoria Econômica postula que o consumo (C) deinteresse deve variar com a renda real percapita do país (R) e comum relativo de preços (P) do setor. Neste contexto observa uma sériede 17 observações nessas variáveis ao longo do tempo, obtendo umaseqüência de realizações Ct, Rt e Pt que satisfazem o modelo log-linear log (Ct )= α + β log (Rt)+ δ log(Pt)+vt. Nesta expressão o log é

tomado na base neperiana, α, β e δ são parâmetros desconhecidos eos vt são erros não correlacionados, normalmente distribuídos com

média zero e variância constante ơ2 > 0. Alguns resultados do ajustedesse modelo pelo método de mínimos quadrados são apresentados aseguir:

Tabela de Análise da Variância

Fonte Soma de Quadrados

Regressão (Modelo) 0,500




12


Total 0,640

Parâmetro Estimativa Desvio-padrão

α 3,16 0,75β 1,14 0,16

δ -0,83 0,04

1. (Analista BACEN – 2001/ESAF) Assinale a opção que dá aestimativa da variação esperada em log (C) decorrente do decréscimode duas unidades no log (P) e do aumento de uma unidade nolog (R).

A) 1,97B) 2,8

C) 2,0

D) 1,0

E) 3,0

2. (Analista BACEN – 2001/ESAF) Assinale a opção que dá o valorda estatística necessária para o teste da hipótese β = δ = 0.

A) 2,0

B) 1,0

C) 2,5

D) 25

E) 5,0

Com base nas informações abaixo, julgue as questões de 3 a 7.

Foram encontrados os seguintes resultados para estimar umaregressão linear com duas variáveis explicativas para uma amostrade tamanho 10.

Variáveispreditoras

Coeficiente Desviopadrão

Estatística“t” p-valor

Constante 223,3 254,8 0,88 0,410

X1 -1,26 0,8263 -1,52 0,172

X2 -1,03 3,213 -0,32 0,752




13


R2 = 81,2%; R2 ajustado = 76,1%; Valor calculado daestatística F=15,1

3. (ANPEC - 1999) A equação de regressão estimada é

21 .03,1.26,13,223ˆ X X Y −−= .

4. (ANPEC – 1999 - Adaptado) A um nível de significância de 5%podemos afirmar que a regressão existe. Porém, após elaborarmos ostestes de hipóteses para os coeficientes individuais, aceitamos ahipótese (a um nível de significância de 1%) de que o coeficientepara a variável X2 é zero. Dado: F(2,7) = 4,74, para o nível de

significância de 5%.

5. (ANPEC - 1999) O coeficiente de determinação indica que 81,2%da variação amostral de Y podem ser atribuídos as variações de X1 eX2.

6. (ANPEC - 1999) O valor estimado para Y quando X1 = 15 e X2 =80 é 220.

7. (ANPEC - 1999) Os valores teóricos das estatísticas “t” utilizadaspara testar os coeficientes das variáveis explicativas devem sercalculados para 7 graus de liberdade.

Com base nas informações abaixo, julgue as questões 8 e 9.

É correto afirmar a respeito do modelo de regressão linear

clássico multivariado: ε γ +=

X Y , com n observações e k > 2 variáveisexplicativas, incluindo-se o intercepto:

8. (ANPEC - 2002) Para testar a hipótese conjunta de que

0...32 ==== k γ γ γ , pode-se utilizar o teste)])(1[(

)1(2

2

)(),1(;k n R

k RF k nk

−−

−=−−α ,

em que R2 é o coeficiente de determinação do modelo.




14


9. (ANPEC - 2002) Sempre que o modelo tiver pelo menos duasvariáveis explicativas além do intercepto, o R2 será maior ou igual aoR2 ajustado.

Com base no enunciado a seguir, julgue as questões de 10 a 14.

O método dos mínimos quadrados ordinários foi empregadopara estimar o modelo de regressão abaixo, cujo objetivo é explicaras variações de renda entre 526 indivíduos:

,526,441,0

,00058,0029,0080,0297,0417,0)log(

2

2

)00010,0()005,0()007,0()036,0()099,0(

==

+−++−=

n R

uexper exper educsexorenda

em que sexo é uma variável dicotômica (valor 1, se for homem e 0,caso contrário), educ é o número de anos de escolaridade, exper éexperiência profissional, também medida em anos. Os números entre

parênteses são os erros-padrão das estimativas)4.,,.,..1,0( =is

ib . Com

base nos resultados acima, é correto afirmar:

10. (ANPEC - 2003) A regressão não é estatisticamentesignificante, pois o coeficiente de determinação é menor do que 0,5.

11. (ANPEC - 2003) A diferença de renda entre homens e mulheresnão é estatisticamente significante.

12. (ANPEC - 2003) Um ano a mais de escolaridade, mantidosconstantes todos os demais fatores, aumenta em 0,08% a renda deum indivíduo do sexo feminino.

13. (ANPEC - 2003) A significância conjunta das variáveis educ eexper não pode ser medida por meio da estatística t . Para isto, oteste F deve ser utilizado.

14. (ANPEC - 2003) O modelo é incapaz de captar diferenças nosretornos da educação entre homens e mulheres.

5. Gabarito




15


1 – B

2 – D

3 – CERTO

4 – CERTO

5 - CERTO

6 – ERRADO

7 – CERTO

8 – ERRADO

9 – CERTO

10 – ERRADO11 – ERRADO

12 – ERRADO

13 – CERTO

14 – CERTO

6. Resolução dos Exercícios de Fixação

As questões 1 e 2 baseiam-se no enunciado seguinte:

Um investigador está interessado em estudar a função consumode um determinado setor da economia. Com base em seuconhecimento de Teoria Econômica postula que o consumo (C) deinteresse deve variar com a renda real percapita do país (R) e comum relativo de preços (P) do setor. Neste contexto observa uma sériede 17 observações nessas variáveis ao longo do tempo, obtendo uma

seqüência de realizações Ct, Rt e Pt que satisfazem o modelo log-linear log (Ct )= α + β log (Rt)+ δ log(Pt)+vt. Nesta expressão o log é

tomado na base neperiana, α, β e δ são parâmetros desconhecidos eos vt são erros não correlacionados, normalmente distribuídos com

média zero e variância constante ơ2 > 0. Alguns resultados do ajustedesse modelo pelo método de mínimos quadrados são apresentados aseguir:

Tabela de Análise da Variância

Fonte Soma de Quadrados




16


Regressão (Modelo) 0,500

Total 0,640

Parâmetro Estimativa Desvio-padrãoα 3,16 0,75

β 1,14 0,16

δ -0,83 0,04

1. (Analista BACEN – 2001/ESAF) Assinale a opção que dá aestimativa da variação esperada em log (C) decorrente do decréscimode duas unidades no log (P) e do aumento de uma unidade no

log (R).A) 1,97

B) 2,8

C) 2,0

D) 1,0

E) 3,0

Resolução

log (Ct )= α + β log (Rt)+ δ log(Pt)+vt

Variação esperada em log (C) decorrente do decréscimo de duasunidades no log (P) = -2 δ

Variação esperada em log (C) decorrente do aumento de umaunidade no log (R) = β

Assim, a variação que procuramos é β-2 δ = 1,14 – 2(-0,83) = 2,80

GABARITO: B

2. (Analista BACEN – 2001/ESAF) Assinale a opção que dá o valorda estatística necessária para o teste da hipótese β = δ = 0.

a) 2,0

b) 1,0

c) 2,5

d) 25




17


e) 5,0

Resolução

Vamos testar a significância do modelo apresentado.

Da tabela dada, temos:

k = 3

n = 17

SQR = 0,500

SQT = 0,640SQE = SQT – SQR = 0,640 – 0,500 = 0,140

2501,0

25,0

14/140,0

2/500,0

)317/(140,0

)13/(500,0

)/(

)1/()(===

−

−=

−

−=

k nSQE

k SQRF

GABARITO: D

Com base nas informações abaixo, julgue as questões de 3 a 7.

Foram encontrados os seguintes resultados para estimar umaregressão linear com duas variáveis explicativas para uma amostrade tamanho 10.

Variáveispreditoras

Coeficiente Desviopadrão

Estatística“t” p-valor

Constante 223,3 254,8 0,88 0,410

X1 -1,26 0,8263 -1,52 0,172

X2 -1,03 3,213 -0,32 0,752

R2 = 81,2%; R2 ajustado = 76,1%; Valor calculado daestatística F=15,1

3. (ANPEC - 1999) A equação de regressão estimada é

21.03,1.26,13,223ˆ X X Y −−= .




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Resolução

De (1): ikik iii x x x y ε β β β β +++++= ...33221

Aplicando os valores esperados

kik iii x x x y β β β β ˆ...ˆˆˆˆ 33221 ++++=

No exercício foi utilizada notação ligeiramente diferente danossa, a saber, X1 e X2 no lugar de x2 e x3, mas a afirmação estácorreta.

Cuidado! Poderia ser feita a afirmativa “A equação de regressãoestimada é i X X Y ε +−−= 21 .03,1.26,13,223ˆ .”, que estaria errada, pois nãosabemos o valor do termo de erro, somente que sua média é zero.

GABARITO: CERTO

4. (ANPEC – 1999 - Adaptado) A um nível de significância de 5%podemos afirmar que a regressão existe. Porém, após elaborarmos ostestes de hipóteses para os coeficientes individuais, aceitamos ahipótese (a um nível de significância de 1%) de que o coeficientepara a variável X2 é zero. Dado: F(2,7) = 4,74, para o nível designificância de 5%.

Resolução

Entendemos que a regressão existe se o modelo forsignificativo. Logo, nossa hipótese H0: β2= β3=0 contra Ha: β2 ou β3 diferentes de zero.

A estatística de teste é dada pela equação (6) ou (7), sendoessa última a mais indicada por ter sido dado o R2.

Bastaria fazer )/()1(

)1/(2

2

k n R

k R

F −−

−

= , R2

=0,812, k = 3 e n = 10, eacharíamos F = 15,1. Entretanto, o enunciado nos facilitoufornecendo este valor.

Como 15,1 > 4,74 = F(2,7), rejeitamos H0 a um nível designificância de 5%. Ou seja, a regressão existe. Frisamos que F(a,b)é notação que usamos para a variável F com a graus de liberdade nonumerador e b graus de liberdade no denominador.

Assim, a primeira parte da afirmação está correta.

Agora lembremos da regra prática da Aula 5:Se p ≤ α , rejeitamos H0




19


Se p > α , não rejeitamos H0

Assim, o valor-p dado de 0,752 é maior que o nível designificância de 0,01. Portanto, não rejeitamos H0 e a segunda parteda afirmação também está correta.

Nota: Na tabela dada, não foi dito explicitamente que o valor daestatística t é para testar hipóteses de nulidade de coeficientes.Poderíamos ter H0: β = 1 ou H0: β = -1, por exemplo. Entretanto, oproblema nos dá uma indicação de que H0: β = 0 foi considerada parao cálculo da estatística t constante da tabela, pelo próprio enunciadoda questão 5. Ademais, poderíamos calcular t partindo de H0: β = 0.

Estatística teste para a variável X2 é dada por .ˆ

ˆi

s

ct i

k n

β

β −=−

H0: β = 0 para X2, ou c = 0.

Assim, .32,0213,3

003,1310 −=

−−=−t

GABARITO: CERTO

5. (ANPEC - 1999) O coeficiente de determinação indica que 81,2%

da variação amostral de Y podem ser atribuídos as variações de X1 eX2.

Resolução

R2 representa o percentual da variação de Y explicada portodas as variáveis explanatórias em conjunto.

GABARITO: CERTO

6. (ANPEC - 1999) O valor estimado para Y quando X1 = 15 e X2 =80 é 220.

Resolução

2201228003,11526,13,223.03,1.26,13,223ˆ21 ≠=×−×−=−−= X X Y

GABARITO: ERRADO




20


7. (ANPEC - 1999) Os valores teóricos das estatísticas “t” utilizadaspara testar os coeficientes das variáveis explicativas devem sercalculados para 7 graus de liberdade.

Resolução

Os graus de liberdade das estatísticas “t” em questão sãocalculados como o número de observações menos o número deparâmetros, n – k. Para 10 observações e 3 parâmetros, gl = 7.

GABARITO: CERTO

Com base nas informações abaixo, julgue as questões 8 e 9.

É correto afirmar a respeito do modelo de regressão linearclássico multivariado: ε γ += X Y , com n observações e k > 2 variáveisexplicativas, incluindo-se o intercepto:

8. (ANPEC - 2002) Para testar a hipótese conjunta de que

0...32 ==== k γ γ γ , pode-se utilizar o teste )])(1[(

)1(2

2

)(),1(;k n R

k RF k nk

−−

−=−−α ,

em que R2 é o coeficiente de determinação do modelo.

Resolução

O enunciado usa notação matricial , em que

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

k γ

γ

γ

γ

...

2

1

é a matriz

dos k parâmetros do modelo de RLM.

Da equação (7) temos:

)1)(1(

)(

)/()1(

)1/(2

2

2

2

−−

−=

−−

−=

k R

k n R

k n R

k RF

GABARITO: ERRADO




21


9. (ANPEC - 2002) Sempre que o modelo tiver pelo menos duasvariáveis explicativas além do intercepto, o R2 será maior ou igual aoR2 ajustado.

Resolução

É o que diz a Nota 2 do item 7 da Aula 7.

Como)(

)1(1

)1/(

)/(12

k n

n

SQT

SQE

nSQT

k nSQE R

−

−⋅−=

−

−−= e

SQT

SQE R −=1

2 , segue que, quando o modelo tiver pelo menos duas

variáveis explicativas além do intercepto (k > 2), .22 R R >

GABARITO: CERTO

Com base no enunciado a seguir, julgue as questões de 10 a 14.

O método dos mínimos quadrados ordinários foi empregadopara estimar o modelo de regressão abaixo, cujo objetivo é explicar

as variações de renda entre 526 indivíduos:

,526,441,0

,00058,0029,0080,0297,0417,0)log(

2

2

)00010,0()005,0()007,0()036,0()099,0(

==

+−++−=

n R

uexper exper educsexorenda

em que sexo é uma variável dicotômica (valor 1, se for homem e 0,caso contrário), educ é o número de anos de escolaridade, exper éexperiência profissional, também medida em anos. Os números entre

parênteses são os erros-padrão das estimativas)4.,,.,..1,0( =is

ib . Com

base nos resultados acima, é correto afirmar:

10. (ANPEC - 2003) A regressão não é estatisticamentesignificante, pois o coeficiente de determinação é menor do que 0,5.

Resolução

A questão faz uma afirmação que deveria ser confirmada por

um teste de significância do modelo, e não pelo R2

.




22


GABARITO: ERRADO

11. (ANPEC - 2003) A diferença de renda entre homens e mulheresnão é estatisticamente significante.

Resolução

O enunciado nos leva a testar a hipótese H0: 2 β =0 contra Ha:

2 β ≠0, onde 2 β é o coeficiente da variável “sexo”.

Para isso calculamos a estatística t abaixo:

25,8036,0

0297,0ˆ

5526

ˆ

2

2

−=−−

=⇒−

= −− t s

ct k n

β

β

O valor da estatística t, em módulo, é muito alto, fato que podeser verificado na tabela I. Com 521 graus de liberdade, podemosverificar na última linha (gl = infinito) que, para um nível designificância de 0,1%, tc = 3,291. Como -8,25 < - 3,291, para 0,1%de nível de significância, rejeitamos H0 e concluímos que a diferençade renda entre homens e mulheres é estatisticamente significante, ea afirmação está errada.

A questão não foi muito rigorosa no seu enunciado por não citaro nível de significância. Espera-se na prova do BACEN que isto nãoocorra.

Isto posto, cabe aqui, mais que nas outras questões, um poucode bom senso. Como o domínio da variável t é o conjunto dosnúmeros reais, existe um nível de significância α gerador de um tc talque -8,25 > - tc para o qual não rejeitamos H0. Este nível designificância α é muito inferior a 0,1%. Para todos os efeitos práticos,repetimos, a diferença de renda entre homens e mulheres é

estatisticamente significante.

GABARITO: ERRADO

12. (ANPEC - 2003) Um ano a mais de escolaridade, mantidosconstantes todos os demais fatores, aumenta em 0,08% a renda deum indivíduo do sexo feminino.

Resolução




23


Da equação apresentada, só podemos concluir que log (renda)aumenta 0,08 quando acrescentamos um ano de escolaridade.

Note que esse aumento é para qualquer indivíduo, não só dosexo feminino. Entretanto o erro da questão não vem desse fato.

GABARITO: ERRADO

13. (ANPEC - 2003) A significância conjunta das variáveis educ eexper não pode ser medida por meio da estatística t . Para isto, oteste F deve ser utilizado.

Resolução

A afirmação está correta. O teste F é o indicado para análise designificância conjunta de variáveis.

GABARITO: CERTO

14. (ANPEC - 2003) O modelo é incapaz de captar diferenças nos

retornos da educação entre homens e mulheres.

Resolução

A afirmação está correta. Um modelo capaz de captardiferenças nos retornos da educação entre homens e mulherespoderia ter variáveis do tipo “educhomem” e “educmulher”.

GABARITO: CERTO




24


Tabela I – Distribuição t de Student

tn – distribuição t com n graus de liberdade. Pr{ tn ≥ x}

α

)(nt

ct

t

N 0,40 0,25 0,10 0,05 0,025 0,010 0,005 0,0005

1 0,325 1,000 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,619

2 0,289 0,816 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,598

3 0,277 0,765 1,638 2,353 3,182 4,541 5,541 12,924

4 0,271 0,741 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610

5 0,267 0,727 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869

6 0,265 0,718 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959

7 0,263 0,711 1,415 1,895 2,365 2,365 3,499 5,408

8 0,262 0,706 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041

9 0,261 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781

10 0,260 0,700 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587

11 0,260 0,697 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437

12 0,259 0,695 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318

13 0,259 0,694 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221

14 0,258 0,692 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140

15 0,258 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073

16 0,258 0,690 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015

17 0,257 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965

18 0,257 0,688 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922

19 0,257 0,688 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883




2520 0,257 0,687 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850

21 0,257 0,686 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819

22 0,256 0,686 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792

23 0,256 0,685 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,767

24 0,256 0,685 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,74525 0,256 0,684 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,726

26 0,256 0,684 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707

27 0,256 0,684 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,690

28 0,256 0,683 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674

29 0,256 0,683 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,659

30 0,256 0,683 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646

40 0,255 0,681 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551

60 0,254 0,679 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,460

120 0,254 0,677 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,373

∞ 0,253 0,674 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,291

Documents

Bacen Econometria - aula 8.pdf