BALANCE ENERGETICO EN EL SISTEMA ESTRUCTURAL

En el Arte actual sobre Diseño Sismorresistente existen diversas metodologías para abordar el estudio de las estructuras tanto desde el punto de vista del análisis como del Diseño.

Todos, unos más complicados y acertados que otros, se concentran en determinar fuerzas o desplazamientos y a partir de estos se realiza el Diseño.

Lo anterior no  nos brinda un conocimiento detallado sobre el comportamiento del fenómeno sísmico ni de la estructura.

Una nueva metodología es la basada en el Balance Energético. Aunque hace varias décadas el Dr. Bertero, Berkeley, había trabajado en el tema, recientemente el profesor Hiroshi Akiyama ha realizado varias publicaciones sobre el tópico.

La idea consiste en conocer como se desarrolla en el tiempo la entrada o “INPUT” de energía sísmica sobre la estructura.

A la vez, como la estructura absorbe y disipa energía sísmica “OUTPUT”.

Esta relación INPUT-OUTPUT se denomina intercambio energético y lo que se hace es investigar como se va distribuyendo esta energía.

ECUACIÓN DE EQUILIBRIO DE FUERZAS Y ECUACIÓN DE BALANCE DE ENERGIA

La figura 1.1(a) muestra un sistema dinámico de

masas concentradas de un grado de libertad

sometido a una componente traslacional horizontal

del movimiento del suelo. Las deformaciones

estructurales causadas por la aceleración del suelo, ,

son las mismas que produciría una fuerza dinámica

horizontal de magnitud en el sistema equivalente

con la base fija que se indica en la figura 1.1 (b). La

ecuación de equilibrio dinámico de las fuerzas que

actúan en el sistema es la siguiente:

ECUACIÓN DE EQUILIBRIO DE FUERZAS Y ECUACIÓN DE BALANCE DE ENERGIA

La figura 1.1(a) muestra un sistema dinámico de

masas concentradas de un grado de libertad

sometido a una componente traslacional horizontal

del movimiento del suelo. Las deformaciones

estructurales causadas por la aceleración del suelo, ,

son las mismas que produciría una fuerza dinámica

horizontal de magnitud en el sistema equivalente

con la base fija que se indica en la figura 1.1 (b). La

ecuación de equilibrio dinámico de las fuerzas que

actúan en el sistema es la siguiente:

Siendo: 

M : masa: fuerza de

amortiguamiento.F (y) : fuerza restauradora,

: fuerza sísmica (= -M),: movimiento horizontal

del suelo,y : desplazamiento

horizontal relativo de la masa respecto al suelo.

ECUACION DE EQUILIBRIO DINAMICO

(1.1)

Siguiendo con la modelización de la figura 1.1 (b), si multiplicamos la ecuación (1.1) por el incremento diferencial de desplazamiento relativo (o lo que es lo mismo por ), e integramos el intervalo de tiempo (0, t), se obtiene la ecuación (1.2) que representa el balance de energía del sistema en el instante t.

ECUACION DE BALANCE DE ENERGIA

(1.2)

LOS COMPONENTES DE LA ECUACIÓN (1.2) SON LOS SIGUIENTES:

(1.3)

(1.4)

(1.5)

: energía introducida en el sistema hasta el instante t, o

input de energía en el instante t;

  : energía de vibración elástica en el instante t;

  : energía de deformación plástica acumulada hasta el instante t;

  : energía disipada por el mecanismo de amortiguamiento hasta el instante t;

(1.6)

   Siendo: 

: energía de deformación elástica, 

: energía cinética,

La energía de vibración elástica, , se puede descomponer a su vez como sigue:

(1.7)

(1.4)

(1.8)

El primer término del segundo miembro de la ecuación (1.4) es precisamente la energía cinética . Dado que en el instante inicial, t = 0, la velocidad relativa vale 0 (es decir, ), se puede expresar de la siguiente manera:

Consecuentemente el segundo término del segundo miembro de la ecuación (1.4) vale:

: energía de deformación elástica: energía de deformación plástica acumulada hasta el instante t

(1.9)

Si llamamos al tiempo de duración del terremoto, las magnitudes anteriores en el

instante se pueden escribir como sigue:

Siendo:

E : input de energía total,

: energía de vibración elástica,

: energía de deformación plástica acumulada,

: energía consumida por el mecanismo de amortiguamiento,

(1.10)

Finalmente, la ecuación (1.2) en el instante en que finaliza el terremoto será: 

Las ecuaciones (1.2) y (1.10) son en sentido estricto las ecuaciones del balance energético.

(1.2)

(1.10)

Con la ecuación (1.1) se puede obtener directamente la respuesta en cada instante t, cosa que no es posible con las ecuaciones (1.2) y (1.10), pero a cambio estas últimas juegan un papel muy importante a la hora de comprender globalmente el comportamiento del sistema. Mientras la ecuación (1.1) expresa la condición de equilibrio de fuerzas en un instante determinado, las ecuaciones (1.2) y (1.10) contienen la información integrada o acumulada de la vibración. La aplicabilidad de la ecuación (1.10) está además reforzada por la estabilidad del input de energía total E.

(1.10)(1.1)

(1.2)

La figura (a) corresponde a un sistema elástico sin amortiguamiento, en el cual todo el input de energía se convierte en energía de vibración elástica. Aunque el input de energía E nunca es negativo, tampoco es necesariamente una función monótona creciente. A partir del instante en que cesa el movimiento del suelo el input de energía E (t) se mantiene constante y el sistema seguirá vibrando de forma indefinida.

En la figura (b) muestra el caso de un sistema elástico con amortiguamiento. La energía disipada por el mecanismo de amortiguamiento, , es una función monótona creciente y consecuentemente cuando mayor sea el amortiguamiento más se acercara E (t) a una función también monótona creciente. El desplazamiento relativo y alcanza su valor máximo dentro del intervalo () y se amortigua rápidamente tendiendo a 0 cuando t < .

La figura (c) se refiere a un sistema elastoplastico en el cual la energía de deformación plástica acumulada,, al igual que , es también una función monótona creciente. Para un mismo valor del coeficiente de amortiguamiento C, la energía disipada por el mecanismo de amortiguamiento es menor en un sistema elastoplastico que en un sistema elástico.