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TRANSFERENCIA DE MASA UNIDIRECCIONAL, EN ESTADO ESTABLE, CON
REACCIÓN QUÍMICA HETEROGÉNEA EN EL INTERIOR DE UN CATALIZADOR
ESFÉRICO POROSO
Considérese el sistema de reacción química mostrado en la figura,
en el cual el componente gaseoso A se difunde hacia el interior de una partícula esférica de un
catalizador sólido poroso, y reacciona en su interior de modo irreversible, de acuerdo a la expresión:
→
Con una cinética de primer orden
[ ]
Donde:
= constante [=] h
-1
= es la constante cinética de la velocidad de reacción, m/h.
a = el área superficial catalítica disponible por unidad de volumen de partícula sólida
(sólidos + huecos) , m2/m
3 de catalizador y
R
La concentración en la
superficie es CAs
Dentro del catalizador
A → Bk1’’
Corriente gaseosa con
concentraciones: CAs y CBs
Poros
Sólido
Sobre las
superficies
catalíticas
A → Bk1’’
Considerando la ecuación de continuidad para el componente A en un sistema binario en coordenadas
esféricas
(
( )
( )
( )
Realizando una balance de materia sobre el componente A en estado estable, en un cascarón esférico de
volumen diferencial dentro del catalizador poroso
Si se considera estado estable y solo hay difusión en dirección r, la ecuación es:
( )
Si para un sólido poroso se considera que
Donde
Sustituyendo en el balance de masa
( (
))
Lo que es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables
(
)
Condiciones límites
Concentración en el interior del catalizador
, Concentración en la superficie exterior del catalizador
Se puede resolver por cambio de variable
( )
( )
( )
( ) (
)
Sustituyendo en la ecuación original
[ (
( )
( )
)]
( )
[ ( )
( )]
( )
Si se define la constante 𝜆 como:
𝜆
Derivando
[ ( )
( )
( )
] 𝜆 ( )
( )
𝜆 ( )
Se convierte en una ecuación diferencial homogénea de coeficientes constantes, de aquí
( 𝜆 ) ( )
donde la solución es cualquier de las siguientes expresiones
( )
( ) (𝜆 ) (𝜆 )
Recordando que
( )
y aplicando la 1era. Condición límite:
( )
( )
( ) (𝜆( )) (𝜆( ))
( )
Por la 2da. Condición límite:
( )
( ) (𝜆( )) ( ) (𝜆( ))
(𝜆( ))
(𝜆 )
Si la solución propuesta es:
( ) (𝜆 ) (𝜆 ) Entonces
( )
(𝜆 ) (𝜆 )
Si
𝜆 √
Entonces
(
)
(√
)
(√
)
Si se expresa en forma adimensional
⁄
(𝜆 ( ⁄ ))
(𝜆 )
Si se define al Módulo de Thiele
𝜆 √
√
⁄
( ( ⁄ ))
( )
DIFUSIÓN TRANSITORIA, NO PERMANENTE O EN ESTADO INESTABLE
Difusión en una placa
Una hoja de madera rectangular que se muestra en la figura, se va a tratar antes de usarla
sumergiéndola en un recipiente grande que contiene una especie química A. Si el área superficial en las
dos caras es mucho más grande que el área a lo largo del borde, es razonable suponer que la
transferencia de masa se lleva a cabo principalmente en dirección perpendicular a las caras. La
concentración inicial de la especie química en la madera es cero. Durante el tiempo en que la hoja está
en el agente químico, la concentración en la superficie es constante.
Considerando la ecuación de continuidad para el componente A en un sistema binario en coordenadas
rectangulares
Si solo se considera la difusión en dirección z y no hay reacción química
AMenor área
Mayor área de sección
transversal al flujo
Menor área
xz
L
W
z = b
z = -b
yz = 0
Si se considera que
recordando que si la presión es alta será difusión Fick y si la presión es baja se considera difusión
Kudsen. Sustituyendo se obtiene
(
)
Lo que es una ecuación diferencial parcial de segundo orden, también conocida como la 2da.ley de
Fick
Condiciones límites
1) Al inicio para toda z (en toda la hoja
de madera) la concentración de A es
cero
2) Para cualquier tiempo, en la
superficie, la concentración de A es
finita y constante
3)
Para cualquier tiempo en el centro
de la hoja, El flujo es cero, o la CA
es constante
Se hace un cambio a una variable adimensional
( ) ( )
( )
Si la ecuación original es
Con cambio de variable
( )
( )
Condiciones límites
1)
2)
3)
Este tipo de ecuaciones parciales pueden solucionarse entre otros métodos por:
a) Combinación de variables
b) Separación de variables
c) Transformadas de Laplace
d) Reducción de variables o similaridad.
e) Diferencias finitas
Método de separación de variables:
Las ecuaciones que se pueden resolver por este método son:
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
Donde:
( )
( )
( )} ( )
( )
( )
( )} ( )
La función objetivo o solución
( ) ( ) ( ) funciones de partición
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Resolviendo el sistema por este método
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Sustituyendo
[ ( )
( )
] ( )
( )
Separando variables
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Para que sea válida, ambos lados de la ecuación deben ser iguales a una constante porque no pueden
variar independientemente
Tomado el segundo miembro de la ecuación
( )
( )
( )
( )
∫ ( )
( ) ∫
( )
( )
La constante debe estar acorde a las condiciones físicas del problema
( ) ( ) ( )
a) Si entonces ( ) y no podría ser porque no dependería del tiempo
b) Si ( ) entonces ( ) y si t aumenta ( ) aumenta sin límites y ( ) o la
concentración en la placa sería infinitamente grande. En realidad ( ) debe de disminuir
c) Si ( ) entonces ( ) y si t aumenta ( ) disminuye a 0
Por lo tanto 𝜆
( )
Para el primer miembro de la ecuación
( )
( )
𝜆
( )
𝜆 ( )
( ) 𝜆 ( )
( 𝜆 ) ( )
𝜆
La solución es imaginaria por lo tanto la solución es
( ) (𝜆 ) (𝜆 )
Si
( ) ( ) ( ) Entonces
( ) [ (𝜆 ) (𝜆 )][ ]
Si y
( ) [ (𝜆 ) (𝜆 )][ ]
Se debe evaluar A, B y 𝜆
De las condiciones límites
3)
[𝜆 (𝜆 ) 𝜆 (𝜆 )][
]
𝜆
Si sabemos que
debe ser ≠ 0 porque t > 0
𝜆 debe ser ≠ 0
solo queda que para satisfacer la ecuación.
De la segunda condición límite
2)
( ) [ (𝜆 ) (𝜆 )][ ]
[( ) (𝜆 ) (𝜆 )][ ]
[ (𝜆 )][ ]
sabemos
debe ser ≠ 0 porque t > 0
debe ser ≠ 0 porque si no sería solución trivial
solo queda que (𝜆 ) para satisfacer la ecuación.
Por trigonometría
(𝜆 ) si 𝜆 (
) para n = 0,1,2,3,…∞, de aquí:
𝜆 (
)
la constante debe evaluarse para cada valor de n y la solución general es:
( ) [( ) (𝜆 ) (𝜆 )][ ]
( ) ∑
[(
)
] ( )
De la primera condición límite
1)
∑
[(
)
]
Por propiedades de las funciones trigonométricas
∫
si n≠m
∫
si n=m
Si multiplicamos ambos lados de la ecuación por [(
)
]
[(
)
] ∑
[(
)
] [(
)
]
∫ [(
)
]
∫ ∑
[(
)
] [(
)
]
n=m para que sea ≠ 0
∫ [(
)
]
∫ [(
)
]
( ) [(
)
]|
∫ [
{ (
)
}]
( ) [(
) ] [
( ) {( )
}]|
( ) [(
) ] [
( ) [( ) ]]
Por trigonometría
[(
) ] para n = 0,2,4,6,…∞,
[(
) ] para n = 1,3,5,7,…∞,
[( ) ] para n = 0,1,2,3,…∞, de aquí:
( ) ( ) [
]
entonces
( ) ( )
( ) ( )
Sustituyendo en la solución general:
( ) [ (𝜆 ) (𝜆 )][ ]
los valores de las constantes obtenidas
𝜆 (
)
( ) ( )
Tenemos que
( ) [( ) ∑
[(
)
]]
( )
( ) ∑
( ) ( )
[(
)
] ( )
En función de concentraciones:
( )
∑
( ) ( )
[(
)
] ( )
El perfil de concentraciones de la especie química A en el interior de placa de madera en cualquier
tiempo es:
( ) [∑
( ) ( )
[(
)
] ( )
] ( )
TRANSFERENCIA DE MASA EN UNA PELÍCULA LÍQUIDA DESCENDENTE
Considere un líquido B cayendo por una pared vertical. Durante su caída se encuentra expuesta a una
corriente de gas A. El gas se disuelve y difunde hacia el exterior de la película líquida y puede
considerarse que la concentración del gas A en el líquido B en la parte superior es
Por otra parte puede considerarse que toda la superficie líquida expuesta a la corriente de gas tiene la
misma concentración
El líquido desciende con flujo laminar y su perfil de velocidades en dirección z está completamente
desarrollado y es
[ (
)
]
donde es la velocidad en la interfase líquido-gas y δ es el espesor de la película.
1) Al inicio el líquido tiene concentración uniforme 2) es la concentración en el equilibrio con la presión parcial del gas.
3) por lo tanto el gas se disuelve en el líquido.
Suposiciones:
1) No hay reacción
2) No hay cambio en la dirección y
Considerando la ecuación de continuidad para el componente A en un sistema binario en coordenadas
rectangulares
(
)
x
z
L
y
δ
pared
líquidoLíquido B Gas A
Perfil de
Velocidad
Perfil de
Concentración
x=0x=δ
z=0 CA=CA0x
z
CA(x)
CAi
Se reduce a
Considerando que
Para la dirección x se puede rescribir como función de la velocidad:
Si se considera que porque es flujo laminar, y el cambio de solo es en dirección de z. Por lo
tanto:
Para la dirección z el flujo difusional es << que el convectivo, de aquí:
Y sustituyendo en la ecuación de continuidad
(
)
( )
Si el perfil de velocidad es solo función de x
[ (
)
]
sustituyendo
Se pueden tener dos casos:
Si se considera el caso de que la penetración es débil, A poco soluble en B.
De aquí
Condiciones límites
1) para toda x,
2) para toda z, 3) para toda z,
La condición 3 puede ser porque la distancia de penetración es mucho más pequeña que δ.
Haciendo cambio de variables para obtener variables adimensionales
( ) ( )
( )
Si la ecuación original es
Con cambio de variable
( )
( )
x=0x=δ
CA(x)
CAi
Penetración fuerte
x=0x=δ
CA(x)
CAi
Penetración débil
Condiciones límites
1) para toda x
2) para toda z
3) para toda z
La ecuación obtenida puede resolverse por el método de similaridad (ver nota A)
Definiendo una nueva variable:
(
)
(
)
Por regla de la cadena
(
) (
)
[ (
) (
)]
[ ]
entonces
[ ]
Además
(
)
(
)
(
)
Y si
(
)
(
)
((
) )
(
)
Sustituyendo en
(
)
[
[ ] ]
Si (
)
1) para toda x 2) para toda z 3) para toda z
(
)
∫ ( )
∫
(
)
∫ ∫
Por las condiciones límites
∫
∫
∫
Por la 2da. condición límite
∫
∫
sustituyendo
∫
∫
Por definición de la función error (erf)
( )
√ ∫
( )
√ ∫
si
√ ∫
√ ∫
(
)
(
)
Si
y
(
)
(
(
)
)
(√
)
( ) [ (√
)] ( )
Nota A.
Elección de variable por método de similaridad
(
)
⁄
(
)
⁄
(
)
⁄
(
)
⁄
(
)
⁄
Esta relación es invariante se puede usar como nueva variable.
(
)
(
)
Ejercicio:
Dióxido de carbono esta siendo absorbido por medio de una película de agua fluyendo hacia debajo de
una torre de paredes húmedas de 3 ft de largo a y una razón de 300 lbm de agua/h y por ft de ancho de
la columna, a 25°C. El gas consiste de CO2 puro entrando a la columna a 1 atm de presión. Calcular la
cantidad de CO2 absorbido. A 25°C y 1 atm la solubilidad de la en agua es CAi=0.0021 lbmol /ft3.
DAB=7.76e-5 ft2/h
Solución
Datos
Datos
L= 3 ft
= 7.76E-05 ft2/s
= 0.0021 lbmol/ft3
= 0 lbmol/ft3
Flujo= 300 lbm/h-ft
viscosidad= 2.16 lbm/h-ft
densidad= 62.3 lbm/ft3
g= 4.17E+08 ft/h2
Si
= 556 y es laminar
El espesor de la película se puede calcular con:
(
)
Y la velocidad promedio con
Para flujo laminar
Entonces si
( ) [ (√
)] ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0.000000 0 0.00E+00 1 2.10E-03 2 2.10E-03 3 2.10E-03
0.000106 0 0.00E+00 1 1.01E-03 2 1.30E-03 3 1.44E-03
0.000213 0 0.00E+00 1 3.35E-04 2 6.72E-04 3 8.75E-04
0.000319 0 0.00E+00 1 7.32E-05 2 2.85E-04 3 4.69E-04
0.000425 0 0.00E+00 1 1.03E-05 2 9.80E-05 3 2.19E-04
0.000531 0 0.00E+00 1 9.17E-07 2 2.71E-05 3 8.89E-05
0.000638 0 0.00E+00 1 5.13E-08 2 5.97E-06 3 3.11E-05
0.000744 0 0.00E+00 1 1.78E-09 2 1.05E-06 3 9.40E-06
0.000850 0 0.00E+00 1 3.85E-11 2 1.45E-07 3 2.43E-06
0.000957 0 0.00E+00 1 5.14E-13 2 1.60E-08 3 5.41E-07
0.001063 0 0.00E+00 1 4.23E-15 2 1.38E-09 3 1.03E-07
0.00000
0.00050
0.00100
0.00150
0.00200
0.00250
0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.0010 0.0012
CA
, lb
mo
l/ft
3
x, ft
z = 1 ft z = 2 ft z = 3 ft
= 1 ft
= 0
= 2 ft
= 3 ft
En Matlab, datos.m
clear, clc
%constantes
d=7.76e-5;
V=6795.1;
Ci=0.0021;
Co=0;
a=(V/4/d)^(1/2)
[X,Z]=meshgrid(0:0.0001063:0.001063,0:0.3:3)
C=(1-erf(a*X./sqrt(Z)))*(Ci-Co)+Co
surf(X,Z,C)
X =
0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0009 0.0010 0.0011
0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0009 0.0010 0.0011
0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0009 0.0010 0.0011
0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0009 0.0010 0.0011
0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0009 0.0010 0.0011
0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0009 0.0010 0.0011
0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0009 0.0010 0.0011
0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0009 0.0010 0.0011
0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0009 0.0010 0.0011
0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0009 0.0010 0.0011
0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0009 0.0010 0.0011
Z =
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0.3000 0.3000 0.3000 0.3000 0.3000 0.3000 0.3000 0.3000 0.3000 0.3000 0.3000
0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000
0.9000 0.9000 0.9000 0.9000 0.9000 0.9000 0.9000 0.9000 0.9000 0.9000 0.9000
1.2000 1.2000 1.2000 1.2000 1.2000 1.2000 1.2000 1.2000 1.2000 1.2000 1.2000
1.5000 1.5000 1.5000 1.5000 1.5000 1.5000 1.5000 1.5000 1.5000 1.5000 1.5000
1.8000 1.8000 1.8000 1.8000 1.8000 1.8000 1.8000 1.8000 1.8000 1.8000 1.8000
2.1000 2.1000 2.1000 2.1000 2.1000 2.1000 2.1000 2.1000 2.1000 2.1000 2.1000
2.4000 2.4000 2.4000 2.4000 2.4000 2.4000 2.4000 2.4000 2.4000 2.4000 2.4000
2.7000 2.7000 2.7000 2.7000 2.7000 2.7000 2.7000 2.7000 2.7000 2.7000 2.7000
3.0000 3.0000 3.0000 3.0000 3.0000 3.0000 3.0000 3.0000 3.0000 3.0000 3.0000
C =
NaN 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0.0021 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0 0 0 0
0.0021 0.0008 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0
0.0021 0.0010 0.0003 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0021 0.0011 0.0004 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0021 0.0012 0.0005 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0021 0.0013 0.0006 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0021 0.0013 0.0007 0.0003 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0021 0.0014 0.0008 0.0004 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0021 0.0014 0.0008 0.0004 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0021 0.0014 0.0009 0.0005 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
