BANDAS DE ENERGIA

Velocidad de deriva.

(i) La fuerza sobre un electron producida por un campo electrico E es

F = -eE = dp dt = dk dt . Cada estado electronico k cambia una cantidad k = -eE. La esfera de Fermi se desplaza uniformemente.Hay una velocidad que se adquiere por la presencia del campo dada por

dv = dpm = -(em)E

(a) F=0 (b) F

(a) Fermi sphere centered on k = 0 i.e. no net electron momentum (b) Effect of an applied force

Resistividad Electrica

dv = dp/m = -(e /m)EJ = nqdv =(ne2/m)EJ =E= ne2/m

Se mide experimentalmente la conductividad Electrica y se obtiene .

Se define libre camino medio,

l =VF .

Resistividad Electrica

= (T)+ 0

Conductividad termica Electronica

De la teoria cinetica tenemos K = ΛvCv/3K es la conductividad termica, v es la velocidad del electron, Λ es el libre camino medio y Cv es la capacidad calorifica por m3

Electrones se mueven, v = vF , Λ = vF, Cv = (2) nkB (T/TF)

asi K = nk2BT3m ahora = ne2m

Porlotanto K /T = (/3)(kB/e)2 = 2.45 x 10-8 WK-2 (nro deLorentz)

El resultado anterior es llamado Ley de Wiedermann-FranzValores medidos del numero de Lorentz a 300K son Cu 2.23, In 2.49, Pb 2.47, Au 2.35 x 10-8 WK-2

Exitos del modelo del electron Libre

Introduce una idea util del tiempo de relajacion

Da una dependencia correcta del calor especifico respecto de la temperatura

Presenta un acuerdo razonable con la ley de Wiedermann-FranzMagnitudes observadas del calor especifico electronico y coeficiente hall son similares a los predichos en muchos metales

Indica que los electrones son mucho mas libre de lo que uno se pueda imaginar

Teoria de bandas

Para obtener la estructura de Bandas de energia en forma correcta necesitamos resolver la ecuacion de Schrödinger’s para los electrones en la presencia de un potencial periodico. Esta ecuacion no puede resolverse en forma exacta y algunas aproximaciones son necesarias. Existen dos modelos EL modelo del electron cuasi-libre y el modelo de tight binding, enlace fuerte.

En estos modelos continuamos tratando los electrones como independendientes, o sea despreciando la interaccion electron-electron

Niveles de Energia y Bandas Atomos aislados tienen niveles de energia permitidos.

En la presencia de un potencial periodico, bandas de estados permitidos estan separados por brechas de energias para los cuales no hay estados de energia permitidos

Los estados permitidos en conductores pueden ser construidos de combinaciones de estados del electron libre (modelo del electron cuasi-libre) o de la combinacion lineal de orbitales atomicos de atomos aislados (modelo tight binding).

+E

+ + + +position

Ondas en una red Periodica

Consideremos una onda, con longitud de onda moviendose a traves de una red 1D de periodo a

Hay una reflexion de 180 para = 2a

Estas ondas reflejadas interfieren constructivamente

Onda tiene un vector de onda, k = 2

a

Onda mueve derecha

Onda dispers mueve a la izquierda

potencial dispersi periodo a

Vectores Red Reciproca 1D son G = n.2/a ; n – entero

condicion Bragg es k = G/2

Red 3D : Dispersion occurre si k' = k + G

Donde G = ha1 + ka2 + la3 h,k,l enteros y a1 ,a2 ,a3

Son los vectores de red reciprocos primitivos

k

k'

G

Dispersion de Bragg y gap de EnergiaPotencial periodico 1D. Vectores red reciproca, G = 2n /a

Un electron libre en un estado exp( ix/a), ( onda mueve derecha) hay una reflexion Bragg en k = G/2 y la onda se mueve a izquierda exp( -ix/a).

En el modelo del electron libre estados permitidos no normalizados para k = /a son

ψ(+) = exp(ix/a) + exp( - ix/a) = 2 cos(x/a)

ψ(-) = exp(ix/a) - exp( - ix/a) = 2i sin(x/a)

+E

+ + + +position a

Hay dos estados permitidos para el mismo k con diferentes energias

Dos Soluciones, funcion seno y cosenosolucion Coseno ψ(+) tiene maxima densidad probabilidad electronica en el minimo del potencial.

solution Seno ψ(-) tiene maxima densidad probabilidad electronica en maximo del potencial.

Cos(x/a) Sin(x/a)

Cos2(x/a)

Sin2(x/a)

En una red periodica las funciones de onda permitidas tienen la propiedad

Donde R es un vector de Red

22)()( rRr ψψ

MAGNITUD DEL GAP DE ENERGIA

Tomemos un potencial periodico de la forma Sea L la longitud del cristal. Note que L/a es el numero de celdas unitarias y es un entero. Normalizando la funcion de onda ψ(+) = Acos(x/a) tenemos 

asi El valor esperado de la energia para el estado ψ(+) es 

 

)/2(cos)( 0 axVxV

1)/(cos22

0 dxaxA

L

21

2

L

A

L

dxHE0

* )()( ψψ

dxaxaxVxm

axL

EL

)/cos()/2cos(2

)/cos(2

0 02

22

22)/2cos(cos

2

20

22

0

2022 V

m

kdxax

a

x

L

V

m

kE

L

chequear

chequear

Gaps en las fonteras de la Zona de Brillouin

En puntos A ψ(+) = 2 cos(x/a) and E=(k)2/2me - V0/2 .

En puntos B ψ(-) = 2isin(x/a) and E=(k)2/2me + V0/2 .